CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN THỰC tế

[CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN THỰC TẾ]

October 14, 2016

I.BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT.
PROBLEM 1: Gửi vào a đồng, lãi r%/tháng (lãi tháng trước cộng lãi
tháng sau - lãi kép). Tính số tiền có được sau n tháng (cuối tháng thứ n).
Cuối tháng 1, số tiền là: a  a.r  a(r  1)
Cuối tháng 2: a(r  1)  a(r  1).r  a(r 2  2r  1)  a(r  1)2
...
Cuối tháng n: A  a(1  r )
Ta hoàn toàn suy ra được các đại lượng khác như sau:
n

A
a ;r 
n
ln(1  r )
ln

n

A
A
 1; a 
a
(1  r ) n

Ví dụ 1.1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng.
Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?
Ví dụ1.2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021

000đ. Hỏi phải gửi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
Ví dụ1.3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được
61 329 000đ.Tìm lãi suất hàng tháng?
Ví dụ1.4: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng trong thời gian 10 năm
với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít
5
% một tháng.
12

Ví dụ 1.5: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa
qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất
0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm
tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn
0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn
Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu
đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ?

ÔN THI THPT QG 2017

hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất

1


[CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN THỰC TẾ]

October 14, 2016

PROBLEM 2: Mỗi tháng gửi a đồng (lãi kép - tháng nào cũng gửi thêm vào đầu
mỗi tháng), lãi r/tháng. Tính sô tiền thu được sau n tháng.

Cuối tháng 1, có số tiền là: a(1  r )
Cuối tháng 2:  a(1  r )  a (1  r )  a(1  r ) 1  (1  r )
 (1  r ) 2  1  a
 a (1  r ) 
 (1  r ) (1  r ) 2  1

 (1  r )  1  r

(đầu tháng 2 gửi thêm a đồng, số tiền cuối tháng 2 được tính bằng số tiền đầu tháng 2 + lãi)
a
a
Cuối tháng 3:  (1  r ) (1  r )2  1  a  (1  r )   (1  r )2 (1  r )2  1  a(1  r ) 
r

r

a
a
 (1  r ) (1  r )3  (1  r )  r   (1  r ) (1  r )3  1
r
r

...
a
a
Cuối tháng n:  (1  r ) (1  r )n1  1  a  (1  r )  (1  r ) (1  r )n  1
r

Suy ra:

A



r

a
(1  r ) (1  r ) n  1
r

Ta hoàn toàn suy ra được các đại lượng khác như sau:

a

A.r
;n
(1  r ) (1  r ) n  1

ln(

A.r
 1)
a (1  r )
ln(1  r )

Ví dụ 2.4: Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe.
Hỏi người đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao
nhiêu. Biết lãi suất tiết kiệm là 0,27% / tháng.

ÔN THI THPT QG 2017

Ví dụ 2.1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD. Biết lãi
suất hàng tháng là 0,35%. Hỏi sau 1 năm, người ấy có bao nhiêu tiền?
Ví dụ 2.2 Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10
tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Ví dụ 2.3: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao
nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?

2


[CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN THỰC TẾ]

October 14, 2016

PROBLEM 3: Vay A đồng, lãi r/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để
sau n tháng thì hết nợ (trả tiền vào cuối tháng).(Hình thức trả góp)
Gọi a là số tiền trả hàng tháng!
Cuối tháng 1, nợ: A(1  r )
Đã trả a đồng nên còn nợ: A(1  r )  a
Cuối tháng 2 còn nợ:  A(1  r )  a (1  r )  a  A(1  r )2  a(1  r )  a
Cuối tháng 3 còn nợ:  A(1  r )2  a(1  r )  a  (1  r )  a  A(1  r )3  a (1  r )2  a (1  r )  a
...
Cuối tháng n còn nợ: A(1  r )n  a(1  r )n1  a(1  r )n2  ...  a
 1  (1  r ) n 
a
n 1
n2
n



 A(1  r )  a (1  r )  (1  r )  ...  1  A(1  r )  a 1.
 A(1  r ) n  (1  r ) n  1

r
 1  (1  r ) 
n

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả hàng tháng là:

Ví dụ 3.1: Một người vay 50 triệu, trả góp theo tháng trong vòng 48 tháng, lãi là
1,15%/tháng.
a) Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu?
b) Nếu lãi là 0,75%/tháng thì mỗi tháng phải trả bao nhiêu, lợi hơn bao nhiêu
so với lãi 1,15%/tháng.
Ví dụ 3.2 : Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp.
a) Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5500000 và chịu lãi
số tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao lâu anh trả hết số tiền trên?
b) Nếu anh A muốn trả hết nợ trong 5 năm và phải trả lãi với mức 6%/năm thì
mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn đến nghìn đồng)
Ví dụ 3.3: Bố bạn Bình tặng cho bạn ấy một máy tính hiệu Thánh Gióng trị giá
5.000.000 đồng bằng cách cho bạn tiền hàng tháng với phương thức sau: Tháng
đầu tiên bạn Bình được nhận 100.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi,
mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20.000 đồng.
a) Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền được nhận hàng tháng với lãi suất
0,6%/tháng, thì bạn Bình phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi
tính ?
b) Nếu bạn Bình muốn có ngay máy tính để học bằng cách chọn phương thức
mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn
Bình phải trả góp bao nhiêu tháng mới trả hết nợ ?

ÔN THI THPT QG 2017

A.r.(1  r ) n
a
(1  r ) n  1

3


[CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN THỰC TẾ]

October 14, 2016

II.BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA TỈ LỆ.
Ví dụ 1: Ví dụ 1: Để đắp một con đê , địa phương đã huy động 4 nhóm người
gồm học sinh , nông dân , công nhân và bộ đội . Thời gian làm việc như sau
(giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là như nhau ):
Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân mỗi người làm việc
4 giờ; Nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhóm học sinh mỗi em
làm việc 0,5 giờ. Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như nhau cho từng
người trong một nhóm theo cách: Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000
đồng; Nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; Nhóm nông dân mỗi
người nhận 70.000 đồng; Nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng .
Cho biết : Tổng số người của bốn nhóm là 100 người .
Tổng thời gian làm việc của bốn nhóm là 488 giờ
Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng .
Tìm xem số người trong từng nhóm là bao nhiêu người .
Ví dụ 2:Theo di chúc, bốn người con được hưởng số tiền là 9902490255 đồng
chia theo tỷ lệ như sau: Người con thứ nhất và người con thứ hai là 2: 3; Người

con thứ hai và người con thứ ba là 4: 5; Người con thứ ba và người con thứ tư
là 6: 7. Hỏi mỗi người con nhận được số tiền là bao nhiêu ?
Ví dụ 3: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi
3
4

thùng thứ hai và

4
5

2
3

thùng thứ nhất ;

thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng

nhau. Tính số táo lúc đầu của mỗi thùng ?

Ví dụ 1:Dân số Huyện Mỹ Đức nay có 250000 người . Người ta dự đoán sau 2
năm nữa dân số Huyện Mỹ Đức là 256036 người .
a)Hỏi trung bình mỗi năm dân số Huyện Mỹ Đức tăng bao nhiêu %?
b)Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm như vậy, Hỏi sau 10 năm dân số Huyện Mỹ Đức
là bao nhiêu ?

ÔN THI THPT QG 2017

III.BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ.

4


[CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN THỰC TẾ]

October 14, 2016

Ví dụ 2:Theo Báo cáo của Chính phủ dân số Việt Nam tính đến tháng 12 năm
2005 là 83,12 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trung bình hàng năm là 1,33%. Hỏi dân
số Việt nam vào tháng 12 năm 2010 sẽ là bao nhiêu?
Ví dụ 3:(Khu vực 2011) (bài toán khá lạ)
Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc
thời gian (đơn vị 1000 người).
Năm
1976
1980
1990
2000
2011
Số dân
49160
53722
66016,7
77635
88434,6
a)Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980 ;
1980-1990 ; 1990-2000 ;2000-2011.
b)Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2001 thì đến 2015 và
2020 dân số Việt Nam là bao nhiêu ?
c) Để kìm hãm gia tăng dân số, người ta đề ra phương án : Kể từ năm 2011, mỗi

năm phấn đấu giảm bớt x% ( x không đổi ) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước
(nghĩa là năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a  x)% ).Tính x
để dân số năm 2015 là 92,744 triệu người.Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần
thập phân sau dấu phẩy
IV.BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ GIẢI.
(các bài toán khá lạ và khó, không yêu cầu làm hết các ví dụ)

Ví dụ 1:Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương
liệu, 9 lít nước và 210g đường để điều chế nước cam vào nước táo. Để pha chế 1
lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo
cần 10g đường ,1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60
nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để số điểm thưởng là lớn nhất.
Ví dụ 2:Một phân xưởng có 2 máy đặc chủng M1, M 2 sản xuất hai loại sản phẩm
kí hiệu là I và II. Mỗi tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng loại II lãi 1,6 triệu đồng.
Muốn sản xuất 1 tấn loại I cần dùng máy M 1 trong 3 giờ và máy M 2 trong 1 giờ.
Muốn sản xuất 1 tấn loại II cần dùng máy M 1 trong 1 giờ và máy M 2 trong 1 giờ.

ÔN THI THPT QG 2017

điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao

5


[CHUYÊN ĐỀ : BÀI TOÁN THỰC TẾ]

October 14, 2016

Một máy không thể đồng thời sản xuất hai sản phẩm trên. Máy M 1 không thể
làm việc quá 6 giờ một ngày, máy M 2 chỉ làm việc tối đa 4 giờ một ngày. Để lợi

nhuận là lớn nhất cần sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm loại I bao nhiêu tấn sản
phẩm loại II mỗi ngày
Ví dụ 3:Một gia đình cần 900g prôtêin và 400g lipit trong thức ăn mỗi ngày. Thịt
bò chứa 80% prôtêin và 20% lipit. Thịt lợn chứa 60% prôtêin và 40% lipit. Biết
rằng gia đình này có thể mua tối đa 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn, giá tiền 1kg
thịt bò là 45k, thịt lợn là 35k. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt để tiết
kiệm chi phí nhất.
Ví dụ 4:Người ta dự định dùng 2 loại nguyên liệu để chiết suất ít nhất 140kg
chất A và 9kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I sản xuất được 20kg chất A và
0,6 kg chất B. Mỗi tấn nguyên liệu loại II sản xuất được 10kg chất A và 1,5kg
chất B. biết giá nguyên liệu loại I là 4 triệu đồng loại II là 3 triệu đồng và không
được dùng quá 10 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II.
Ví dụ 5:Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động của vitamin A (gọi tắt là A) và
vitamin B (gọi tắt là B) đối với cơ thể con người. Kết quả như sau: Một người
mỗi ngày có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị A và không quá 500 đơn vị B.
Một người mỗi ngày cần từ 400-1000 đơn vị A lẫn B. Do tác động phối hợp mà
mỗi ngày số B cần phải lớn hơn 50% số A nhưng không nhiều hơn 3 lần số A. Giá
A là 9đ giá B là 7,5đ. Tìm phương án dùng 2 loại A và B thỏa mãn để giá thành
là rẻ nhất.

ÔN THI THPT QG 2017

(to be continued…)

6