Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (496.86 KB, 60 trang )
Đỗ Thị Thắm
1
Luận Văn Tốt Nghiệp
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ
nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc
biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TS Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người
đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù
tôi đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và
thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn.
Tháng 11 năm 2011
Tác giả
đỗ thị thắm
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
2
Luận Văn Tốt Nghiệp
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lập với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
đỗ thị thắm
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
3
Luận Văn Tốt Nghiệp
Mục lục
Trang
Li cm n........................................................................................
1
Li cam oan....................................................................................
2
Mc lc............................................................................................
3
Mở đầu.........................................................................................
4
Nội dung.....................................................................................
6
Chng 1: Phân bố thống kê Bose Einstein v nhit ngng t
6
1.1. Thống kê Bose Einstein......................................................
6
1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trng lng t
9
1.2.1. Biu din s ht ca dao ng t iu hòa tuyến tính
9
1.2.2.Toán t sinh ht v hy ht Boson.................................
17
1.2.3. Thống kê Bose - Einstein theo lý thuyết trng lng t
19
1.3 Nhit ngng t Bose Einstein...........................................
21
Chng 2: Phân bố thống kê Bose Einstein bin dng q v nhit
ngng t............................................................................................
29
2.1. Lý thuyết q - s.................................... ..................................
29
2.2 Thống kê Bose Einstein biến dng q.....................................
33
2.3 áp dng thống kê Bose Einstein bin dng q nghiên cu hin
tng ngng t Bose Einstein........................................................
35
Chng 3: Tính số nhit ngng t ca vt liu siêu dn Zn
43
3.1. Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein thông thường
43
3.2. Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein ph thuc thông
s bin dng q ca Zn..............................................................
44
Kết luận chung.......................................................................
57
Tài liệu tham khảo................................................................
58
Phụ lục..........................................................................................
59
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
4
Luận Văn Tốt Nghiệp
I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ các hạt đồng nhất Boson là số hạt ở trong
cùng một trạng thái có thể tùy ý chứ không như các Fermion phải tuân theo
nguyên lý loại trừ Pauli. Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái vật chất
đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein. Kể từ đó tiên đoán của
Einstein đã được ứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu
dẫn, siêu chảy... và đã thu hút được nhiều nhà vật lý quan tâm. Từ thực
nghiệm các nhà vật lý đã tìm được nhiệt độ chuyển pha của một số vật liệu
siêu dẫn. Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra trạng
thái ngưng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải Nobel. Phát
minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học.
Từ trước đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết để tính nhiệt
độ ngưng tụ đều dùng phân bố thống kê Bose - Einstein. Thống kê này là áp
dụng cho hệ khí lý tưởng nên khi ta áp dụng cho hệ khí thực thì có sự sai khác
giữa lý thuyết và thực nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùng
phương pháp lý thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê Bose Einstein biến dạng q và áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q
này để tìm nhiệt độ ngưng tụ cho các vật liệu siêu dẫn. Dưới sự hướng dẫn của
cô giáo PGS- TS - Lưu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn Phân
bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật
liệu siêu dẫn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein trong trường hợp biến dạng.
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
5
Luận Văn Tốt Nghiệp
- Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein, tìm được giá trị của
nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein đối với vật liệu siêu dẫn cụ thể và so sánh
với kết quả chính tắc.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường
lượng tử.
- áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái
ngưng tụ Bose - Einstein.
- Tính nhiêt độ ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn kẽm.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Các hạt có Spin nguyên - các hạt Boson và vật liệu siêu dẫn.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp của lý thuyết trường lượng tử.
- Phương pháp giải tích toán học.
- Phương pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:
- Xây dựng được lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose - Einstein trong
trường hợp biến dạng q.
- Tính được nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein phụ thuộc vào thông số
biến dạng q và so sánh với kết quả chính tắc.
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
6
Luận Văn Tốt Nghiệp
II. Nội dung
Chương 1
Phân bố Thống kê Bose Einstein và nhiệt độ ngưng tụ
Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc xây dựng phân bố thống kê
Bose Einstein bằng hai phương pháp Gibbs và lý thuyết trường lượng tử. áp
dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngưng tụ
Bose Einstein.
1.1. Thống kê Bose Einstein.
Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này đồng nghĩa với việc
ta cần tìm công thức tính số hạt trung bình trong mỗi trạng thái lượng tử đơn
hạt.
Để tính được số hạt trung bình đó thì ta cần tìm được xác suất trạng thái
của cả hệ với điều kiện
N
i
N const
(i 1, 2,...)
i
Trong đó Ni là số hạt ở trạng thái lượng tử i và N là số hạt của
cả hệ ta xét.
Xét mô hình hệ mở tổng quát tức là hệ có thể trao đổi cả năng lượng và
vật chất với môi trường. Số hạt của hệ có thể nhận giá trị từ 0 đến với xác
suất khác nhau. Khi hệ cân bằng nhiệt động với môi trường thì số hạt của hệ
chỉ thăng giáng không đáng kể xung quanh giá trị trung bình và số hạt trung
bình đó được xem là số hạt thật của hệ.
Ta có thể xét hệ điện tử nằm trong những điều kiện cân bằng nhiệt động
với số điện tử có thể thay đổi (thoát qua mặt phân cách ra ngoài hoặc từ ngoài
vào), miễn là số điện tử trung bình bằng N . ở đây thì ta sẽ sử dụng phân bố
chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính.
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
7
Luận Văn Tốt Nghiệp
Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất của trạng thái N , N k là
trạng thái của hệ với số hạt tổng cộng của hệ là N trong đó có N k hạt ở trạng
thái k là:
N , N
k
1
.e
Z gr
E
N , Nk
kT
.N
(1.1)
Trong đó
+ Z gr là tổng thống kê suy rộng.
+ E N , N là năng lượng ứng với trạng thái N , N k và
k
được tính bằng: E N , N k .N k i .Ni
k
(1.2)
ik
Với i là năng lượng của một hạt ở trạng thái đơn hạt i.
là ký hiệu cách lấy tổng theo các chỉ số i k với điều
ik
kiện ràng buộc:
N
i
(1.3)
N Nk
i k
Thay (1.2) vào (1.1) ta được:
1
N , N
Đặt
k
1
1 kT k Nk kT
i k
.e
Z gr
k N i
1 k N k
1
k Ni
.e
e
, ta có: N , Nk
kT
Z gr
ik
Ta có Z gr e
Nk
E N , N N
k
k
e
Nk
Nk
k . N k i . N i N
i k
k
k . N k i . N i N i N k
i k
k
e
Nk
e
e
Nk
k . N k
k
e
ik
Ni
(1.4)
i
. Ni
k . N k
i . Ni
i k
k
e
i
i . N i
(1.5)
Ni
Thay (1.5) vào (1.4) ta được:
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
8
e
k Nk
Luận Văn Tốt Nghiệp
e
e
k Ni
i k
N , N
k
. Ni
i
Ni
i
Ta sẽ tìm xác suất N k hạt nằm trong trạng thái k là N bằng cách
k
cộng tất cả các xác suất N , N theo mọi tập hợp các số Ni (i 1, 2,...) cùng
k
chứa N k .
e
Tức là:
k Nk
e
Ni
N
. Ni
ik
e
k
i
i . Ni
Ni
i
Hoán vị phép lấy tổng và tích ở tử số ta được:
e
N
k
k N k
e
. Ni
Ni
ik
e
i
i
i
. Ni
Ni
e k N k
e
k
. N k
Nk
Số hạt trung bình trong trạng thái lượng tử k là:
N e
k
Nk
k
N k N k Nk
Nk
Nk
e
k
. N k
Nk
Từ đó suy ra:
Nk
1
.N
ln e k k
Nk
(1.6)
Như vậy thì để tính được số hạt trung bình trong trạng thái lượng tử k
với năng lượng k ta cần tính tổng ở vế phải của (1.6).
Thật vậy, đối với các hạt Boson ta có N k 0,1, 2... nên:
e
k . N k
Nk
e
k
. N k
Nk 0
Để cho tổng này hội tụ thì k , k . Tức là min
Trường ĐHSP Hà Nội 2
(1.7)
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
9
Do đó:
e
k
. N k
1 e
Nk 0
k
Luận Văn Tốt Nghiệp
1
Thay vào (1.6) ta được:
1
1
ln 1 e k
k
e
1
Nk
1
(1.8)
k
e
kT
1
Biểu thức này gọi là phân bố Bose - Einstein. Biểu thức này chỉ đúng
trong trường hợp các mức năng lượng k không suy biến. Nếu mức k suy
biến và bội suy biến là g tức là ứng với năng lượng k có g trạng thái
k
k
lượng tử khác nhau thì khi đó (1.8) được viết lại là:
g k
Nk
(1.9)
k
e
kT
1
1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trường lượng tử.
1.2.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có
khối lượng m dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f kx dọc theo một
đường thẳng nào đó.
Toán tử A là một quy tắc hay một phép toán mà nhờ nó ta có thể biến
đổi hàm thành hàm . Ta nói rằng toán tử A tác dụng lên hàm cho ta
hàm và viết rằng A .
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một
chiều [1], [6]:
p 2 m 2 2
H x
x
2m
2
(1.10)
Trong đó x q x là toán tử tọa độ.
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
10
p x p i
Luận Văn Tốt Nghiệp
d
là toán tử xung lượng.
dx
Giữa p và q thỏa mãn hệ thức giao hoán:
qp
i
p , q pq
d
d
d
d
x x i i x i x
dx
dx
dx
dx
d
d
( x ) ix i
dx
dx
p , q i
p , q
i
(1.11)
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian theo p và q như sau:
p 2 m 2 2
H x
x
2m
2
p i
Ta đặt:
q
(1.12)
m
a a
2
a a
2m
Khi đó biểu thức toán tử Hamiltonian theo a và a như sau:
2
2
p 2 m 2 2
1 2 m
m 2
H x
x
i
a a
a a
2m
2
2m
2
2 2m
2
2
1
a a a a
2 2
1
a a a a a a a a
2 2
1
2a a
2aa
2 2
a a
aa
2
(1.13)
Từ biểu thức của p và q ta tính được a và a như sau:
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
11
Luận Văn Tốt Nghiệp
p
2
a a
ip
m
m
m
a a
i
p i
2
2
2m
q
a a q
a a
q
2m
2m
m
p
a
q i
2
m
m
p
a
q i
2
m
Hệ thức giao hoán giữa a và a như sau:
a , a aa
a a
m
p m
p
m
q i
q i
2
m 2
m
2
1
i
2i qp
pq
qp
1
2i pq
2
Suy ra
p m
q i
m 2
a , a 1
p
q i
m
(1.14)
Từ đó biểu thức toán tử Hamiltonian có dạng:
1
H a a
2
Ta đặt
(1.15)
N a a [1], [5]
(1.16)
Khi đó ta có các hệ thức giao hoán sau:
aN
a aa
aa
a a a aa
a 1.a a
+ N , a Na
a N 1
Suy ra Na
(1.17)
a N a aa
a a a a aa
a a a .1 a
+ N , a Na
a N 1
Suy ra Na
Trường ĐHSP Hà Nội 2
(1.18)
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
12
Luận Văn Tốt Nghiệp
Ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì phương
trình hàm riêng, trị riêng khi đó là:
N n n n
(1.19)
n N n n n n n n n
Hay n
n N n
n a a n
nn
nn
(1.20)
n a a n a n r
Ta có :
n n n r
2
2
dr 0
dr 0
nên
n0
(1.21)
Vậy các trị riêng của toán tử N là các số không âm.
Cho a tác dụng lên véc tơ trạng thái n ta thu được véc tơ trạng thái
a n . Sau đó tác dụng toán tử N lên véc tơ này ta có:
n a N 1 n aN
n a n a n 1 n n 1 a n
Na
(1.22)
Nghĩa là véc tơ trạng thái a n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử N ứng với trị riêng n 1 .
Do đó a 2 n ; a 3 n ... cũng là véc tơ trạng thái của toán tử N ứng với trị
riêng n 2 , n 3 ,...
Tương tự cho toán tử N tác dụng lên véc tơ trạng thái a n ta thu
được:
n a N 1 n a N n a n a n 1 n n 1 a n
Na
(1.23)
Nghĩa là véc tơ trạng thái a n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử N ứng với trị riêng n 1 .
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
13
Luận Văn Tốt Nghiệp
Do đó a 2 n ; a 3 n ... cũng là véc tơ trạng thái của toán tử N ứng với trị
riêng n 2 , n 3 ...
Vậy nếu n là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì
a p n
cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n p
p 1, 2,3... .
Từ đó ta thấy khi n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi các số
không âm n 1, n 2, n 3,... cũng là trị riêng của toán tử N . Vì chuỗi này giảm
dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất. Khi đó:
(1.24)
a nmin 0
Do a nmin 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nmin 1 nmin trái
với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.15) ta có: a a nmin N nmin 0
(1.25)
Theo định nghĩa thì N nmin nmin nmin
(1.26)
Từ (1.25) và (1.26) ta thấy trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin có
giá trị bằng 0. Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu
là 0 . Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện a 0 0 .
Ta có thể rút ra các định lý sau:
+ Các trị riêng của toán tử N là các số không âm.
+ Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n
thì a p n cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n p
p 1, 2,3... và
a p n cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng
n p (nếu chúng khác 0).
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
14
Luận Văn Tốt Nghiệp
+ Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin có giá trị bằng 0. Véc
tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu là 0 . Véc tơ
trạng thái này thỏa mãn điều kiện a 0 0 .
Ta có:
+ a 0 tỷ lệ với véc tơ riêng 1 của N ứng với trị riêng n 1 .
Thật vậy ta có: N n 1 1
(i)
Mà a 0 là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng 0 1 1 ,
0 1.a 0
tức là Na
(ii)
Từ (i) và (ii) ta thấy:
1 là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng 1.
a 0 là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng 1.
Vì vậy a 0 phải tỷ lệ với véc tơ riêng 1 của toán tử N ứng với trị
riêng n 1 .
a 2 0 tỷ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử N ứng với trị riêng
n 2 và tương tự thì a n 0 tỷ lệ với véc tơ riêng n của toán tử N ứng với trị
riêng n .
1
1
Mặt khác ta có: H a a N N
2
2
H 0 N 0
0
2
H 0
0 E0 0
2
2
vì N 0 0 0 0
1
2
Nên: 0 là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E0
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
15
Luận Văn Tốt Nghiệp
1
1 là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E1 1
2
.........................................................................................
1
n là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng En n .
2
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng .
3
1
E1 1
2
2
1
5
E 2 2
2
2
E12 E2 E1
Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi:
+ Trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào và được
gọi là trạng thái chân không.
+ Trạng thái 1 là trạng thái chứa 1 lượng tử.
+ Trạng thái 2 là trạng thái chứa 2 lượng tử.
+ Trạng thái n là trạng thái chứa n lượng tử.
Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được
đoán nhận là toán tử số năng lượng.
Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 , do đó
được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng.
Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 , do
đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng.
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
16
Luận Văn Tốt Nghiệp
Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N
sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó
trạng thái n với năng lượng En sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu
diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Từ trên ta thấy:
+ Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với
n 1 , tức là:
trong đó n được xác định từ điều kiện
a n n n 1
chuẩn hóa.
Ta có: n
n N n
n N n
nn
n,n
Theo điều kiện để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa:
khi
khi
1
m, n m ,n
0
Khi đó:
Mặt khác:
mn
mn
thì
n ,n 1
n n N n n a a n
n a n* n 1
n n* n 1 n n 1 n2 n 1 n 1 n2
Do đó
Coi n là thực nên n n . Suy ra
a n n n 1
(1.27)
+ Toán tử a tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 , tức là:
a n n n 1
với n được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
1 n
Ta có: n n N n n a a n n aa
Mặt khác:
Do đó
n a n* n 1
1 n n* n 1 n n 1 n2 1
n n N n n a a n n aa
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
17
Luận Văn Tốt Nghiệp
Coi n là thực nên n2 n 1 n n 1 .
a n n 1 n 1
Suy ra
(1.28)
+ Đối với trạng thái chân không thì ta có tỷ lệ:
n n a 0 n a
Ta có:
n n a
n 1
n 1
a 0
0 1 n 0 a
n n 0 1 a
n2
n n a 0
n2
a 1 n 0 a
n2
1 2
2 ...........
n n 0 1 2 ... n 1 n
n n 1.2.3....n n n n ! n
Suy ra
n
1
n!
n
1
a 0
n!
(1.29)
1.2.2. Toán tử sinh hạt và hủy hạt Boson.
Boson, đặt tên theo nhà vật lý người ấn Độ Satyendra Nath Bose, là một
trong hai loại hạt cơ bản trong tự nhiên (loại hạt kia là Fermion). Chúng là hạt
duy nhất tuân theo thống kê Bose - Einstein, nghĩa là chúng có thể nằm cùng
một trạng thái lượng tử (không tuân thủ nguyên lý Pauli). Theo lý thuyết
thống kê spin, chúng có spin lấy giá trị nguyên.
Theo trên thì ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt
và toán tử hủy hạt là:
a , a 1
a, a a , a 0
Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
như sau:
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
18
Luận Văn Tốt Nghiệp
ak , al kl
ak , al ak , al 0
Vậy vấn đề đặt ra là ta sẽ xét xem là đối với các hạt Bose thì nó có tuân
theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để giải quyết vấn đề này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở
hai trạng thái khác nhau là k và l :
kl a k a l 0
với 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
lk a la k 0
Theo trên thì ta có: ak al al ak do đó ta suy ra kl lk .
Do đó véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng
với phép hoán vị hai hạt.
Mà ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những
hạt có spin nguyên, tức là các hạt Boson.
Vậy:
Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao
hoán:
a , a 1
ak , al kl
ak , al ak , al 0
Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson a
và toán tử số hạt N :
Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.27) và (1.28) ta có các đẳng thức sau:
n (n 1) n
aa
a a n n n
và a a lần lượt
Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa
bằng n 1 và n . Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng
của chúng là những ma trận chéo.
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
19
aa
mn
Luận Văn Tốt Nghiệp
a a
n 1 mn và
mn
n mn
1.2.3. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trường lượng tử.
Ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F
[1], [2], [5]:
F
Tr (e
H N
F)
(1.30)
Z
Trong đó Z là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ và
có dạng:
Z Tr (e
H N
) ne
H N
(1.31)
n
n0
Với:
1
kT
trong đó: k : Là hằng số Boltzman
T: Là nhiệt độ của hệ
H: Là Hamiltonian của hệ
ở trên ta đã chọn mốc tính năng lượng E0
.
2
Khi đó N n n , H N với là năng lượng của một dao động tử.
Mặt khác ta lại có N n n n và điều kiện trực chuẩn là: m n m ,n
Sử dụng các biểu thức trên ta có:
Z ne
0
H N
0
n 0
n0
0
= e n n n e n
Trường ĐHSP Hà Nội 2
n n e N n n e n n
do
n n 1.
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
20
Ta thấy
e
n
Luận Văn Tốt Nghiệp
là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội
n 0
là e và số hạng đầu tiên ứng với n 0 có giá trị bằng 1.
Vậy: Z
1
1 e
e
e 1
(1.32)
Thay toán tử F bằng toán tử số dao động N vào công thức (1.30) ta có:
N a a
Tr e
H N
N
(1.33)
Z
Trong đó:
Tr e
H N
H N
N ne
N n n e N N n =
n 0
n0
n 0
n 0
n e n n n
n 0
= e n n n n e n n 0 e 2e .2 ...
Đặt x
n 0
n 0
Ta có: I = e n n e n. x .n 0 e x 2.e 2 x 3.e3 x .... n.e nx
e x 2.e2 x 3.e3 x .... n.enx e x e 2 x e3 x .... e nx
e x 1 e x e 2 x ... e n 1 x
Mà
1 e x e 2 x ... e
e x
Do đó I
x
1 e
1
1 ex
e x 1 e x e x .e x
x 2
1 e
H N
Suy ra: Tr e
N
Trường ĐHSP Hà Nội 2
n 1 x
e
ex
x 2
1 e
1 e
2
(1.34)
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
21
Luận Văn Tốt Nghiệp
Thay (1.32) và (1.34) vào (1.33) ta có:
e
e
2
2
1 e
e 1
1
N
e
e
e
1
e
1
e
1
Vậy:
N
1
e
1
1
(1.35)
e
kT
1
Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng
được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt
Boson.
1.3. Nhiệt độ ngưng tụ Bose Einstein.
Ngưng tụ Bose - Einstein hay ngưng tụ Bose là hiện tượng chuyển pha
của các hạt Boson, trong đó một lượng lớn các hạt Boson cùng tồn tại trên một
trạng thái lượng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ chuyển pha.
Đối với mô hình khí lý tưởng (không có tương tác giữa các Boson), khi
ở nhiệt độ đạt đến không tuyệt đối (0 kelvin) tất cả các hạt Boson có thể cùng
tồn tại trên một trạng thái lượng tử với năng lượng thấp nhất. Đó chính là
ngưng tụ Boson - Einstein. Bằng lý thuyết người ta đã chứng minh rằng tồn tại
nhiệt độ ngưng tụ Tc mà khi nhiệt độ của hệ T < Tc thì hệ ở trạng thái BEC.
Đối với hệ khí Boson có tương tác (mô hình khí thực), người ta đã
chứng minh một cách lý thuyết là tồn tại nhiệt độ chuyển pha, mà khí Boson
có thể ngưng tụ. Những tiến bộ trong kỹ thuật làm lạnh và giam nguyên tử đã
cho phép thực nghiệm quan sát được hiện tượng ngưng tụ Boson - Einstein
trong hệ khí liti, kali và natri.
ở nhiệt độ thấp khí Boson có tính chất khác hẳn khí Fecmi, vì các hạt
Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Paoli nên ở nhiệt độ không
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
22
Luận Văn Tốt Nghiệp
tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng 0 , do đó trạng thái cơ bản của
tất cả chất khí là trạng thái có năng lượng E = 0.
Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose - Einstein, vì vậy
số hạt trong khoảng năng lượng d là :
dn N . f d
(1.36)
Với f d là số các mức năng lượng trong khoảng đến d .
N là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng tức
hàm phân bố Bose - Einstein là :
N
Với
g
exp
1
kT
(1.37)
k : Là hằng số Boltzman
: Là thế hóa học
g : Là bội suy biến của các trạng thái lượng tử.
Theo quan điểm lượng tử các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể
xem như các sóng đứng De Broglie.
Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng k từ k đến
k dk :
k 2 dk
f k dk
2 2
(1.38)
Theo giả thiết De Broglie ta có hệ thức giữa xung lượng p và véc tơ
sóng k là: p k , do đó (1.38) được viết lại như sau:
f p dp
p2
Vdp
2 2 3
(1.39)
Mặt khác với các hạt phi tương đối tính (tức là các hạt có vận tốc v <
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
23
Luận Văn Tốt Nghiệp
p2
2m
2m
p 2 2m dp
2m
p 2 dp 2m
2
2
d
d 2m3 d
Nên (1.39) được viết lại như sau: f d
2 m 3V
d
2 2 3
(1.40)
Bởi vì các hạt có thể có các định hướng Spin khác nhau nên số trạng
thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của Spin s của hạt là g=2s+1. Bội suy biến
g phụ thuộc vào Spin của hạt, nếu Spin của hạt bằng 0 chẳng hạn như phân
tử He24 thì bội suy biến g =1.
Thay (1.37) và (1.40) vào (1.36) ta thu được số hạt trung bình có năng
lượng trong khoảng đến d bằng:
3/ 2
g 2m V
dn
.
4 2 3
1
2
(1.41)
d
e kT 1
Lấy tích phân trong khoảng năng lượng từ 0 đến , ta được tổng số hạt
của chất khí:
1
3
g 2m 2 V
N N . f .d
4 2 3
0
2
0
e
kT
d
1
(1.42)
Số hạt dn trong khoảng năng lượng từ đến d phải là số dương,
vì vậy thế hóa học phải thỏa mãn điều kiện 0 .
Nếu số hạt N là số cho trước thì biểu thức (1.42) sẽ xác định được và
là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là:
0 [1], [6].
T
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
(1.43)
Đỗ Thị Thắm
24
Luận Văn Tốt Nghiệp
1
T
2
N
0 kT d
e 1
Thật vậy:
T
1
N
T
2
d
0 kT
e 1
Trên tử ta có:
1
2
1
2
e
d
d
0 T
0
T 0 kT
kT
e 1
e
1
kT
1
2
T kT
d
2
kT
e 1
1
1 e kT . 2 .
= 2
d .
kT 0 2
kT
e 1
Dưới dẫu ta có:
1
1
kT
. 2 .
e
2
kT
d
d
0
0 2 d
0 kT
kT
kT
e 1
e 1
e 1
1
2
1
1
e kT . 2
d .
kT 0 2
kT
e 1
kT
e 1
0
Vậy:
1
.
T
T
0
0 , từ đó ta thấy
1
e kT . 2 .
e
e
kT
kT
.
2
d
, vì 0 và 0 cho nên ta thu được
1
2
1
2
d
0.
T
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
Đỗ Thị Thắm
25
Luận Văn Tốt Nghiệp
Khi nhiệt độ giảm thì tăng, và đến nhiệt độ Tc nào đó sẽ đạt giá trị
cực đại bằng 0, vì 0 max 0 thay =0 vào (1.42) và lấy tích phân ta
được:
1
3
g 2m 2 V
N
4 2 3
Ta đặt x
kTc
2
0
kTc
e
(1.44)
d
1
, khi đó (1.44) có dạng:
1
3
g 2mkTc 2 V
N
4 2 3
x2
0 e x 1dx
(1.45)
1
x2
Tính I= x dx bằng phần mềm Mathemmatica 7.0 như sau:
e 1
0
1
x2
NIntegrate[ x ,{x, 0, }, PrecisionGoal 12, MaxRecursion 40]
e 1
2.31516 2.60406 1069 i
Thay giá trị của I = 2,31516 2, 60406 1069 i vào (1.45) ta tính được:
2
3,31. 2 N 3
Tc 2
.
V
3
g .mk
Đối với He4 có mật độ
(1.46)
N
g
.m 0,12 3 nhiệt độ Tc cỡ 2,8K.
V
cm
Nói chung đối với mọi chất khí Boson nhiệt độ Tc rất nhỏ, tuy nhiên sự
tồn tại Tc 0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu được ý nghĩa của nó ta xét
khoảng nhiệt độ 0 T Tc , thế hóa học 0 với nhiệt độ T Tc , số hạt có
năng lượng 0 là:
1
3
g 2m 2 V
N 0
4 2 3
Trường ĐHSP Hà Nội 2
2
0
e
kT
d
1
Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT
