Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng và ứng dụng

1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường đại học sư phạm hà nội 2

Lời cảm ơn
Nguyễn đình tuấn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS .TS
Lưu Thị Kim Thanh cô đã tận tình hướng dẫn tôi về phương pháp nghiên cứu
khoa học và nội dung của luận văn này. Cô luôn động viên, khích lệ để tôi

Các phân bố thống kê lượng tử

vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu
chuyên môn.

biến dạng và ứng dụng

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối
với Cô.

Chuyên ngành: Vật lí chất rắn
Mã số: 60 44 07

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Phòng Sau Đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
luận văn thạc sĩ vật lí

cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS lưu thị kim thanh

kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận
văn này.

Hà Nội,Hà
2010
nội, ngày

tháng

năm 2010

Học viên

Nguyễn Đình Tuấn


2

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề
trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác.
Hà nội, ngày

tháng

năm 2010

Học viên

Nguyễn Đình Tuấn

a. mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:
Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, Vật lý học đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII
cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản , thế kỷ XIX lý
thuyết điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong
đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh
hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất . Khi đó người ta nhận
thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô
với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển.
Trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử, khi có sự sai
khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường
dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật


3

lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như
sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái...
Điều đó có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn
mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ
được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng,
phương pháp mô men, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại
số biến dạng...
Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số

lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu
trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống
kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn... Nhóm lượng tử và đại số
lượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tử
điều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng.
Xuất phát từ vấn đề nêu trên , tôi lựa chọn đề tài Các phân bố thống kê
lượng tử biến dạng và ứng dụng làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.
- Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng, tìm được hệ thức
nhiệt dung CV phụ thuộc vào tham số biến dạng.
- ứng dụng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng xác định nhiệt
dung mạng tinh thể biến dạng q, nhiệt dung của electron biến dạng q.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các phân bố thống kê lượng tử và tính chất của một số hệ lượng tử.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp vật lý lý thuyết.
- Phương pháp đại số biến dạng.
- Phương pháp toán giải tích.
5. Nội dung nghiên cứu:


4

Ch­¬ng 1: X©y dùng ph©n bè thèng kª l­îng tö b»ng ph­¬ng ph¸p lý thuyÕt
tr­êng l­îng tö
1.1. HÖ l­îng tö vµ c¸c tÝnh chÊt cña chóng
1.1.1. HÖ l­îng tö.
1.1.2. TÝnh chÊt

1.2. C¸c ph©n bè thèng kª l­îng tö
1.2.1. Ph©n bè chÝnh t¾c l­îng tö
1.2.2. Ph©n bè chÝnh t¾c lín l­îng tö
1.2.2.1. Ph©n bè chÝnh t¾c lín l­îng tö
1.2.2.2. ¸p dông ph©n bè chÝnh t¾c lín l­îng tö
1.2.2.2.1. Thèng kª Bose- Einstein
1.2.2.2.2. Thèng kª Fermi-Dirac
1.2.2.2.3. Thèng kª Maxwell- Boltzmann
1.3. X©y dùng c¸c ph©n bè thèng kª l­îng tö b»ng ph­¬ng ph¸p lý thuyÕt
tr­êng l­îng tö.
1.3.1. BiÓu diÔn sè h¹t cña dao ®éng tö ®iÒu hßa tuyÕn tÝnh.
1.3.2. C¸c to¸n tö sinh, hñy Boson.
1.3.3. X©y dùng thèng kª Boson - Einstein b»ng ph­¬ng ph¸p lý
thuyÕt tr­êng l­îng tö.
1.3.4. Ph©n bè thèng kª l­îng tö Fermi – Dirac.
1.4. KÕt luËn ch­¬ng 1.
Ch­¬ng 2: C¸c ph©n bè thèng kª l­îng tö biÕn d¹ng
2.1. Dao ®éng tö ®iÒu hßa biÕn d¹ng – q.
2.1.1. Dao ®éng tö Boson biÕn d¹ng - q.
2.1.2. Dao ®éng Fermion biÕn d¹ng - q:
2.2. Ph©n bè thèng kª Bose - Einstein biÕn d¹ng q.
2.3. Ph©n bè thèng kª Fermi - Dirac biÕn d¹ng q.
2.4. KÕt luËn ch­¬ng 2:


5

Chương 3: Một số ứng dụng của phân bố thống kê lượng tử
3.1. Nhiệt dung của mạng tinh thể khi áp dụng lý thuyết biến dạng q.
3.1.1. Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein

3.1.2. Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Debye
3.1.3. Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận dao
động tử điều hòa biến dạng - q.
3.2. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến
dạng q.
3.2.1. Cách tính gần đúng đơn giản.
3.2.2. Cách tính đầy đủ và chính xác hơn.
3.2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp
dụng thống kê biến dạng - q.
3.3. Kết luận chương 3.
6. Những đóng góp mới của đề tài:
- Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.
- Xác định các phân bố thống kê lượng tử biến dạng.
- áp dụng các thống kê lượng tử biến dạng nghiên cứu nhiệt dung của
mạng tinh thể và của khí điện tử tự do trong kim loại.


6

B. NộI DUNG
Chương 1
Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng
phương pháp lý thuyết trường lượng tử
1.1. Hệ lượng tử và các tính chất của chúng
1.1.1. Hệ lượng tử
Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử
- Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử
- Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các
hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếu

dựa vào quan điểm cổ điển.
1.1.2. Tính chất
- Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt
Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ
xác định tuyệt đối chính xác, nó bị nhoè đi trong không gian. Khi có hai
hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì
ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động
được của mỗi hạt. Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ
học lượng tử.
- Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính gián đoạn
Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lượng vật lý, ta
gán cho mỗi đại lượng vật lý một toán tử tương ứng nhất định. Trong cơ học
lượng tử, các đại lượng vật lý được biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của
chúng được xác định như là các trị riêng của các toán tử.
- Để diễn tả các tính chất của các đối tượng vi mô, ngoài các tính chất
và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển như khối


7

lượng, điện tích.... ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý
lượng tử. Đó là spin của hạt, tương tác trao đổi, nguyên lý Pauli.
1.2. Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp Gibbs
Để tìm được các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta dùng ba
phương pháp:
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp Gibbs
- Phương pháp các ô Boltzman
Trong đó phương pháp các ô Boltzman ra đời sớm nhất, nhưng
phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm hơn và được coi là phương pháp cơ bản.

Bên cạnh đó phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho ta khả năng mở
rộng các thống kê lượng tử với hy vọng giải quyết gần đúng bài toán khi có sự
sai khác lý thuyết và thực nghiệm. Cả ba phương pháp sẽ hỗ trợ, bổ sung cho
nhau, giúp chúng ta có cách nhìn đầy đủ về hệ vĩ mô lượng tử.
1.2.1. Phân bố chính tắc lượng tử
Do đặc tính của các hạt vi mô và của hệ lượng tử nên khi áp dụng
phương pháp Gipxơ ta cần có thay đổi thích hợp so với khi áp dụng trong vật
lý thống kê cổ điển.
Đối với hệ đẳng nhiệt, xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek
là:
Ek
Wk exp



Biểu thức (1) là phân bố chính tắc lượng tử.
Trong đó:

( , a ) là năng lượng tự do
là nhiệt độ thống kê, kT

Thật vậy, từ điều kiện chuẩn hoá:

(1.1)


8

W

1

K

K 0

E

exp exp k 1
K 0



EK
là tổng trạng thái, ta được nZ


Đặt Z exp
k 0

Xét:

Z

lnZ .
.exp

Z

Ek

. . exp
k


1
Ek E
Ek .exp



k

Hay:
E




(1.2)

Biểu thức (2) là phương trình Gipxơ Hemhômxơ
Xét:

1 Z

.

exp
a
Z a


k

E
exp k
Ek


.

k a

Ek
Ek
.exp

a


Theo cơ học lượng tử ta có:
Ek
H

a
a

k
k

H
k dq
a

Khi đó:
H

A
a
a

(1.3)

Nhận xét: Ta thấy
có ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối

có ý nghĩa năng lượng tự do
- Đối với hệ có mức năng lượng hoàn toàn không suy biến ta có phân bố:


9

Ek
Wk exp

(1.4)

- Đối với hệ có mức năng lượng suy biến (giả sử độ suy biến là gk) ta có
phân bố:
Ek
Wk exp
g k Ek


(1.5)

* Xét trường hợp đặc biệt: Hệ lượng tử gồm N hạt không tương tác.
Tương tự như trong vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố chính tắc lượng tử ta
cũng suy ra phân bố Maxwell- Boltzmann lượng tử:

exp i
kT
Wi
Z

Trong đó: i là năng lượng một hạt của hệ
Wi là xác suất để một hạt bất kỳ của hệ nằm ở trên mức năng

lượng i
Z là tổng trạng thái được xác định từ điều kiện chuẩn hoá

W

i

1

i



Z exp i
kT
i0

- Trường hợp mức năng lượng i bị suy biến, với độ suy biến là g( i ).
Khi đó:

exp i
kT
Wi g i .
Z

(1.6)

Biểu thức (1.6) là thống kê Maxwell- Boltzmann lượng tử.
1.2.2. Phân bố chính tắc lớn lượng tử
1.2.2.1. Hàm phân bố chính tắc lớn lượng tử
Trong khi tìm phân bố chính tắc lượng tử và phân bố MaxwellBoltzmann lượng tử, ta chưa xét đến tính đồng nhất như nhau của các hạt vi


10

mô cũng như tính đối xứng của các hàm sóng. Do đó, các thống kê vừa tìm
được chỉ có thể áp dụng cho một số trường hợp đặc biệt. Nếu ta chú ý đến toàn

bộ đặc tính đó, ta tìm ra hai loại thống kê lượng tử quan trọng:
- Thống kê Bose- Einstein
- Thống kê Fermi-Dirac
Xét hệ số có hạt thay đổi, tương tự trong vật lý thống kê cổ điển ta cũng
suy ra hàm phân bố chính tắc lớn lượng tử như sau:
Wk

1
N Ek
exp
g k Ek
N!




(1.7)

1.2.2.2. áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử
- Xét hệ số có hạt thay đổi, các hạt trong hệ không tương tác, ta có:


Ek ni i
i 0

Trong đó:

ni là số chứa đầy (số hạt có cùng năng lượng i )

i là các mức năng lượng của hạt có trị số từ 0 đến

i là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ

Do số hạt trong hệ thay đổi nên tương tự như trong vật lý thống kê cổ
điển ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử.






N

ni , i


1


i 0
W n0 , n1...
exp
gk
N!

Trong đó:

N ni
i0

là thế nhiệt động lớn

là thế hoá học

Ký hiệu:
G n0 , n1...

gk
N!


11

Khi đó:





ni i



i 0
W n0 , n1... exp

G n0 , n1...






(1.8)

* Nhận xét:
+ Vế phải của biểu thức (1.8) có thể coi là hàm của ni nên ta có thể
đoán nhận ý nghĩa của biểu thức (1.8) là xác suất các số chứa đầy (tức là xác
suất để có n0 hạt nằm ở mức năng lượng 0 , n1 hạt nằm ở mức có năng lượng
1 )

Từ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức
năng lượng là:
nk ....nkW n0 , n1...
n0

(1.9)

n1

- Để tính số hạt trung bình ni trên một mức năng lượng i bất kỳ ta
dùng thủ thuật toán học sau: Gắn cho đại lượng chỉ số 1, nghĩa là coi hệ ta
xét có cả một tập hợp các thế hoá học 1 . Khi đến cuối phép tính toán, ta sẽ
đặt tất cả 1 bằng nhau và bằng .
- Từ đó ta có thể viết điều kiện chuẩn hoá như sau:

....W n , n ... exp Z 1
0

no

1

n1

Với


ni i i
Z ....exp i 0
G n0 , n1...

no n1




1
exp

ln Z
Z

1 Z
.
k
Z k

(1.10)


12

Ta có:


ni i i


Z

i0

G n0 , n1...

....exp

k
k no n1

ni i i
i 0









ni i i
nk
....exp i 0
G n0 , n1...


no n1





Mặt khác:

ni i i




i0
....nk exp
G n0 , n1 ...
k

no n1








nk
k

(1.11)

Với k
1.2.2.2.1. Thống kê Bose- Einstein
Xét với hệ Bôzôn: Số hạt ni trên các mức có thể có trị số bất kỳ từ 0 đến
và G n0 , n1... 1 , các hạt này không tuân theo nguyên lý Paoli.

Từ (1.10) ta có:




ni i i
Z .....exp i 0


n0 0 n1 0





n i i
. exp


i 0 n0



1
.

i0
1 exp i i

Khi đó




ln Z 1 exp i i

i0


13

n



k

1

exp k
1


Nếu năng lượng k suy biến với độ suy biến g k thì:
f B k

1
.g k

k
exp
1


Biểu thức (1.12) là thống kê Bose- Einstein
Trong đó, thế hoá học được xác định từ điều kiện:


n

i

N

i 0

1.2.2.2.2. Thống kê Fermi-Dirac
Xét đối với hệ hạt Fecmi:
ni 1 ni 0,1
G n0 , n1... 1

Các hạt này tuân theo nguyên lý Pauli.
Từ biểu thức (1.10) ta có:


1
1
ni i i
Z .....exp i 0

no 0 n1 0




i


. exp i i n
i 0 n 0




. 1 exp i i

i0

Khi đó:



lnZ 1 exp i i

i 0

1
nk

k

exp k
1


(1.12)


14

Nếu năng lượng k suy biến với độ suy biến g ( k ) thì:
f F ( k )

1

exp k
1


g ( k )

(1.13)

Biểu thức (13) là thống kê Fermi-Dirac
Trong đó thế hoá học được xác định từ điều kiện


n

i

N

i 0

1.2.2.2.3. Thống kê Maxwell- Boltzmann
Xét đối với hệ hạt không tương tác và không đồng nhất, ni từ 0 đến
G n0 , n1...

1
.
n0 !n1 !...

Ta có:




ni i i 1
Z .....exp i 0


no 0 n1 0

n0 ! n1 !...

exp i i n

.
n!
i 0 n0







exp exp i i

i 0




Do

exp( x)
n o





xn

n!

lnZ



ln exp exp i i

i 0



exp i i

i0

k
nk
exp

k






Nếu mức năng lượng k suy biến, với độ suy biến g k thì:

15

k
f M k exp
gk


(1.14)

Biểu thức (14) là biểu thức thống kê Maxwell- Boltzmann
* Nhận xét: Số hạt trung bình trên một mức nào đó tỉ lệ với xác suất tìm
một hạt trên mức đó.
1.3. Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý
thuyết trường lượng tử.
1.3.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đường
thẳng nào đó.
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử diều hòa một
chiều:
2

p
m 2 2
H x
x
2m
2

(1.15)

Trong đó: x q x là toán tử tọa độ.
p x p i

d
là toán tử xung lượng.
dx

Hệ thức giao hoán giữa p và q :
p, q pq q p i d x x( i) d x ix d


dx
dx
dx
p, q i d ( x ) ix d i


dx
dx

p, q i



(1.16)

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo p và q như sau:
2

p
m 2 2
H

q
2m
2

(1.17)


16

m    
a a
2



Ta ®Æt: p  i
q 

  
a a
2m








Khi ®ã ta biÓu diÔn H theo a vµ a nh­ sau:
2

p
m 2  2
1 2 m   
H

q 
.i .
aa
2m
2
2m
2



1     
 .
aa
2 2 



2

 


 a  a

1     
 .
aa
2 2 



2


m 2 

.
. a  a
2 2m



2

 

  a  a    a  a   a  a 
1   
 .

2aa  2a a 
2 2 
  

aa  a a  .
2 










2









(1.18)


Ta biÓu diÔn c¸c to¸n tö a vµ a ng­îc l¹i qua p vµ q :

pi

q 


m    
a  a  a  a 
2


  
a  a  a  a 
2m



p





i

m
2
q



i


2m

 i p

 q

2
m 

2m


Tõ ®ã ta thu ®­îc:
a 


a 

m  
p
  q  i 
2  
m
m  
p
  q  i  .

2  
m

(1.19)

(1.20)


17


Dễ dàng chứng minh được các toán tử a và a thỏa mãn hệ thức giao

hoán:
a , a 1 .



(1.21)

Thật vậy:
a , a aa
a a m q i p m q i p


2
m 2
m
m
p m

p
q i
q i
2
m 2
m





i
2i pq 2i q p pq q p 1

2

1

Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:
1

H a a
2


(1.22)


Ta đưa vào toán tử N a a

(1.23)


Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử a và a là:





a aa
aa
a a a aa
a 1.a a
+ N , a N a aN

Hay N a a N 1 .





(1.24)

a a a aa
a a a 1.a
+ N , a N a a N a aa









Hay N a a N 1 .





(1.25)

Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n.
Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N như sau:
N n n n
n N n n n n n n n n|n

(1.26)


18

n

n N n
n|n



2




n a a n

n|n

(1.27)

0



Vì: n | n n r d r



n a a n a n r

2


dr 0

Kết luận 1:
Các trị riêng của toán tử N là các số không âm.
Xét các véc tơ trạng thái thu được a n bằng cách tác dụng toán tử a
lên véc tơ trạng thái n . Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N và sử
dụng công thức (1.24) ta có:
n a n
N a n a N 1 n aN





a n 1 n n 1 a n .

(1.28)

Hệ thức trên có nghĩa là:
Véc tơ trạng thái a n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng
với trị riêng (n 1).
2
3
Tương tự như vậy a n ; a n ... cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán

tử N ứng với trị riêng (n 2), (n 3)...

Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái a n , tác dụng lên véc tơ trạng thái này

toán tử N , sử dụng công thức (1.25) ta có:


N a n a



N 1 n





a N n a n



a n 1 n n 1 a n .

(1.29)


Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái a cũng là véc tơ trạng thái

riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n + 1).

19

2
3
Tương tự a n ; a n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)...
Kết luận 2:
p
Nếu n là một véc tơ riêng của toán N ứng với trị riêng n thì a n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n p p 1, 2,3...
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N
thì chuỗi các số không âm n 1, n 2, n 3, ...cũng là trị riêng của toán tử
N . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:

a nmin 0

(1.30)

Vì nếu a nmin 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
nmin 1 nmin trái với giả thuyết nmin là trị riêng nhỏ nhất.

Từ (1.30) ta có: a a nmin N nmin 0

(1.31)

Mặt khác theo định nghĩa: N nmin nmin nmin 0

(1.32)

So sánh hai phương trình (1.31), (1.32) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin có giá bằng 0. Véc tơ trạng thái
ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu 0 . Véc tơ trạng thái này thỏa
mãn điều kiện a 0 0 .
Ta có:

+ a 0 0 tỉ lệ với véc tơ riêng 1 của N ứng với trị riêng n = 1.

Thật vậy ta có: N 1 1 1 . (*)

Mà a 0 là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng 0 +1=1,




tức là N a 0 1.a 0 . (**)


20

Từ (*), (**) ta thấy:
1 là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1.

a 0 là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1.

Vì vậy a 0 phải tỉ lệ với véc tơ riêng 1 của toán tử N ứng với trị

riêng n = 1.

2
+ Tương tự a 0 tỉ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử N ứng với trị
n
riêng n = 2,..., a 0 tỉ lệ với véc tơ riêng n của toán tử N ứng với trị riêng

n.
Từ biểu thức:
1
1



H a a N N
2
2
2


H N 0
H 0


0 vì N 0 0 0 0
2


0 E0 0 .
2
1
2

Nên: 0 là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E0
1
1 là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E1 1
2

..................................................................................
1

n là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng En n .
2


Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng
thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng .
1
5

E 2 2
2
2



21

3
1
E1 1

2
2

E12 E2 E1

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất E0 , trạng thái 1 có năng lượng
E0 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng

lượng vào trạng thái

0 . Trạng thái

2

ứng với năng lượng

E1 E0 2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng

tử năng lượng vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng
lượng vào trạng thái 0 . Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể
coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy 0 được gọi là
trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, ... n là trạng thái
chứa n lượng tử. Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một
đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng. Toán tử a khi tác dụng lên
n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy

lượng tử năng lượng. Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ

với n 1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta
tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số

hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với

năng lượng En sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao
động tử điều hòa.
Ta tính các hệ số tỉ lệ n , n , n trong các hệ thức:
a n n n 1

a n n n 1


22

n   n a

n

0

§Ó cho c¸c vÐc t¬ lµ trùc giao vµ chuÈn hãa th×:
1 khi m  n
m, n   m , n  
0 khi m  n

nNn

+ T×m  n : Chóng ta cã n 

n|n

nNn


 m ,n


V×: m = n nªn  m ,n  1  n  n N n  n a a n


MÆt kh¸c n a   n* n  1

Do ®ã n   n* n  1  n n  1   n2 n  1 n  1   n2
Coi  n lµ thùc nªn  n  n .

  1 n
+ T×m  n : Ta cã n  n N n  n a a n  n aa

MÆt kh¸c n a   n* n  1
Do ®ã:


  1 n
n  n N n  n a a n  n aa

  n* n  1  n n  1  1   n2  1

Coi  n lµ sè thùc nªn  n2  n  1   n  n  1

 



+ T×m  n : Ta cã n   n a 0   n a

n 1

 
 n      a 

 n   n a

0

1


a 0

 


 0 1   n  0 a

 n2

n

n 1

2 ......

 n   n  0 13 ....... n 1 n ......
 n   n 1.2.3...n n   n n ! n

n2

 



a 1   n  0 a

n2

1 2


23

n

1
.
n!

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:
N n n n
a n n n 1

(1.33)

a n n 1 n 1

(1.34)

n

1 n
a 0
n!

(1.35)

1.3.2. Các toán tử sinh, hủy Boson.
Chúng ta tìm được các toán tử sinh hạt, hủy hạt:
a , a 1




a , a a , a 0



(1.36)

Mở rộng hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau:
a v , a
v

(1.37)



a v , a a v , a 0




(1.38)

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc tơ
cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N .
n

1 n
a 0
n!


Tác dụng toán tử a và a lên véc tơ trạng thái n ta được:

a n n n 1

a n n 1 n 1

Với toán tử số hạt N được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt, hủy hạt:

24


N a a.

Ta sẽ xem xét xem là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyênthì nó có
tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng
thái khác nhau v và :

v a v a 0




v a a v 0 .

(1.39)
(1.40)

Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào.


Từ biểu thức (1.36) ta có: a v a a a v do đó suy ra v v .

Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng
với phép hoán vị hai hạt. Ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối
xứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson.

Kết luận 4:
Các toán tử sinh htạ, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:
a , a 1



a v , a
v


a v , a a v , a 0




Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson

a và toán tử số hạt N :

Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.33), (1.34) ta có các đẳng thức sau:
n n 1 n
aa

a a n n n


25

và a a lần lượt
Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa

bằng n +1 và n. Do đó ma trận của các toán tử này trong biểu diễn riêng của
chúng là những ma trận chéo.
) (n 1) và (aa
) n
(aa
mn
mn
mn
mn

Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson a là:

a00

a a10
a20

...

a 00

a a 10
a 20

...

a01
a11
a21

...

a02 ...
a12 ...
a22 ...

... ...

a 01
a 11

a 02 ...

a 12 ...
a 22 ...

... ...

a 21
...

(1.41)


Ta có: n a n n ' n 1 n 1 n 1 n ' | n 1

1 khi n ' n 1
0 khi n ' n 1

Mà n ' | n 1 n ',n 1

Do đó

n 1 khi n ' n 1
n 1 n' | n 1
khi n ' n 1
0

Tương tự ta cũng có: n a n n ' n n 1 n n ' | n 1
1 khi n ' n 1
0 khi n ' n 1

Mà n ' | n 1 n ', n1
Do đó

n
n n ' | n 1
0

khi n ' n 1
khi n ' n 1


Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson a và

toán tử số hạt có dạng: