NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN XUÂN HÒA

NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN XUÂN HOÀ

NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
Trang
Lời nói đầu
Chƣơng 1.

Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển

1

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9
1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16
1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chƣơng 2.

Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ

25

2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI NÓI ĐẦU
Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng
dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới
trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compact
thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ
X

, hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể là

khi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , tức là
inf X f  f ( x )  inf X f   .

Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm f
nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm
 - xấp xỉ cực tiểu x , ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễu

của hàm ban đầu, đồng thời f ( x)  f ( x ) . Không những thế, còn đánh giá
được khoảng cách giữa x và x .
Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh
trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều
lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí
thuyết điểm bất động, kinh tế, . . .
Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường
hợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ.
Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên
lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí
này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5].
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của
nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số
ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux).
Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2]
năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4]. Trong chương này chúng tôi
cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland

trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh này
được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện
Toán học.
Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị
véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ
minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Đây là kết quả mới nhận
được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008.
Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
PGS.TS. Trƣơng Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và
Công nghệ quốc gia. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự
chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các
thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp
đỡ em hoàn thiện luận văn này.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình đã
luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy,
Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009
Học viên
Nguyễn Xuân Hoà

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chƣơng 1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN

Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển,
dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất
của hàm này.
Cho X là không gian tôpô và hàm f : X    
Kí hiệu:





domf  x  X f  x    .
La f   x  X f ( x)  a là tập mức của f .

epif 

 x, a   X  



f  x   a là tập trên đồ thị của f .

Định nghĩa 1.1
Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X     được gọi là hàm nửa liên
tục dưới tại x0 khi và chỉ khi liminf f  x   f ( x0 ) .
x  x0

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi

điểm của X .
Nhận xét 1.1
Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi   0 tồn tại lân cận U của
x0 sao cho x U ta đều có f  x   f  x0    .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Ví dụ 1.1
Hàm số f :    cho bởi:
3x 2  2
f  x  
0

nếu x ≠2
nếu x  2

Ta thấy:
domf   .
L1 f   x   f ( x)  1   1,1 là tập mức của hàm f .

epif 

 x, a     



f  x   a là phần mặt phẳng nằm trên parabol có

phương trình f ( x)  3 x 2  2 hợp với đoạn thẳng AB trong đó
A  2, 0  , B  2,10 là tập trên đồ thị của f .
Dễ thấy rằng f là hàm liên tục trên  \ 2 , gián đoạn tại x  2 . Nhưng f là
f  x   10  f (2) . Do đó f là hàm nửa
hàm nửa liên tục dưới tại x  2 vì limx inf
2

liên tục dưới trên  .
Mệnh đề 1.1.
Cho X là không gian mêtric và hàm f : X     , khi đó các khẳng định
sau là tương đương:
(a) f là hàm nửa liên tục dưới trên X .
(b) epif   x, a   X   f  x   a là tập đóng trong X   .
(c) La f   x  X f ( x)  a là tập đóng trong X ( a  ).
Chứng minh
(a)  (b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X . Ta lấy dãy {( xn , an )}  epif
xn , an )  ( x0 , a0 ) . Ta cần chỉ ra ( x0 , a0 )  epif . Thật vậy,
Sao cho lim(
n 
lim xn  x0 , lim an  a0 và hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 nên
n 

n 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

lim inf f  xn   f ( x0 ) , mà dãy {( xn , an )}  epif nên f ( xn )  an ( n   ), nên
n 

lim inf f  xn   lim an . Do đó f ( x0 )  lim inf f  xn   lim an  a0 .
n 

n 

n 

n 

Điều này chứng tỏ ( x0 , a0 )  epif .
(b)  (c). Giả sử epi f là tập đóng trong X   . Ta sẽ chứng minh mọi tập
mức của f đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử La f   x  X f ( x)  a là tập
mức bất kỳ của f . Lấy dãy{ xn }  La f sao cho lim xn  x0 do dãy { xn }  La f
n 
Nên f ( xn )  a

hay

( xn , a )  epif ( n   ).

Hơn

nữa,

lim xn  x0 nên
n 

lim( xn, a)  ( x0 , a) . Mà epif là tập đóng trong X   nên ( x0 , a )   epif , do đó
n 

x0  La f ta có điều phải chứng minh.

(c)  (a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X . Ta cần chứng
minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f . Giả sử phản chứng f không là nửa
liên tục dưới tại x0  X . Khi đó có dãy{ xn }  X
lim inf f  xn   f ( x0 ) .
n 

 0

Chọn

đủ

nhỏ

sao

sao cho lim xn  x0 ,
n 
cho

có

k 

để f ( xn )  f ( x0 )   ( n  k ). Xét tập mức L  x  X f ( x)  f ( x0)    ta thấy

xn  L , n  k . Mặt khác do

L

đóng và lim xn  x0 nên x0  L , do đó
n 

f ( x0 )  f ( x0 )   (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X . 

Định nghĩa 1.2
Cho tập S trong không gian mêtric ( X , d ) . Hàm chỉ của tập S là hàm:
0
lS  x   
 

x  S
xS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.
Nếu S là tập đóng thì l S là hàm nửa liên tục dưới.
Chứng minh
Khi x0  S , từ định nghĩa hàm l S ta có   0 tồn tại lân cận U của x0 mà
lS ( x)  lS ( x0 )   , x  U . Khi x0  S , vì S là tập đóng nên d ( x0 , S )  0 . Chọn

r

d ( x0 , S )
, x  B( x0 , r ) thì x  S . Do đó lS ( x)  lS ( x0 )   , x  B( x0 , r ) . Ta có điều
2

phải chứng minh. 

1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển
Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và
xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều.

1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland
Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X     đạt cực
tiểu trên X , tức là x  X sao cho f ( x)  f ( x), x  X . Trước hết, ta nhìn lại kết
quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên
tập compact.
Mệnh đề 1.3.
Cho hàm f : X     là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi
đó f đạt cực tiểu trên X .
Chứng minh
f ( xn )  a . Do
Đặt a  inf  f ( x) x  X  . Khi đó có một dãy { xn }  X sao cho lim
n 
X compact, để không mất tính tổng quát ta có thể coi { xn } là dãy hội tụ đến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

x  X . Ta sẽ chứng minh f ( x)  a . Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x

nên liminf f  xn   f ( x) . Kết hợp với lim f ( xn )  a ta suy ra f ( x)  a ( điều đó
n 
n 
chứng tỏ a   ). Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f ( x)  a . Vậy f ( x)  a
và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X . 
Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu.
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.2
Xét hàm số:

f : X     \{(2,1)}  

x  ( x1 , x2 )  f ( x)  ( x1  2)4  ( x2  1)2

Ta dễ dàng thấy rằng f liên tục trên X và f ( x)  0 , x  X . Với bất kì   0 ,
ta có x  (2,1 


2

) thoả mãn f ( x ) 


4

  tức là ta có inf X f  0 . Tuy vậy

không tồn tại x  X để f ( x)  0 . Thật vậy, giả sử có x0  X sao cho f ( x0 )  0
thì đưa tới x0  (2,1)  X . Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X .
Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không đạt cực
trị. Khi đó, ta xét khái niệm điểm   xấp xỉ cực tiểu như sau:
Với   0 cho trước, một điểm x  X gọi là   xấp xỉ cực tiểu của f ( x)
trên X nếu
inf X f  f ( x )  inf X f   .

Điểm   xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên,
khi X là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng
ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X . Sau đây
ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí
này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Định lí 1.1. (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2]
Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X     là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử   0 và x  X thoả mãn:
f ( x )  inf X f   .

Khi đó với   0 bất kì, tồn tại x  X sao cho:
(i) d ( x, x )   .

(ii) f ( x)    d ( x, x )  f ( x ) .


(iii)

 
f ( x)    d ( x, x)  f ( x) , x  X \ {x} .


Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. [2]
Cho số   0 , ta định nghĩa quan hệ thứ tự”  ”trên X   như sau:
( x1 , a1 )  ( x2 , a2 )  (a1  a2 )   d ( x1 , x2 )  0.

Cho S là tập đóng trong X   thoả mãn tồn tại m  sao cho nếu
( x, a)  S thì a  m. Khi đó với mỗi phần tử ( x0 , a0 )  S luôn có phần tử ( x, a)  S

Sao cho ( x, a)  ( x0 , a0 ) và ( x, a) là phần tử cực đại trong S theo nghĩa
( x, a)  ( x, a) , ( x, a)  S và ( x, a)  ( x, a) .

Chứng minh
Dễ dàng chứng minh quan hệ ”  ” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Ta xây dựng dãy ( xn , an ) trong S bằng quy nạp như sau:
Bắt đầu từ ( x0 , a0 )  S cho trước, giả sử ( xn , an ) đã biết.
Ta ký hiệu:
S n  ( x, a)  S ( x, a)  ( xn , an ) .

mn  inf a   ( x, a)  Sn  .

Ta có S n là các tập đóng và khác rỗng. Khi đó lấy ( xn 1 , an 1 )  Sn sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

an  an1 

an  mn
2

(1.1)

Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên S n 1  S n do đó mn  mn 1 . Và
như vậy ta có { S n } là dãy các tập đóng giảm dần trong S , { mn } là dãy giảm
dần trong  và bị chặn dưới và (1.1) có thể viết lại thành:
an  mn
 an1  mn  an 1  mn 1  0.
2

Tiếp tục quá trình này ta thu được:
an1  mn1 

an  mn
a m
 ...  1 n .
2
2

Mặt khác ( x, a)  ( xn1 , an1 ) nên ta lại có:
d ( xn1 , x) 

an1  a





a1  m
.
2n 

Như vậy đường kính của S n tiến về 0. Suy ra dãy { S n } là dãy các tập đóng
thắt dần có đường kính giảm dần về 0 trong X   (là không gian metric đầy
đủ). Do đó tồn tại ( x, a)  S thoả mãn:

( x, a)   S

(1.2)

n

n

Bây giờ ta sẽ chứng minh ( x, a) là phần tử cần tìm.
Thật vậy, từ định nghĩa của ( x, a) ta có ( x, a)  ( xn , an ) , n   do đó
( x, a)  ( x0 , a0 ) . Giả sử có ( x, a)  ( x, a)

với ( x, a)  S và ( x, a)  ( x, a) . Khi đó

( x, a )  S n ( n   ), vì vậy ( x, a)   Sn điều này mâu thuẫn với (1.2).
n

Và như vậy ( x, a) là phần tử cực đại trong S thoả mãn yêu cầu của bổ đề. 
Chứng minh định lí 1.1

Đặt S  epif  ( x, a)  X   f ( x)  a .
Dễ thấy ( x , f ( x ))  S . Do f là nửa liên tục dưới trên X nên S là tập đóng
trong X   .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Ta áp dụng bổ đề 1.1 với  


và phần tử ( x , f ( x )) , ta luôn tìm được ( x, a)


sao cho ( x, a)  ( x , f ( x )) và ( x, a) là phần tử lớn nhất trong S .
Từ định nghĩa của epif ta luôn có ( x , f ( x ))  S , x  X . Mặt khác f ( x)  a



nên  f ( x)  a  d ( x, x)  0 , mà ( x, a) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có
f ( x)  a , vậy ( x, f ( x)) là phần tử lớn nhất trong S .

Bây giờ ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy theo bổ đề ta có:
( x, f ( x))  ( x , f ( x )) tức là f ( x) 


d ( x, x )  f ( x ) .


Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.



Mặt khác, từ f ( x)  f ( x )  d ( x, x )  0 ta có
f ( x )  inf X f   nên f ( x )  f ( x)   do đo đó


d ( x, x )  f ( x )  f ( x) . Hơn nữa


d ( x, x )   hay d ( x, x )   .


Vậy khẳng định (i) được chứng minh.
Do ( x, f ( x)) là phần tử lớn nhất trong S , mà ( x , f ( x ))  S x  X nên
( x, f ( x))  ( x, f ( x)) , x  x do đó f ( x) 


d ( x, x)  f ( x) , x  x .


Vậy (iii) được chứng minh. 
Nhận xét 1.2



Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu f ( x)  d ( x, x) . Nếu 
nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của x so với điểm x ban đầu, nhưng khi




đó hàm nhiễu f ( x)  d ( x, x) có sai khác tương đối so với f ( x) . Ngược lại,



nếu  lớn ta không biết nhiều về vị trí điểm x , nhưng hàm f ( x)  d ( x, x) có
thể không sai khác nhiều so với hàm f ( x) ban đầu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Hằng số  trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn    ta có kết quả sau:
Định lí 1.2. [1]
Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X     là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử   0 và x  X thoả mãn:
f ( x )  inf X f  

Khi đó tồn tại x  X sao cho:
(i) d ( x, x )   .
(ii) f ( x)   d ( x, x )  f ( x ) .
(iii)

f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X \ {x} .

Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất
của điểm x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân:
Định lí 1.3. [1]
Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và hàm f : X     là hàm nửa liên

tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi   0 tồn tại x sao cho:
f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X \ {x} .

1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều
Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến
phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục).
Định lí 1.4. [19]
Cho f :  N    {} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới,   0 và
p  1. Giả sử   0 và x   N thoả mãn:
f ( x )  inf  N f   .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Khi đó tồn tại x   N sao cho:
(i) x  x  .
(ii) f ( x) 


x  x
p

(iii) f ( x) 

p


x  x

p

 f ( x ) .
p

 f ( x) 

p

, x  N .
x

x

p


Chứng minh
Xét hàm g ( x)  f ( x) 


p
x  x . Khi đó g ( x) là hàm nửa liên tục dưới, bị
p


chặn dưới. ta thấy g ( x) thoả mãn điều kiện bức tức là lim g ( x)   .
x 
Lấy a  N bất kì, xét tập Lg ( a ) g  x   N g ( x)  g (a) do g là hàm nửa liên tục
dưới nên Lg ( a ) g là tập đóng trong  N .

Ta chứng minh Lg ( a ) g là bị chặn  N . Thật vậy, giả sử Lg ( a ) g không bị chặn
 N , khi đó tồn tại dãy {xn }  Lg ( a ) g sao cho xn   . Do g thoả mãn điều

kiện bức trên  N nên lim g ( xn )   . Mặt khác xn  Lg ( a ) g nên g ( xn )  g (a )
n 
(n  N ) , suy ra lim g ( xn )  g (a) (mâu thuẫn). Vậy Lg ( a ) g là đóng và bị chặn
n 

trong  N , g là hàm nửa liên dưới trên tập compact Lg ( a ) g nên tồn tại điểm cực
tiểu x của g trên Lg ( a ) g .
Bây giờ ta sẽ chứng minh x chính là điểm cực tiểu của g trên  N . Thật vậy
với x  Lg ( a ) g thì g ( x)  g (a)  g ( x) . Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của
g trên  N . Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí. 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland
Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (FlowerPental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí
biến phân Ekeland.

1.3.1. Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 1.3. [1]
Cho X là không gian Banach. Với bất kì x  X  \ {0} và bất kì   0 chúng ta
gọi:





K ( x ,  )  x  X  || x |||| x || x ( x)

là nón Bishop-Phelps liên kết với x và  .
Định lí 1.5. (Định lí Bishop-Phelps) [1]
Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử x  X  là bị
chặn trên S . Khi đó với mọi   0 , S có điểm K ( x ,  ) -support y tức là :
{ y}  S   K ( x ,  )  y  .

Chứng minh
Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm f ( x)  

x ( x)
 lS ( x) . Giả sử z là
|| x ||

điểm thoả mãn :
f ( z )  inf X f  

ta tìm được điểm y sao cho:
(i) f ( y )   y  z  f ( z ) .
(ii) f ( x)   x  y  f ( y ) , x  y .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Ta chứng minh y  S   K ( x ,  )  y  . Thật vậy, từ (i) suy ra y  S . Mặt khác

0 K ( x  ,  ) nên y   K ( x ,  )  y  .

Tiếp theo ta chứng minh S   K ( x ,  )  y   { y} bằng phản chứng. Giả sử ta có
y  y mà y  S   K ( x ,  )  y  . Suy ra y  y  K ( x  ,  )

Ta có:
 || x |||| y  y || x ( y  y )  x ( y)  x ( y ).

Hay
x ( y)
x ( y )
    y  y   
|| x ||
|| x ||

điều này mâu thuẫn với (ii). Ta có điều phải chứng minh. 

1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental)
Định nghĩa 1.4. [1]
Cho X là không gian Banach và a, b  X .
Ta gọi:



P (a, b)  x  X  a  x  x  b  b  a



là cánh hoa liên kết với   (0, ) và a, b  X .
Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi.

Định lí 1.6. (Định lí cánh hoa) [1]
Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử a  S và
b  X \ S . Đặt t  b  a

và   (0, d (S , b)). Khi đó bất kì   0 , tồn tại

y  S  P (a, b) thoả mãn y  a 

t 



và P ( y, b)  S  { y} .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chứng minh
Xét hàm f ( x)  x  b  lS ( x) . Vì r  (0, d (S , b)) nên r  x  b , x  S . Do đó
f (a)  a  b  t   x  b  r  , x  S ,

điều này chứng tỏ
f (a)  inf S f  (t  r )  inf X f  (t  r ) .

Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f ( x) với   t  r và  
ta tìm được y sao cho y  a 

t r



t r



,

thoả mãn:

y  b  lS ( y )   a  y  a  b

Và
x  b  lS ( x)   x  y  y  b  lS ( y ) , x  X \{ y} .

Bất đẳng thức đầu tiên chứng tỏ y  S . Do đó y  b   a  y  a  b

hay

y  P (a, b) . Thay y  S vào bất đẳng thức thứ hai ta có:
x  b   x  y  y  b , x  S \{ y},

điều này chứng tỏ rằng

P ( y, b)  S  { y} . 

1.3.3. Định lí giọt nƣớc (Định lí Drop)
Định nghĩa 1.5. [1]
Cho X là không gian Banach, tập C là tập lồi trong X và a  X . Chúng ta

gọi:

 a, C   conv({a}  C )  {a  t (c  a) | c  C , 0  t  1}
là giọt nước liên kết với a và C .
Bổ đề tiếp theo cung cấp cho ta mối liên hệ giữa giọt nước và cánh hoa.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Bổ đề 1.2. [1]
Cho X là không gian Banach, a, b  X và    0,1 .
Khi đó
(a) B a b 1  1  (b)  P (a, b)
(b) a, B ab 1  1  (b)   P (a, b) .
Chứng minh
(a) Ta chứng minh B a b 1  1  (b)  P (a, b) .
Lấy x  B a b 1  1  (b) , khi đó
x b  a b

1 
.
1 

(1.3)

Ta có
 x a  x b    x b  ba  x b

kết hợp với (1.3) ta được P  b  a . Điều này chứng tỏ x  P (a, b) .
(b) Ta chứng minh a, B ab 1  1  (b)   P (a, b) .
Lấy x  a, B a b 1  1  (b)  khi đó tồn tại t  0,1 và y  B a b 1  1  (b) để
x  ta  (1  t ) y .

Từ (a)ta có y  P (a, b) . Dễ thấy a  P (a, b) ,

mà

P (a, b)

là tập lồi

nên x  P (a, b) . 
Định lí 1.7. (Định lí giọt nước) [1]
Cho X là không gian Banach và cho S là tập đóng trong X . Giả sử b  X \ S
và r   0, d ( S , b)  . Khi đó với bất kì   0 , tồn tại y S thoả mãn:
y  b  d ( S , b)   và  y, B(b, r )   S  { y} .

Chứng minh
Chọn a  S sao cho a  b  d (S , b)   và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






a b r

  0,1 .
a b  r

Từ định lí 1.6 suy ra tồn tại y  S  P ( y, b) sao cho:
P ( y, b)  S  { y}

(1.4)

Ta chứng minh y S . Giả sử y  S , khi đó tồn tại r  0 sao cho B( y, r )  S .
Ta xét những điểm có dạng x  ty  (1  t )b với 0  t  1 và 1  t 

r
.
y b

Ta có x  y  1  t  y  b  r nên x  B( y, r ) . Mặt khác
 x  y  x  b   1  t  y  b  t y  b  y  b

dẫn đến x  P ( y, b) . Vậy x  S  P ( y, b) mâu thuẫn với (1.4). Do đó y S .
Hơn nữa, từ y  P (a, b) suy ra y  b  a  b  d (S , b)   .
Cuối cùng từ (1.4) và bổ đề 1.2 với r 

1   
1   

a  b ta có  y, B(b, r )   S  { y} . 

Trong ba định lí này, định lí Bishop-Phelps xuất hiện sớm nhất vào năm 1961.
Định lí này là nguồn cảm hứng chính cho nguyên lí biến phân Ekeland. Định
lí giọt nước được J.Danes phát biểu vào năm 1972. Còn định lí cánh hoa được

phát biểu bởi J.-P.Penot vào năm 1986. Mối liên hệ giữa nguyên lí biến phân
Ekeland, định lí giọt nước và định lí cánh hoa được J.-P.Penot và S.Rolewicz
xem xét vào năm 1986.

1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland
Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lí biến phân Ekeland là tương đương
với tính đầy đủ của không gian. Tiếp đó, chúng ta sử dụng nguyên lí biến
phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất
động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động cho ánh xạ co theo hướng và đánh
giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ
Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian mêtric đầy đủ.
Định lí 1.8. [1]
Cho ( X , d ) là không gian mêtric. Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi
hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X     và với mọi   0 , tồn tại
một điểm x  X thoả mãn:
(i) f ( x)  inf X f   .
(ii) f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X .
Chứng minh
Từ định lí 1.1 với   1 ta có chiều thuận của định lí .
Đảo lại, giả sử với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X    
và với mọi   0 , tồn tại một điểm x  X thoả mãn:
(i) f ( x)  inf X f   .
(ii) f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X .

Ta sẽ chứng minh X là đầy đủ. Thật vậy, cố định x  X và xét dãy {xn } là dãy
Cauchy, ta cần chỉ ra dãy này hội tụ.
Từ đánh giá
d ( xm , x)  d ( xn , x)  d ( xm , xn ) , m, n 

Suy ra {d ( xn , x)} là dãy Cauchy trong  (Là không gian mêtric đủ) nên dãy
này hội tụ.
d ( xn , x) vì hàm khoảng cách là Lipschitz với x nên ta có f
Xét hàm f ( x)  lim
n 

là hàm liên tục. Hơn nữa, dãy {xn } là dãy Cauchy nên f ( xn )  0 khi n   .
Từ đây suy ra inf X f  0 .
Với    0,1 , ta tìm được x  X sao cho:

f ( x)  inf X f   và

f ( x)   d ( x, x)  f ( x) , x  X .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.5)




Cho x  xn trong (1.5) và chuyển qua giới hạn n   , ta được f ( x)   f ( x) ,
suy ra f ( x)  0 . Điều này chứng tỏ lim xn  x . 
n 

1.4.2. Các định lí điểm bất động
Trong phần này, ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng
minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí
điểm bất động của ánh xạ co theo hướng.

1.4.2.1. Định lí điểm bất động Banach
Định nghĩa 1.6
Cho ( X , d ) là không gian mêtric và ánh xạ  : X  X .
Chúng ta gọi  là ánh xạ co nếu tồn tại k   0,1 sao cho:
d ( ( x), ( y)  kd ( x, y) , x, y  X .

Định lí 1.9. (Định lí điểm bất động Banach) [3]
Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và ánh xạ  : X  X là ánh xạ co. Khi đó
tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co  .
Chứng minh
Giả sử  là ánh xạ co với hệ số k   0,1 .Trước hết ta chứng minh rằng nếu 
có điểm bất động thì điểm bất động đó là duy nhất.
Thật vậy, giả sử có x1  x2 sao cho:
 ( x1 )  x1 và  ( x2 )  x2 .

Khi đó :
d ( x1 , x2 )  d ( ( x1 ),  ( x2 )  kd ( x1 , x2 ) .

Do k   0,1 nên bất đẳng thức trên xảy ra khi x1  x2 (mâu thuẫn).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Vậy điểm bất động của  nếu có là duy nhất.
Xét hàm f ( x)  d ( x, ( x)) , từ định nghĩa của hàm f ta suy ra f ( x)  0 với mọi
x  X , nên f là hàm bị chặn dưới trên X .

Ta sẽ chứng minh f là hàm liên tục trên X . Thật vậy, dựa vào đánh giá:
d ( x,  ( x))  d ( y,  ( y))  d ( x,  ( x))  d ( x,  ( y))  d ( x,  ( y))  d ( y,  ( y))

 d ( ( x), ( y)  d ( x, y)  (k 1)d ( x, y)

ta suy ra f là hàm liên tục trên X .
Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f ( x)  d ( x, ( x)) với    0,1  k 
ta tìm được x  X sao cho:
f ( x)   d ( x, x )  f ( x ) , x  X .

(1.6)

Do  ( x )  X nên thay x   ( x ) trong (1.6) ta có :
d ( x ,  ( x ))  d ( ( x ),  2 ( x ))   d ( x ,  ( x ))  (k   )d ( x  ,  ( x  )) .

Kết hợp với k     0,1 , ta có d ( x ,  ( x ))  0 hay  ( x )  x .
Vậy x chính là điểm bất động của ánh xạ  . 

1.4.2.2. Điểm bất động của ánh xạ co theo hƣớng
Trong định lí điểm bất động Banach, ta có thể thay ánh xạ co bởi điều
kiện yếu hơn là ánh xạ co theo hướng.
Cho ( X , d ) là không gian mêtric. Xét x, y  X , ta định nghĩa đoạn thẳng giữa
x và y là:

 x, y   z  X | d ( x, z )  d ( z, y)  d ( x, y ) .
Định nghĩa 1.7 . [1]

Cho ( X , d ) là không gian mêtric và ánh xạ  : X  X .
Chúng ta gọi  là ánh xạ co theo hướng nếu  thoả mãn các điều kiện sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




(i)  là ánh xạ liên tục.
(ii)Tồn tại k   0,1 sao cho với bất kì x  X mà  ( x)  x
tồn tại z   x,  ( x) \  x

thoả mãn:

d ( ( x), ( z))  kd ( x, z) .

Ví dụ 1.3
Trên X   2 ta định nghĩa x  ( x1 , x2 )  x1  x2 . Đoạn thẳng giữa hai điểm
(a1 , a2 ) và (b1 , b2 ) là hình chữ nhật có các cạnh song song với hai trục toạ độ

và nhận hai điểm này là hai đỉnh đối diện nhau.
Xét ánh xạ:
x 
 3x1 x2
 , x1  2 
3
3
 2

 ( x1 , x2 )  

khi đó  là ánh xạ co theo hướng. Thật vậy, khi y   ( x)  x với x  ( x1 , x2 ) ,
y  ( y1 , y2 ) . Giả sử y2  x2 , ta chọn trên đoạn  x, y  điểm z  ( x1 , t ) với t gần x2

nhưng không bằng x2 . Với những điểm như thế ta có:
2
d ( ( x1 , t ),  ( x1 , x2 ))  d (( x1 , t ),( x1, x2 )) .
3
3x
Điểm bất động của  là tất cả những điểm có dạng  x,  . Vì điểm bất động


2 

của  là không duy nhất nên định lí điểm bất động Banach không áp dụng
được cho ánh xạ này. Tuy vậy, định lí sau chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ co theo hướng.
Định lí 1.10. [1]
Cho ( X , d ) là không gian mêtric đủ và ánh xạ  : X  X là ánh xạ co theo
hướng. Khi đó  có điểm bất động.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chứng minh
Giả sử  là ánh xạ co theo hướng với hệ số k   0,1 . Xét f ( x)  d ( x, ( x)) . Do
hàm khoảng cách và hàm  là liên tục nên f là liên tục. Hơn nữa f bị chặn
dưới bởi 0. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f với    0,1  k 

ta tìm được y  X sao cho:
f ( y)  f ( x)   d ( x, y) , x  X

(1.7)

Ta chứng minh  ( y)  y . Thật vậy, nếu  ( y)  y , do  là ánh xạ co theo
hướng nên ta tìm được z  y mà z   y,  ( y) , tức là:
d ( y, z)  d ( z,  ( y))  d ( y,  ( y))  f ( y)

(1.8)

thoả mãn
d ( ( y),  ( z))  kd ( y, z) .

(1.9)

Thay x  z trong (1.7) và kết hợp với (1.8) ta có
d ( y, z)  d ( z,  ( y))  d ( z,  ( z))   d ( z, y)

hay
d ( y, z)  d ( z,  ( z))  d ( z,  ( y))   d ( z, y) .

(1.10)

Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp với (1.9) ta có
d ( z, ( z))  d ( z,  ( y))  d ( ( y),  ( z))  kd ( y, z) .

(1.11)

Kết hợp (1.10) và (1.11) ta được

d ( y, z)  (k   )d ( y, z) .

Do k     0,1 , ta suy ra d ( y, z)  0 dẫn đến y  z (mâu thuẫn).
Ta có điều phải chứng minh.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên