Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến tính (K,µo) - Lõm chính quy

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư - Tiến
sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác
giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và
vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các
quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Hàm
Long - Bắc Ninh, Tổ Toán - Tin và các đồng nghiệp đã tạo mọi điều
kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011
Tác giả

Dương Thị Quế


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS -Tiến sĩ - GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Dương Thị Quế


Mục lục

Mở đầu

v

1 Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1

1.2

Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Một số không gian định chuẩn thực . . . . . . . .

4

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . .

13

1.2.1

Nón trong không gian định chuẩn thực . . . . . .

13

1.2.2

Quan hệ thứ tự trong không gian E . . . . . . . .

14

1.2.3

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . .

21

1.2.4
1.2.5
2

Không gian Eu0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự .

25

Toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy
2.1

2.2

Toán tử (K, u0 ) - lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
39

2.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2

Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0 ) - lõm 40

2.1.3

Ví dụ về toán tử (K, u0 ) - lõm . . . . . . . . . .

46

Toán tử (K u0 ) - lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0 ) lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

39

52
53


iv

2.2.3

Ví dụ về toán tử (K, u0 )− lõm chính quy . . . . .

58

3 Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K, u0 )− lõm chính quy 60
3.1

Một số định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử
(K, u0 )− lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
61

Kết luận

71

Tài liệu tham khảo

72


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét
phương trình:

Ax − λx = 0

(1)

trong đó A là một toán tử tác động trong một không gian hàm nào đó,
x là phần tử phải tìm. Phần tử x = θ thoả mãn (1) gọi là vectơ riêng
của toán tử A, λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x.
Người đặt nền móng cho việc nghiên cứu điểm bất động của toán
tử A là nhà toán học người Balan Stefan Banach với nguyên lí nổi tiếng:
nguyên lí ánh xạ co (công bố năm 1922). Tiếp đến có nhiều nhà toán
học có các công trình nghiên cứu về điểm bất động của toán tử trong
các không gian hàm. Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã
nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956). Sau đó giáo sư
tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi
tuyến (K, u0 ) - lõm (1984).
Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0 - đo được. Tính chất
u0 – đo được trong định nghĩa toán tử lõm khiến cho việc ứng dụng các
kết quả gặp khó khăn. Tuy nhiên tồn tại những lớp toán tử phi tuyến
không yêu cầu có tính chất u0 – đo được, nhưng cũng có những tính chất
như toán tử lõm. Một trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử
lõm chính quy.
v


vi

Năm 1987, trong bài báo đăng trên tạp chí Toán học, tập XV,
số 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã xây dựng khái niệm toán tử
lõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về điểm bất động
và vectơ riêng đối với toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy. Với mong

muốn mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm chính quy cho
lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) – lõm chính quy, tôi đã chọn đề tài:
“Vectơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến
(K, u0 ) - lõm chính quy”.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn “Vectơ riêng dương của lớp toán tử phi tuyến
(K, u0 ) - lõm chính quy” nhằm đưa ra được một số tính chất về toán
tử (K, u0 ) - lõm chính quy và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán
tử đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của
luận văn là:
+ Nghiên cứu một số tính chất về toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy.
+ Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm
chính quy .
+ Nghiên cứu sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u0 ) lõm chính quy .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng nghiên cứu: Toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy.
+) Phạm vi nghiên cứu:
- Tính chất điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy.


vii

- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0 ) - lõm chính quy.
- Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử (K, u0 ) - lõm chính
quy.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kết

quả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể.
6. Dự kiến đóng góp mới
- Xây dựng khái niệm toán tử (K, u0 )– lõm chính quy và ví dụ.
- Trình bày một cách hệ thống các tính chất của toán tử
(K, u0 ) – lõm chính quy.
- Một số điều kiện tồn tại vectơ riêng dương của toán tử
(K, u0 ) – lõm chính quy.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Không gian định chuẩn thực
Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên
E là một ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu . (đọc là
chuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau:
i,∀x ∈ E, x ≥ 0, x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không
trong không gian E);
ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, αx = |α| x ;
iii,∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn
trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, . ) hay E.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
{xn }∞
n=1 ⊂ E gọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim xn − x
n→∞

= 0, hay

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 , xn − x < ε.
Dựa vào các định nghĩa trên ta dễ dàng chứng minh được một số tính
chất sau:
1


2

Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{xn }∞
n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn { xn }hội tụ tới x , nói khác đi
x là một hàm liên tục của biến x.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
x = x − y + y ≤ x − y + y , ∀x, y ∈ E,
hay
x − y ≤ x−y .
Đổi vai trò của x, y ta lại có
y − x ≤ x−y .
Do đó ta có
| x − y | ≤ x − y , ∀x, y ∈ E
Suy ra
| xn − x | ≤ xn − x (n = 1, 2, . . .)
. Vì vậy, nếu {xn } hội tụ tới x thì lim xn − x
n→∞

| xn − x | → 0 khi n → ∞ hay xn

= 0, dẫn đến

→ x khi n → ∞. Mệnh

đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{xn }∞
n=1 hội tụ thì dãy chuẩn { xn } bị chặn.
Chứng minh. Giả sử xn → x, n → ∞ trong không gian E, theo mệnh đề
1.1.1 ta có xn → x khi n → ∞ , do đó tồn tại n0 sao cho ∀n ≥ n0 ,
xn ≤ x + 1
Đặt K là số lớn nhất trong các số x1 , x2 , ..., xn , x + 1. Khi đó
∀n, xn ≤ K hay { xn } bị chặn.


3

Mệnh đề 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
∞
{xn }∞
n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {yn }n=1 hội tụ tới y và trong R dãy số

{αn } hội tụ tới α thì:
xn + yn → x + y, n → ∞,
αn .xn → αx, n → ∞.
Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R).
Chứng minh. Do xn → x, n → ∞; yn → y, n → ∞ trong không gian E,
nên

ta

có

xn − x → 0, n → ∞ và yn − y → 0, n → ∞. Ta lại có
(xn + yn ) − (x + y) ≤ xn − x + yn − y
do đó (xn + yn ) − (x + y) → 0, n → ∞ hay xn + yn → x + y, n → ∞,
trong không gian E; đồng thời
αn .xn − α.x = αn xn − αn x + αn x − αx
≤ αn (xn − x) + (αn − α) x
≤ |αn | . xn − x + |αn − α| . x .
Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn |} bị chặn;
còn xn → x, n → ∞ trong không gian E nên xn − x → 0, n → ∞.
Do đó |αn | . xn − x + |αn − α| . x → 0 khi n → ∞
hay αn .xn − α.x → 0, n → ∞ hay αn xn → αx, n → ∞ trong không
gian E.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
{xn }∞
n=1 ⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu

lim

n,m→∞

xn − xm

= 0

hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có xn − xm < ε.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ.

4

1.1.2

Một số không gian định chuẩn thực

1.1.2.1.Không gian Rn (n ∈ N∗ )

Dễ kiểm tra Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n} (n ∈ N∗ )
với hai phép toán thông thường
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) ,
αx = (αx1 , αx2 , ..., αxn ) ,
trong đó α ∈ R, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn , là một
không gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0, ..., 0).
Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn của phần tử
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn xác định bởi
n

x2i .

x =

(1.1)

i=1

Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện của chuẩn:
n

n

*) ∀x ∈ R thì
i=1
n

x =0⇔

x2i

n

hoàn toàn xác định và
i=1

x2i ≥ 0 nên x ≥ 0.

x2i = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n ⇔ x = θ. (Kí hiệu phần

i=1

tử không của không gian
Rn )
n

n

*) ∀x ∈ R , ∀α ∈ R, αx =

2

(αxi ) =
i=1

n

α2
i=1

(xi )2 = |α| x .


5

*) ∀x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn
n

x+y

2

n
2

=

x2i + 2xi yi + yi2

(xi + yi ) =

i=1

i=1
n

n

x2i

=

n

+2

i=1

i=1

≤

n

n

x2i
i=1

i=1

n

yi2

yi2 +
i=1

i=1

2
yi2  = ( x + y )2 .

x2i +

=

n

+2

i=1



i=1
n

n

x2i

yi2

xi yi +

i=1

Do đó x + y ≤ x + y
Vậy công thức(1.1)xác định một chuẩn trên Rn . Không gian định chuẩn
tương ứng kí hiệu là Rn và gọi là không gian Eukleides.
Sự hội tụ trong không gian Rn tương đương với sự hội tụ theo tọa
độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x(k)

∞
k=1

(k)

(k)

(k)

với x(k) = x1 , x2 , . . . , xn

∈ Rn

hội tụ tới điểm x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn khi k → ∞ trong không gian
Rn
Theo định nghĩa 1.1.3 ta có

n

∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗ : ∀k ≥ k0 , x(k) − x =

i=1

(k)

xi − xi

2

< ε.

Suy ra
(k)

xi − xi < ε, ∀k ≥ k0 , ∀i = 1, 2, . . . , n.

(1.2)

Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, . . . , n dãy số thực
(k)

xi

hội tụ tới xi khi k → ∞. Sự hội tụ đó gọi là hội tụ theo tọa độ.
Ngược lại, giả sử dãy điểm x(k) =

(k)

(k)

(k)

x1 , x2 , . . . , xn

∈ Rn


6

k = 1, 2, ... hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
Theo định nghĩa ta có ∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, . . . , n, ∃ki ∈ N∗ : ∀k ≥ ki ,
ε
(k)
xi − xi < √ .
n
Đặt k0 = max {k1 , k2 , . . . , kn } ta có
ε
(k)
∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗ : ∀k ≥ k0 , xi − xi < √ , i = 1, 2, . . . , n,
n
2
ε2
(k)
⇒ xi − xi < , i = 1, 2, . . . , n,
n
n
(k)

xi − xi

⇒

2

< ε2 .

i=1

Suy ra
n
(k)

xi − xi

2

< ε, ∀k ≥ k0

i=1

x(k) − x < ε.

hay

Do đó dãy điểm x(k) hội tụ tới x trong Rn .
Ta cũng có không gian Rn là không gian Banach với chuẩn (1.1)
∞

m=1

Thật vậy, giả sử dãy x(m)

(m)

(m)

(m)

⊂ Rn với x(m) = x1 , x2 , . . . , xn

là một dãy cơ bản tùy ý trong Rn . Khi đó theo định nghĩa 1.1.7 ta có:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, p ≥ n0 , x(m) − x(p) < ε
hay
n
(m)

xi

(p)

− xi

2

<ε

i=1

. Suy ra
(m)

xi

(p)

− xi

< ε, ∀m, p ≥ n0 , i = 1, 2, . . . , n.

(1.3)


7

Các bất đẳng thức (1.3)chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, . . . , n dãy
là dãy số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn

(m)
lim xi
m→∞

(m)

xi

∞
m=1

= xi , i = 1, 2, . . . , n

Đặt x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ta được dãy x(m) hội tụ theo tọa độ tới x nên
x(m) hội tụ tới x khi m → ∞ trong Rn . Vậy Rn là không gian Banach.
1.1.2.2.Không gian C[a;b]

Dễ kiểm tra C[a;b] = x = x (s) : x (s) là hàm số xác định liên tục trên [a; b]
với hai phép toán thông thường xác định bởi:
(x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b] ,
(αx) (s) = α.x (s) , s ∈ [a; b] ,
trong đó x = x (s) ∈ C[a;b] , y = y (s) ∈ C[a;b] , α ∈ R là một không gian
tuyến tính thực.
Với mỗi x = x (s) ∈ C[a;b] đặt
x = max |x (s)| .

(1.4)

a≤s≤b

Khi đó C[a;b] là một không gian định chuẩn thực với chuẩn (1.4).
Thật vậy, ta chứng minh công thức (1.4) thỏa mãn các điều kiện của
chuẩn:
*) Với mọi x ∈ C[a;b] thì max |x (s)| là xác định và max |x (s)| ≥ 0 nên
a≤s≤b

a≤s≤b

x ≥ 0.
x = 0 ⇔ max |x (s)| = 0 ⇔ x (s) = 0, ∀s ∈ [a; b] ⇔ x = θ với θ là
a≤s≤b

phần tử không của C[a;b] được xác định bởi θ : [a; b] → R
s → θ (s) = 0.
*) Với mọi x ∈ C[a;b] , ∀α ∈ R ta có
αx = max |(αx) (s)| = max |αx (s)| = |α| max |x (s)| = |α| x .
a≤s≤b

a≤s≤b

a≤s≤b


8

*) Với mọi x, y ∈ C[a;b] ta có
x + y = max |(x + y) (s)|
a≤s≤b

= max |x (s) + y (s)|
a≤s≤b

≤ max (|x (s)| + |y (s)|)
a≤s≤b

≤ max |x (s)| + max |y (s)|
a≤s≤b

a≤s≤b

= x + y .

Hơn nữa, sự hội tụ trong không gian C[a;b] với chuẩn (1.4) tương
đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b].
Thật vậy, giả sử dãy hàm {xn }∞
n=1 ⊂ C[a;b] hội tụ tới hàm x ∈ C[a;b] theo
chuẩn (1. 4). Theo định nghĩa 1.1.3 ta có lim xn − x = 0
n→∞

hay
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , xn − x < ε,
suy ra
max |xn (s) − x (s)| ≤ ε.

a≤s≤b

Do đó ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |xn (s) − x (s)| < ε, ∀s ∈ [a; b]
hay xn (s) hội tụ đều tới x (s) trên C[a;b] .
Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn (s)} ⊂ C[a;b] hội tụ đều tới hàm số
x (s) trên [a; b]. Khi đó x (s) liên tục trên [a; b] nghĩa là x (s) ∈ C[a;b] .
Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm thì ta có
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 , |xn (s) − x (s)| < ε, ∀s ∈ [a; b].
Suy ra max |xn (s) − x (s)| < ε hay xn − x < ε với xn = xn (s) và
a≤s≤b

x = x (s). Do đó dãy {xn } hội tụ tới x trong không gian C[a;b] .
Mặt khác, ta còn chứng minh được C[a;b] là không gian Banach với
chuẩn (1.4).


9

Thật vậy, giả sử {xn } là dãy cơ bản tùy ý trong không gian C[a;b] . Khi
đó, theo định nghĩa 1.1.7, ta có ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n, m ≥ n0 thì
ε
ε
xn − xm < hay max |xn (s) − xm (s)| < .
a≤s≤b
2
2
Suy ra
ε
|xn (s) − xm (s)| < , ∀m, n ≥ n0 , ∀s ∈ [a; b]
(1.5)
2
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ rằng với mỗi s ∈ [a; b] cố định, dãy
{xn (s)}∞
n=1 là dãy số thực cơ bản nên hội tụ, tức là tồn tại giới hạn
ε
lim xn (s) = x (s) , s ∈ [a; b]. Vì |xn (s) − xm (s)| < , ∀m, n ≥ n0 ,
n→∞
2
ε
∀s ∈ [a; b] nên khi cho m → ∞ ta có |xn (s) − x (s)| ≤ < ε, ∀n ≥ n0 ,
2
∀s ∈ [a; b]. Do đó dãy hàm {xn (s)} hội tụ đều tới hàm số x (s) trên
đoạn [a; b] nên dãy hàm {xn } hội tụ tới x trong không gian C[a;b] .Vì vậy,
không gian C[a;b] là không gian Banach.
1.1.2.3.Không gian L[a;b]

Xét L[a;b] là tập các hàm số xác định, đo được Lơbe và khả tích Lơbe
trên [a; b]. Khi đó L[a;b] cùng với 2 phép toán thông thường:

(x + y) (s) = x (s) + y (s) , s ∈ [a; b] ,
(αx) (s) = α.x (s) , s ∈ [a; b] .
trong đó x = x (s) ∈ L[a;b] , y = y (s) ∈ L[a;b] , α ∈ R là một không gian
tuyến tính thực.
Nếu ta đồng nhất 2 hàm x, y ∈ L[a;b] khi x = y hầu khắp nơi thì ta
thu được 1 không gian vectơ mà ta vẫn kí hiệu là L[a;b] .
Với mỗi x = x (s) ∈ L[a;b] đặt
b

|x (s)| ds.

x =
a

Khi đó L[a;b] là một không gian định chuẩn thực với chuẩn (1.6)
Thật vậy,

(1.6)


10
b

với mọi x ∈ L[a;b] thì x =

|x (s)| ds ≥ 0
a
b

x =0⇔

|x (s)| ds = 0, ∀s ∈ [a; b]
a

⇔ x = θ h.k.n trên [a; b] .
với θ là phần tử không của L[a;b] được xác định bởi
θ : L[a;b] → R
s → θ (s) = 0 h.k.n trên [a; b] .
Với mọi x ∈ L[a;b] , ∀α ∈ R ta có
b

b

|(αx) (s)| ds =

αx =
a

b

|αx (s)| ds = |α| |x (s)| ds = |α| x .
a

a

Với mọi x, y ∈ L[a;b] ta có
b

|(x + y) (s)| ds

x+y =
a
b

|x (s) + y (s)| ds

=
a
b

≤

(|x (s)| + |y (s)|) ds
a
b

b

(|x (s)|) ds +

=
a

(|y (s)|) ds
a

= x + y .
L[a;b] là không gian Banach.
Lấy một dãy cơ bản tùy ý xn (s) trong không gian L[a;b] . Theo định
nghĩa,

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0 : xn − xm < ε

(1.7)


11

Do đó
1
1
Với ε = , ∃n1 ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n1 : xn − xm ≤
2
2
1
⇒ xn − xn1 ≤ (∀n ≥ n1 ) .
2
1
1
Với ε = 2 , ∃n2 ∈ N∗ , n2 > n1 , ∀n ≥ n2 : xn − xn2 ≤ 2
2
2
1
⇒ xn2 − xn1 ≤ .
2
...
Quá trình này tiếp tục mãi mãi ta nhận được dãy con {xnk } của dãy
{xn } sao cho
xnk+1 − xnk ≤

1

, (k = 1, 2, ...) .
2k

p

Đặt yp (s) = |xn1 (s)| +

|xnk+1 (s) − xnk (s) |, s = 1, 2, ... thì
k=1

yp (s) ∈ L[a;b] và yp (s) ≥ 0 (s ∈ [a; b] , p = 1, 2, ...).Ta nhận được dãy hàm
{yp (s)} ∈ L[a;b] không giảm, do đó tồn tại lim yp (s) với mỗi s ∈ [a; b] .
p→∞

Áp dụng bổ đề Fatou ta được
b

b

b

lim yp (s) ds ≤ lim

lim yp (s) ds =

p→∞
a

p→∞

yp (s) ds = lim yp ,

p→∞

a

p→∞
a

nhưng
p

yp (s) ≤ xn1 +

p

xnk+1 − xnk < xn1 +
k=1

k=1

1
< xn1 + 1,
2k

nên
lim yp < +∞.
p→∞

Do đó

b

0≤

lim yp (s) ds < +∞.

p→∞
a

(1.8)


12

Suy ra lim yp (s) hữu hạn h. k. n trên [a; b], nghĩa là lim yp (s) tồn tại
p→∞

p→∞

và hữu hạn h. k. n trên [a; b]. Vì vậy, chuỗi
p

xnk+1 (s) − xnk (s)

xn1 (s) +
k=1

hội tụ tuyệt đối h. k. n trên [a; b]. Nên dãy hàm
p

xnk+1 (s) − xnk (s) , p = 1, 2, ...

xnp+1 (s) = xn1 (s) +
k=1

hội tụ h. k. n trên [a; b] tới hàm số y (s) nào đấy khi p → ∞. Nhờ hệ
thức (1.8) và hệ thức
xnp+1 (s) ≤ lim yp (s) ∈ L [a; b] , p = 1, 2, ...
p→∞

ta được
b

b

b

|y (s)| ds = lim

xnp+1 (s) ds ≤

p→∞

a

a

lim |yp (s)| ds < +∞.

p→∞

a

Suy ra y (s) ∈ L[a;b] . Lại áp dụng bổ đề Fatou, ta được:
b

y − xnk =

lim xnp+1 (s) − xnk (s) ds

p→∞
a
b

≤ lim

xnp+1 (s) − xnk (s) ds

p→∞
a

p

xnj+1 (s) − xnj (s)

= lim

p→∞

j=k


≤ lim 
p→∞

xnj+1 (s) − xnj (s) 
j=k



p

≤ lim 
p→∞



p

j=k


1
1
=
, (k = 1, 2, ...) .
2j
2k−1


13

Do đó lim y − xnk = 0, nghĩa là ∃k0 ∈ N∗ , ∀k ≥ k0
k→∞

y − xnk < ε

(1.9)

Đặt K = max {n0 , nk0 }, thì ∀n ≥ K, kết hợp các hệ thức (1.7) và (1.9)
ta được:
∀n, nk ≥ K
y − xn ≤ y − xnk + xnk − xn < 2ε.
Vậy dãy {xn (s)} hội tụ tới y (s) trong không gian L[a;b] . Do đó không
gian L[a;b] là không gian Banach.

1.2
1.2.1

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
Nón trong không gian định chuẩn thực

Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian định chuẩn thực E, tập K ⊂ E, K
khác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các điều
kiện sau:
a, K là một tập đóng trong không gian E;
b, ∀x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;
c, ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K;
d, ∀x ∈ K, x = θ ta có −x ∈
/ K.
Nhận xét 1.2.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực

E thì θ ∈ K và K là tập lồi.
Thật vậy
*) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K, do đó với t = 0 ta có
tx = 0.x = θ ∈ K.
*) ∀x, y

∈

K, ∀t

nên tx + (1 − t) y ∈ K.

∈

[0; 1] ta có tx

∈

K, (1 − t) y

∈

K


14

1.2.2

Quan hệ thứ tự trong không gian E

Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong
không gian E. ta xây dựng một quan hệ

≤ trong E như sau:

∀x, y ∈ E, x ≤ y nếu y − x ∈ K
Khi đó quan hệ

≤ là một quan hệ thứ tự trong E và ta gọi là quan

hệ thứ tự theo nón K. Thật vậy,
*) ∀x ∈ E, x − x = θ ∈ K nên x ≤ x
*) ∀x, y ∈ E, x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K.
Do y − x = − (x − y) nên nếu x − y = θ thì mâu thuẫn với điều kiện d)
của định nghĩa 1.2.1. Do đó x − y = θ ⇔ x = y
*) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K.
Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z. Không gian định chuẩn
thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự

≤ gọi là không gian nửa sắp thứ

tự theo nón K
Định nghĩa 1.2.2. Trong không gian định chuẩn thực E, một nón K
được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại một số dương N sao cho
∀x, y ∈ K, x ≤ y ta có x ≤ N y .
Định nghĩa 1.2.3. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn
thực E. Với x, y ∈ K ta nói x thông ước với y nếu tồn tại số α, β > 0
sao cho αy ≤ x ≤ βy.
Nhận xét 1.2.2. Cho x, y ∈ K, nếu x thông ước với y thì y thông ước

với x.
Thật vậy, vì x thông ước với y nên tồn tại số α, β > 0 sao cho
1
1
αy ≤ x ≤ βy do đó x ≤ y ≤ x hay y thông ước với x.
β
α
Nhận xét 1.2.3. Nếu hai phần tử thuộc K\ {θ} cùng thông ước với
phần tử thứ ba thuộc K\ {θ} thì thông ước với nhau.


15

Thật vậy, giả sử hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} cùng thông ước với
phần tử z ∈ K\ {θ}. Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho
αz ≤ x ≤ βz
αz ≤ y ≤ βz
Ta có
α
α
βz ≥ y,
β
β
β
β
x ≤ βz = αz ≤ y.
α
α
β
α

Vì vậy tồn tại các số dương α1 = , β1 = sao cho α1 y ≤ x ≤ β1 y hay
β
α
x thông ước với y
x ≥ αz =

Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Kí hiệu
K ∗ = K\ {θ}. Mỗi x ∈ K ∗ gọi là một phần tử dương, ta cũng viết
x < y nếu y − x ∈ K ∗ . Giả sử u0 ∈ K ∗ , tập hợp tất cả các phần tử
x ∈ K ∗ thông ước với u0 được kí hiệu là K (u0 ).
Định lí 1.2.4. Cho E là không gian định chuẩn thực, A ⊂ E là một
tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không. Đặt
K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A}. Khi đó K (A) là một nón trong
không gian E.
Chứng minh. Dễ thấy tập A ⊂ K (A), mà A = ∅, nên K (A) = ∅. Với
∀y ∈ A tồn tại m, M là các số thực dương sao cho
m ≤ y ≤ M.

(1.10)

Thật vậy, do tập A bị chặn nên tồn tại M > 0 : y ≤ M, ∀y ∈ A.
Đặt m = inf y . Giả sử m = 0 thì tồn tại dãy {yn }∞
n=1 ⊂ A sao cho
y∈A

lim yn = 0 hay lim yn = θ trong không gian E. Do A là tập đóng

n→∞

n→∞

nên θ ∈ A. Điều này trái với giả thiết A không chứa phần tử không. Vậy


16

m > 0 và y ≥ inf y = m > 0, ∀y ∈ A.
y∈A

*) Ta chứng minh K (A) là tập đóng.
Lấy dãy bất kì {un }∞
n=1 ⊂ K (A) sao cho lim un = u trong không gian
n→∞

E
Nếu u = θ thì u = 0.y, y ∈ A ⇒ u ∈ K (A)
1
u > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 ta có
Nếu u = θ thì với ε =
2
un − u < ε =
Khi đó, | un − u | ≤ un − u <

⇒

1
u .
2

1

u
2

1
3
u < un <
u , ∀n ≥ n0 .
2
2

(1.11)

Mặt khác, vì un ∈ K (A) nên un = tn yn , tn ≥ 0, yn ∈ A, n ∈ N∗ .
Theo (1.11) ta có
1
3
u < t n yn = t n yn <
u
2
2
⇒ yn ≥ 0, (n ∈ N∗ )

và

1
2 yn

u < tn <

3

2 yn

. Từ (1.10) ta có
m ≤ yn ≤ M, ∀yn ∈ A
1
3
⇒
u < tn <
u , ∀n ≥ n0 .
2M
2m
nghĩa là dãy {tn } bị chặn.
Vì vậy, tồn tại dãy con {tni } ⊂ {tn } sao cho lim tni = t0 .
i→∞
3
1
Suy ra
u ≤ t0 ≤
u nên t0 > 0.
2M
2m

u


17

Xét dãy con {yni } ta có:
yn i −

tn
tn
1
1
u = yn i − i yn i + i yn i − u
t0
t0
t0
t0
1
1
≤ |tni − t0 | yni +
tni yni − u
t0
t0
M
1
|tni − t0 | +
tni yni − u → 0 khi i → ∞
≤
t0
t0

Suy ra lim yni −
i→∞

1
u =0
t0

Nhưng {yni } ⊂ A, và tập A đóng nên
hay
u = t0

1
u
t0

1
u∈A
t0
∈ K (A) .

Do vậy K (A) là tập đóng.
*) ∀x, y ∈ K (A) ta có
x = t1 z1 , t1 ≥ 0, z1 ∈ A,
y = t2 z2 , t2 ≥ 0, z2 ∈ A.
Suy ra x + y = t1 z1 + t2 z2 .
Nếu ít nhất một trong hai số t1 , t2 bằng không thì hiển nhiên
x + y ∈ K (A)
Nếu t1 và t2 > 0 thì ta có t1 +t2 > 0 và x+y = (t1 + t2 )
Vì tập A lồi nên
x + y ∈ K (A).

t1
t2
z1 +
z2 .
t1 + t2
t1 + t2

t1
t2
z1 +
z2 ∈ A, mà t1 + t2 > 0 suy ra
t1 + t2
t1 + t2

*) ∀x ∈ K (A) , ∀α ∈ R, α ≥ 0 ta có x = ty, t ≥ 0, y ∈ A nên
αx = αty ∈ K (A) do αt ≥ 0, y ∈ A.
*) Giả sử u0 ∈ K (A) , u0 = θ mà −u0 ∈ K (A). Khi đó
u0 = t1 y1 , t1 > 0, y1 ∈ A
−u0 = t2 y2 , t2 > 0, y2 ∈ A


18

Ta có
θ = u0 + (−u0 ) = t1 y1 + t2 y2
= (t1 + t2 )

t2
t1
y1 +
y2
t1 + t2
t1 + t2

∈ K (A)

t2
t1
y1 +
y2 = θ ∈ A. Điều này trái với
t1 + t2
t1 + t2
giả thiết θ không thuộc A.
Vì t1 > 0 và t2 > 0 nên

Vậy K (A) thỏa mãn các điều kiện về nón nên, K (A) là một nón trong
không gian E.
Định lí 1.2.5. Nếu K là một nón chuẩn trong không gian định chuẩn
thực E, u0 ∈ K ∗ thì Ku0 = K (u0 ) ∪ {θ} là một nón trong không gian E.
Chứng minh. Ta có Ku0 = ∅ vì θ ∈ Ku0 . Ta sẽ chứng minh Ku0 thỏa mãn
bốn điều kiện về nón.
*) Ku0 là tập đóng. Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ Ku0 , xn → x ∈ E khi n → ∞
trong không gian E.
Nếu x = θ thì Ku0 là tập đóng vì θ ∈ Ku0 .
Nếu x = θthì với số dương tùy ý ε ≤ x tồn tại số n0 ∈ N∗ sao cho với
mọi n ≥ n0 ta có:
| xn − x | ≤ xn − x < ε
⇒ x − ε < xn < ε + x
. Vì xn ∈ K (u0 ) nên tồn tại các số dương an , bn sao cho
an u0 ≤ xn ≤ bn u0 , n = 1, 2, . . .

(1.12)

Mặt khác, K là nón chuẩn nên ∀xn ∈ K (n ∈ N∗ ) , u0 ∈ K ∗ tồn tại N
sao cho



 u0

N
≤
xn |
an


 xn

≤ N bn u0 |

⇒




 an


bn

xn
u0
xn
≥
N u0
≤N