Điểm bất động của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành, sâu sắc tới PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy, người đã luôn quan
tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn
này.

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy
giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn này.

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, cùng bạn bè, đồng
nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu.

Vĩnh Phúc , ngày 26 tháng 06 năm 2013.
Tác giả

Lăng Thị Diệu Thúy


3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Xuân Hòa, ngày 26 tháng 06 năm 2013.
Tác giả

Lăng Thị Diệu Thúy


4

MỤC LỤC
Lời cảm ơn……………………………………………………………………2
Lời cam đoan………………………………………………………………...3
Mở đầu ……………………………………………………………………….6
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ..…8
1.1.

Khái niệm không gian Banach thực…………………………………....8

1.2.

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự……………………………….9
1.2.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông ước và
tập K  u0  ………………………………………………………..9
1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối liên hệ giữa chúng………………..12

1.3.

Không gian Eu0 ………………………………………………………..15
1.3.1. Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 ………………………..15
1.3.2. Một số định lý về nón………………………………………….18

1.4.

Một số không gian Banach thực………………………………………25
1.4.1. Không gian m ………………………………………………….25
1.4.2. Không gian L  a; b  …………………………………………….34

CHƯƠNG 2. TOÁN TỬ  K , u0  - LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN ………….………….47
2.1.

Các định nghĩa………………………………………………………..47

2.2.

Một số tính chất đơn giản về toán tử  K , u0  - lõm chính quy cực trị...48

2.3.

Toán tử  K , u0  - lõm chính quy trong không gian L  a; b  ,  K , u0  - lõm

chính quy cực trị trong không gian m ………………………………………55
2.3.1. Toán tử  K , u 0  - lõm chính quy………………………………..55
2.3.2. Toán tử  K , u 0  - lõm chính quy cực trị ………………..............58


5

CHƯƠNG 3. SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ  K , u0  LÕM CHÍNH QUY CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH
THỰC VỚI HAI NÓN ……………………………………………………64

3.1. Định lý 3.1…………………………………………… ………64
3.2. Định lý 3.2 …………...……………………………………….66

Kết luận …………………………………………………………………....69
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………..70


6

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài .
Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử
phi tuyến: toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố
định(1956), sau đó mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong không gian
Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón còn lại
(1962).
GS-TSKH I.A.Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u0 )- lõm tác dụng trong không
gian Banach thực với một nón cố định ( 1975), mở rộng cho toán tử (K, u0 )- lõm
tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác
rỗng(1984).
Các lớp toán tử mà các GS Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có
chung tính chất u0 – đo được.
Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp
toán tử lõm cho một lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian
Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu
cầu toán tử có tính chất u0 – đo được .
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy
tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “điểm bất động của toán tử (K, u0 )lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón”.
2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về toán tử (K, u0 )- lõm chính
quy cực trị và điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong
không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng, trong đó
không yêu cầu toán tử có tính chất u0 – đo được .


7

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị.
- Tìm hiểu về điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị
trong không gian định chuẩn với hai nón.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị, điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm
chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến điểm bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không
gian định chuẩn với hai nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử (K, u0 )lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của luận văn
Trình bày một cách hệ thống những kiến thức có liên quan đến “điểm
bất động của toán tử (K, u0 )- lõm chính quy cực trị trong không gian định
chuẩn với hai nón”.Vận dụng những lý thuyết chung vào các không gian
Banach thực m, L[a;b].

8

Chương 1
KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ
1.1.Khái niệm không gian Banach thực
Định nghĩa 1.1.1
Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định
chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường số thực R cùng với một
ánh xạ từ X vào tập R, kí hiệu là . (đọc là chuẩn) , thỏa mãn các điều kiện
sau đây:
C1)  x  X  x  0, x  0  x   (Phầntử không của không gian X );
C2)  x  X    P   x   x ;
C 3)   x , y  X  x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của véctơ x .
Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X .
Các tiên đề C1, C2, C3 gọi là các hệ tiên đề về chuẩn .
Định nghĩa 1.1.2
Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới
điểm x  X , nếu : lim xn  x  0 .
n 

Định nghĩa 1.1.3
Dãy điểm  xn 
nếu:


n 1

trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản,

lim xn  xm  0.

m,n

hay    0   n0  N *  sao cho  n, m  n0  ta có xn  xm   .
Định nghĩa 1.1.4
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ về phần tử thuộc không gian X .


9

1.2.Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
1.2.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông ước và
tập K  u0 
1.2.1.1. Định nghĩa nón
Cho không gian Banach thực E .Tập các tập con khác rỗng K  E gọi
là một nón , nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây:
N 1) K là một tập đóng trong không gian E ;
N 2) x  K , y  K  x  y  K ;
N 3 ) x  K , t  0  tx  K ;
N 4) x  K , x     x  K .
1.2.1.2. Quan hệ sắp thự thự
Giả sử E là không gian Banach thực , K là một nón trong không gian
E .Ta đưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian E như sau:

Với x, y  E , ta viết x  y, nếu y  x  K .Khi đó quan hệ “  ” là một quan
hệ sắp thự trên E . Thật vậy:
+ (x  E ) x  x , vì x  x    K .

 Quan hệ “≤” có tính chất phản xạ.
+ (x, y, z  E : x  y , y  z )  y  x  K , z  y  K .
Do đó: z  x  ( z  y)  ( y  x)  K  x  z
 Quan hệ “≤” có tính chất bắc cầu.
+ (x, y  E : x  y , y  x ) x  y , vì nếu x  y thì y  x   .
Do y  x  K nên x  y  K , mâu thuẫn với giả thiết y  x .
 Quan hệ “≤” có tính chất phản đối xứng.
Nên, quan hệ “≤” là quan hệ sắp thứ tự trên không gian E với nón K .


10

Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K trở thành không gian Banach
sắp thứ tự bộ phận hay không không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K .
Từ định nghĩa , dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau (ngoài các tính chất
và khái niệm đã biết trong lí thuyết tập hợp):
Tính chất 1.2.1.




Nếu  xn  n 1  E ,  y n  n 1  E , xn  y n ,  n  1, 2,...

x n  x , lim
y n  y trong không gian E thì x  y .
và lim
n 
n 
Thật vậy, vì yn  xn  K , n  1,2,...,lim
 yn  xn   y  x và K là tập đóng

n 
nên y  x  K  x  y .
Tính chất 1.2.2.
Giả sử u0  K , x  E . Khi đó, nếu x  tu0 thì x   u0 ,   R,   t .
Thật vậy:

tuo  x  K ,   R,   t    t  0  (  t )u o  K
  uo  x  (  t )uo  (tuo  x)  K

 x   uo ,   R ,   t .
Tính chất 1.2.3.
Giả sử u 0  K \   , x 0  K sao cho t0  R , x0  t0u 0 . Khi đó, tồn
tại số thực nhỏ nhất t 1 sao cho x0  t1u0 .
Thật vậy : Xét ánh xạ

f :R K

t  f (t )  tu0  x0 .
Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một
số với một phần tử trong không gian Banach E , nên f liên tục. Từ đó và từ
tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f 1 ( K ) là tập đóng trong
không gian E .
Hiển nhiên , t0  f 1 ( K ) .


11



1

Giả sử inff 1 ( K )   . Khi đó  tn n1  f ( K ) sao cho: lim tn   .

n 

Với n đủ lớn tn  0 và ta có

tn u0  x0  K  

1
(tn u0  x0 )  K ( n  1,2,...)
tn

 u0 

x0
 K.
tn

Cho qua giới hạn trong biểu thức u0 

x0
khi n   ta được u0  K ,
tn

mâu thuẫn với tính chất của nón K ( do u0  K \   )
Do đó inf f 1 ( K )  t1   .
Do f 1 ( K ) là tập đóng, nên t1  f 1 ( K ) , nghĩa là t1  min f 1 ( K ) .
Vì vậy, t1 nhỏ nhất sao cho t1u0  x0  K  x0  t1u0 .
Tính chất 1.2.4.
Giả sử u0  K \   , x0  E sao cho t0  0, x0  t0u0 . Khi đó, tồn tại

số thực nhỏ nhất t sao cho x0  tu0 .
Thật vậy, vì x0  E   x0  E . Khi đó ,với u 0  K \  

t0  0, xo  t0uo   xo  t0uo .
Theo tính chất 1.2.3, tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho

 x0  tu0
hay tồn tại số thực nhỏ nhất t , sao cho x0  tu0 .
1.2.1.3. Hai phần tử thông ước và tập K  u0 
Cho không gian Banach thực E .Phần tử x  E gọi là thông ước với
phần tử y  E , nếu    ( x)  0,    ( x)  0 sao cho  y  x   y .


12

Dễ dàng thấy, hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông ước
với nhau.
Giả sử u0  K \  . Ta ký hiệu K  u0  là tập hợp tất cả các phần tử x  E
thông ước với phần tử u0 . Hiển nhiên, K (u0 )  K \  .
1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng
Định nghĩa 1.2.1
Cho không gian Banach thực E với nón K . Nón K được gọi là chuẩn
tắc nếu :

(  0)(e1 , e2  K : e1  e2  1) thì e1  e2   .
Định nghĩa 1.2.2
Nón K gọi là đặc, nếu  x  K   S  x, rx   E  S  x, rx   K ,
trong đó S  x, rx    y  E : y  x  rx  .
Định nghĩa 1.2.3
Nón K gọi là đều, nếu mọi dãy đơn điệu và bị chặn bởi phần tử luôn có

giới hạn trong không gian E. Nón K gọi là đều hoàn toàn, nếu mọi dãy đơn
điệu và bị chặn theo chuẩn luôn có giới hạn trong không gian E.
Định lí 1.2.1
Nếu K là nón đều thì K là nón chuẩn tắc.
Chứng minh :
Giả sử K là nón đều, nhưng K không chuẩn tắc, khi đó:

n  N   x


n

 K )(yn  K ) : xn  yn  1 xn  yn 

1
(1)
n2



Chuỗi :

( x

k

k 1

 yk ) hội tụ, kí hiệu tổng của chuỗi (1) là u.

13

n

Đặt : zn   xk  n  1, 2,... ta thấy :
k 1

zn  zn 1 , z n  u , zn  zn 1  xn  1( n  2,3,...), z1  x1  1 .
Nên dãy  z n  không giảm, bị chặn trên bởi u, nhưng không hội tụ theo chuẩn
của không gian E , mâu thuẫn với tính chất đều của nón K .
Vậy K là nón chuẩn tắc.
Định lí 1.2.2
Nếu K là nón đều hoàn toàn thì K là nón đều.
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh mọi nón đều hoàn toàn là nón chuẩn tắc.
Thật vậy, giả sử K là nón đều hoàn toàn, nhưng K không phải là nón chuẩn
tắc.






Khi đó: n  N  en , g n  K : en  gn  1 en  g n 

1
.
2n

Đặt:

e1  g1  e2  g 2  ....  en  g n ,
hk  
e1  g1  e2  g 2  ....  en  g n  en 1  g n1 ,
(n  1,2,3...)

k  2 n,
k  2n  1

Hiển nhiên: h1  e1  h2  ...  hk  ... , và:

h1  1, hk  1, với k = 2n ;

hk  e1  g1  e2  g 2  ...  en  gn  en1  1  1  2 , với k = 2n+1.


Suy ra, dãy  hk k 1 là dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn nhưng không hội
tụ, vì: hk 1  hk  en1  1, k  1,2,... (mâu thuẫn với tính chất đều hoàn
toàn của nón K).
Do đó, K là nón chuẩn tắc.


14

Tiếp theo, ta chứng minh K là nón đều.


Thật vậy, lấy một dãy không giảm bất kỳ  xn n1  E và bị chặn trên bởi
phần tử y  K :

x1  x2  ...  xn  ...  y.


Xét dãy  xn  x1  n 1 là một dãy không giảm và bị chặn trên bởi y  x1 ,

( xn  x1 )  K . Do K là nón chuẩn tắc
(M  0)(n  2 ) xn  x1  M . y  x1 . Từ tính đều hoàn toàn của nón K


Suy ra, dãy  xn  x1 n 1 hội tụ theo chuẩn của không gian E.


Do đó, dãy  xn  n 1 hội tụ theo chuẩn trong không gian E.
Vì vậy, K là nón đều.
Định lí 1.2.3
Nếu K là nón đều và đặc thì K là nón đều hoàn toàn .
Chứng minh:
Giả sử K là nón đều và đặc.


Lấy một dãy bất kì  xn n1  E không giảm và bị chặn theo chuẩn,

x1  x2  ...  xn  ...,
(M  0) (n  N  )
Giả sử

xn  M .

u0 là một điểm trong của K :

(r  0) S (u0 , r )   x  E x  u0  r  K
(x  E \  ) u0 

vì

u0 

rx
 K,
x

x
rx
rx
M
 u 0  r  u0 
  x 
u0  u 0 .
x
x
r
r


15



Do đó, dãy  xn n1 hội tụ trong không gian E .

Vậy, K nón đều hoàn toàn.
1.3.Không gian E u

0

1.3.1. Phần tử u 0 - đo được và không gian E u

0

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K
và u0  K \   . Phần tử x  E gọi là u 0 - đo được, nếu tồn tại hai số không
âm t1 , t 2 sao cho : t1u0  x  t2u 0 .
Ta ký hiệu Eu0 là tập hợp tất cả các phần tử x  E có tính chất

u 0 - đo được.

Khi đó tập Eu có các tính chất dưới đây:
0

1. Eu là không gian tuyến tính con của E .
0

Thật vậy:
+) (x, y  Eu )(t1  0, t2  0, t3  0, t4  0) sao cho
0

t1u0  x  t2u0 ,  t3u0  y  t 4u0 ,
suy ra (t1  t3 )u0  x  y  (t2  t 4 )u0  x  y  Eu .
0

+) (x  Eu )(t1'  0, t2 '  0)  t 1' u0  x  t2 ' u0 . Khi đó, (h  R) ta có
0

'

'

nếu h  0 thì ht1 u0  hx  ht2 u0 ;
nếu h  0 thì  h  0 ,   h  ti  0  i  1,2  và

t1 ( h)u0  ( h ) x  ( h )t2u0  t1 ( h )u0  hx  t2 ( h )u0
hoặc   h  t2  uo  hx   h  t1  uo .
Suy ra hx  Eu .
0

2, Eu là không gian định chuẩn với chuẩn
0

x

u0

 max  ( x ),  ( x) , x  Eu .
o

(1.1)


16

Thật vậy :

x  Eu0 :  t1  0, t2  0   t1u0  x  t2u0 .
Theo các tính chất 1.2.3 và 1.2.4, tồn tại   x   inf t1  0 :  t1u0  x
và tồn tại   x   inf t 2  0 : x  t2u0  . Hiển nhiên 0    x   t1 ,0    x   t2 .

. u : Eu0  R

Nhờ đó ta nhận được ánh xạ:

0

x x

u0

 max   x  ,   x .

Ta lần lượt kiểm tra các tiên đề về chuẩn:
+) (x  Eu ) x u  0, x
0

0

u0

 0  max  ( x),  ( x)  0
  ( x )   ( x)  0
 x  .





+) x  Eu0  t1 , t2  0   t1u0  x  t2u0 .
Khi đó,   R ta có:
Nếu   0 thì  ti  0  i  1, 2  và:   t1 u 0   x   t 2 u 0

 inf   t1    inf t1     x  ;
t1

t1

inf  t2    inf t2     x  .
t2

t2

Do đó,  x

u0

 max   x  ,    x    max   x  ,   x 

 x

u0

 x

u0

.

Với   0 thì    0 nên    t1  u0  (  ) x     t2 u0 ,

     t2  u0   x     t1  u0 .
Ta có inf    t1     inf t1      x  ;
t1

t1

inf  t2    inf t 2     x  .
t2

t2


17

Do đó,  x

  x

u0

 max   x  ,    x    max   x  ,   x 

u0

 x



u0

.



Vậy x  Eu0    R   x



  t , t , t , t

+) x, y  Eu0

1

2

3

4

u0

 x

u0

.

 0  : t1u0  x  t2 u0 ,  t3u0  y  t4u0 .

   t1  t3  u0  x  y   t2  t4  u0 .
Ta lại có x
suy ra:

x
x

Nên x

u0

 max inft1 , inft2  , y

u0

u0

u0

 y
 y

 y

Vì vậy, x  y

u0

u0

u0

 max inft3 , inft4  ,

u0

 inft1  inft3  inf (t1  t3 ) ,

u0

 inft 2  inft4  inf (t2  t4 ) .

 max inf (t1  t3 ), inf (t2  t4 )  x  y

u0

.

 xu  yu.
0

0

Do đó, hệ thức (1.1) xác định một chuẩn trên Eu .

0

Chuẩn (1.1) gọi là u0 -chuẩn.
Nhận xét 1.3.1
Nếu x* có tính chất

u0  đo được thì Eu  Ex .
0

*

Thật vậy :
Giả sử x  E thỏa mãn bất đẳng thức :  0u0  x*  0u0 với

 0  0,  0  0 và x là u 0  đo được nên:  t1  0, t2  0   t1u0  x*  t2u0 .
và x là u 0  đo được thì từ bất đẳng thức

t1u0  x  t2u0 

t1 *
t
x  x  2 x* .
0
0

Do đó, x là x*  đo được.
Ngược lại, nếu x là x*  đo được, nghĩa là (t1  0, t 2  0) sao cho


18

t1' x*  x  t2 ' x*  t1'  0u0  x  t2 '  0u0 ,
do đó x là u0 - đo được , nên x  Eu0 .
Từ đó suy ra Eu  E x và u0 - chuẩn tương đương với x* - chuẩn.
0

*

1.3.2.Một số định lí về nón
Định lí 1.3.1
Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E . Khi đó, K là
một nón chuẩn tắc khi và chỉ khi :

(M  0)(y  K \   (x  E y ) x E  M . x y . y E .

(1.2)

Chứng minh:
Điều kiện cần:
Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.2) không xảy ra,
nghĩa là

( " n Î ¥ * )($ y n Î K \ {q}($ x n Î E y ) x n
n

E

> n xn

yn

. yn

Ta nhận được dãy

(x n )n¥ = 1 Ì E ,(y n )n¥ = 1 Ì E ; y n ¹ q, x n ¹ q (n = 1, 2,...),

xn

đồng thời

yn

<

xn
n yn

E

.

(1.3)

E

Theo định nghĩa y n - chuẩn, từ (1.3) suy ra,

-

yn
n yn

xn

£

xn

E

£
E

yn
n yn

.
E

Đặt

gn =

xn
xn

+
E

yn
n yn

, hn =
E

- xn
xn

E

+

yn
n yn

.
E

E

.


19

Khi đó, với mọi n ³ 2 ta có
gn

và

hn

E

E

xn

=

xn

xn

n yn

E

- xn

=

yn

+

E

- xn

³

n yn

E

xn

E E

yn

+

xn

³

xn

E E

yn
n yn

n yn

E

1
> 0,
n

= 1-

1
> 0.
n

E E

yn

-

= 1-

E E

Như vậy gn , hn Î K \ {q} với n ³ 2 . Theo định nghĩa nón chuẩn tắc, tồn tại

gn
hn
+
³ d (n = 2, 3...).
gn E
hn E

d > 0 sao cho

(1.4)

Mặt khác

hn

E



  hn
Tương tự: gn

hn

Ta có

 xn
yn

xn E n yn
E

E

E

 1 


E E

1
và g n
n

xn
yn

xn E n yn



yn
n yn


E

 hn
E

E

E E

E E

  hn

E

 gn

 hn

gn
h
 n
gn E
hn

 1 


E

yn
n yn

1
E E


E



E

1
n



2
.
n

gn
h
 n
gn E
gn


E

1
n

2
 .
n

xn
xn E



 1

1
 0(n  2)
n

1

E

 xn
xn E

hn
h
 n
hn E
gn

g  hn E
g n  hn
 n E
hn
gn E
g n E hn E

E

1

n


20



gn

Suy ra

gn

hn

+

hn

E

2 yn
n yn

n yn

E

2
n (1 +

lim

n® ¥

gn
gn

hn

+

hn

E

E

1
)
n

1+

1
n

=

E

hn

E

gn

E

E

gn

E

2
n

+

 hn

+

gn

E

E

gn

2y n

£

£

Do đó

gn

E

gn



hn .

- hn
E

hn

E

.hn

E

4 .
n+1

= 0.
E

Điều này mâu thuẫn với (1.4).
Vì vậy ($ M > 0)( " y Î K \ {q}( " x Î E y ) x

£ M x .y

E

y

E

.

Điều kiện đủ:
Giả sử bất đẳng thức (1.2) thỏa mãn. Khi đó, với mọi x , y Î K
mà x = y = 1 ta có x

x

£ M x

0£ x £ x + y Þ

Nhưng do
Do đó

E

E

£ M x+y

E

x

Þ x+y

x+ y

x+ y

E

³

. x+ y

E

.

£ 1.

1
.
M

Vì vậy, K là nón chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.3.2
Cho không gian Banach thực E với nón K. Chuẩn trên không gian E
gọi là nửa đơn điệu, nếu  N  0  x , y  K : x  y  x
Chuẩn trên không gian E gọi là đơn điệu nếu

 x , y  K

:x  y  x

E

 y

E

.

E

N y

E

.

21

Định lý 1.3.2
Chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu khi và chỉ khi K là nón chuẩn
tắc.
Chứng minh.
Giả sử K là nón chuẩn tắc, theo định lý (1.3.1) :

 N  0  x, y  K , y  0, x  y 

x

E

N x

y

y

E

N y

E

(do x

y

 1 ).

Chứng tỏ, chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu.
Ngược lại, giả sử chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu .Khi đó, theo
định nghĩa chuẩn nửa đơn điệu  N  0  x, y  K : y  x  K  x

 x

E

E

N y

E

 N x  y E , x, y  K .

Do đó:  x, y  K  x  y  1 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng,
nghĩa là : 1  N x  y

 x y E 
E

1
   0.
N

Vậy, K là nón chuẩn tắc.

Định lí 1.3.3
Nếu Q là một tập hợp con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không
gian E và không chứa điểm không thì tập hợp

K  Q   { x  E : x  ty , t  0, y  Q}
là một nón trong không gian E .
Chứng minh:
Vì Q là tập đóng, bị chặn và không chứa phần tử không nên tồn tại

m  0, M  0 sao cho m  y  M , y Q .
Điều đó được chứng minh như sau:


y  0 thì tồn tại dãy  y n1  Q sao cho lim yn  0 .
Giả sử inf
yQ
n 


22

Suy ra lim yn   ( kí hiệu phầntử không của không gian E )
n

Do Q đóng nên  Q , mâu thuẫn với tính chất của Q .

y  m  0.
Vì vậy: inf
yQ
Mặt khác, do Q bị chặn nên tồn tại M  0 để y  M , y  Q .

Tiếp theo ta chưng minh K  Q  là tập đóng trong không gian E :


un  v trong không
Lấy một dãy bất kì  un n 1  K  Q  sao cho lim
n
gian E .
Hiển nhiên,
nếu v   thì   E , chọn t  0, yn  Q    0. yn  K  Q  ,
nếu v    v  0 ta sẽ chỉ ra v  K (Q ) .
Thật vậy:
v


*
Do lim un  v và với   

0
  n0  N  sao cho  n  n0  ,
n 
2



un  v 

ta có

v
2

 un  v  un  v 


1
v
2

1
3
v  un  v , n  n0
2
2

(1.5)

Mặt khác,
do u n  K (Q ) nên u n  t n . yn , t n  0, yn  Q ( n  1, 2,...)
Theo (1.5) ta có


23

1
3
v  tn . yn  v , n  n0
2
2
1
3


v  tn 
v , n  n0
2 yn
2 yn
Từ m  yn  M , yn Q

1
3
v  tn 
v , n  n0
2M
2m



 

Do đó tồn tại dãy con tn

i





 



tn  t 0 .
  tn  n1 sao cho lim
n 1
i 
i

1
3
v  t0 
v  t0  0
2M
2m

Ta có

yn 
i

tn

  tn
1
1 
v   y n  y n    yn  v 
t0
t0
t0 

  t0
i

i

 tn 
 yn  1   
t0 

M
1

tn  t0 
t0
t0
i

i

i

yn 
Do đó, lim
i 
i

Do Q đóng nên

i

i

i

1
1  1
1
u

v   . t n  t0 . yn  u n  v

n
t0  t0
t0
 t0
i

i

i

u n  v  0,(i   )
i

1
1
y n  v.
v  0 hay lim
i 
t0
t0
i

v
v
 Q  v  t0   K  Q  .
t0
t0

Vậy K  Q  là một tập đóng.

 điều kiện N1) được thoả mãn.
Lấy hai phần tử bất kì u , v  K  Q  : u  t1 y1 , v  t2 y2

t , t
1

2

 0; y1 , y2  Q  .

i


24

Giả sử  ,  là hai số thực không âm, xét phần tử  u   v :
Nếu   0    0 thì  u   v  K  Q  là hiển nhiên.
Nếu t1  0  t2  0 thì  u   v  K  Q  là hiển nhiên.
Nếu   0,   0, t1  0, t2  0 ta có:

  t1


 t2
 u   v   t1 y1   t2 y2   t1   t2  
y1 
y2  .
 t1   t2 
  t1   t2
Do Q là tập lồi nên

 t1
 t2
y1 
y2  Q .
 t1   t2
 t1   t2

Do đó  u   v  K  Q  .

 điều kiện N2,N3 được thoả mãn.
Giả sử  u0  K  Q  , u0   mà u 0  K  Q  thì

u0  t0 y0 , t0  0, y0  Q  u0  t0 y0  t1 y1 với t1  0, y1  Q .
 t1 y1  t0   y0  .
Khi đó:

t0
t
y0  1 y1  Q;
t1  t0
t1  t0

hay  

t0 y0  t1 y1
 Q (mâu thuẫn với tính chất của tập hợp Q ).
t0  t1

Mâu thuẫn đó chứng tỏ nếu u0  K  Q  thì u 0  K  Q  .

 điều kiện N4) được thoả mãn.
Vì vậy, K  Q  là một nón.


25

1.4
1.4.1

Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Không gian m.

1.4.1.1. Không gian véc tơ thực m.
* Không gian:







m  x   xk k 1 xk  R,(Dx  R* ) xk  Dx (k  N * )
là không gian véc tơ thực với phần tử không là    0,0, 0,...,0,...  ,

và phép cộng hai phần tử, phép nhân vô hướng với phần tử của m xác định
như sau:

x   x   my   y   m  x  y   x  y 
x   x   m   R   x   x   m.




k k 1



k k 1

k



k k 1

 m;



k k 1

k k 1

Hai phép toán đóng kín trong không gian m .
Thật vậy:
+ xk , yk  m : Dx , D y  R* sao cho xk  Dx , yk  D y ,

ta có xk  yk  xk  yk  Dx  Dy .
Đặt Dx y  Dx  Dy  R*  xk  yk  Dx y

 xk  yk  m .
+ xk  m,   R ta có  xk   . xk   .Dx ,

Dx  R*   .Dx  R*   xk  m.
Ta kiểm tra hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề về không gian vectơ.
Thật vậy:

x   x 



k k 1











 m y   yk  k 1  m z   zk k 1  m   ,   R  .


26

Ta có:




 )  x  y   z   xk  yk k 1   zk k 1




  xk  yk   zk  k 1   xk   yk  zk   k 1




  xk k 1   yk  zk k 1  x   y  z  ;




) x  y   xk  yk k 1   yk  xk k 1  y  x;




)    0,0,...,0,...  m : x     xk   k 1   xk k 1  x;




 )   x     xk k 1  m : x    x    xk    xk  k 1   ;






)   x    xk  k 1     xk  k 1     xk k 1     x  ;








)     x      xk  k 1   xk   xk k 1   xk k 1    xk k 1   x   x;






) 1.x  1. xk k 1  1.xk k 1   xk k 1  x.
Vậy m là một không gian vectơ thực với phép cộng hai phần tử và
phép nhân vô hướng với phần tử của m xác định như trên.


* Trong không gian thực m , với mỗi x   xk k 1  m , ta đặt:

x  sup xk

(1.6)

1 k 

Khi đó, công thức (1.6) xác định một chuẩn trên m.


Thật vậy, vì x   xk  k 1  m  Dx  R* : xk  Dx  dãy  xk  bị chặn trên,
nên tồn tại sup x k . Do đó công thức (1.6) được xác định.
1 k  

Ta đi kiểm tra (1.6) thỏa mãn 3 tiên đề về chuẩn:







) x   xk k 1  m x  sup  xk   0;
1k 