Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến (K,Uo) - Lõm chính quy đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LIỆU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN
(K, u0) - LÕM CHÍNH QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LIỆU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN
(K, u0) - LÕM CHÍNH QUY
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS - TS - GVCC. Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2011

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư - Tiến
sĩ - Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và
truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên
cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong
học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các
quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Ngô Sĩ
Liên - Bắc Giang, tổ Toán - Tin, các đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi
điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011
Tác giả

Nguyễn Thị Liệu


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS - TS - GVCC. Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011
Tác giả

Nguyễn Thị Liệu


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Một số không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1. Nón trong không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2. Quan hệ thứ tự trong không gian E . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.4. Không gian Eu0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.5. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . .

27

Chương 2. Toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy . . . . . . . . . . . . .

42

2.1. Toán tử (K, u0 ) - lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0 ) - lõm . . .

43

2.1.3. Ví dụ về toán tử (K, u0 ) - lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2. Toán tử (K u0 ) - lõm chính quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0 ) - lõm chính
quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.3. Ví dụ về toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy . . . . . . . . . . . . .

56

iii

iv

Chương 3. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm
chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.1. Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0 )
- lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét
phương trình:
Ax − x = 0

(1)

trong đó A là một toán tử tác động trong một không gian hàm nào đó,
x là phần tử phải tìm. Phần tử x thoả mãn (1) gọi là điểm bất động của
toán tử A.
Người đặt nền móng cho việc nghiên cứu điểm bất động của toán
tử A là nhà toán học người Balan Stefan Banach với nguyên lí nổi tiếng:
nguyên lí ánh xạ co (công bố năm 1922). Tiếp đến có nhiều nhà toán
học có các công trình nghiên cứu về điểm bất động của toán tử trong
các không gian hàm. Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã
nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956) về điểm bất động
và vectơ riêng; Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Baxtin mở rộng các
kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) - lõm (1984).
Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0 - đo được. Tính chất
u0 – đo được trong định nghĩa toán tử lõm khiến cho việc ứng dụng các
kết quả gặp khó khăn. Tuy nhiên tồn tại những lớp toán tử phi tuyến
không có tính chất u0 – đo được, nhưng cũng có những tính chất như
toán tử lõm. Một trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử lõm
chính quy.
v


vi

Năm 1987, trong bài báo đăng trên tạp chí Toán học, tập XV,
số 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã xây dựng khái niệm toán
tử lõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về điểm bất
động đối với toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy. Với mong muốn
mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm chính quy cho
lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) – lõm chính quy, tôi đã chọn đề tài:
“Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến

(K, u0 ) - lõm chính quy”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn “Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến
(K, u0 ) - lõm chính quy” nhằm đưa ra được một số tính chất về toán
tử (K, u0 ) - lõm chính quy và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử
đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của
luận văn là:
+ Nghiên cứu một số tính chất về toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy.
+ Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm
chính quy .
+ Vận dụng một số kết quả nghiên cứu vào một số không gian định
chuẩn thực cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng nghiên cứu: Toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy.
+) Phạm vi nghiên cứu:
- Tính chất điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy;


vii

- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy;
- Vận dụng một số kết quả nghiên cứu vào một số không gian
định chuẩn thực cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Vận dụng (hay áp dụng) một số kết quả nghiên cứu vào một
số không gian định chuẩn thực cụ thể.
6. Dự kiến đóng góp mới

- Xây dựng khái niệm toán tử (K, u0 )– lõm chính quy và ví dụ.
- Trình bày một cách hệ thống các tính chất của toán tử
(K, u0 ) – lõm chính quy.
- Một số điều kiện tồn tại điểm bất động của toán tử
(K, u0 ) – lõm chính quy.
- Vận dụng các kết quả đạt được trong một số không gian định
chuẩn thực cụ thể.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn thực
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên
E là một ánh xạ từ E vào R, kí hiệu . (đọc là chuẩn), thỏa mãn các
điều kiện sau:
i,∀x ∈ E, x ≥ 0, x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không
trong không gian E);
ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, αx = |α| x ;
iii,∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn
trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, . ) hay E.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
{xn }∞
n=1 ⊂ E gọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim xn − x
n→∞

= 0, hay

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 , xn − x < ε.

Dựa vào các định nghĩa trên ta dễ dàng chứng minh được một số tính
chất sau:
1


2

Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{xn }∞
n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn { xn }hội tụ tới x . Nói khác đi
x là một hàm liên tục của biến x.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
x = x−y+y ≤ x−y + y
hay
x − y ≤ x−y .
Đổi vai trò của x, y ta lại có
y − x ≤ x−y .
Do đó ta có
| x − y |≤ x−y .
Suy ra
| xn − x | ≤ xn − x (n = 1, 2, . . .) .
Vì vậy, nếu {xn } hội tụ tới x thì lim xn − x
n→∞

| xn − x | → 0 khi n → ∞ hay xn

= 0, dẫn đến

→ x khi n → ∞. Mệnh

đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{xn }∞
n=1 hội tụ thì dãy chuẩn { xn } bị chặn.
Chứng minh. Giả sử xn → x khi n → ∞, theo mệnh đề 1.1.1 ta có
xn → x khi n → ∞.
Do đó
∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , xn ≤ x + 1.
Đặt K là số lớn nhất trong các số x1 , x2 , ..., xn , x + 1. Khi đó
∀n, xn ≤ K hay { xn } bị chặn.


3

Mệnh đề 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
∞
{xn }∞
n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {yn }n=1 hội tụ tới y và trong R dãy số

{αn }∞
n=1 hội tụ tới α thì:
xn + yn → x + y, n → ∞,
αn xn → αx, n → ∞.
Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R).
Chứng minh. Do xn → x khi n → ∞ và yn → y khi n → ∞ nên ta có
xn − x → 0, n → ∞
và
yn − y → 0, n → ∞.
Ta lại có
(xn + yn ) − (x + y) ≤ xn − x + yn − y .

Do đó
(xn + yn ) − (x + y) → 0, n → ∞
hay xn + yn → x + y, n → ∞, trong không gian E; đồng thời
αn xn − αx = αn xn − αn x + αn x − αx
≤ αn (xn − x) + (αn − α) x
≤ |αn | xn − x + |αn − α| x .
Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn |} bị chặn;
còn xn → x, n → ∞ nên xn − x → 0, n → ∞.
Do đó |αn | xn − x + |αn − α| x → 0 khi n → ∞
hay αn xn − αx → 0, n → ∞. Vì vậy αn xn → αx, n → ∞ trong không
gian E.


4

Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
{xn }∞
n=1 ⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu

lim

n,m→∞

xn − xm

= 0

hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có xn − xm < ε.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian định chuẩn E. Không gian E gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ.

1.1.2. Một số không gian định chuẩn thực
1.1.2.1.Không gian Rn (n ∈ N∗ )

Dễ kiểm tra Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n} (n ∈ N∗ )
với hai phép toán thông thường
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) ,
αx = (αx1 , αx2 , ..., αxn ) ,
trong đó α ∈ R, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn là một
không gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0, ..., 0).
Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn của phần tử
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn xác định bởi
n

x2i .

x =

(1.1)

i=1

Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện của chuẩn:
*) ∀x ∈ Rn thì

n
i=1

n

x =0⇔

x2i hoàn toàn xác định và

n
i=1

x2i ≥ 0 nên x ≥ 0.

x2i = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n ⇔ x = θ.

i=1
n

n

*) ∀x ∈ R , ∀α ∈ R, αx =

2

(αxi ) =
i=1

n

α2
i=1

(xi )2 = |α| x .

5

*) ∀x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn
n

x+y

2

n
2

=

x2i + 2xi yi + yi2

(xi + yi ) =
i=1
n

i=1

n

x2i

=

+2

i=1

i=1

i=1
n

x2i

n

x2i

+2

yi2

+

i=1

n

i=1

2

n

yi2  = ( x + y )2 .

x2i +

=

n

yi2

i=1

i=1



yi2

x i yi +

n

≤

n

i=1

i=1

Do đó x + y ≤ x + y .

Vậy công thức(1.1)xác định một chuẩn trên Rn . Không gian định chuẩn
tương ứng kí hiệu là Rn và gọi là không gian Eukleides.
Hơn nữa sự hội tụ trong không gian Rn tương đương với sự hội tụ theo
tọa độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x(k)

∞
k=1

(k)

(k)

(k)

với x(k) = x1 , x2 , . . . , xn

∈ Rn

hội tụ tới điểm x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn khi k → ∞
Theo định nghĩa 1.1.3 ta có
∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗ : ∀k ≥ k0 , x(k) − x =

n
i=1

(k)

xi − xi

2

< ε.

Suy ra
(k)

xi − xi < ε, ∀k ≥ k0 , ∀i = 1, 2, . . . , n.

(1.2)

Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, . . . , n dãy số thực
(k)

xi

hội tụ tới xi khi k → ∞. Sự hội tụ đó gọi là hội tụ theo tọa độ.

Ngược lại, giả sử dãy điểm x(k)

∞
k=1

(k)

(k)

(k)

với x(k) = x1 , x2 , . . . , xn

∈ Rn

k = 1, 2, . . . hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
Theo định nghĩa ta có ∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, . . . , n, ∃ki ∈ N∗ : ∀k ≥ ki
ε
(k)
xi − xi < √ .
n


6

Đặt k0 = max {k1 , k2 , . . . , kn } ta có
ε
(k)
∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗ : ∀k ≥ k0 , xi − xi < √ , i = 1, 2, . . . , n
n
2
ε2
(k)
⇒ xi − xi < , i = 1, 2, . . . , n
n
n
(k)

xi − xi

⇒

2

< ε2 .

i=1

Suy ra
n
(k)

xi − xi

2

< ε, ∀k ≥ k0

i=1

hay
x(k) − x < ε, ∀k ≥ k0 .
Do đó dãy điểm x(k) hội tụ tới x trong Rn .
Ta cũng có không gian Rn là không gian Banach với chuẩn (1.1)
Thật vậy, giả sử dãy x(m)

∞
m=1

(m)

(m)

(m)

⊂ Rn với x(m) = x1 , x2 , . . . , xn

là một dãy cơ bản tùy ý trong Rn . Khi đó theo định nghĩa 1.1.7 ta có:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, p ≥ n0 , x(m) − x(p) < ε
hay
n
(m)

xi

(p)

− xi

2

< ε.

i=1

Suy ra
(m)

xi

(p)

− xi

< ε, ∀m, p ≥ n0 , i = 1, 2, . . . , n.

Các bất đẳng thức (1.3)chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, . . . , n dãy
là dãy số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn

(m)
lim xi
m→∞

(1.3)
(m)

xi

∞
m=1

= xi , i = 1, 2, . . . , n

Đặt x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ta được dãy x(m) hội tụ theo tọa độ tới x nên
x(m) hội tụ tới x khi m → ∞ trong Rn . Vậy Rn là không gian Banach.


7

1.1.2.2.Không gian C[a;b]

Dễ kiểm tra C[a;b] = x = x (s) : x (s) là hàm số xác định liên tục trên [a; b]

là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán thông thường xác
định bởi:
(x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b]
(αx) (s) = αx (s) , s ∈ [a; b]
trong đó x = x (s) ∈ C[a;b] , y = y (s) ∈ C[a;b] , α ∈ R.
Với mỗi x = x (s) ∈ C[a;b] đặt
x = max |x (s)| .
a≤s≤b

(1.4)

Khi đó C[a;b] là một không gian định chuẩn thực với chuẩn (1.4).
Thật vậy, ta chứng minh công thức (1.4) thỏa mãn các điều kiện của
chuẩn:
*) ∀x ∈ C[a;b] thì max |x (s)| xác định và max |x (s)| ≥ 0 nên x ≥ 0.
a≤s≤b

a≤s≤b

x = 0 ⇔ max |x (s)| = 0 ⇔ x (s) = 0, ∀s ∈ [a; b] ⇔ x = θ với θ là
a≤s≤b

phần tử không của C[a;b] được xác định bởi
θ : [a; b] → R
s → θ (s) = 0.
*) Với mọi x ∈ C[a;b] , ∀α ∈ R ta có
αx = max |(αx) (s)| = max |αx (s)| = |α| max |x (s)| = |α| x .
a≤s≤b

a≤s≤b

a≤s≤b

*) Với mọi x, y ∈ C[a;b] ta có
x + y = max |(x + y) (s)|
a≤s≤b

= max |x (s) + y (s)|
a≤s≤b

≤ max (|x (s)| + |y (s)|)
a≤s≤b


8

≤ max |x (s)| + max |y (s)|
a≤s≤b

a≤s≤b

= x + y .
Hơn nữa, sự hội tụ trong không gian C[a;b] với chuẩn (1.4) tương đương
với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b].
Thật vậy, giả sử dãy hàm {xn }∞
n=1 ⊂ C[a;b] hội tụ tới hàm x ∈ C[a;b] trong
không gian C[a;b] . Theo định nghĩa 1.1.3 ta có
lim xn − x = 0

n→∞

hay
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , xn − x < ε
suy ra
max |xn (s) − x (s)| < ε.

a≤s≤b

Do đó
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |xn (s) − x (s)| < ε, ∀s ∈ [a; b]
hay xn (s) hội tụ đều tới x (s) trên C[a;b] .
Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn (s)} ⊂ C[a;b] hội tụ đều tới hàm số x (s)
trên C[a;b] . Khi đó x (s) liên tục trên [a; b] nghĩa là x (s) ∈ C[a;b] . Theo
định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm thì ta có
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |xn (s) − x (s)| < ε, ∀s ∈ [a; b] .
Suy ra
max |xn (s) − x (s)| < ε

a≤s≤b

hay
xn − x < ε với xn = xn (s) , x = x (s) .
Do đó dãy {xn } hội tụ tới x trong không gian C[a;b] .
Mặt khác ta có C[a;b] là không gian Banach với chuẩn (1.4).


9

Thật vậy, giả sử {xn } là dãy cơ bản tùy ý trong không gian C[a;b] . Khi
đó, theo định nghĩa 1.1.7, ta có

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n, m ≥ n0 : xn − xm <

ε
2

hay
ε
max |xn (s) − xm (s)| < .
a≤s≤b
2
Suy ra
ε
|xn (s) − xm (s)| < , ∀m, n ≥ n0 , ∀s ∈ [a; b] .
(1.5)
2
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ rằng với mỗi s ∈ [a; b] cố định, dãy
{xn (s)}∞
n=1 là dãy số thực cơ bản nên hội tụ, tức là tồn tại giới hạn
lim xn (s) = x (s) , s ∈ [a; b] .

n→∞

Vì
ε
|xn (s) − xm (s)| < , ∀m, n ≥ n0 , ∀s ∈ [a; b]
2
nên khi cho m → ∞ ta có
|xn (s) − x (s)| ≤

ε

< ε, ∀n ≥ n0 , ∀s ∈ [a; b] .
2

Do đó dãy hàm {xn (s)} hội tụ đều tới hàm số x (s) ∈ C[a;b] trong không
gian C[a;b] hay dãy hàm {xn } hội tụ tới x trong không gian C[a;b] .
m
1.1.2.3. Không gian D[a;b]

m
Dễ kiểm tra D[a;b]
gồm các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục

đến cấp m trên [a; b] , (m ∈ N∗ ) là không gian tuyến tính thực với hai
phép toán thông thường như sau:
(x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b] ,
(αx) (s) = αx (s) , s ∈ [a; b] ,


10
m
m
trong đó x = x (s) ∈ D[a;b]
, y = y (s) ∈ D[a;b]
, α ∈ R.
m
Với mỗi x ∈ D[a;b]
, ta đặt
m

x(k) (s)

max

x =
k=0

a≤s≤b

.

(1.6)

m
Khi đó D[a;b]
là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi (1.6).

Thật vậy, ta chứng minh công thức (1.6) thỏa mãn các điều kiện của
một chuẩn:
m
*) Với mọi x ∈ D[a;b]
thì x (s) xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp

m trên đoạn [a; b] nên tồn tại max
m

tồn tại
x

max

k=0 a≤s≤b

= 0 ⇔

a≤s≤b
m

x(k) (s)

và

max

x(k) (s)

m

k=0 a≤s≤b

x(k) (s)

, k = 0, 1, . . . , m. Do đó

x(k) (s)

max

k=0 a≤s≤b

≥ 0 hay x ≥ 0;

= 0 ⇔ xk (s) = 0, ∀s ∈ [a; b]

k = 0, 1, . . . , m ⇔ x = θ với θ là phần tử không trong không gian
m
D[a;b]
được xác định bởi

θ : [a; b] → R
s → θ (s) = 0
m
*) Với mọi x ∈ D[a;b]
, với mọi α ∈ R ta có
m

αx =
k=0
m

=
k=0

max

(αx)(k) (s)

max

αx(k) (s)

a≤s≤b

a≤s≤b
m

= |α|

max

k=0

a≤s≤b

= |α| x .

x(k) (s)


11
m
*) Với mọi x, y ∈ D[a;b]
ta có
m

x+y =
k=0
m

=
k=0

m

≤
k=0
m

≤

max

(x + y)(k) (s)

max

x(k) (s) + y (k) (s)

max

x(k) (s) + y (k) (s)

a≤s≤b

a≤s≤b

a≤s≤b

m

max

k=0

a≤s≤b

x

(k)

(s)

max

+
k=0

a≤s≤b

y (k) (s)

= x + y .
m
Hơn nữa sự hội tụ trong D[a;b]
theo chuẩn (1.6) của dãy {xn } tương

đương với sự hội tụ đều của dãy hàm {xn (s)} cùng với dãy các đạo hàm
tương ứng đến cấp m hội tụ đều trên [a; b] .
m
Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ D[a;b]
, xn → x khi n → ∞. Theo định nghĩa

1.1.3 ta có
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , xn − x < ε
hay

m

max

k=0

⇒ max

a≤s≤b

a≤s≤b

(xn − x)(k) (s)

(xn − x)(k) (s)

<ε

< ε, k = 0, 1, . . . , m

⇒ (xn − x)(k) (s) < ε, k = 0, 1, . . . , m, ∀s ∈ [a; b] .
Suy ra dãy hàm {xn (s)} hội tụ đều tới hàm x (s) cùng với các dãy đạo
(k)

hàm xn (s) hội tụ đều tới đạo hàm x(k) (s) trên [a; b] , (k = 1, 2, . . . , n).
m

Ngược lại giả sử dãy hàm {xn (s)} ⊂ D[a;b]
hội tụ đều tới hàm x (s) cùng

với các dãy đạo hàm
[a; b] , (k = 1, 2, . . . , n).

(k)

xn (s)

hội tụ đều tới đạo hàm x(k) (s) trên


12

Ta có {xn (s)} hội tụ đều tới x (s) trên [a; b], nên
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 ta có |xn (s) − x (s)| <

ε
.
m+1

Suy ra
max |xn (s) − x (s)| <

a≤s≤b

Ta có, với mỗi k = 1, 2, . . . m thì

(k)

xn (s)

ε
.
m+1
hội tụ đều tới x(k) (s) trên

[a; b], nên
(k)
(s) <
∀ε > 0, ∃nk ∈ N∗ : ∀n ≥ nk ta có x(k)
n (s) − x

ε
.
m+1

Suy ra
(k)
max x(k)
(s) <
n (s) − x

a≤s≤b

ε
, k = 1, 2, . . . , m.
m+1

Đặt N = max {nk }, thì
k=0,m

(k)
∀n ≥ N, k = 0, 1, . . . , m, max x(k)
(s) <
n (s) − x
a≤s≤b

ε
.
m+1

Do đó,
m

m

max

k=0

a≤s≤b

x(k)
n (s)

−x

(k)

(s) <
k=0

ε
= ε, ∀n ≥ N.
m+1

m
Suy ra xn − x < ε hay {xn } tội tụ tới x trong không gian D[a;b]
.
m
Mặt khác, ta cũng chứng minh được D[a;b]
là không gian Banach thực

với chuẩn (1.6).
m
Thật vậy, giả sử {xn } là dãy hàm cơ bản bất kì trong D[a;b]
. Khi đó theo

định nghĩa 1.1.7 ta có
ε
2
m
ε
(k)
⇔
max x(k)
n (s) − xp (s) <
a≤s≤b

2
k=0
ε
(k)
⇒ max x(k)
n (s) − xp (s) < , k = 0, 1, . . . , m
a≤s≤b
2

ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n, p ≥ n0 ta có xn − xp <


13

ε
(k)
⇒ x(k)
n (s) − xp (s) < , ∀s ∈ [a; b] , k = 0, 1, . . . , m.
2
Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ rằng các dãy hàm

(k)

xn (s)

(1.7)
hội tụ

đều tương ứng tới các hàm yk (s) , ∀s ∈ [a; b] , k = 0, 1, . . . , m. Kí hiệu
y0 (s) = y (s). Ta có dãy hàm xn (s) hội tụ đều tới hàm y (s) trên [a; b].

(k)

Tiếp theo ta chứng minh dãy hàm xn (s) hội tụ đều tới hàm y (k) (s)
trên [a; b] với k = 1, 2, . . . , m.
Thật vậy, với k = 1, theo nhận xét trên, dãy xn (s) hội tụ đều tới hàm
y1 (s) trên [a; b].
Theo tính chất của tích phân Riemann ta cũng có, ∀s ∈ [a; b]
s

lim

s

xn (z) dz =

n→∞
a

lim xn (z) dz

n→∞
a
s

⇒ lim [xn (s) − xn (a)] =

y1 (z) dz

n→∞

a

hay
s

y1 (z) dz, ∀s ∈ [a; b]

y (z) − y (a) =
a

⇒ y (s) = y1 (s) = lim xn (s) , ∀s ∈ [a; b] .
n→∞

Vậy y1 (s) = y (s) , ∀s ∈ [a; b].
Giả sử yk (s) = y (k) (s) , ∀s ∈ [a; b] , k = 1, 2, . . . , m − 1. Ta cần chứng
minh yk+1 (s) = y (k+1) (s) , ∀s ∈ [a; b].
Theo tính chất của tích phân Riemann ta có, ∀s ∈ [a; b]
s

s

x(k+1)
(z) dz =
n

lim

n→∞
a

lim x(k+1)
(z) dz
n

n→∞
a
s

(k)
⇒ lim x(k)
n (s) − xn (a) =

yk+1 (z) dz

n→∞

a


14

hay
s

y (k) (z) − y (k) (a) =

yk+1 (z) dz
a

⇒ y (k+1) (s) = yk+1 (s) = lim x(k)

n (s) , ∀s ∈ [a; b] .
n→∞

Vậy yk+1 (s) = y (k+1) (s) , ∀s ∈ [a; b] . Do đó dãy hàm {xn (s)} hội tụ đều
(k)

tới y (s) và các dãy đạo hàm xn (s) hội tụ đều tương ứng tới các hàm
y (k) (s) trên [a; b].
m
m
Suy ra {xn } hội tụ tới x trong D[a;b]
. Vì vậy D[a;b]
là không gian Banach

với chuẩn (1.6).

1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.2.1. Nón trong không gian định chuẩn thực
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian định chuẩn thực E, tập K ⊂ E, K
khác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các điều
kiện sau:
a, K là một tập đóng trong không gian E;
b, ∀x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;
c, ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K;
d, ∀x ∈ K, x = θ ta có −x ∈
/ K.
Nhận xét 1.2.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực
E thì θ ∈ K và K là tập lồi.
Thật vậy
*) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K, do đó với t = 0 ta có

θ = tx = 0.x ∈ K.


15

*) ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0; 1] ta có tx ∈ K, (1 − t) y ∈ K suy ra
tx + (1 − t) y ∈ K.
Vì vậy Klà tập lồi.
1.2.2. Quan hệ thứ tự trong không gian E
Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong
không gian E. Ta xây dựng một quan hệ

≤ trong E như sau:

∀x, y ∈ E, x ≤ y ⇔ y − x ∈ K.
Khi đó quan hệ

≤ là một quan hệ thứ tự trong E và ta gọi là quan

hệ thứ tự theo nón K. Thật vậy,
*) ∀x ∈ E, x − x = θ ∈ K nên x ≤ x.
*) ∀x, y ∈ E, x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K.
Vì y − x = − (x − y) nên nếu x − y = θ thì mâu thuẫn với điều kiện d)
của định nghĩa 1.2.1. Do đó x − y = θ ⇔ x = y.
*) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K.
Mà z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z.
Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự

≤ gọi là

không gian nửa sắp thứ tự theo nón K.
Nếu hai phần tử bất kỳ x, y ∈ E mà ta có x ≤ y hoặc y ≤ x thì ta nói
x, y so sánh được với nhau theo quan hệ

≤ .

Định nghĩa 1.2.2. Trong không gian định chuẩn thực E, một nón K
được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại một số dương N sao cho
∀x, y ∈ K, x ≤ y ta có x ≤ N y .
Định nghĩa 1.2.3. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn
thực E. Với x, y ∈ K ta nói x thông ước với y nếu tồn tại số α, β > 0
sao cho αy ≤ x ≤ βy.


16

Nhận xét 1.2.2. Cho x, y ∈ K, nếu x thông ước với y thì y thông ước
với x.
Thật vậy, vì x thông ước với y nên tồn tại số α, β > 0 sao cho
1
1
αy ≤ x ≤ βy do đó x ≤ y ≤ x hay y thông ước với x.
β
α
Nhận xét 1.2.3. Nếu hai phần tử thuộc K\ {θ} cùng thông ước với
phần tử thứ ba thuộc K\ {θ} thì thông ước với nhau.
Thật vậy, giả sử hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} cùng thông ước với phần
tử z ∈ K\ {θ}. Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho
αz ≤ x ≤ βz,
αz ≤ y ≤ βz.

Ta có
α
α
βz ≥ y,
β
β
β
β
x ≤ βz = αz ≤ y.
α
α
α
β
Vì vậy tồn tại các số dương α1 = , β1 = sao cho α1 y ≤ x ≤ β1 y hay
β
α
x thông ước với y.
x ≥ αz =

Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Kí hiệu
K ∗ = K\ {θ}. Mỗi x ∈ K ∗ gọi là một phần tử dương, ta cũng viết
x < y nếu y − x ∈ K ∗ . Giả sử u0 ∈ K ∗ , tập hợp tất cả các phần tử
x ∈ K ∗ thông ước với u0 được kí hiệu là K (u0 ).
Định lí 1.2.4. Cho E là không gian định chuẩn thực, A ⊂ E là một
tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không. Đặt
K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A}. Khi đó K (A) là một nón trong
không gian E.