chuyên đề góc hình học không gian lớp 11 chuyen de goc

Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian
Chuyên đề 1: Các dạng toán về góc
1.1. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng

1.1.1. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt
nhau và lần lượt song song với a và b. Tức là, chọn ra hai
đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b.

a

a'
O

b'

b

Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường
thẳng a và song song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b) một
điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng qua A và song song
với b (hoặc a)

a
O

b'

b

1.1.2.Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA  a 3, SA  BC . Tính góc
giữa hai đường thẳng SD và BC?
a) 450
b) 300

Giải: Ta có: BC//AD và

c) 600

d) 900

BC / / AD 
0
  SAD  90 .
SA  BC 

S

Do đó, ( SD, BC )  ( SD, AD)  SDA .

A

D

Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có:

tan SDA 

SA
 3  SDA  600
AD

B

C

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600
Đáp án: C.

SĐT: 0962900413

Email:
-1-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian

Ví dụ 2: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2 a , đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung
điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?
c) 0
1
1
3
a)
b)

d)
2
4
2

Giải: Gọi H là trung điểm của BC

A'

C'

AA '/ / BB ' 
  ( AA ', B ' C ') 
Ta có: B ' C '/ / BD 

I

 ( BB ', BD)

B'
A

C

Hay,

H

cos( AA ', B ' C ')  cos( BB ', BD)  cos HBB '

B

Xét tam giác A’B’H có A '  90 , A ' B '  a ,
0

2

 BC 
2
2
A ' H  AA '  AH  AA '  
  a 3 , HB '  A ' H  A ' B '  2a .
 2 
2

2

2

BH 2  BB '2  HB '2 1

Do đó, cos HBB ' 
2.BH .BB '
4
Vậy cos( AA', B ' C ')  cos HBB' 

1
4

Đáp án: B.

Ví dụ 3: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a , SA= a , SB =

a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
c) 0
2
b) 1
5
a)
d)
5
5

SĐT: 0962900413

Email:
-2-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian
Giải:

S

Ta có: SA2  SB2  a2  3a2  AB2 nên
AB
 a.
ABC vuông tại S, suy ra SM 

2
Do đó SAM đều.
Kẻ ME//DN ( E  AD ) suy ra AE 

D

M

a
.
2

Ta có  ABCD    SAB  mà EA  AB nên

N

B

EA   SAB  suy ra EA  SA . Suy ra SE  SA2  AE 2 

Suy ra

E

A

C

a 5
a 5

, SE  MA2  AE 2 
5
5

a
5
AME cân tại E nên SME  SM , ME  SM , DN , và cos SME  2 
5
a 5
2



 



Đáp án: D.

1.1.3.Bài tập:
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=BC=BD= a và DC= a 2 . Tính góc giữa hai đường
thẳng AC và BD.

a) 300

b) 450

c) 600

d) 900

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB là đáy lớn,
biết AD=DC= a , BC= a 2 , SA= 2a
a) 300

3
. Tính góc giữa SB và DC.
3

b) 450

c) 600

d) 900

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết SA   ABCD  , SA=

a 3 . Tính góc giữa SD và BC.
a) 450

b) 600

c) 300

d) 900
SĐT: 0962900413

Email:
-3-

Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính góc giữa AB và DC.
a) 450

b) 600

c) 300

d) 900

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SAD  SAB  900 , SA= a 2 .
Tính góc giữa SC và AD.
a) 450

b) 600

c) 300

d) 900

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA  BC , SA= a 3 . Tính góc giữa
SD và BC.
a) 450

b) 600

c) 300

d) 900

1.2. Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1.2.1.Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a. Định nghĩa: Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng
(P) tại O và a không vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là
góc tạo bởi a và hình chiếu a ’ của a trên (P).

aA

b. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a
và mặt phẳng (P)

a'
H

I

+ Tìm I  a  ( P)
P

+ Tìm A thuộc a kẻ AH vuông góc với (P)
+ (a,( P))  AIH

1.2.2.Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  a 2, SA  ( ABCD) .
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)?

a) 450
b) 300
c) 600

d) 900

SĐT: 0962900413

Email:
-4-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian
Giải: Ta có SA  ( ABCD) , SC cắt (ABCD) tại C

S

=> AC là hình chiều của SC trên (ABCD)

 





=> SC ,  ABCD   SC , AC  SCA .
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC  a 2
Xét tam giác SAC vuông tại A.

tan SCA 

A
B

SA a 2

 1 => SCA  450
AC a 2

D

C

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450
Đáp án: A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA  ( ABC ) . M là trung điểm
của BC. Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính độ dài đoạn SA.
a
3a
3a
3
b)
c)
d)
a) a
2
2
4

2
Giải: Ta có SA  ( ABC ) , SM cắt (ABCD) tại M

S

=> AM là hình chiều của SM trên (ABC)

 





=> SM ,  ABCD   SM , AM  SMA  600 .
Ta có ABC là tam giác đều cạnh a nên AM  a

3
2

tan SMA 

C

A

Xét tam giác SAM vuông tại A.

SA
AM =>

SA  AM .tan SMA  a

M

3
3a
.tan 600 
2
2

B

Đáp án: C.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a . Cạnh bên tạo với đáy góc bằng
600. Tính độ dài đoạn SA.
a) a

6
3

b) a

6
4

c) a

6
2

d) a

3
2

SĐT: 0962900413

Email:
-5-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian
Giải: Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, nên SO
vuông góc với đáy.
=> AO là hình chiều của SA trên (ABCD)

 



S



=> SA,  ABCD   SA, AO  SAO  600 .

D

A

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC  a 2

O

2
=> AO  a 2

C

B

Xét tam giác SAO vuông tại A.

cos SAO 

AO
SA =>

2
2
a
AO
2  2 a 6
SA=

0
3

3
cos SAO cos60
2
a

Đáp án: A.

1.2.3.Bài tập:
Câu 1: (Đại học-2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính độ dài SA.
a) a

c) 2a

b) a 2

d) a

2
2

Câu 2: (Khối D-2014) Cho hình lăng trụ ABC.AB’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a . Điểm M
là hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Biết góc giữa A’C
với mặt đáy bằng 60. Tính độ dài đoạn A’M.
a) a

b) a

3
4

c) a

3
**
2

d) a

3
4

Câu 3: Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết

SA   ABCD  , SA= a
a) 450

2
. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
3
b) 600

c) 300

d) 900
SĐT: 0962900413

Email:
-6-

Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=AD= a ,
BC= a 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy là 450 . Tính độ dài đoạn SA.
a) a 5

b) a 10

c)

a 10
2

d) a 2

Câu 5: Cho hình hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a. SA vuông
góc với mặt đáy. Góc giữa SB và đáy là 450. Tính độ dài SD.
a) a 5

b) a 6

9
2

c) a

d) a

Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’
cách đều các đỉnh A, B, C. Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính độ dài đường cao
của lăng trụ.
a)

a
2

b)

c) a

a
4

d) a

3
12

Câu 7: Cho hình hình chóp S.ABC có tam giác SAB là tam giác đều cạnh a, tam giác ABC cân
tại C. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt (ABC) là trung điểm của AB. Góc giữa SC và mặt
phẳng đáy là 300.Tính độ dài SC.
a)

a
2

b) a

3
2

c) a

3
4

d) a 3

1.3. Dạng 3: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng.
1.3.1.Phương pháp xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

SĐT: 0962900413

Email:
-7-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian
a. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa
hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc
trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
00.

Q

b

b. Phương pháp xác định góc giữa mặt phẳng (P)
và mặt phẳng (Q)

A

+ Tìm d  ( P)   Q 

a

P

+ Từ A thuộc d kẻ a vuông góc với d trong (P),
kẻ b vuông góc với d trong (Q).

 

+ (( P),  Q )  a, b

1.3.2.Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông là

a 2 , SA vuông góc với đáy, SA=a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC).
a) 300

b) 450

c) 600

Giải:

d) 900

S

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

BC  AC 2  AB 2 

a 2   a 2 
2

2

 2a => AI  a .

Ta có tam giác SAB vuông tại A, nên ta có:



SB  SA2  AB 2  a 2  a 2



2

C

A
I

a 3.

B

Tương tự ta có: SC  a 3 .
=> Tam giác SBC cân tại S => SI  BC .
=> Tam giác ABC cân tại A => AI  BC .

SĐT: 0962900413

Email:
-8-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian

 SBC    ABC   BC

 AI   ABC  ; AI  BC 

 SI   SBC  ; SI  BC



 ABC  ,  SBC    AI , SI 



=> AI , SI  SIA .

Ta có: tan SIA 

=>>

SA a
  1 => SIA  450 .
AI a

 ABC  ,  SBC   45 .
0

Đáp án: B

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a

5
. Gọi O là
2

tâm của ABCD. Tính góc giữa mặt bên (ABC) và mặt đáy (ABCD).
a) 300

b) 450

c) 600

d) 900

Giải: Gọi I là trung điểm của AB.

S

S.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc với đáy ABCD.

OI  AB
Ta có 
  SOI   AB => SI  AB .
 SO  AB
=>

C

 SAB ,  ABCD   SI , OI   SIO .

I

O
D

a
Ta có: OI  . Tam giác SOA vuông tại O có:
2

OA  a

B

A

2
5
.
; SA  a
2
2
2

2


5 
2
3
=> SO  SA  OA   a
   a
  a
2
 2   2 
2

2

SĐT: 0962900413

Email:

-9-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian

tan SIO 

SO

OI

a

3
2  3 => SIO  600
a
2

 SAB  ,  ABCD  60 .
0

Đáp án: C

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a . Gọi O là
tâm của ABCD, M là trung điểm của SB. Tính góc giữa mặt bên (AMC) và mặt đáy (ABCD).
a) 300

b) 450

c) 600

d) 900

Giải:

S

Ta có ABCD là hình vuông nên AC  BD .
M

S.ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD   SO  AC
A

 AC   SBD  AC  OM ; AC  OB .

 





B
O

  MAC  , ( ABCD)  OM , OB  MOB .

C

D

2
.
2

Xét tam giác SBO có O  900 ; SB  a; OB  a
2


2
2
 SO  SB  OB  a   a
  a
2
 2 
2

2

2

 SOB vuông cân tại O => OM là trung tuyến cũng là phân

giác => MOB  450

 MAC  , ( ABCD)  45 .
0

Đáp án: B

1.3.3.Bài tập:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. BC  3a , AC  a 10 . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy. Góc giữa  SBC  với mặt đáy bằng 600 . Tính độ dài SA.
SĐT: 0962900413

Email:
-10-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian
a) a 3

b)

a
3

c) a

3
2

2
3

d) a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 5 . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Góc giữa  SBD  với mặt đáy bằng 600 . Tính độ dài SA.
a) a 5

b) a

5
2

c) a

3 2
2

5
2

d) a

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Tam giác BCD vuông tại D có BC= 2a , BD= a . Hình chiếu vuông
góc của A lên mặt (BCD) là trung điểm E của BC. Góc giữa mặt (ACD) và (BCD) là 600 . Tính
độ dài đoạn AB.
a) a 7

b) a

7
2

c) a

3
2

d) a

13
2 3

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SB=SC=BC= a ,
3a
SA= . Tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy.
4
a) 300

b) 450

c) 600

d) 900

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a 3 . Góc BAC  1200 . Cạnh bên SC
vuông với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và đáy bằng 450 . Tính độ dài đường cao SC.
a) a 3

b) a

3
2

c)

a
2

d) 3a

SĐT: 0962900413

Email:
-11-


Th.s Nguyễn Công Dũng

Trắc nghiệm Hình học không gian

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, đáy AB  2a và góc
ABC  300 . Mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy góc 600 . Tính độ dài cạnh bên của lăng trụ.

a) a 3

b) a

c) a

3
4

d) 3a

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc BAC  600 , hình chiếu
của S trên (ABCD) trùng với trọng tâm ABC . Mặt phẳng (SAC) hợp đáy góc 600 . Tính độ dài
đường cao của hình chóp.
a) a 3

b) a

3
2

c)

a
2

d) 3a

SĐT: 0962900413

Email:
-12-