Phương pháp không lưới phần tử tự do galerkin cho bài toán đàn hồi tuyến tính và so sánh nghiệm với phương pháp phần tử hữu hạn

Tạp chí Đại học Công nghiệp

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN CHO BÀI
TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH VÀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Tôn Thất Hoàng Lân*
TÓM TẮT
Trong bài báo này, tôi đề cập phương pháp không lưới dựa trên phần tử tự do Galerkin
(EFG) cho mô hình đàn hồi tuyến tính trong không gian hai chiều. Ví dụ số được trình bày nhằm
minh họa hiệu quả của cách tiếp cận này.
Từ khóa: Phương pháp không lưới, phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG), đàn hồi
tuyến tính.
A MESHLESS ELEMENT FREE GALERKIN METHOD FOR LINEAR ELASTICITY
AND NUMERICAL COMPARISON WITH THE FINITE ELEMENT METHOD
SUMMARY

LI

B

In this paper we discussed one meshless method on the element free Galerkin (EFG) for
linear elasticity model in two dimensions. Numerical results is presented to illustrate the
effectiveness of this approach.

1. Giới thiệu

N
TT

U

Keywords: Meshless method, Element free Galerkin method, linear elasticity.

Hầu hết các bài toán cơ kỹ thuật được
giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp phần
tử hữu hạn hoặc phương pháp phần tử biên.
Những phương pháp tính toán trên đều dựa vào
việc chia lưới rời rạc hóa kết cấu và ta sẽ gặp
khó khăn khi chia lưới cho các mô hình hình
học phức tạp. Trong những năm gần đây đã có
một sự phát triển nhanh chóng của phương pháp
không lưới như phương pháp SPH (SPHM),
phương pháp RKP (RKPM), phương pháp EFG
(EFGM), phương pháp PUFE (PUFEM)... Mục
đích của bài báo này là đề xuất một số thủ tục
cơ bản dựa trên phương pháp phần tử tự do
Galerkin (EFG) để giải quyết các bài toán đàn
hồi tuyến tính. Ví dụ số được đưa ra nhằm xác

nhận hiệu quả của phương pháp tiếp cận này so
với các phương pháp quen thuộc.
2. Hàm xấp xỉ bình phương tối thiểu
động (MLS)
Hàm MLS đã được phát triển bởi
Lancaster và Salkauskas để xấp xỉ đường cong
và bề mặt. Xem xét miền Ω có chứa một tập hợp
các nút phân tán xi (1 ≤ i ≤ n), tương ứng giả
định các giá trị ui. Xấp xỉ MLS của hàm liên tục
u trên Ω gọi là uh(x) được cho bởi:
m
(1)

u h (x) = ∑ P (x)α (x) = pT (x)α ( x )
i
i=1 i
trong đó p(x) là một tổ hợp m hàm độc lập
tuyến tính,
p T (x) = ⎡⎢ p (x)
⎣ 1

*

p (x) .... p (x) ⎤⎥ (2)
2
m ⎦

ThS, Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc TPHCM

11
/>

Phương pháp không lưới phần tử tự do…

và α(x) là một tổ hợp các thông số chưa xác
3. Công thức thể hiện phương pháp
định,
xấp xỉ không lưới EFG
(3)
α T (x) = α 0 (x) α1 (x) α 2 (x) .... α m (x)
Áp dụng công thức dạng yếu Galerkin
kết hợp phương pháp nhân tử Lagrange, cụ thể
Các thông số α(x) được tìm thấy tại điểm x bất

là chuỗi phương trình từ (1) đến (12), ta được
kỳ bằng cách cực tiểu:
kết quả như sau:
n(x)
2
(4)
⎡ K G ⎤ ⎧u ⎫ ⎧f ⎫
J(x) = ∑ ξ (x − x ). u h (x ) − u
(13)
i
i
i
i
⎢G T 0 ⎥ ⎨λ ⎬ = ⎨q ⎬
i=1
⎣
⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
n(x)
2
Trong đó
J(x) = ∑ ξ (x − x ). p T (x ).α (x) - u
(5)
i
i
i
i
i=1
0 ⎤
⎡ Φ j (x k )
ξ (x − x ) là hàm trọng số có giá trị khác 0 trên

G jk = − ⎢
i
i
Φ j (x k )⎥⎦
⎣ 0
miền ảnh hưởng của nút xi. Chỉ có các nút xi mà
miền ảnh hưởng chứa điểm x sẽ xuất hiện trong
q k = −u (x k )
công thức trên. Kích thước miền ảnh hưởng của
mỗi nút và cách lựa chọn hàm trọng số là yếu tố K ij = ∫ B iT CB j dΩ f i = ∫ f * Φ i dΩ − ∫ tΦ i dΓ (14)
Ω
Ω
Γt
quyết định sự gần đúng của MLS. Cực tiểu J (x)
để biết các thông số α(x):
⎛ ∂Φ i
⎞
⎜
0 ⎟
⎜ ∂x
⎟
(6)
α(x) = A −1 (x).B(x).u
⎜
∂Φ i ⎟
t là lực mặt, f* là
Bi = ⎜ 0
⎟
∂y ⎟
⎜

⎡ξ1 (x − x1 ).p(x1 ) ξ 2 (x − x 2 ).p(x 2 )...⎤
⎜ ∂Φ i ∂Φ i ⎟
B=⎢
⎥ (7)
⎜ ∂y
∂x ⎟⎠
⎢⎣... ξ n (x − x n ).p(x n )
⎥⎦
⎝
lực khối và C là tensor đặc trưng vật liệu.
n(x)
4. Thí dụ số
A = ∑ ξ (x - x ).p T (x ).p(x )
(8)
i
i
i
i=1 i
Xem xét một dầm console có chiều dài L
= 4 (m), chiều cao h = 100 (cm), môđun đàn hồi
Ta thay kết quả và suy ra:
E = 2.5e6 (T/m2), hệ số Poisson ν = 0.3 chịu tải
(9)
tập trung tại đầu tự do P = 10 (T). Kết quả như
u T = u1 u 2 ...... u n
sau:
n
(10)
u h (x) = ∑ φ (x).u = Φ(x).u
i

i=1 i

[

]

[

]

]

N
TT

U

LI

B

[

[

]

Với:

m

φ (x) = ∑ p (x)(A −1(x)B(x))
i
ji
j=1 j
= pT A −1B
i
Φ(x) = ⎡φ1 (x)
⎢⎣

φ 2 (x)

...

(11)

φ n (x) ⎤
⎥⎦

(12)

12
/>

Tạp chí Đại học Công nghiệp

Miền và nút

ux=0
và
uy=0

tại
ngàm

Hình 1. Sơ đồ thể hiện miền bài toán và nút ảnh hưởng

N
TT

U

LI

B

Biến dạng của dầm

Hình 2. Kết quả thể hiện biến dạng sau khi chịu lực
* nghiệm Meshless
o nghiệm Fem

Chuyển
vị
uy

nút i
Hình 3. So sánh kết quả

13
/>

Phương pháp không lưới phần tử tự do…

5. Kết luận

Phương pháp không lưới là một phương
pháp tích cực khi phân tích các bài toán cơ kỹ
thuật. Kết quả số cho ta thấy sự hội tụ của

phương pháp này trên cơ sở vận dụng ngôn ngữ
MATLAB để lập trình tính toán. Tốc độ giải sẽ
nhanh hơn phương pháp phần tử hữu hạn khi
miền bài toán phức tạp do không phải chia lưới.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

K. Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, second edition,
1975.

[2]

P. Lancaster and K. Salkauskas, Surfaces genarated by the moving least squares methods,
Math.Comput. , 37:141–158, 1981.

[3]

T. Belytschko, Y. Lu, and L. Gu, Element-Free Galerkin Methods, Int. J. Numer. Meth.
Engng. , 37:229–256, 1994.

[4]

Lu YY, Belytschko T, Gu L, A new implementation of the element free Galerkin method,
Comput Meth Appl Mech Engng 1994;113:397–414

[5]

T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, and P. Krysl, Meshless methods: An
overview and recent developments. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. , 139:3–47, 1996.

[6]

Atluri SN, Cho JY, Kim H-G, Analysis of thin beams, using the meshless local Petrov–
Galerkin method, with generalized moving least squares interpolations, Comput Mech 1999;
24:334–47.

[7]

GR Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, 2003.

N
TT

U

LI

B

[1]

14

/>