Cac bai toan hinh hoc on thi vao lop 10

Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO 10

A. LÝ THUYẾT VÀ DẠNG TOÁN
Trong quá trình giải các bài toán về căn thức bậc hai ta cần chú ý các điều sau đây:
A có nghĩa là A  0.

1. Điều kiện để biểu thức
2. Ta luôn có

 A

2

 A với điều kiện A  0 (định nghĩa căn bậc 2).

3. Ta có hằng đẳng thức
4. Ta có

AB 

Tuy nhiên

 A khi A  0
A2  A  
. Do đó
 A khi A  0

 A

2



A2  A  0.

A. B khi A  0, B  0.

AB 

A

 A B khi A  0, B  0
B 
.
  A  B khi A  0, B  0

Tương tự cho quy tắc khai căn của một thương
Ví dụ. Xét biểu thức P 

 x  1 x  3.

Điều kiện có nghĩa x   1 hoặc x  3.


 x  1 x  3 khi x  3
Khi đó, P  
.

x


1
3

x
khi
x


1



A  B
5. Ta có A2  B 2  
.
 A  B
Do đó, để A2  B 2  A  B ta cần phải có điều kiện AB  0 (điều kiện cùng dấu của hai
vế).

 A2  B 2
.
Tức là A  B  
 AB  0

Chú ý. Có một trường hợp thường gặp

A  0

A  B   B  0 (điều kiện cùng dấu của hai vế).
 A  B2



Tuy nhiên, từ điều kiện A  B 2 ta suy ra A  0.
Do đó

B  0
AB
.
2
A  B


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
Ví dụ. Rút gọn biểu thức A  3  5  3  5.
Cách 1: Để viết biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành bình phương của một tổng hay một
hiệu ta nhân hai vế của biểu thức A với

2. Khi đó ta có:

A 2  62 5  62 5






5 1  
5 1

2







5 1

2



5 1

 5 1 5 1
  2.

Từ đó suy ra A 

2
  2.
2

Cách 2: Ta có
A 3 5  3 5
 A2 



3 5  3 5



 A2  3  5  3  5  2

2

3  5 3  5 

 A2  2
 A   2.

Mặt khác

3  5  3  5  A  3  5  3  5  0.

Từ đó suy ra A   2.
6. Các kiến thức sau đây cũng thường được sử dụng khi giải toán:
Cho số thực a dương. Khi đó
 x 2  a 2  a  x  a.

x  a
 x2  a2  
.
 x  a
 x  a  a  x  a.

x  a
 x a

.
 x  a
Sau yêu cầu rút gọn các biểu thức đại số P thường có các dạng câu hỏi kèm theo:
Dạng 1. Tính giá trị của P với giá trị cho trước của biến.


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
Dạng 2. Tìm giá trị của biến số để P  a, P  Q.
Dạng 3. Tìm giá trị của biến số để P  b (hay P  b ).
Dạng 4. Chứng minh với biến số thỏa mãn điều kiện xác định thì P  a hay P  b hay
a Pb.

Dạng 5. Tìm giá trị nguyên của biến số để P có giá trị nguyên.
Dạng 6. Tìm giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện xác định) để P có giá trị nguyên.
Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của P .
Dạng 8. So sánh P và P .
Dạng 9. So sánh P và

P.

Dạng 10. So sánh P và P2 .
B. VÍ DỤ MẪU
 1 a a
 1  a a

 a 

a
Cho biểu thức A  
 .

 1  a
 1 a



1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm giá trị của biểu thức A khi a 

2 1
.
2 1

3. Tìm các giá trị của a để biểu thức A có giá trị bằng 2.
4. Tìm các giá trị của a để biểu thức A  25.
5. Tìm các giá trị của a để

1
A .
4

6. Tìm các giá trị của a để biểu thức P 

A
nguyên.
a2

7. Tìm các giá trị của a để A  D  0 với D  6a 2  5a  1.
8. So sánh A và

A.

9. So sánh A2 và A.
LỜI GIẢI:
1  a  0

a  1
.
1. Điều kiện: 1  a  0  
a  0
a  0



Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10

Ta có







1 a 1 a  a
1 a a
 a
 a  1 a  a  a  1 a
1 a
1 a

Mặt khác















2

1 a 1 a  a
2
1 a a
 a
 a  1 a  a  a  1 a .
1 a
1 a



Do đó A  1  a

 1  a 

2. Rõ ràng với a 

2

2







 1  a  .
2

2 1
thì 0  a  1.
2 1



 

2
2


2  1   2   2 2  1

Ta có A  1 


 


2 1
2  1   2  1  






2





 4 3 2 2 .

3. Theo câu a) ta có A  1  a  với điều kiện 0  a  1.
2

Khi đó A  2  1  a   2  1  a   2  a  1  2.
2

Mặt khác 0  a  1. Do đó a  1  2.
4. Theo câu a) ta có A  1  a  với điều kiện 0  a  1.

2

Khi đó biểu thức:

5  1  a
a  6
2
A  25  1  a   52  5  1  a  5  

 4  a  6.
1  a  5
a  4
So sánh với điều kiện 0  a  1, ta được 0  a  6 và a  1.
5. Theo câu a) ta có A  1  a  với điều kiện 0  a  1. Khi đó
2




Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
A


1
4

1  a 

 1 a 

2



1
4

1
4

1
1
   1 a 
4
4
5

a  4

a  3

4
3
5
 a .
4
4

So sánh với điều kiện, ta có

3
5
 a  và a  1.
4
4

1 a

A
a 2  2a  1
1
6. Ta có P 


 a
.
a2
a2
a2
a2
2

Do đó biểu thức P nhận giá trị nguyên khi:

a  
a  2  1
a  3


.

  a  2  là ước của 1  
 1
 a  2  1  a  1
 a  2  
Mặt khác, 0  a  1, do đó biểu thức P nhận giá trị nguyên khi a  3.
7. Ta có:
A  D  0   a  1   6a 2  5a  1  0
2

 5a 2  3a  2  0
 3a 2  3a  2a 2  2  0
 3a  a  1  2  a  1 a  1  0
  a  1 5a  2   0
a  1

.
a   2
5


So sánh với điều kiện 0  a  1, ta được a  1.
8. Để so sánh

A và A ta xét hiệu H  A  A   a  1  a  1  a  1  a  1  1 .

Mặt khác, vì a 1  0 với mọi a  1.

2

Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
Do đó dấu âm hay dương của H phụ thuộc vào dấu của P  a 1 1.

a  1  1
a  2
Ta có P  0  a  1  1  

.
 a  1  1  a  0
Mà 0  a  1, nên P  0  a  2.
Tóm lại A  A  a  2 và A  A  0  a  2, a  1.
9. Tương tự câu k) ta xét hiệu H  A2  A   a  1   a  1   a  1  a 2  2a  .
4

2

2

Mặt khác, vì  a  1  0 với mọi a  1.
2

Do đó dấu âm hay dương của H phụ thuộc vào dấu của P  a2  2a  a  a  2 .

a  2
Ta có P  0  
.
a  0
Tóm lại A2  A  a  2 và A2  A  0  a  2, a  1.

k) Ta có 7  4 3 

 3

2





2

 2 3.2  2 2  2  3 .

Do đó:



A 2 3



2



 1  a   2  3
2



2

 3  2  1 a  2  3
1  a  3  2

1  a  2  3
a  3  3

 a  3  1
 3 1  a  3

Vậy



3 1  a  3

l) Biết N 



3 1 .





3 1 .

a 1

a 1
1


.
2
2
a  a  a  1  a  1  a  1  a  12
3


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
Khi đó biểu thức Z  A.N  1  a  .

1

2

1  a 

2

 1  Z  1, không phụ thuộc vào a .

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

x3

x 1  2

1. Cho biểu thức A 

x4
.
x 1  3

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A với x  20  6 2.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Hướng dẫn & Đáp số:

x  1
a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa: 
.
x  4
Trục căn ở mẫu, ta có :

A




 x  3  x  1 
 x  1  2

 

x 1  2 

2

   x  4 

x 1  3



x 1  3

 x  1  3



 2 x  1  3  2.





b) x  20  6 2  x  1  19  6 2  3 2  1



2



 A  2 3 2  1  3  2  5 2  3  2.

c) Vì 2 x  1  0 nên A  3  2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ x  1.

Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của A là Amin  3  2 khi x  1.
2. Cho biểu thức B 

2x  x
x2  x

 1.
x
x  x 1

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm giá trị của x để B   6.
c) Tìm giá trị lớn nhất của B.
d) So sánh B và B .
Hướng dẫn & Đáp số:


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
2
 x  0
1 3

a) Điều kiện có nghĩa: 
. Tuy nhiên x  x  1   x     0, x  0.
2 4

 x  x  1  0
Do đó điều kiện để biểu thức B có nghĩa là : x  0.

Ta có:

B


 2



  x x

x 2 x 1
x

x  x 1





 1

x 1 x  x 1


x  1  x 
x

 2 x 1 

 1

x 1

x  x 1



x  1 1

 x  x.
b) Ta có
B  6
 x  x  6
 x x 60


x  3 hoặc

x  2

 x  9 (thoả mãn điều kiện x  0 .

c) Ta có
1 1

B  x x  
4 4

2

1 1 1

  x     .
2 4 4


Dấu bằng xảy ra  x 

1
1
 0  x  (thoả mãn điều kiện x  0 .
2
4

Vậy giá trị lớn nhất của B là Bmax 

1
1
x .
4
4

d) So sánh B và B
Ta luôn có B  B, trong đó B  B khi B  0 và B  B khi B  0.





B  x 1  x  0  1  x  0 (Vì

x  0 )  0  x  1.

Vậy B  B  0  x  1, còn B  B  x  1.


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
 2
3 x  2 x 2 x
4x 
3. Cho biểu thức C  



 : 
 .
2 x x  2 x  2 x 2 x x  4

a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C biết rằng x  3  10  4 3.
c*) Tìm giá trị lớn nhất của C.
d) Tìm giá trị của x để C có giá trị là số tự nhiên.
Hướng dẫn & Đáp số
x 3
.
4x

a) Đáp số: C 



 







 2  x  2  x  
x
4 x 2  x 

x 3
.
4x

x  0
Điều kiện có nghĩa: 
. Do đó:
x  4
C



x 3

x 2

b) Đáp số: C 

.

5 3  14
.
242





Hướng dẫn : Với x  13  4 3  2 3  1

C

2 3 1 3



4 13  4 3



 2 13  4 3 

c) Đáp số: Cmax 

Ta được





2

ta được:



3  2 13  4 3
2 169  48 

1
 x  36.
48

Cách 1: Ta có C 
Đặt t 

3 2



2
2
  2  x  2  x  4x 
3 x  
.
:


x 2 x  
2 x 2 x

 



2
Hướng dẫn: Ta có C  

2 x


x 3
1
3

 .
4x
4 x 4x

1
1
. Do 0  x  4  0  t  .
2
x

5

3  14

.
242




Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10

 

2

 

2
1
1
1
1 1
1
1 
1
1
C   3t 2  t    t 3  2 t 3
 
  t 3 

 .

4

4
4
2 3 12  48
2 3  48 48

Dấu bằng xảy ra khi t 

1
 x  36.
6

Cách 2: Ta có 4Cx  x  3  4Cx  x  3  0.
Đặt t  x với điều kiện 0  t  2. Khi đó ta có:


Nếu C  0, ta có t  3  x  9.



Nếu C  0, ta có điều kiện để phương trình
  1  48C  0  C 

Vậy giá trị lớn nhất của Cmax 

Cách 3: Ta có 48C 

12



1
1
. Dấu bằng xảy ra khi t 
 6  x  36.
48
8C

1
 x  36.
48

x 3
x

4Ct 2  t  3  0 có nghiệm là

  x   x  12

x  36

x

 1 

x 6



2

x

1 C 

1
.
48

d) Đáp số: C  0 khi x  9.
Hướng dẫn: Vì C là số tự nhiên nên C  0. Mặt khác C 

1
và C  nên C  0.
48

Ta có C  0  x  9 (thỏa mãn điều kiện).
1

x 1  x

4. Cho biểu thức D 

1
x x 1


x 1  x
x 1





x 1 .

a) Rút gọn biểu thức D.

Đáp số: D  x  2 x  1.

b) Tìm x để D  0.

Đáp số: 1  x  2.

c) Tìm x để D  3.

Đáp số: x  5  2 3.

d) * So sánh D và D 2 .

Đáp số: D 2  D  x  5; D 2  D  1  x  5, x  2.

5. Cho biểu thức P 

2 x 9

x5 x 6

a) Rút gọn biểu thức P.
b) So sánh P và

P.

x  3 2 x 1

.
x 2 3 x
Đáp số: P 

x 1
.
x 3

Đáp số: P  P .


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
d) Tìm các giá trị của x để Q 

6. Cho biểu thức E 

1
có giá trị nguyên.
P

x  2 x 1  x  2 x 1
2  x 2  1   x 2  1

2

Đáp số: x1;16;25;49.
Đáp số: x  1.

.

a) Rút gọn biểu thức E.

 2
khi x  2

 x 1
Đáp số: E  
.
2

khi 1  x  2
 x 1


b) Tìm x nguyên để E có giá trị nguyên.

Đáp số: x2;5.

c) Tính giá trị của E với x  8 

3
3.
2

Đáp số: E 

5
Đáp số: 1  x  .
3

d) Tìm x để E  3.
 x 1

7. Cho biểu thức G  
 xy  1


  x 1
 1 : 

  xy  1
xy  1
 

xy  x


 1 .

xy  1


xy  x

Đáp số: G   xy .

a) Rút gọn biểu thức G.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của G biết

x  y  6.

 x
y 10



c) Tính giá trị của G biết  y
x
3.
 x  y  10


8. Cho y 

6 3 1
.
13

x2  x
x2  x

.
x  x  1 x  x 1

Đáp số: Gmin  9  x  y  9.

Đáp số: G  3.

Đáp số: y  2 x .

a) Rút gọn biểu thức H  1  x  y  1.

2  x khi x  1
.
Đáp số: E  
khi 0  x  1
 x

b) Tìm giá trị lớn nhất của H .

Đáp số: H max  1  x  1.

c) So sánh giá trị của H và

Đáp số: H  H .

H.

d) Tìm H biết x là nghiệm của x 2  3x 

1
 0.
4

Đáp số: H  1 

2
.
2


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
Hướng dẫn- đáp số
1.
2.

x 1  x  x 1  x

 x  1  x

3. a) D 







x 1 x  x 1
x 1







x 1

 x  2 x  1 điền kiện x  1.
b) D  0  x  2 x 1  0  x  1  2 x  1  1  0






2

x  1  1  0  x  1  1  0  x  2.

x  1
Kết hợp với điều kiện D  0  
x  2
Cách khác: D  0  x  2 x  1 vì 2 vế đều dương bình phương 2 vế ta có

x  2
2
x2  4  x  1   x  2   0  
x  1
c) D  3 



 x 1 1 3

 x 1 1 3
2
x 1 1  3  

 x  1  1   3
 x  1  1  3  0





 x 1 1 3



2

 x52 3

D  0
d) D2  D  D  D  1  0  
D  1
Vì D 





2

x  1  1  0 với x  1 nên có các trường hợp

D  0
x  2
2
 D  1   x  5 thì D  D


D 1



 x 1 1  1
 x 1  2
2
 x  5 thì D 2  D
x 1 1 1 

 x  1  1   1  x  1  0



1  x  5
thì D 2  D
0  D 1 
x  2


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
4. a) P 

2 x 9



x 3





x 3




 x  3 x  2 
x x 2





x 2


x  3
x 1




x  2

x 2



x  0
x 1

điều kiện  x  4
x 3
x  9


x 2

P

b) So sánh P và

x 1
 0  x 9
x 3

+ Điều kiện P có nghĩa 
+ P P  P

 

x  3  2 x 1





P 1  0  0  P 1

Vì P  0 hoặc P  1 không xảy ra
Mặt khác vì x  9  x  1  x  3  0 

c) P 

x 3 4
1
x 3

x 1
1 P  P
x 3

4
nên P nguyên  x  3  .... và
x 3

x  3 3

x 3

x
x

-2

-1

1

2

4

1

2

4

5

7

1 tm)

4 (loại)

16 ( tm )

25 (tm)

49 ( tm)

Vậy x1,16, 25, 49 thì P có giá trị nguyên
d) Q 

1

P

x 3
Q x Q x 3
x 1

 Q  3  1  Q  x  x 

Q3
 0 (Vì Q  0 )   3  Q  1
1 Q


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10

x 1 4
4
1
1
Q 
x 1
x 1


Cách khác 
4 x  3 x 1

4 x

 3 3
Q 
x

1
x

1






3  Q  1
Vậy 
 Q 3,  2,  1, 0
Q nguyên
Q   3  x  0 (tm)
1
Q   2  x  (tm)
9
Q   1  x  1 (tm)
Q0  x9(l )

5. a) E 





x  1  2 x  1  1  x  1 2 x  1  1





2x2  2  x2  2x  1



x 1 1

2





 x  1



x  1 1
2

2



x 1 1  x 1 1
x 1
2 x 1

x 1

+ Nếu

x  1  1  0  x  2 thì E 

+ Nếu

x  1  1  0  1  x  2 thì E 

2
x 1

2
x 1

 2
 x  1 ( x  2)

Vậy E  
 2

( 1 x  2)
 x  1

b) x nguyên  x  2  E 

2
x 1

 x 1 1
 x  2 (tm)
E có giá trị nguyên  

 x  1  2
 x  5 (tm)
c) x  8 

3
3 2
2

điều kiện có nghĩa x  1


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10





3 3 1

3
14  3 3 28  6 3
x 1 7
3


2
2
4
4

 x 1 



2

 



4 3 3 1 2 3 3 1
3 3 1
4
E


2
26
13

3 3 1
2
2
x 1

d)Với x  2  x  1  1 

Vậy để E  3 thì 1  x  2 và

2
2
5
 3   x  1 ( x  1  0)  1  x 
x 1
3
3

 x  0, y  0
6. a) G  G1  G2   xy điều kiện 
 xy 1
b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho

x y

2

x, y
2

 x y

x . y 
  xy

2


2

2
 x y
6
  xy   
       9

2
2



Vậy giá trị nhỏ nhất của G là -9  x  y  3  x  y  9
Cáchkhác
x

y 6





y 6 x G  x . 6 x  x6 x 





2

x  3  9  9

 x
y 10


(1)

c)  y
x
3
 x  y  10
(2)


t  3
(1)  3t  10t  3  0   1
t 
 3

x
0
y

giải (1) đặt t 

2

Kết hợp với phương trình (2) giải được
7. y 

x





  x

x 1 x  x 1
x  x 1

 x, y   9,1



hoặc 1, 9

  2

x 1 x  x 1
x  x 1

G   9  3

x điều kiện x  0


Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10
a) H  1  x  2 x  1  1 

2  x ( x  1)
x 1  
(0  x  1)
 x

b) Với 0  x  1  0  H  1
Với x  1   x   1  H  2  x  1
Vậy giá trị lớn nhất của H là 1  x  1
c)

H có nghĩa  H  0  0  x  4

x  0
H  0
  x  4
Mặt khác H  1  0  H  1  H  H dấu bằng xảy ra  
H  1
 x  1

x 
1
2

d) x  3 x   0  
4
x 


3
 2 1
2
3
 2 1
2

3
32 2
Và x   2 

2
2
3
Và x   2 
2





2 1
2





2 1
2

2

H 

2 1
1
1
2
2

2

H  2

2 1
1
1
2
2