Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THU HÀ

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . . . .
1.1.1 Không gian véctơ . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian véctơ tôpô . . . . . . .

1.1.4 Không gian metric . . . . . . . . .
1.1.5 Không gian véctơ định chuẩn . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . . . .
1.2.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . .
1.2.3 Một số định lý về sự tương giao và
ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
6
6
6
6
6
6
6

.

6

.
.
.
.
.

8
8
9
9
9
12

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
về điểm
. . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bất động của
. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ . . . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . .
2.2.1 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao của các tập
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên định lý điểm bất động . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
compact
. . . . . .

3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không có
tính lồi
3.1 Nguyên lý giải được hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ánh xạ tương giao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.4 Bài toán cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Bài toán cân bằng chiến lược trội . . . . . . . . . . . . . . .

1

14
14
15
15
15
15
15
15


4 Bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM
4.1 Quan hệ KKM tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM . .
4.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

16
16
17
20
21
22

Mở đầu
Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp
của định lý điểm bất động Brower (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster,
Kuratowski, Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác
rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả
này sau gọi là bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không
gian vô hạn chiều, kết quả này được gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM. Vào năm
2008, GS. Đinh Thế Lục đã sử dụng quan hệ KKM vào một bài toán mới, bài
toán "Quan hệ biến phân", nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu tuyến tính, bài toán
tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm
thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán bất đẳng thức
biến phân có thể biến đổi được về bài toán này.
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là
các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử
a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y. Hãy tìm một điểm a ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b).
Mục đích của luận văn là trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến
phân trong trường hợp bài toán có hoặc không có tính chất KKM và tính lồi
dựa theo các bài báo [3] , [4] , [5] .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho ba
chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái
niệm và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính

chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.
3


Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không
có tính lồi. Mục đích chính của chương này là trình bày sự tồn tại nghiệm của
bài toán quan hệ biến phân không có tính lồi.
Chương 4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không
có tính chất KKM. Mục đích chính của chương này là trình bày sự tồn tại
nghiệm của bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM.
Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh
chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân được đề cập
trong các bài báo [3] , [4] , [5] .

4


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia Hà Nội. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TS. Tạ Duy Phượng - Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam,
người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành công việc nghiên cứu này này.
Tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia
giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất.
Xin được cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên rất nhiều giúp
tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thu Hà

5


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,...(theo [1] và [2]) cần thiết
cho việc trình bày các nội dung ở chương sau.

1.1

Kiến thức tôpô và giải tích hàm

1.1.1

Không gian véctơ

1.1.2

Không gian tôpô

1.1.3

Không gian véctơ tôpô

1.1.4

Không gian metric

1.1.5

Không gian véctơ định chuẩn

1.2

Ánh xạ đa trị

1.2.1

Định nghĩa ánh xạ đa trị

1.2.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1.2.3

Một số định lý về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa
trị

Cho X , Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A một tập con khác rỗng
trong X.
Định nghĩa 1.2.1. (Ánh xạ KKM) Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A được gọi là ánh
xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {a1 , ..., an } của A và mỗi phần tử a thuộc
vào bao lồi của {a1 , ..., an } có thể tìm được một chỉ số i sao cho a ∈ F (ai ).
Dưới đây là một số định lý quan trọng của giải tích hàm sử dụng trong các

Chương sau
6


Định lý 1.2.1. (Định lý về sự tương giao của các tập compact) Giả sử {Ci : i ∈ I}
là một họ các tập compact, khác rỗng trong không gian X . Nếu nó có tính chất
Ci = ∅.
Cj = ∅ với J là tập hữu hạn trong I thì
giao hữu hạn, tức là
i∈I

j∈J

Định lý 1.2.2. (Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị) Cho A là tập compact,
lồi, khác rỗng và ánh xạ F : A ⇒ A đóng với giá trị khác rỗng, là ánh xạ KKM
F (a) = ∅.
. Khi đó
a∈A

Định lý 1.2.3. (Định lí điểm bất động Fan-Browder) Cho A là một tập compact, lồi, khác rỗng. Nếu ánh xạ đa trị F : A ⇒ A thỏa mãn điều kiện A =
intF −1 (a), thì tồn tại a ∈ A mà a ∈ convF (a).
a∈A

7


Chương 2

Bài toán quan hệ biến phân
Trong chương này ta trình bày bài toán quan hệ biến phân và đưa ra một số

bài toán có thể xem như bài toán quan hệ biến phân và trình bày sự tồn tại
nghiêm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính chất tương giao KKM và
định lý điểm bất động theo bài báo [3].

2.1

Phát biểu bài toán và một số ví dụ

Giả sử A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y
là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần
tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y.
Định nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b);
được gọi là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR).
Các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T được gọi là ánh xạ ràng buộc.
Quan hệ R là một quan hệ biến phân.
Điểm a¯ thỏa mãn điều kiện (1) và (2) được gọi là nghiệm của bài toán (VR).
Tập các nghiệm của bài toán (VR) kí hiệu là Sol(VR).
Sau đây là một số bài toán đã biết có thể được xem như một bài toán quan
hệ biến phân.
Ví dụ 2.1.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến
Ví dụ 2.1.2. Bài toán bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion Problem)
Ví dụ 2.1.3. Bài toán cân bằng (Equilibrium Problem)
8


Ví dụ 2.1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)
Ví dụ 2.1.5. Bài toán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu (Weak vector Ky Fan
inequality problem)

Ví dụ 2.1.6. Bài toán cân bằng véctơ tổng quát mạnh (Generalized strong
vector equilibrium problem)
Ví dụ 2.1.7. Bài toán tựa cân bằng (Quasi-Equilibrium Problem )
Kết luận: Hầu hết các bài toán của tối ưu phi tuyến đều đưa được về mô
hình bài toán quan hệ biến phân.

2.2
2.2.1

Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
Định lý cơ bản

Giả sử S1 , S2 , T là các ánh xạ đa trị và quan hệ biến phân R được xác định
trong Mục 2.1. Xét ánh xạ đa trị P : B ⇒ A được xác định bởi
P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b),

trong đó
P1 (b) = A\S2−1 (b), S2−1 (b) = {a ∈ A : b ∈ S2 (a} ,
P2 (b) = a ∈ A : a ∈ S1 (a) và R(a, b, y) đúng với mọi y ∈ T (a, b) .

Định lý 2.2.1. a ∈ Sol (V R) khi và chỉ khi a¯ ∈

P (b).
b∈B

Hệ quả 2.2.1. Điểm a¯ ∈ A là nghiệm của bài toán (VR) nếu và chỉ nếu tập
B\P −1 (¯
a) là tập rỗng. Đặc biệt, nếu A = B thì bài toán (VR) có nghiệm nếu các
điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Ánh xạ a → A\P −1 (a) có điểm bất động nếu nó có giá trị khác rỗng ∀a;

(ii) Với mỗi a ∈ A, S2 (a) ⊆ S1 (a);
(iii) Với mỗi a ∈ A, a ∈ S1 (a): R(a, a, y) đúng với mọi y ∈ T (a, a).
2.2.2

Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao của các tập compact

Dưới đây chúng ta sẽ trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
(VR) dựa trên tính chất tương giao của các tập compact và Định lí KKM-Fan
đã phát biểu trong Chương 1.
9