Dao động tử Para Boson

1

M U
1.Lý do chn ti:
i xng l c tớnh ph bin trong nhiu h vt lớ. Vic tỡm kim
nhng i xng v s vi phm nú mt cỏch tun t kim soỏt c, cng nh
vic tỡm kim nhng i lng bt bin trong vt lớ l phng phỏp ch ng
ph bin trong cụng cuc khỏm phỏ cỏc nh lut vt lớ. Ngụn ng toỏn hc
ca lý thuyt i xng l lý thuyt nhúm. Lý thuyt i xng lng t ly
nhúm lng t lm c s l mt hng nghiờn cu thu hỳt s quan tõm ca
nhiu nh vt lý trong thi gian gn õy. Nhúm lng t l cỏc kiu bin dng
ca i s Lie thụng thng m s thu li c khi tham s bin dng cú giỏ
tr bng n v [1,2]. ng dng ca nhúm lng t trong vt lý tr nờn ph
bin vi vic a vo hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng [3,4],
chng hn nh ó tỡm c biu din boson ca i s lng t SUq(2) v
ng dng gii phng trỡnh Yang Baxter [5]. i s lng t cũn cú
nhiu ng dng trong cỏc ngnh vt lý khỏc, nh nghiờn cu v chui spin,
cỏc anyoins, quang lng t, s quay v dao ng ca ht nhõn nguyờn t;
v ng dng trong lý thuyt trng conformal. T ú chỳng ta nhn thy
rng, i s lng t cú lp i xng rng hn lp i xng Lie v bao gm
i xng Lie nh trng hp c bit.
Nhúm lng t v i s bin dngc kho sỏt thun li trong hỡnh
thc lun dao ng t iu hũa, trong những năm gần đây việc nghiên cứu
nhóm l-ợng tử và đại số biến dạng đ-ợc kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày
càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose Einstein và thống kê Fermi - Dirac nh- thống kê para Bose, para Fermi,
thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng...., với t- cách là các thống kê mở


2

rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại

số biến dạng. Nhóm l-ợng tử và đại số l-ợng tử đã đ-a đến một phát triển mới
trong lí thuyết hạt cơ bản.
Nghiờn cu v dao ng t para boson nm trong hng nghiờn cu
trờn, ó thu hỳt c s quan tõm nghiờncu ca nhiu nh khoa hc v ó
t c nhiu kt qu cú ý ngha trong vt lý ht nhõn nguyờn t, trong vt
lý ht c bn. Vỡ vy ti cú ý ngha khoa hc; ú l lý do tụi chn ti
Dao ng t para boson lm lun vn thc s ca mỡnh.
2.Mc ớch nghiờn cu:
- Nghiờn cu v dao ng t para boson
3.Nhim v nghiờn cu:
t c mc ớch nghiờn cu ra cn thc hin cỏc nhim v
sau:
- Nghiờn cu v vit tng quan v hỡnh thc lun dao ng t iu hũa
tuyn tớnh.
- Nghiờn cu cỏc dao ng t boson v cỏc dao ng t fermion
- Nghiờn cu cỏc dao ng t para boson
4.Phng phỏp nghiờn cu:
- Phng phỏp lý thuyt trng lng t
- Phng phỏp lý thuyt nhúm
5. Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti
- Kho sỏt h cỏc dao ng t para boson


3

Chương 1
BIỂU DIỄN SỐ HẠT CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1.1.

Dao động điều hòa
Xét chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt có khối lượng m

chịu tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F

kx ( k là hệ số chuẩn đàn hồi ).

Trong cơ học cổ điển, chuyển động của hạt được diễn tả bằng phương
trình định luật II Newton

F

ma

d 2x
dt 2
kx mx ''
k
x ''
x 0
m
x '' 2 x 0,
kx m

với

2

k
hay

m

k
,
m

là tần số góc.

Hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó
x

với A là biên độ dao động,

A.sin( t

),

là pha ban đầu của dao động. Ta có:

Động năng T :

T

1 2
mv
2
1 2
mx&
2
1

mA2
2

2

cos 2 ( t

).


4

Thế năng V :

V

Fdx
1 2
kx
2
1
mA2
2

2

sin 2 ( t

).

Năng lượng toàn phần E của hạt:

E T V
1
mA2 2 cos 2 ( t
2
1
m 2 A2 .
2
Vậy ứng với mỗi giá trị của

)

1
mA2
2

2

sin 2 ( t

)

, năng lượng có thể có những giá trị liên

tục, tỉ lệ thuận với biên độ A .
Vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ
v

dx

dy

A sin( t
A

Gọi

x

2

)

x2
1
.
A2

là chu kì dao động. Xác suất mà hạt vĩ mô nằm trong khoảng từ

x dx với dx vdt bằng
dwCD ( x)

dt

dx
x2
2 A 1
A2

.

1.2. Biểu diễn tọa độ của dao động điều hòa
Hệ đang xét được gọi là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là:


5

1 2
kx
2

V ( x)

1
m
2

2 2

x.

Toán tử Hamiltonian có dạng

Hˆ

Tˆ Uˆ

pˆ 2
2m

ћ2 d 2
2m dx 2

Hˆ

1 2
kx
2
1 2
kx .
2

Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm
sóng

( x ) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động

của hạt vi mô)
Hˆ ( x)
[

E ( x)

ћ2 d 2
2m dx 2

1 2
kx ( x)] E ( x).
2

(1.1)

Đặt

mk 14
)
ћ2

m
ћ

2E m
ћ k

2E
.
ћ

(

Dùng biến không thứ nguyên:

(*)

x

Thay vào phương trình (1.1) ta được:

(1.1)

2 2
d2
m 2
2mE
[ 2
x
]
(
x
)
( x)
dx
ћ2
ћ2
d2
2m ћ
4 2
[ 2
x ] ( x)
( x)
dx
ћ2 2
d2
2 2
[
+ 2 ] ( ) 0
d ( )2

d2

[ 2
d

2

+ ] ( ) 0

2

( x)


6

[
với °( )

d2
d 2

2

+ ] °( ) 0,

( ) hữu hạn tại

(1.2)

0 và giới nội khi

Dáng điệu của ° ( ) ở lân cận

.

là:
2

°( ) : exp(

2

)

Nghiệm (1.2) có dạng:
2

°( ) v( )exp(

2

)

(1.3)

với v( ) là hàm cần xác định. Thay (1.3) vào (1.2) ta được
d2
[ 2
d

2

2

+ ] v( )exp(

2

) 0

2
d
[v '( )exp(
) v( ) exp(
d
2

2

2

2
2

)] (

)v( )exp(

2

) 0

2

[v ''( ) v( ) v( )
v ''( ) 2v '( )

(

2

2v '( )

v( )

1)v( ) 0,

v( )]exp(

2

) 0
(1.4)

trong đó:

v '( )

dv( )
d

v ''( )

d 2v( )
.
d 2

Ta tìm hàm v( ) dưới dạng chuỗi

2


7

v( )

n

an

(a0

0)

(1.5)

n 0

v '( )

n 1

nan

(n 1)an

n 0

n

(1.5')

1

n 0

v ''( )

n 1

(n 1)nan

(n 2)(n 1)an

1

n 0

n
2

.

(1.5'')

n 0

Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vào (1.4) ta được

[(n 1)(n 2)an

2

2nan

[(n 1)(n 2)an

2

(2n

(

1)an ]

n

0

n 0

1)an ]

n

0

(1.6)

n 0

Từ (1.7) ta có hệ thức truy toán
an

2n 1
an .
(n 2)(n 1)

2

Để ° ( ) giới nội khi
hữu hạn nào đó

2n 1

thì chuỗi v( ) phải bị ngắt ở một bậc n

2n 1 . Và theo (*) thì năng lượng E

0

của dao động chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn

E

En

(n

1
)ћ
2

(n 0,1,2...).
(1.7)

Trên đây là biểu thức về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính, với các đặc điểm sau:
+ Đặc điểm 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ
có thể nhận các giá trị gián đoạn.
+ Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa các mức
năng lượng liền kề nhau là hằng số

E

.

+ Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến


8

tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không”. Mức “không” của năng
lượng là E0

h
2

0 . Năng lượng không tương ứng với dao động “không”

mà ta không thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn. Nói khác đi, do
có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong
trạng thái nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng
lượng thấp nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tử vẫn thực hiện dao
động. Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng
tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối.
+ Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến
tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1.
Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n 0
là: E0

1
ћ
2

được gọi là năng lượng không. Sự tồn tại của năng lượng thấp

nhất E0 chỉ có thể giải thích được trên cơ sở lý thuyết lượng tử.
Thật vậy, nếu gọi độ bất định của năng lượng, xung lượng và tọa độ là

E , p, x . Sự tồn tại năng lượng E0

0 gắn liền với hệ thức bất định giữa

tọa độ và xung lượng của hạt

p x

ћ
.
2

Vì

E

p2
2m

1
k x2
2

k
p x
m

ћ
.
2

9

Quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không E0 .
Khi đó năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội
của năng lượng ћ

E nћ .
Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều hòa bằng
một bội nguyên của lượng tử năng lượng ћ .
Để xác định dạng tường minh của hàm sóng

( x ) ta lưu ý rằng với

2n 1 phương trình (1.4) trở thành
v ''( ) 2 v '( ) 2nv( ).
Mặt khác đa thức Hermite lại thỏa mãn phương trình

H n ''( ) 2 H n '( ) 2nH n ( ) 0,
so sánh hai phương trình trên ta có

v( )

vn ( )

Nn H n ( ),

với N n là hệ số chuẩn hóa và do đó
2 2

( x)

n ( x)

N n H n ( x)exp(

Sử dụng điều kiện chuẩn hóa đối với hàm
Nn

2

n ( x ) dx

n

x
).
2

( x)

2

H n2 ( )e

2

d

(**)

1,

trong đó đa thức Hermite có dạng tường minh
n

H n ( ) ( 1) e
(2 )2

2

n
n

e

2

n(n 1)
(2 ) n
1!

2

n(n 1)(n 2)(n 3)
(2 ) n
2!

Đặt:
I

H n2 ( )e

2

d .

4

...


10

Tính tích phân
I

trong đó I
Đặt u

2

2
n

H ( )e

( 1)

n

d

( 1)

dn 1
Hn ( ) n e
d

dn 1
H n ( ); dv d
e
d n1

du
Suy ra

v

I

2

2

n

dn
Hn ( ) n e
d

2

d ,

.

.

d
H n ( )d
d
dn 1
e
d n1
( 1)

n

2

d
dn 1
Hn ( ) n 1 e
d
d

2

d .

Tích phân từng phần tích phân trên n lần ta thu được
( 1)n ( 1) n e

I

2

dn
H n ( )d
d n

dn
H n ( ) n(n 1)(n 2).....1.2n
n
d

(***)

2n.n!

Áp dụng tích phân Poisson
I 2a

ta có

e

2

d

x 2 ne ax dx

(2n 1)
,
2n
2n 1

.

Thay các kết quả vào (***) ta được
I

Thay I vào (**) ta có:

2n.n!.

.


11

1
4

m

Nn

2n.n!

h

1

.

n

.

2 .n!

Vậy
2 2

n

( x)

N n H n ( x).e
1
4

m
h

.

x

2

1
2n.n!

.e

m 2
x
2h

.H n

m
x .
h

Như vậy, năng lượng E của dao động tử điều hòa với (n 0,1,2...) bị
lt
lượng tử hóa, năng lượng nhỏ nhất Emin

CD
Emin

h
khác với lý thuyết cổ điển
2

0.
Xác suất dwlt n ( x) của hạt có năng lượng En có thể tìm thấy trong

khoảng từ x

x dx là:

dwCD ( x)

dwlt n ( x)

dt

1

dx

2 A

x2
1
A2

( x) 2dx.

1.3. Biểu diễn số hạt của dao động điều hòa
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng
phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian ta có:
Hˆ

h2 d 2

2m dx 2

1 2
kx .
2

(1.8)


12

Để thuận tiện hơn, thay các toán tử tọa độ x và xung lượng

ih

d
dx

bằng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới

qˆ

x
d
ih
dx

mx
h d
i

.
m dx

pˆ

Hệ thức giao hoán của pˆ và qˆ là

[pˆ , qˆ ]

ih.

Thật vậy, ta có:

[pˆ , qˆ ]

ˆ ˆ qp
ˆˆ ,
pq

cho cả hai vế của biểu thức trên tác động vào hàm

ˆ ˆ qp
ˆ ˆ ) ( x) [
( pq

( x)

ih d
ih d
mxˆ

mxˆ (
) ] ( x)
m dx
m dx
d
d
ih xˆ ihxˆ
( x)
dx
dx

d
d
ih ihxˆ
( x ) ih ( x )
dx
dx
[pˆ , qˆ ] ih
+ Biểu diễn toán tử Hamiltonian (1.7) theo pˆ , qˆ
ihxˆ

Với k

m

Hˆ

h2 d 2
2m dx 2

Hˆ

h2 d 2
2m dx 2

2

1 2
( pˆ
2

Đặt

1 2
kx
2

pˆ

h
(aˆ aˆ )
2

1
m
2
2

;

2 2

x

qˆ 2 ).

(1.9)

qˆ i

h
(aˆ aˆ )
2


13

Các toán tử aˆ , aˆ xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngược lại qua pˆ , qˆ
aˆ

1
( pˆ i qˆ )
2h

,

aˆ

1
( pˆ i qˆ )

2h

Ta thấy:
[aˆ, aˆ ] 1

Vì:

ˆˆ
[aˆ, aˆ ]=aa

[aˆ , aˆ ]

aˆ aˆ.

1
( pˆ i qˆ )( pˆ i qˆ )
2h
1
ˆ ˆ qp
ˆ ˆ )]
[2i ( pq
2h
[aˆ , aˆ ] =

1
( pˆ i qˆ )( pˆ i qˆ )
2h

1
[2i ( ih)] 1.

2h

Ta có:
Hˆ

1 h
[
(aˆ
2 2

Hˆ

1
ˆ ˆ )h
(2aˆ aˆ 2aa
4
1
ˆ ˆ )h
(aˆ aˆ aa
2
1
[aˆ aˆ (1 aˆ aˆ )]h
2
1
h aˆ aˆ
2

aˆ ) 2

2 2

i

h
(aˆ aˆ ) 2 ].
2

Suy ra:

Hˆ
Hˆ
Hˆ

(1.11)

(1.12)

Để nghiên cứu phổ năng lượng của dao động điều hòa ta quy về bài
toán tìm véctơ riêng của Hˆ . Phương trình (1.12) trong đó aˆ , aˆ thỏa mãn hệ
thức giao hoán (1.10).
Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới Nˆ

aˆ aˆ

(1.13)

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.10) kết hợp với định nghĩa (1.13) ta có


14

ˆˆ
[Nˆ , aˆ ]=Na

aˆ Nˆ

ˆˆ
aˆ aa

ˆˆ
aˆ aˆ aˆ aˆ (aa

aˆ aˆ )

aˆ [aˆ , aˆ ]=aˆ .
ˆ ˆ aN
ˆ ˆ aˆ aa
ˆ ˆ aa
ˆ ˆ aˆ (aˆ aˆ aa
ˆ ˆ )aˆ
[Nˆ , aˆ ] =Na
[aˆ , aˆ ]aˆ = aˆ.
Vậy: [Nˆ , aˆ ]=aˆ hay

Nˆ aˆ = aˆ ( Nˆ 1)

[Nˆ , aˆ ]= aˆ hay Nˆ aˆ = aˆ ( Nˆ 1)

(1.14)
(1.15)

+ Nếu ta kí hiệu n là véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n
Nˆ n

(1.16)

nn.

Từ phương trình (1.16) ta có:

n
Vì

n n

n

n Nˆ n

n aˆ aˆ n

n n

n n

0.

(1.17)

(r ) 2dr 0.

Và:

n Nˆ n

n aˆ aˆ n

aˆ

n

(r ) 2dr 0

n 0.
Vậy ta có các giá trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm.
Xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác động lên n
được aˆ n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng công thức
(1.15) ta được:

Nˆ , aˆ

aˆ

Nˆ aˆ = aˆ ( Nˆ 1)
Nˆ aˆ n = aˆ ( Nˆ 1) n
aˆ (n 1) n
(n 1)aˆ n .


15

Hệ thức vừa thu được có nghĩa là aˆ n cũng là một véctơ riêng của
toán tử Nˆ nhưng ứng với trị riêng (n 1) . Tương tự như vậy ta dễ dàng
chứng minh được aˆ 2 n , aˆ 3 n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng
với trị riêng (n 2), (n 3) ,….
Tiếp theoxét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác
động lên n . Đó là véctơ trạng thái aˆ n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này
toán tử Nˆ và sử dụng công thức (1.14) ta được:

Nˆ , aˆ

Nˆ aˆ = aˆ ( Nˆ 1)

aˆ

ˆ ˆ n = aˆ ( Nˆ 1) n
Na

aˆ (n 1) n

(n 1)aˆ n .

Hệ thức trên cũng có nghĩa là aˆ n cũng là một véctơ riêng của toán
tử Nˆ nhưng ứng với trị riêng (n 1) . Tương tự như vậy ta cũng dễ dàng
chứng minh được aˆ

2

n , aˆ

3

n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử

Nˆ ứng với trị riêng (n 2), (n 3) ,….

Vậy ta có nếu n là một véctơ riêng của toán tử Nˆ nhưng ứng với trị
riêng n thì với p 1,2,3,... ta có aˆ p n cũng là một véctơ riêng của toán tử
Nˆ ứng với trị riêng (n
Nˆ ứng với trị riêng (n

p ) và aˆ

p

n cũng là một véctơ riêng của toán tử

p ) nếu chúng khác 0.

Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của toán tử Nˆ
thì chuỗi các số không âm (n 1), (n 2) , … cũng là trị riêng của toán tử Nˆ .
Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin .
Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin . Ta có

aˆ nmin

0,

(1.18)

16

thật vậy vì khi đó véctơ trạng thái ứng với trị riêng nmin 1 0 , trái với giả
thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất . Từ (1.18) ta suy ra

aˆ aˆ nmin

Nˆ nmin

0.

Mặt khác theo định nghĩa của nmin ta có Nˆ nmin

nmin nmin

0 . So

sánh hai phương trình ta có:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin

0 . Véctơ trạng thái ứng với

trị riêng của toán tử Nˆ được kí hiệu là 0 . Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều
kiện aˆ 0

0.

Khi đó:
aˆ 0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n 1 ,

aˆ

2

0 tỉ lệ với véctơ riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n 2 ,…

aˆ

n

0 tỉ lệ với véctơ riêng n của Nˆ ứng với trị riêng n .

Vì :
Hˆ

aˆ aˆ

1
h
2

Nˆ

1
h .
2

Nên:

0 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E0

1
h
2

1
1 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E1 (1 )h , …
2

n là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng En

(n

1
)h .
2

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng h . Trạng thái 0 có


17

năng lượng thấp nhất là E0 . Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0
có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng h
thái 0 . Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E1 h

E0

được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng h

1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng h

h

vào trạng

2h

có thể

vào trạng thái

vào trạng thái 0 …

Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái
không chứa một lượng tử nào; 1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng
thái chứa hai lượng tử; … ; n là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử Nˆ có
giá trị riêng không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số
lượng tử năng lượng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ
với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán
tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và do đó được
đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng.
Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì Nˆ sẽ là toán
tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó, trạng thái

n với năng lượng En

nh

sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số

hạt của dao động tử điều hòa.
Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa
có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng h . Khái niệm
“hạt” đưa vào đây chỉ để cho tiện. Thực chất, đó là các “giả hạt”, một khái
niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong
vật lý các môi trường đông đặc.
Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ lệ

n

,

n

,

n

trong các hệ thức:


18

aˆ n

n 1

n

aˆ n
n

n
n

aˆ

n

n 1 (1.19)
0

Sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa

m n
+ Tính

n

mn

: từ (1.17) và (1.19) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa vừa

viết ta có:
n aˆ aˆ n

n

(aˆ n )* (aˆ n )

n

2
n

n 1 n 1

n

n.

n

+ Tính

n

n aˆ aˆ n

:n

[aˆ , aˆ ]

Vì:

ˆˆ
aˆ aˆ aa

ˆˆ
aˆ aˆ aa

1

1

Nên:

ˆˆ
n aa

n

ˆˆ n n
n aa

1 n

(aˆ n )* (aˆ n ) ( 1)
2
n

n

n 1 n 1

n 1.

xét trạng thái

aˆ

n

0

aˆ

( n 1)

aˆ 0

aˆ

( n 3)

0 1
0 1

Do đó:1
Coi

n

1

n

+ Tính

*
n

1 n

n

n n

là thực

2

2
n

n

...

0

aˆ

( n 1)

aˆ 2
aˆ

0 1

( n n 1)

n 1

0 aˆ n aˆ
1
n!

n

1

0

2

aˆ

aˆ n
2
n

aˆ

( n 2)

( n 4)

aˆ 3

0

n! n .

n!

aˆ 1

1


19

Như vậy, đối với dao động tử điều hòa chúng ta đã thiết lập được các
hệ thức giao hoán sau cho các toán tử sinh, hủy và toán tử số dao động tử
[aˆ, aˆ ] 1
Nˆ

aˆ aˆ

[Nˆ , aˆ ]= aˆ
[Nˆ , aˆ ]=aˆ ,

và tác dụng của các toán tử này lên các vecto cơ sở của không gian Fock:
Nˆ n

nn

aˆ 0

0

aˆ n

n n 1

aˆ n

n 1n 1

n

1
aˆ
n!

n

(n 0,1,2...)

0.

1.4. Kết luận chương 1
Nội dung chính của chương này là chúng tôi khảo sát hệ dao động điều
hòa trong biểu diễn tọa độ và trong biểu diễn số hạt, tìm được phổ năng lượng
của hệ dao động điều hòa tuyến tính. Đặc biệt là đưa ra các toán tử sinh, hủy
và toán tử số dao động tử, tìm các hệ thức giao hoán của các toán tử đó và tác

dụng của chúng lên các vecto cơ sở của không gian Fock.
Các vấn đề đã được trình bày ở chương một, là cơ sở khoa học để
chúng tôi nghiên cứu về dao động tử boson và dao động tử fermion ở chương
hai mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây.


20

Chương2
DAO ĐỘNG TỬ BOSON VÀ DAO ĐỘNG TỬ FERMION
2.1. Các hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy dao động tử
Trong chương 1, chúng ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán
tử sinh và toán tử hủy dao động tử là [1], [2], [5]

ˆ ˆ
a,a

1

ˆ ˆ
a,a

aˆ ,aˆ

(2.1)

0.

Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau

aˆ ,aˆ
aˆ ,aˆ

v

aˆ ,aˆ

0.

v

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc tơ cơ sở

ˆ
riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N
n

1 aˆ 0 .
n!
n

Tác dụng của toán tử aˆ , aˆ lên các véc tơ trạng thái n

aˆ n
aˆ n

n n 1
n 1n 1.

ˆ là

Các hệ thức của toán tử số dao động tử N
ˆ aˆ aˆ
N
ˆ ˆ
[N,a]=
aˆ
ˆ ˆ ]=aˆ .
[N,a

(2.2)


21

2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy boson
Trên cơ sở các hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy dao động tử, bây
giờ chúng ta sẽ xem xét là đối với các hạt boson có spin nguyên thì toán tử
sinh và hủy boson tuân theo các hệ thức giao hoán như thế nào?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai boson ở
hai trạng thái khác nhau

và :

aˆ aˆ 0
v

aˆ aˆ 0 ,
v

trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Đối với hệ các

boson đồng nhất được mô tả bởi hàm sóng đối xứng, nên

,
hay ta có

aˆ aˆ 0 = aˆ aˆ 0 .
v

v

Suy ra
aˆ aˆ
v

aˆ aˆ .
v

Vậy, trong biểu diễn số hạt, các dao động tử boson được đặc trưng bởi
các toán tử sinh, hủy hạt boson a$ ,a$ tuân theo các hệ thức giao hoán

ˆ ˆ
a,a

1

aˆ v ,aˆ
aˆ ,aˆ

(2.3)

aˆ ,aˆ

0.

µ biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy boson a$ ,a$ và tuân
Toán tử số hạt N
theo các hệ thức giao hoán:


22

µ a$ a,
$ N
µ 1 aa
$$ ,
N
µ$
N,a

$ N,a
µ$
a,

(2.4)

a$ .

Đại số (1.21) được thực hiện trong không gian Fock có các véctơ cơ sở là

ˆ , thỏa mãn phương trình

véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N
)
Nn nn ,
n 0,1,2,3,4,...
trong đó n là trạng thái có n dao động tử thoả mãn điều kiện trực chuẩn

nm

n,m

,

và được xác định bằng cách tác động liên tiếp toán tử sinh dao động tử lên
trạng thái chân không
n

1 )
a
n!

n

0.

(2.5)

Tác dụng của các toán tử sinh hạt a$ , hủy hạt a$ lên các véctơ cơ sở của
không gian Fock là

a$ | n

n 1|n 1 ;

a$ | n

n |n 1 .

(2.6)

µ như sau:
Từ (2.6) chúng ta tìm được dạng ma trận của các toán tử a$ ,a$ và N

Để biểu diễn các toán tử boson bằng ma trận, chúng ta xét phần tử

a m,n

m a$ n

m n 1n 1

n 1 mn 1

n 1.

m,n 1

, (2.7)

với m, n nhận các giá trị: 0, 1, 2,…Từ (2.7) chúng ta tìm được biểu diễn ma
trận của toán tử a$ có dạng:

23

0

0

0

...

0

0

1 0

0

...

0

0

2 0

...

0

0

...
...

0
...

0
...

0

a$

0
...

0
...

0

0

3
...

.

(2.8)

0 ... n 1 0

Làm tương tự với toán tử hủy hạt a$ , chúng ta có phần tử a m,n

a m,n

n m n 1 = n.

man

m,n 1

,

(2.9)

với m, n nhận các giá trị 0, 1, 2, …Biểu diễn ma trận của toán tử a$ có dạng:

a$

0

1

0

0

0

0
...

0
...

0
...

3
...

0
0

0
0

0
0

0 ...
0 ...

2

0 ...

0

0

0 ...

0

0

... 0
... ...
0
0

0
...

.

(2.10)

n 1
0

Thực hiện các phép nhân ma trận chúng ta thu được các hệ thức (1.21) và
(1.22).
Thật vậy, ta có phần tử ma trận Nmn được xác định như sau:

N mn

µn
mN

mnn

n mn

n

m,n

.

µ là một ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính bằng
Ma trận N

0, 1, 2, … n 1 , còn các phần tử khác đều bằng 0. Chúng ta sẽ kiểm tra lại,
ta có:


24

µ a$ a$
N
0
1

0

0

...

0

0

0

1

0

0

...

0

0

0

0

2

0

...

0

0

3 ...
... ...

0
...

0
...

0
...

0
...

0
...

3 ... 0
... ... ...

0
...

0
0

0
0

0
0

0 ...
0 ...

n 1
0

0

0 0
... ...
0

0

0 ...

0
0
0
...

0 0
1 0
0 2
... ...

... 0
... 0
... 0
... ...

0
0
0
...

0

0

... 0

n 1

0

n 1 0

0
2

0 ...

0

0

0 ...

0

0

0
0

.

(2.11)

2.3. Các hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy fermion
Đối với hệ các hạt fermion đồng nhất có spin bán nguyên, tuân theo
nguyên lý loại trừ Pauli: không thể có quá một hạt ở trong cùng một trạng thái
lượng tử (n=0,1). Trạng thái của hệ được mô tả bởi hàm sóng phản đối xứng
tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Chúng ta Ký hiệu toán tử sinh fermion và

$
hủy fermion là bˆ ,b.
Véc tơ trạng thái của hệ hai fermion ở hai trạng thái khác nhau

và :

bˆ bˆ 0
v

bˆ bˆ 0 ,
v

trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Đối với hệ các
fermion đồng nhất được mô tả bởi hàm sóng phản đối xứng, nên


25

,
hay ta có
bˆ bˆ 0 = bˆ b 0 .
v

v

Suy ra

bˆ bˆ

bˆ bˆ .

v

v

Vậy, trong biểu diễn số hạt, các dao động tử fermion được đặc trưng
bởi các toán tử sinh, hủy hạt fermion bˆ ,b$ tuân theo các hệ thức phản giao
hoán,
ˆ ˆ
b,b

1

bˆ ,bˆ

(2.12)

v

bˆ

bˆ

2

2

0

µ biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy fermion bˆ ,b$
Toán tử số hạt fermion N
và tuân theo các hệ thức giao hoán
µ b$ b,
$N

µ 1 bb
ˆˆ ,
N
µ$
N,b

$ N,b
µ$
b,

b$.

(2.13)

Trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện
bˆ 0

0

Đại số (1.21) được thực hiện trong không gian Fock có các véctơ cơ sở là

ˆ , thỏa mãn phương trình
véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N
)
Nn nn ,
(2.14)
n 0,1,
trong đó n là trạng thái có n dao động tử thoả mãn điều kiện trực chuẩn:

nm

n,m

,