Tổng hợp đề thi chuyên tỉnh Hà Nam (doc)

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 97-98
Câu I (2đ )
1) Tìm tập xác định của các hàm số
a/ y= 2 x 1
b/ y=

x+2
x2 9

2) Giải phơng trình
x2- (1+ 3 )x + 3 = 0
Câu II (3đ) Cho hệ phơng trình
mx y = m

2
2
(1 m ) x + 2my = 1 + m

1)Giải hệ phơng trình với m=1
2)Chứng tỏ với mọi m hệ phơng trình trên luôn có một nghiệm duy nhất
Gọi nghiệm của hệ là (xo,yo)
a/Chứng minh x 02 +y 02 =1
b/Tìm m để (xo+yo- ) lớn nhất
Câu III(4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Lấy điểm M thuộc cung
BC không chứa điểm A .Gọi D,E,F lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng
thẳng BC,CA,AB
1) Chứng minh M,D,F,B cùng nằm trên một đờng tròn.Xác định tâm đờng tròn đó.
2) Chứng minh D,E,F thuộc một đờng thẳng.
3) Tìm tập hợp các điểm N sao cho hình chiếu vuông góc của N trên các
đờng thẳng AB,BC,CA thẳng hàng.

Câu IV (1đ)
Cho f(x)=

( x a )( x b) 2 ( x b)( x c) 2 ( x c)( x a ) 2
.c +
.a +
.b
(c a )(c b)
(a b)(a c)
(b c)(b a )

(Trong đó a,b,c là các số đôi một khác nhau)
1) Tính f(a), f(b), f(c)
2) Chứng minh f(x)=x2 với mọi x

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 98-99
Bài 1(2đ) .Rút gọn biểu thức
1) A=

1
3+ 2 2

2 1
2 +1


2) B = 2 3 3
2

2

Bài 2 (2đ) Giải phơng trình
1) 2 x + 1 + x-1=0
2)3x2+2x=2 x 2 + x +1-x
Bài 3(2đ)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P):y=2x2 và đờng thẳng
y= kx+k+4(klà tham số)
1) Tìm giá trị của k để đờng thẳng đi qua đỉnh của (P).Gọi đờng thẳng
trong trờng hợp này là (d) .Tìm toạ độ giao điểm thứ 2 của (d) và (P)
2) Viết phơng trình đờng thẳng song song với (d) và tiếp xúc với (P).
Bài 4(4đ)
Cho đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B .Kẻ cát tuyến CAD
(O), D (O))

(C

1)Chứng minh các góc của tam giác BCD không đổi khi cát tuyến này
quay quanh A
2)Kẻ các đờng kính COC và DOD. Chứng minh A,C,D
3) Xác định vị trí cát tuyến CAD sao cho CD là lớn nhất .ở vị trí lớn
nhất chứng minh S BCD =4 S OAO ' .
4)Biết bán kính (O) và (O) là r,r, OAO=90o
Chứng minh tg

CDB
r
=
2
r '+ r 2 r '2

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 1999-2000
Bài 1(2đ).Cho biểu thức


M=

x+ x

x x +1+ x + x

+

1
: x 1 với x 0;x1
x + 1 x + 1

a)Rút gọn M.
b)Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên.


Bài 2(2đ) Cho A(3;5) ; B(-1;3) ; C(1;1)
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B .Điểm C có thuộc
đờng thẳng (d) không?Vì sao?
b) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MC nhỏ nhất.
Bài 3 (2đ) Cho hai phơng trình
ax2+bx+c=0 (1)
và cx2+bx+a=0 (2) với a,c trái dấu
Tìm điều kiện của a,b,c để tổng nghiệm lớn của phơng trình (1) và nghiệm
lớn của phơng trình (2) có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4(4đ) Cho đờng tròn tâm (O).Từ A nằm ngoài đờng tròn kẻ tiếp tuyến AT
với đờng tròn (O).Kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn .Lấy D nằm trên cung
tròn BC có chứa T sao cho D là trung điểm của cung BC , kẻ đờng kính DOE.
1/ Chứng minh AT2=AB.AC
2/Chứng minh TD là phân giác ngoài của BTC.
3/Gọi I là giao điểm của TE và BC . Chứng minh khi AT thay đổi thì I cố
định(A,B,C cố định)
4/Trên tia AB lấy điểm J sao cho AB + AC=AJ.Tìm quỹ tích điểm I
(Khi A cố định và cát tuyến ABC thay đổi thì J chuyển động trên đờng nào?)

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2000-2001
Bài 1 (2đ)Cho biểu thức
A=

(x

2

)

2

3 + 12 x 2
+
x2

( x + 2) 2 8 x với 0
a) Rút gọn A.

b) Tìm những giá trị nguyên của x để A nguyên.
Bài 2 (2đ) Cho phơng trình bậc hai ẩn x
mx2-2(m+1)x+m+3=0 (m là tham số)
a)Tìm các giá tri của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt.Hãy tính
B=

x1
x2
+
theo m
x2 3x1 x1 3 x2

(Điều kiện B có nghĩa)

Bài 3 (2đ).Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho
A(0;-3) ; B(4;2) và () có phơng trình : y=2x-1
a)Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B và vuông góc với ()
b)Xác định điểm B đối xứng với B qua ()


c)Tìm điểm M thuộc () sao cho MA+MB nhỏ nhất .
Bài 4(4đ) Cho đờng tròn (O;R) và (O;R) tiếp xúc trong tại M (trong đó
R>R).Kẻ hai cát tuyến MEB và MDA sao cho D,E thuộc đờng tròn (O)
B,A thuộc đờng tròn (O);góc BMA bằng 120o.Vẽ tiếp tuyến chung Mx(x và
B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ OM)
a/ Chứng minh xME = EDM
b/Lấy C thuộc đờng tròn (O) sao cho ABC đều. Chứng minh
MA+MB=MC.
c/ Kẻ tiếp tuyến AI và BK (I,K là tiếp điểm) tới (O)

Chứng minh :

AI
AD
=
BK BE

Bài 1(2đ) Cho

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2001-2002

1

1
1 :
2x
2
4x
2+ x


M =

a)Tìm x để biểu thức M có nghĩa.
b) Rút gọn M.
c)Tính giá trị của M với x=

1
.

2+ 2

Bài 2(1,5đ)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC có toạ độ các đỉnh là
A(1;2) ; B (-1;0) ; C (2;0)
a)Tính S ABC .
b) Tính độ dài đơng cao hạ từ B.
c)Lập phơng trình đờng trung tuyến qua đỉnh C của ABC
Bài 3(2,5đ) Cho phơng trình bậc hai ẩn x
x2 mx 2 = 0 (1) ; m R
1/ Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1;x2thoả mãn x1 - x2 = 4
2/ Gọi hai nghiẹm của phơng trình (1) là x1 và x2.Tùy theo giá trị của m tính
x 13 + x23 .
3/ Tìm đa thức bậc ba f(x) có hệ số nguyên sao cho đa thức đạt gí trị bằng 0
khi x= 3 3 3 8 .
3


Bài 4(4đ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ,đờng cao AA,BB,CC cắt nhau tại
H
1/ Viết tất cả các tứ giác nội tiép có trong hình vẽ . Chứng minh một trong
các tứ giác đó là tứ giác nội tiếp .
2/Gọi M là trung điểm của BC ;P là điểm đối xứng của H qua M . Chứng
minh tứ giác HBPC là hình bình hành và P thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC
3/Kéo dài AA cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D
(D A). Chứng minh DB BC
4/ Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với phân giác của góc A,đờng thẳng này
cắt AB cắt AB,AC theo thứ tự tại I và J. Chứng minh DI=CJ.
Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2002-2003

Bài 1(2đ)
a.Tính A= 3 5 3 + 5
b. Rút gọn

a
b
a+b
+

(với a>0,b>0)
ab + b
ab + a
ab

Bài 2(1.5đ)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parobol(P)có phơng trình y=2x2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+2-m (m R)
a.Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn có hai điểm chung với mọi giá trị của m
b.Tìm m để (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho AOB
vuông tại O
Bài 3 (1.5 đ) : Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 3 giờ thì hoàn
thành công việc .Nếu ngời thứ nhất làm trong 20 phút ,ngời thứ hai làm trong
1 giờ thì cả hai ngời làm đợc

1
công việc .Hỏi nếu làm một mình mỗi ngời
5

hết bao nhiêu thời gian sẽ hoàn thành công việc.
Bài 4(4đ) : Cho (O) bán kính R ,I là điểm nằm trong đờng tròn , kẻ hai dây
bất kì MIN, EIF và gọi M;N;E;Flần lợt là trung điểm IM,IN,IE,IF

a.Chứng minh : IM.IN=IE.IF
b.Chứng minh : MENFnội tiếp
c.Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MENF
d.Giả sử 2 dây MIN,EIF vuông góc với nhau .Xác định vị trí của
MIN,EIF sao cho SMENF lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó , biét OI=
Bài 5 (1đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=a2+b2+ab-3a-3b+2005 ;a,b R

R
2


Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2003-2004

Bài 1(2đ)
1.Rút gọn

( x y ) 2 + 4 xy
x+ y

:

1
(x,y dơng ;x y)
x y

2.Có hai biểu thức
A= 4 x 2 + 2 x 2 ; B= 4 x 2 2 x 2
a.Tìm x để A có nghĩa

b.Biết B=1 ,tìm A.Tìm x với A vừa tìm đợc
Bài 2(2đ)
1. Cho 3 điểm A(-2;5);B(1;2),C(m;-2). Tìm m để 3 điểm A,B,C thẳng
hàng
2. Biết (P)có phơng trình :y=4x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình :y=x+3
a.Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
b.Tìm điểm M trên (P) cách đều hai trục toạ độ
Bài 3 (2đ)
1.Giải bài toán chuyển động đều bằng cách lập phơng trình
Một ngời đi xe đạp từ A đến Bmất 4h 20 phút và đi môtô từ B đến C mất
2h40phút .Biết quãng đờng AB ngắn hơn quãng đờng BC là 55Km, và vận
tốc đi bằng xe đạp chậm hơn vận tốc đi bằng môtô là 30Km/h. Tính vận
tốc khi ngời đó đi bằng môtô.
2.Biết a,b,c dơng và a+b+c=4 .Chứng minh a+b abc
Bài 4(4đ)
Cho hình thang cân ABCD (AD =BC,ABCD; đáy nhỏ AB) hai đờng chéo
AC và BD cắt nhau tại O và goc AOB =600 gọi M,N,P,Q lần lợt là trung
điểm của OA,OD,BC,CD .Chứng minh rằng :
a.BC=2.MP
b.Tam giác MNP đều .
c.Góc NMC= gócBNP
d. O,Q,H thẳng hàng (H là trực tâm của tam giác MNP)

Bài 1: (2 điểm)

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2004-2005


Cho x; y R+

x y
x3 y 3
+
a) Rút gọn biểu thức
x y
yx


b) Tìm min của
B = 2x + y + 2 xy 10 x 6 y + 2017


ữ:
ữ


(

)

+ xy ữ
ữ (x y)
x+ y
ữ


x y

2

Bài 2: (1,5điểm)
Cho phơng trình ẩn x, m là tham số thuộc R
x2 -2mx m2 -1= 0
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
c) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm thoả mãn -2< x < 4
Bài 3 (2,5điểm)
1
2

Trong mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P): y = x 2 ; điểm I(0; 2) và
M(m; 0) với m 0
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm M và I.
b) Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
với
mọi m 0
c) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của Avà B trên trục hoành.
Chứng minh rằng IHK là tam giác vuông
d) Chứng minh độ dài đoạn AB lớn hơn 4 đơn vị độ dài.
Bài 4 (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 2R. Gọi O là tâm hình
vuông, E là trung điểm cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD thứ tự lấy F, G thoả
mãn EF // AG
a) Tính DG.BF theo R
b) Chứng minh rằng tam giác DOG đồng dạng với tam giác BFO
c) Tính góc GOF
d) Chứng minh: GF là tiếp tuyến của đờng tròn nội tiếp hình vuông.

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2005-2006

Bài 1: (1 điểm)
Rút gọn biểu thức A = x + x 6 x x 27 với x 0
x +3

x+ x +9

Bài 2: (3điểm)
2
3

2
3

Cho Parabol (P: y = x2 và 2 điểm A(-1; ) và B(- 3 ; 2)


1) Các điểm A và B điểm nào thuộc (P), không thuộc (P)? Tại sao
2) Không dùng đồ thị, chứng minh đờng thẳng(d): y=4x+7 không có
điểm chung với (P). Đờng thẳng AB có song song với (d) không? Tại sao?
3) Tìm điểm trên (P) có khoảng cách đến trục Oy gấp 2 lần khoảng
cách
đến trục Ox
Bài 3 (2điểm)
1) Cho x, y, z thoả mãn x + y + z = 3.
Tìm min của P = x2+ y2+ z2 -3xy- 3yz- 3zx.
2) Cho p là số nguyên, chứng minh phơng trình (p+2)x2 2x + p- p3
=0
luôn có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O; R), M là điểm thuộc

cung
BC không chứa A. Trên tia MA đặt đoạn thẳng MD = MB
1) Chứng minh
BDA = BMC
2) Chứng minh MA = MB + MC
3) Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
4) Từ M hạ các đờng vuông góc xuống BC; AC; AB lần lợt tại H; I; K.
Chứng minh

1
1
1
=
+
MH MI MK

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2006-2007
Bài 1: (2,5 điểm)


a 1
1
8 a 3 a 2

+
ữ
ữ: 1 3 a + 1 ữ
ữ với a 0; a
9

a

1
3
a

1
3
a
+
1




Cho hai biểu thức: P =


1
9

1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính P khi a = 4 - 2 3
Bài 2: (2điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): 2xya2= và
Parabol (P): y= ax2 (a là tham số dơng)
1) Tìm a để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Chứng minh khi
đó A,
B nằm bên phải trục tung.

2) Gọi u, v theo thứ tự là hoành độ của A và B. Tìm Min T =

4
1
+
u + v uv

Bài 3 (1,5điểm)
3) Giải phơng trình: 5 x + x 1 = x 2 + 2 x + 1
4) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức x 2 + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10
=0
Tìm Max, Min của S = x+y
Bài 4 (4 điểm)
Cho điểm A nằm ngoài (0; R), biết OA= 2R. Qua A kẻ các tiếp tuyến
AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Từ I bất kỳ trên cung nhỏ
BC kẻ tiếp tuyến thứ ba với đờng tròn, cắt AB, AC theo thứ tự ở M, N. Đờng
thẳng qua O vuông góc với AO cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E.
1) Chứng minh ABC và ADE là các tam giác đều.
2) Tính tích DM.EN theo R
3) Gọi giao điểm của BC với OM, ON lần lợt là P và Q. Chứng minh 3
đờng thẳng OI, MQ, NP đồng quy.
4) Chứng minh rằng từ 3 đoạn BP, PQ, QC có thể dựng đợc một tam
giác. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác đó theo R
Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2007-2008
Bài 1: (2 điểm)
2
Cho hai biểu thức: M = a b + b a và N = 4 ab ( a + b )

ab

a b

3) Tìm điều kiện của a và b để mỗi biểu thức đã cho có nghĩa.
4) Rút gọn M và N
5) Tính tích M.N với a = 4 2 3 và b = 4 + 2 3
Bài 2: (2điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = (m+1)x +2m +3
(m là tham số)
2) Tìm m để (d) đi qua gốc toạ độ
3) Với 2 điểm A(-3; y1) và B(-1; y2) nằm trên đờng thẳng (d). Tìm
điều
kiện của m để y1 > y2.
4) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng ( ):y = 2x -2 và giao
điểm
nằm trên trục Oy.
Bài 3 (2điểm)
Cho phơng trình: x - 3 x 2 + k2 4k + 4 = 0 ( k là tham số)
a) Giải phơng trình khi k =2
b) Tìm k để phơng trình đã cho có nghiệm


Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và đờng tròn (I) nội tiếp tam
giác ABC . Các tia AI và CI cắt (O) lần lợt tại M và và N. Gọi D là giao điểm
của AI với BC.
a) Chứng minh : AM.AD = AB.AC
b) Chứng minh: BI vuông góc với MN
c) Với điều kiện 2 điểm B, C cố định, tìm vị trí của điểm A trên (O)

cho
trớc để (I) có bán kính lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy.

Đề chuyên chung Hà Nam
Năm học 2008-2009
Bài 1(2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức :P = 2( 64 288 ) (5 2 2 ) 2 + 32 .
2)

2
Giải phơng trình: x +2 6 x + 27 2 x 1 + 2 = 0 .

x 9

Bài 2(2,0 điểm)
2
3

Cho hai đờng thẳng y = x

3 x

5
1
(d1 ) và y = x + 3 (d 2 )
3
2

a) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1), (d2) cắt nhau và tìm toạ độ giao
điểm.

b) Tìm m để đờng thẳng y = (2m+1)x + 6m+2 (d) và hai đờng
thẳng (d1),(d2) đôi một cắt nhau.
Bài 3(2,0 điểm)
Cho phơng trình: (m+1)x2 + (4-m)x +3-2m = 0 (m là tham số )
a) Giải phơng trình khi m=3.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x thoả mãn: 0 < x < 2.
Bài 4(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp tronh đờng tròn (O) và điểm H là trực
tâm. Các đờng thẳng AH, BH cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai lần lợt là
D và E.
a) Chứng minh : AE = AH.
b) Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp HDE.
c) Trên cung DC (không chứa điểm A) lấy điểm M khác D và C, gọi
M1 và M2 lần lợt là hình chiếu của M trên các cạnh BC và AC.
Chứng minh đờng thẳng M1M2 đi qua trung điểm của HM.
Bài 5(1,0 điểm)


Chøng minh r»ng:

1
1
1
1
27
+ 3 + 3 + ... +
<
2 3 2 4 3
10003 999 10