CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a  b  góc (a;b)  90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P ) 
a b
b  (P ) 

b

P

C4: Dùng hệ quả:
b

a

c

b // c , a  b  a  c

C5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P ) 
a b
b  (P )


P

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì
vuông góc với cạnh còn lại của tam giác.



A

  AB 
    BC
  AC 

B

C

C8:a  b khi 2 vtcp của 2 đt đó vuông góc.
AB 2  AC 2  BC 2
BA 2  BC 2  AC 2
Chú ý:Đlí hàm số cosin cos A 
; cos B 
2. AB. AC

2.BA.BC

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 :
Cho tứ diện ABCD đều.
CM: AB vuông góc với CD
Hướng dẫn tóm tắt:
dùng tích vô hướng AB.CD  0
C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB  (MCD)


Bài 2 :
C/M

Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC.

a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a,  ABC cân  AM  BC.
b,  SAB=  SAC(cgc)  SB=SC  SM  BC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD
a. CM: AO  CD
b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a, AO  ( BCD)  AO  CD
b.Gọi M là trđ CD  AM  CD ,lại có
AO  CD  CD  (AMB)  CD  AB
Bài 4 :

Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC
= a 2.
a..Tính góc giữa 2 đt SA và BC
b.Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:
a. Gọi M là trđ BC  SM  BC; và có AM  BC  BC  (SAM)  góc giữa SA và BC
là 90 0
b. SC.BA  ( BC  BS ).BA  a 2  cos(SC, BA)  2 / 2  (SC;BA)  450
Bài 5 :Cho tứ diện ABCD trong đó AB  AC, AB  BD. Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm
của AB
và CD.
Chứng minh AB  PQ
Hướng dẫn tóm tắt:

2.PQ  BD  . AC  AB.PQ  0

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh
a.AB  CD
b.Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN  AB, MN  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Từ g thiết   ABC ,  ABD là đều.Gọi M là tr đ AB
 CM  AB;DM  AB  AB  CD
b.Theo a *có AB  MN
*Xét  MCD có MC=MD   MCD cân tai M,N là tr đ CD  MN  CD.
Bài 6 :

Bài 7 :

Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD =
a.CMR AD vuông góc BC

b,Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
 AE  BC.  DBC đều  DE  BC  BC  (AED)
Hướng dẫn tóm tắt:
 BC  ADa.Gọi E là tr đ CB
cách 2: BC. AD  BC.( AE  ED)  0  BC  AD
b. I là trung điểm CD  BI  CD;AI  CD  CD  AB

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

2a
3


Bài 8 :Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 9 :
Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a 2 , CD= 2a
a.Tính góc giữa 2 đt AB và CD
b.Tính góc giữa 2 đt AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.(AB,CD)= 90 0
b. cos( BC , AD ) 

BC. AD  2

 ( AD; CB)  45 0
BC. AD
2

Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC,
SAD đều

vuông, SA= a

2
. Tính góc giữa SC và AD
2

Hướng dẫn tóm tắt:
SC. AD  a 2  cos( SC; AD ) 

2
5

II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
a
b

b , c cắt nhau , b, c  (P ) , a  b, a  c  a  (P )
c

P

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt
phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng

b

a

a // b , b  (P )  a  (P )

P

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a
nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc
với mặt phẳng kia
Q
a
b

(P )  (Q )  b 
  a  (P )
a  (Q ), a  b 

P

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko


C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó


( )  (  )  
( )

( )


    (P )
( )  (P ),(  )  (P ) 

P

 Lưu ý các kiến thức thường gặp:
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung
đáy BC. Gọi I là trung điểm BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông
góc với mp(BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  DI và BC  AI nên BC  AD
b.AH  DI và AH  BC nên AH  (BCD)
Bài 12 : Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại
B.
a .cm BC  SB
b.Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. Cm: AH  (SBC), SC
 ( AHK)
Hướng dẫn tóm tắt:

a. BC  AB và BC  SA nên BC  SB
b. AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC)
AH  SC và AK  SC nên SC  (AHK)
Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD.
Chứng minh
a.SO vuông góc với (ABCD)
b.AC vuông góc SD, BD  SA
c.Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. cm IJ  (SBD)
d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. cm: AD  (SOH)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.SO  AC và SO  BD nên SO  (ABCD)
b.AC  BD và AC  SO nên AC  (SBD) suy ra AC  SD
c.IJ //AC mà AC  (SBD) nên IJ//(SBD)
d.AD  SH và AD  SO nên AD  (SOH)
Bài 1 4 : Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko


a.cm AH  (BCD)
b.cm AD  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.CD  AH và BD  AH nên AH  (BCD)
b.BC  AH và BC  DH nên BC  AD.
Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD có SA  đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A.
AD = 2AB = 2BC
a.cm BC  (SAB)
b.cm SC  CD

Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  SA và BC  AB nên BC  (SAB)
b.MAC cân tại M nên góc MAC = 45 0 .tương tự góc MCD= 45 0 .do đó CD  SA
và CD  AC
nên CD  SC
Bài 16 : Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung
điểm BC. CM:
a.BC  (SAM)
b.Vẽ AH  SM tại H. cm AH  SB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  AM và BC  SA nên BC  (SAM)
b.AH  SM và AH  BC nên AH  (SBC)
Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có SA =

a 6
và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là
2

trung điểm BC. cm:
a.BC  SA
b.SI  (ABC)

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

5


Hướng dẫn tóm tắt:

a.BC  AI và BC  SI nên BC  SA
b. AI 2  SI 2  SA2 nên SI  AI tại I.
SI  BC và SI  AI nên SI  (ABC)
Bài 1 8 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA
 (ABCD)
a.Gọi I là trung điểm SD. cm AI  (SCD)
b.Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình
chiếu của O trên CM
Hướng dẫn tóm tắt:

a.AI  SD và AI  CD nên AI  (SCD)

Bài 19 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông
b. cm SI  (SCD); SJ  (SAB)
c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ cm SH  AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a 3
a
; SJ  .tam giác SIJ vuông tại S
2
2
b.IS  SJ và SI  CD nên SI  (SCD)
c.SH  IJ và SH  AB nên SH  (ABCD) suy ra SH  AC
Bài 20 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA  (ABCD).

a. SI 

a.cm các mặt bên của h/c là các tam giác vuông

b.cm (SAC) là mp trung trực của BD
Hướng dẫn tóm tắt:

III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt
phẳng
A. Các định lý
1.

b

 a // b
 b  ( )

a  ( )

a

P
a

(  ) //( )
 a  ( )
a  

2. 

( )  (  )

3. a  ( )  ( ) //(  ))
a  (  )



a

b

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

6


a  b

4. a  ( )  a // b
b  ( )


a
b
a  b
a  ( )

( )  b a //( )

5. 

B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD).

Gọi  là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC,  cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và (  )
b. Cm: BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và (  )
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và (  )
Hướng dẫn tóm tắt:
a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và(  )
b.BD  AC và BD  SA nên BD  (SAC) suy ra BD  SC
c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD
Bài 22 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và
SA = AB. Gọi H và M
lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)
Hướng dẫn tóm tắt:
OM //SB mà SB  (AHD) suy ra OM  (AHD)
Bài 23 : Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng
SH  (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA =
2NS. Chứng minh MN  (ABC)
Hướng dẫn tóm tắt:M là trọng tâm tam giác ABC nên AM=2MH,lại có AN=2NS nên
MN//SH mà SH  (ABC) suy ra đpcm.
Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA  (ABC)
a. Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. cm BC  (SAB) và AH  (SBC)
b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. cm SC  (AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC. cm BM //(AHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC)
b.SC  AK và SC  AH nên SC  (AHK)
c.BM  SC mà (AHK)  SC nên BM//(AHK)

IV. Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m

TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

7


A. Phương pháp chứng minh
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
 ( )  (  )   , Ox  ( ),Ox   , Oy  (  ),Oy  



Khi đó:


O

x

y



góc (( );(  ))  góc (Ox ;Oy )  xOy   : 0    90o


 ( )  (  )    90o

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng

nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

a



a  (  )
  ( )  (  )
a  ( ) 

B. Bài tập ứng dụng:
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác
SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi
a.cm SO  (ABCD)
b. cm (SAC)  (SBD)
Hướng dẫn tóm tắt:

Bài 26 : Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA  đáy
a. cm: (SAB)  (SBC)
b.Gọi M là trung điểm AC. cm (SAC)
 (SBM)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SBC) có BC (SAB) nên(SBC)  (SAB)
b.Trong (SBM)có BM  (SAC) nên (SBM)  (SAC)
Bài 27 : Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Tam giác ABC vuông tại B
a. cm: (SAC)  (ABC)
b.Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. cm
(AHK)  (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có SA  (ABC) suy ra đpcm

b.Trong (AHK) có AK  (SBC) suy ra đpcm

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

8


Bài 28 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A
qua I. dựng đoạn SD =

a 6
vuông góc với (ABC). cm
2
b.(SAB)  (SAC)

a.(SBC)  (SAD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong tam giác (SBC) có BC  (SAD) suy ra đpcm
b.  SAB=  SAC.Trong  SAC kẻ đg cao CK  SA,Trong tam giác SAB kẻ đg
cao BK  SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng
dạng 

IK IA
a

 IK  suy ra tam giác BKC vuông tại K.
SD SA
2

Bài 29 : Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. cm: (SBC) (SAC)
b.Gọi I là trung điểm của SC. CMR
(ABI)  (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.H là tr điểmAC.SH  AC nên SH  (ABC).BC  CA và BC SH nên
BC  (SAC)suy ra đpcm.
b.SC là giao tuyến của (SAC) và (SBC).tam giác SAC đều nên AI  SC suy ra
AI  (SBC).
Bài 30 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC
a. cm SI  (ABCD)
b. cm SAD, SBC là tam giác vuông
c. cm (SAD)  (SAB) và (SBC)  (SAB)
d. cm (SDK)  (SIC)
Hướng dẫn tóm tắt:
c.Trong (SAC)có DA  (SAB) nên (SAD)  (SAB)
d.cm DK  IC ta có DK  IC và DK  SI nên DK  (SIC)
Bài 31 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA  (ABCD). Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của A lên SB, SD
a. cm (SAB)  (SBC); (SAD)  (SCD)
b. cm (AEF)  (SBC); (AEF)
 ((SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 32 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SO  mp(ABCD). SO =
a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. cm: (SBD)  (SAC)
b. cm (SIJ)  (SBC)

Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 33 : Cho tứ diện ABCD có SA  (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC
và SBC. cm
a. AH, SK, BC đồng quy
b.SC  (BHK); (SAC)  (BHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH  BC=M .SM  BC do đó SM là đg cao của tam giác SBC  K  SM

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

9


vậy SK,BC,AH đồng quy tại M
b.SC  BK và SC  BH nên SC  (BHK) từ đó suy ra (SAC)  (BHK)
V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC
A. Lý thuyết1. Góc của hai đường thẳng

A
a'

a

 =(a; b)

O
b'






Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = A OB
Thường chọn điểm O a hoặc O
b



 giao tuyến của  và  .



Dựng:

B

b

2. Góc của hai mặt phẳng

O




B

A

OA  ( )
OB  (  )
và 

OA  
OB  

 Góc ( ,  ) = Góc (OA ,OB ) = A OB  
Chú ý: * 0    90o
* Nếu   90o thi chọn góc ( ;  )  180o  




3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu
của nó trên mặt
phẳng
A
a

B


O

.
Gọi a’ là hình chiếu  của a trên (  )
Khi đó: Góc (a;( )) = Góc(a,a’) = A OB   .

0 0  A OB    90 0

B. Bài tập
Bài 34 : Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau:
Góc giữa AB và (BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

10


a 3
.Góc giữa AB và (BCD)=góc giữa AB và
3
0
BG.; cos ABG  1 / 3  gócABG  54 44 '
Bài 35 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA
= a 6 . Tính các góc giữa:

G là trọng tâm  BCD.BG=

a. SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)
b. (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)

Hướng dẫn tóm tắt:
a.
 .Góc của SC và (ABCD)=góc giữa SC &AC=góc SCA;góc SCA= 60 0
 Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=69017’
 Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=15030’(kẻ BH  AC thì
BH  (SAC) )
 gócAC&(SBC)=góc (AC;CK)=40053’ vói K là hc của A lên SB
 góc giữa (SBC)&(ABCD) là góc SBA=67047’
 góc giữa (SBD)&(ABCD)là góc SOA=73053’
 góc giữa (SAB)&(SCD)=góc DSA=22012’
Bài 36 : Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam
giác đều cạnh a. Tính các góc giữa SB, (ABC) và góc giữa SC, (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
 Góc giữa SB&(ABC)=(SB;AB)=góc SBA=63026’
 Góc giữa SC&(SAB)=(SC;AC)=góc SCA=63026’
Bài 37 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD)
a. CMR: BC  (SAB)
b. Biết góc tạo bởi SC và (ABCD) là 450 . Tính SA
Hướng dẫn tóm tắt:
b.SA=AC= a 2
Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= SB= SC =SD = a 2
a. CMR (SAC)  (SBD)
b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có AC  SO và AC  BD nên AC  (SBD) suy ra đpcm
b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=
góc SMO.

SM 

a 7
a
a 6
; OM  ; SO 
 SOM vuông tại M;góc SMO=20042’
2
2
2

Bài 39 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D,
có AB = 2a, AD=DC=a, SA  mp(ABCD) và SA = a
a. CMR BC  (SAC)
b. Xác định góc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC)
c. CMR mp(SAD)  mp(SDC), mp(SAC)  mp(SCB)
d. Tính tan của góc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD)

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

11


e. Goi   là mp chứa SD và vuông góc với mp(SAC). Xác định thiết diện
của hình chóp S.ABCD với  
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi M là tr điểm của AB.tính được góc BCA=900 nên BC  AC và BC  SA
do đó BC  (SAC)
b. (SB;(ABCD))=(SB;AB)=góc SBA=26033’

Góc giữa SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vuông tại C nên góc
0
’
BSC=32 18
c.Trong (SDC) có DC  DA và DC  SA nên DC  (SAC) hay (SCD)  (SAC)
d.Trong (SBC)có SC  BC và (SAC) có AC  BC nên góc của 2 mp này =góc
(SC;AC)=35015’
e.Gọi M là tđiểm AB có DM  (SAC) nên thiết diện là tam giác SMD
Bài 40 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và
SA = SB = SD =

a 3
2

a. CMR: (SAC)  (ABCD)
b. CMR SB  BC
c. Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
c.Trong (SBD) có SO  BD;trong (ABCD) có AC  BD nên góc của
(SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA. Tính được
SO=

a
2

;AC= a 3 ;SC=

a 7
6
; cos SOA 

6
2

Bài 41 : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc,
ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a. Chứng minh DC  (SMN)
b. Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c. Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:SM AB và (SAB)  (ABCD) nên SM  (ABCD)
a.DC  SM và DC  MN nên DC  (SMN)
b.góc (SN;(ABCD))=(SN;MN)=góc SNM=40053’.
C,SM  (ABCD) nên (SMC)  (ABCD)
Bài 42 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB= AC= a,
SA  (ABC),
SA = a
a. Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)
b. Tính góc giữa 2 mp (SAC) và (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là t điểm BC .Góc (SBC)&(ABC)=(SH;AH)=góc SHA=54044’
b.Có BA  (SAC).(1)
Trong (SAH) kẻ AN  SH thì AN  (SBC) .(2) Từ (1) &(2) có góc (SAC)&(SBC)
=góc (BA;AN)=góc BAN=54044’

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

12

Bài 43 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = a.
Tính góc giữa 2mp
a. (SBC) và (ABCD)
b. (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=450
b.Trong tam giác SDC kẻ DK  SC; trong tam giác SBC kẻ BK  SC. Góc (SBC)&
(SDC)
= (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD= a 2 ;SC  (BDK) nên SC  KO do đó tam
giác CKO vuông tại K. KO=

a 6
và góc DKO =600suy ra góc DKB=1200.Vậy góc
6

(SBC)&(SDC)=600.
VI.KHO NG CÁCH
A. Lý thuyết

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

M

M



H


H

Dùng: MH  ( ), H thuéc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH

Dùng MH   : d(M, ) = MH

song song

Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song
 1 //  2

Khoảng cách giữa mặt
phẳng và đường thẳng //

1



M

M

 // ( )

2
H

H


Chän ®iÓm M thuéc  , dùng MH  
( H thuéc ( )), ta cã d( ,( )) = MH

Chän ®iÓm M trªn  1, dùng MH   2
( H thuéc  2) ta cã d( 1, 2) = MH

Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song

Cách1

( ) // (),  chøa trong ( )




M

M

A a

H

a'


Ta cã: d(( ),()) = d( ,( )) = MH
(M thuéc , MH  ( ), H thuéc  )

H
B



b

 Dùng mÆt ph¼ng ( ) chøa b & ( ) // a
 Dùng MH  ( ), M thuéc a, H thuéc ( )
 Dùng a' trong mÆt ph¼ng ( ), a' // a
®-êng th¼ng a' c¾t ®-êng th¼ng b t¹i B
 Dùng  qua B vµ // MH,  c¾t a t¹i A
Khi ®ã: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB

 a vµ b chÐo nhau

13


Cách 2: Nếu a  b
- d ựng ho ặc tìm mp(  ) ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A.
- trong  , dựng đoạn AB  b tại B

- đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b
B. Bài tập
Bài 44 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA 
(ABC)
và SA = a
a. CM: (SAB)  (SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
d. Gọi D , E là trung điểm của BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ
E đến AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  (SAB) nên (SBC)  (SAB)
b.*Trong tam giác SAB kẻ AH  SB ,  AH  (SBC)  d ( A; ( SBC ))  AH 
*d(C;(SAB))=CB=a 2

a 6
3

;d(B;(SAC))=BO=a với O là t điểm AC.

1
2
a 35
d.tam giác SDA vuông tại A,kẻ AK  SD thì AK=d(A;SD)=
7

c.Gọi I là tđ AB  IO // BC  IO //( SBC )  d (O; ( SBC ))  d ( A; ( SBC )) 

a 6
6

Bài 45 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD =
a 3 . Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.
2
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC)
b. Tính khoảng cách từ S đến BC
c. Tính khoảng cách từ I đến BC

Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4,
SA  (ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
a. A đến (SBD)
b.A đến (SBC)
c.O đến (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a. Kẻ AI  BD  BD  SI,trong (SAI)
kẻAH  SI  AH  (SBD).;AH.SI=AB.AI
60
AI=12/5;SI= 769 5 ;AH=
769
b.d(A;(SBC))= 15

34

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

14

c.M là t đ của AB  OM//(SBC) nê n
d(O;(SBC))=d(M;(SBC))=1/2d(A;(SBC))=

15
2 34

Bài 47 : Cho hình chop S.ABCD có đáy SA  (ABCD), đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và B. AB = BC =

AD
= a, SA = a
2

a. CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b. Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Hướng dẫn tóm tắt:
b.d(A;(SBC))= a 2
c.tam giác SBD cân tại D;I là tđ SB; DI= 3a 2 2 ; S SBD = 3a 2 2  d (b; SD)  3a

5

Bài 48 : Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với
nhau. Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC =
a.
a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: ỊJ là đương vuông góc
chung của AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:

a.tam giác BAD vuông tại A.;tam giác BCD vuông tai D
b.BC= a 2  b 2 ; AD  b 2  a 2 ;DJ=1/2BC;AJ=1/2BC suy ra tam giác AJD cân tại
J  IJ  AD (1)
IC=

3a 2  b 2
a2  b2
a2
;JC=
;IJ=
.tam giác IJC vuông tại J  IJ  JC (2)
2
2
2

Từ (1) & (2) IJ là đường vuông góc chung của AD&BC
Bài 49 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và
SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
Tính k/c từ I đến AB
CMR (SBC)  (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)
Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC &
AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là tđ AC ;IH=d(I;(ABCD))=h/2
a.
b.
c.
d.

e.

b.Gọi K là tđ AB ;thì AB  KH nên AB  (KHI)  d(I;AB)=KI=

a2  h2
2

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

15


c.)d(A;(SBC))=

ah
a h
2

2

;kẻ AE  SH thì AE  (SBD)  d ( A; ( SBD ))  AE 

ah 2
4h 2  2a 2

d.)d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(A;(SBC)). d(SA;CD)=AD=a
e. * đoạn vuông góc chung của SB&CD là CB=a
*. đoạn vuông góc chung của SC& BD là HM với HM  SC

* đoạn vuông góc chung củaSC&AB là AF với AF  SC
Bài 50 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là h/vuông tâm O, cạnh a. SA= SB =SC =SD =
a 2 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. Tính k/c từ S đến (ABCD)
b. CM (SIJ)  (SBC)
c. Tính k/c từ O đến (SBC)
d. Tính k/c giữa 2 đt AD và SB
e. Tính k/c từ S đến CI
Hướng dẫn tóm tắt:
a,d(S;(ABCD))=SO= a 6 2
b.d(O;(SBC))=OH= a 42 14 ,vớiOH  SJ
c.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))IK=2OH ,với IK  SJ
e.d(S;CI)=SE =

2S SCI
 ;tam giác SCI
CI

Bài 51 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a.
SA  (ABCD) và SA = a.
a.CMR (SAE)  (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD
b.Tính k/c từ A đến (SBD)
c.Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:
b.trong tam giác SAE kẻ AH  SE .d(A;(SBD))=AH=2a/3
c.trong tam giác SAB kẻ AK  SB thì AK=d(SB;AD)= a 2 2

Bài 52 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC= a;
AD= 2a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa a. SB và CD;
b.SD và

AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.
b.Từ A kẻ AE//=CD,suy ra ACDE là hcn.Từ A hạ AH  SE thì AH  DE do đó
AH  (SED).
D(AC;SD)=d(AC;(SED))=d(A;(SED))=AH= a 6 3
Bài 53 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, góc BAD = 600 .
SO  (ABCD),
SO = a .
a.Tính k/c từ O đến (SBC)
b.Tính k/c giữa 2 đt chéo nhau AD và SB
Hướng dẫn tóm tắt:

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

16


a,d(O;(SBC))=OH= a 57 19 .với OH  SC
b.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=2.OH
Bài 54 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. tam giác
SAD đều và nằm trong mp  (ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a.CMR (SIJ)  (SBC)
b.Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  IJ và BC  SI nên BC  (SIJ) ,do đó (SIJ)  (SBC)
b.d(S;(ABCD))=SI= a 3 2

c. d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=IH = a 21 7 ,với IH  SJ
d(SA;DB)=

BD ; SA AD a 21

BD ; SA 7

Bài 55 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cacsc cạnh bằng a.
a.CM (BD’B’)  (ACD’)
b.Tính khoảng cách giữa 2 mp (ACD’) và (BA’C’)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
Hướng dẫn tóm tắt:
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT

67/ Hình chóp tam giác đ u
Hình chóp tam giác đều:
S
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
 Đáy là tam giác đều
h
 Các mặt bên là những tam giác đều

A
Cách vẽ:
C

 Vẽ đáy ABC
 Vẽ trung tuyến AI

H
Dựng
trọng
tâm
H
Vẽ SH  (ABC)


I
B
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SA H   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

17


68/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuông
 Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
 Vẽ đáy ABCD
 Dựng giao điểm H của hai đường

S

chéo AC &
A BD

D




I

H

B

C

 Vẽ SH  (ABCD)
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
SA H   .

 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

69/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
S



A

C



 SA  (ABC)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

B

 SA  (ABCD)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

S

.

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA  


A

B

D


C

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

18


* Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2  b2  c 2 ,

a 3
2

c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

19