Khung trong không gian banach

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày tỏ lòng
kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc đối với cô. Cô đã dành nhiều thời gian
hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý
báu, luôn động viên tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua khó
khăn trong chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy
cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương
trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ động viên của gia đình,
bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2011-2013 để
tác giả hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả

Vi Thị Kim Tuyến


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành không trùng với bất kỳ
luận văn nào khác.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả

Vi Thị Kim Tuyến

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số khái niệm và kiến thức cơ bản trong giải tích hàm . .

3

1.1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Phép chiếu và tổng trực tiếp của các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Cơ sở của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1. Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2. Khung trong không gian Hilbert tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.3. Khung đối ngẫu thay phiên của khung trong không gian Hilbert. . . . . . . . . . .

24

1.2.4. Tính giãn nở của các khung đối ngẫu thay phiên trong không gian Hilbert

34

Chương 2. KHUNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

46

2.1. Khai triển nguyên tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2. Khung trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.3. Khung đối ngẫu thay phiên của khung trong không gian Banach

59
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

i


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Năm 1946, D. Gabor [4] đã đưa ra một cách tiếp cận cơ bản để phân
tích tín hiệu thông qua các tín hiệu cơ sở. Năm 1952, trong khi nghiên
cứu một bài báo trong lý thuyết chuỗi Fourier không điều hoà, R. J.
Duffin và A. C. Schaeffer [3] đã trừu tượng hoá phương pháp của Gabor
để định nghĩa các khung trong không gian Hilbert. Tuy nhiên ý tưởng
này đã không nhận được sự quan tâm của các nhà khoa học ngoài lĩnh
vực đó cho đến khi bài báo của I. Daubechies, A. Grossmann và Y. Meyer
[2] ra đời vào năm 1986. Ngày nay, lý thuyết khung là công cụ đắc lực
trong nhiều lĩnh vực ứng dụng, đặc biệt là phân tích tín hiệu.
Năm 1989, Grochenig [5] đã tổng quát hoá khái niệm khung cho các
không gian Banach và gọi chúng là các khai triển nguyên tử. Đặc trưng
chính của khung mà Grochenig cố gắng giữ lại trong một không gian
Banach là mối tương quan một-một giữa một véc tơ trong không gian
Hilbert với tập các hệ số khung. Grochenig cũng định nghĩa một khái
niệm tổng quát hơn được gọi là khung Banach.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết khung trong không

gian Banach, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo, tiến sĩ
Nguyễn Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài “Khung
trong không gian Banach” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về khung trong không gian
Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về khung trong không gian Hilbert và trong không gian
Banach.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái
niệm và kết quả cơ bản của khung trong không gian Hilbert và không
gian Banach.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến khung trong không gian Hilbert và không gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
- Thu thập tài liệu và các bài báo về khung trong không gian Banach.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách tổng quan về lý thuyết khung trong không gian
Banach.
2

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số khái niệm và kiến thức cơ bản trong giải
tích hàm
Trong mục này chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và kiến thức
cơ bản mà chúng tôi sẽ sử dụng trong những phần sau. Các kết quả này
được tham khảo từ tài liệu [7], [8].
1.1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach
Toán tử tuyến tính T từ không gian Banach X vào không gian Banach
Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0
sao cho
T x ≤ c x , với mọi x ∈ X.

(1.1)

Ký hiệu B(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X
vào Y . Khi X = Y thì B(X, Y ) được ký hiệu đơn giản là B(X).
Chuẩn của T ∈ B(X, Y ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,
T = sup { T x : x ∈ X, x ≤ 1}
= sup { T x : x ∈ X, x = 1} .

3


Gọi X là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X, X được gọi là không gian đối ngẫu của không gian X. Ký hiệu
x ∈ X, x∗ ∈ X , x, x∗ := x∗ (x).
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X, Y, Z là các không gian Banach. Nếu T ∈
B (X, Y ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B (Y , X ) sao cho

T x, y ∗ = x, T ∗ y ∗ , (x ∈ X, y ∗ ∈ Y ) .
Hơn nữa
i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ .
ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ .
iii) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và T −1

∗

= (T ∗ )−1 ,

trong đó S, T ∈ B(X, Y ) và R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C.
Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B(X, Y ) và S ∈ B(Y, Z). Khi đó
i) T x ≤ T

x , ∀x ∈ X.

ii) ST ≤ S

T .

iii) T = T ∗ .
Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con của X và N là
không gian con của X . Ta định nghĩa
M ⊥ = {x∗ ∈ X : x, x∗ = 0, ∀x ∈ M } ,
⊥

N = {x ∈ X : x, x∗ = 0, ∀x∗ ∈ N } .
4

Giả sử T ∈ B(X, Y ). Ta ký hiệu
N (T ) = {x ∈ X : T x = 0} ,
R(T ) = {y ∈ Y : y = T x, x ∈ X} .
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử X, Y là các không gian Banach, T ∈ B(X, Y ).
Khi đó N (T ∗ ) = R(T )⊥ và N (T )=⊥ R(T ∗ ).
Trong trường hợp các không gian là Hilbert thì ta có
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert. Nếu T ∈
B(H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho
T ∗ x, y = x, T y , ∀x ∈ K, ∀y ∈ H.
Hơn nữa
i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ,
ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ ,
iii) (T ∗ )∗ = T ,
iv) I ∗ = I,
v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và T −1

∗

= (T ∗ )−1 ,

trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) và a, b ∈ C.
Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.4 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K, L). Khi đó
i) T x ≤ T . x , ∀x ∈ X.
ii) ST ≤ S . T .
5

iii) T = T ∗ .
iv) T ∗ T = T

2

.

Định lý 1.1.1. Nếu T ∈ B(H) thì N (T ∗ ) = R(T )⊥ và N (T ) = R(T ∗ )⊥ .
Định nghĩa 1.1.1. Cho H là không gian Hilbert và T ∈ B(H).
T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T , là đẳng cự nếu T ∗ T =
IH , là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = IH , T được gọi là đối đẳng cự nếu T ∗ là
đẳng cự, tức là T T ∗ = IH .
Toán tử tự liên hợp T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu T x, x ≥
0 với mọi x ∈ H.
T, K ∈ B(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0.
Chú ý rằng với mỗi T ∈ B(H) thì T ∗ T x, x = T x, T x ≥ 0 với mọi
x ∈ H. Do đó T ∗ T là dương.
Mệnh đề 1.1.6. Cho H là không gian Hilbert. Giả sử T ∈ B(H). Khi
đó các điều kiện sau đây là tương đương.
i) T là dương.
ii) T = S 2 trong đó S là toán tử dương.
iii) T = V ∗ V trong đó V ∈ B(H).
Toán tử S trong ii) là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T , ký
1

hiệu là T 2 .
1.1.2. Phép chiếu và tổng trực tiếp của các không gian
Cho V là một không gian véc tơ trên trường số phức C. Toán tử tuyến
tính E : V → V thỏa mãn E 2 = E được gọi là một phép chiếu trên V .

6


Khi đó các tập
Y = {x ∈ V : Ex = x } , Z = {x ∈ V : Ex = 0 }

(1.2)

là các không gian con tuyến tính của V .
Cho x ∈ V và y = Ex, z = x − Ex. Khi đó x = y + z với y ∈ Y (do
Ey = E 2 x = Ex = y) và z ∈ Z (vì Ez = Ex − E 2 x = 0).
Nếu x có một biểu diễn khác là x = y1 + z1 với y1 ∈ Y và z1 ∈ Z
thì Ey1 = y1 , Ez1 = 0 và y1 = E (y1 + z1 ) = Ex = y và z1 = x − y1 =
x − Ex = z.
Do đó mỗi phần tử x thuộc V có thể biểu diễn duy nhất ở dạng
x = y + z với y ∈ Y và z ∈ Z. Y và Z được gọi là các không gian con
bù nhau của V . Ta cũng nói V là tổng trực tiếp của Y và Z, ký hiệu
•

V = Y + Z.
Hai không gian con Y và Z là các không gian con bù nhau của V nếu
và chỉ nếu
Y + Z = V và Y ∩ Z = {0} .
Định nghĩa ánh xạ E : V → V như sau: với x ∈ V , x = y + z, trong
đó y ∈ Y, z ∈ Z, ta định nghĩa Ex = y. Khi đó Y và Z liên hệ với E như
trong (1.2). Do Ex ∈ Y nên E(Ex) = Ex với mỗi x ∈ V . Vậy E 2 = E.
Ta có thể kiểm tra E là ánh xạ tuyến tính.
Định lý 1.1.2. Hai không gian con tuyến tính Y và Z của một không
gian tuyến tính V là bù nhau khi và chỉ khi Y + Z = V và Y ∩ Z = {0}.
Khi những điều kiện này được thỏa mãn, phương trình E(y + z) = y

7


(y ∈ Y, z ∈ Z) xác định một toán tử tuyến tính E : V → V và
E 2 = EY = {x ∈ V : Ex = x} , Z = {x ∈ V : Ex = 0} .
Ngược lại, mọi toán tử tuyến tính E : V → V thỏa mãn E 2 = E đều
sinh ra từ một cặp không gian con bù nhau của V như ở trên.
Trong trường hợp đặc biệt V là một không gian Hilbert thì phép chiếu
trực giao đóng một vai trò quan trọng.
Giả sử H là một không gian Hilbert, u, v ∈ H và X, Y là các tập hợp
con của H. Ta nói u trực giao với v nếu u, v = 0 và u trực giao với Y
nếu u, y = 0 với mọi y ∈ Y và X trực giao với Y nếu x, y = 0 với
mọi x ∈ X, y ∈ Y . Ký hiệu Y ⊥ là tập tất cả các vectơ trong H và trực
giao với Y .
Mệnh đề 1.1.7. Nếu Y là một không gian con đóng của không gian
Hilbert H thì mỗi phần tử x ∈ H có thể biểu diễn được dưới dạng
x = y + z, trong đó y ∈ Y và ∈ Y ⊥ . Hơn nữa, y là phần tử duy nhất
trong Y , gần nhất với x.
Ta viết H = Y ⊕ Y ⊥ và Y ⊥ được gọi là phần bù trực giao của Y trong
H.
Phương trình P (y + z) = y, y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ xác định một toán tử
tuyến tính P : H → H.
P được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên Y .
Chú ý rằng I − P là phép chiếu trực giao từ H lên Y ⊥ và
(I − P ) (y + z) = z, y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ .
8


Do y, z = 0 khi y ∈ Y và z ∈ Y ⊥ , ta có

P (y + z)

2

= y

2

2

≤ y

+ z

2

= y + z 2,

P (y + z) , y + z = y, y + z = y

2

≥ 0.

Do đó P là bị chặn với P ≤ 1 và P là dương (do đó P là tự liên hợp).
Do P y = y với mọi y ∈ Y , P = 1 trừ trường hợp Y = {0} và P = 0.
Chú ý rằng P 2 = P và Y = {P x : x ∈ H} = {y ∈ H : P y = y} và
Y ⊥ = {z ∈ H : P z = 0}.
Ngược lại, giả sử P ∈ B (H) và P 2 = P = P ∗ . Khi đó P là phép chiếu
trực giao từ H lên Y = {P x : x ∈ H} .

Như vậy có một mối quan hệ 1 - 1 giữa các không gian con đóng Y
của một không gian Hilbert H và các phép chiếu trực giao trên H.
Khi H1 , . . . , Hk là các không gian Hilbert và K là tập của tất cả các
bộ k {x1 , ..., xk } với xj ∈ Hj (j = 1, . . . , k), ta có một cấu trúc không
gian Hilbert trên K, trong đó các phép toán đại số, tích vô hướng và
chuẩn được định nghĩa bởi
a {x1 , ..., xk } + b {y1 , ..., yk } = {ax1 + by1 , ..., axk + byk } ,
{x1 , ..., xk } , {y1 , ..., yk } = x1 , y1 + ... + xk , yk ,
{x1 , ..., xk } =

x1

2

+ ... + xk

2

1
2

.

Không gian Hilbert K được gọi là tổng trực tiếp của H1 , . . . , Hk và được
k

ký hiệu bởi H1 ⊕ ... ⊕ Hk hoặc

⊕Hj . Các phần tử trong H1 ⊕ ... ⊕ Hk
j=1

cũng được kí hiệu là x1 ⊕ ... ⊕ xk .
Với mỗi j = 1, . . . , k, tập Hj bao gồm những bộ k có các thành phần
bằng không, ngoại trừ vị trí thứ j, là một không gian con đóng của H1 ⊕
9


... ⊕ Hk . Ánh xạ Uj : Hj → Hj , định nghĩa bởi Uj x = {0, ..., 0, x, 0, ..., 0}
(với x ở vị trí thứ j) là một đẳng cấu từ Hj vào Hj . Khi đó các không
k

gian con Hj , ..., Hk là trực giao từng cặp, và

Hj = K.
j=1

Giả sử rằng H1 , . . . , Hk là các không gian con trực giao với nhau từng
k

đôi một của không gian Hilbert H và

Hj = H. Khi đó, các phép chiếu
j=1

trực giao tương ứng E1 , . . . , Ek từ H lên H1 , . . . , Hk có tổng bằng I. Toán
tử tuyến tính U : H → K , được định nghĩa bởi U x = {E1 x, ..., Ek x},
ánh xạ Hj lên Hj và H lên K (= H1 ⊕ ... ⊕ Hk ), và là một unita do
Ux

2

=

2

k

k

Ej x

2

Ej x

=

= x

2

(x ∈ H) .

j=1

j=1

Nghịch đảo của nó U −1 mang {x1 , ..., xk } của K vào x1 + ... + xk . Qua
đẳng cấu này, ta xem H như một tổng trực tiếp trong của H1 , . . . , Hk và
K như tổng trực tiếp ngoài; đôi khi ta đồng nhất H với K và Hj với Hj .

Nếu Hj , Kj là các không gian Hilbert và Tj ∈ B(Hj , Kj )(j = 1, . . . , k),
đẳng thức
T {x1 , ..., xk } = {T1 x1 , ..., Tk xk } (x1 ∈ H1 , ..., xk ∈ Hk )
xác định một toán tử tuyến tính T từ H1 ⊕ ... ⊕ Hk vào K1 ⊕ ... ⊕ Kk ,
k

⊕Tj của T1 , . . . , Tk .

được gọi là tổng trực tiếp
j=1

Ta có thể chứng minh được rằng T bị chặn với
T = max { Tj : j = 1, 2, ..., k} .
Do đó
T ∈ B (H1 ⊕ ... ⊕ Hk , K1 ⊕ ... ⊕ Kk ) .
10


Ta có thể chứng minh được T có toán tử liên hợp T ∗ xác định bởi
T ∗ {y1 , ..., yk } = {T1∗ y1 , ..., Tk∗ yk } ,
trong đó yj ∈ Kj (j = 1, 2, ..., k). Nói một cách khác,
∗

n

⊕Tj

n

⊕Tj∗ .

=

j=1

j=1

Rõ ràng rằng
k

k

k

⊕ (aSj + bTj ) = a
j=1

⊕Sj
j=1

k

j=1

k

⊕Rj
j=1

⊕Tj ,

+b
k

⊕Sj

⊕Rj Sj

=

j=1

j=1

khi Sj , Tj ∈ B(Hj , Kj ), Rj ∈ B(Kj , Lj ) và a, b ∈ C.
1.1.3. Cơ sở của không gian Banach
Giả sử (B, . ) là một không gian Banach trên F (F = R hoặc C).
Một tập đếm được
B = {xj : j ∈ N } ⊂ B
được gọi là một cơ sở của B khi và chỉ khi với mỗi x ∈ B, tồn tại một
dãy duy nhất {αj }j∈N ⊂ F sao cho
x=

αj xj ,
j∈N

với sự hội tụ của tổng riêng là theo chuẩn của B, tức là
n

lim x −

αj xj = 0.
j=1

11


Ví dụ 1.1.1. Một hệ trực chuẩn đầy đủ trong một không gian Hilbert
khả li H là một cơ sở của H. Đặc biệt eikx : k ∈ Z } là một cơ sở của
L2 (0, 2π).
Trong ví dụ này chúng ta có thể chọn k = 0, 1, −1, 2, −2, ... là thứ tự
cơ sở. Hơn nữa bất cứ thứ tự khác đều cho chúng ta một cơ sở. Tuy nhiên
sự không phụ thuộc vào thứ tự của các phần tử trong cơ sở là không
đúng cho các không gian Banach tổng quát. Có một loại cơ sở đặc biệt
của không gian Banach tốt hơn cho các ứng dụng là cơ sở không điều
kiện. Cơ sở này đảm bảo rằng với mọi hoán vị của các phần tử trong cơ
sở ta đều được một cơ sở của B.
Ta xét lớp M của tất cả các tập hợp con hữu hạn N của N. Ta viết
lim

N ∈M

yi = y

(1.3)

i∈N

khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε) ∈ M sao cho y −

yi <
i∈N

ε với mọi N ∈ M mà N ⊇ N . Chúng ta nói rằng chuỗi hội tụ không
điều kiện tới y khi và chỉ khi (1.3) được thỏa mãn.
Một cơ sở B = {xj : j ∈ N} của không gian Banach (B, . ) được
gọi là cơ sở không điều kiện nếu và chỉ nếu trong biểu diễn duy nhất
x=

αj xj chuỗi hội tụ không điều kiện .
j∈N

Mệnh đề 1.1.8. Trong không gian Banach B, chuỗi

yi hội tụ không
i∈N

điều kiện tới y ∈ B khi và chỉ khi

yσ(i) = y (hội tụ theo chuẩn của
i∈N

B) đối với mọi hoán vị σ của N.
Ta có một đặc trưng của cơ sở không điều kiện như sau.
12


Mệnh đề 1.1.9. Đối với cơ sở B = {xj : j ∈ N } của một không gian
Banach B thì những điều kiên sau đây là tương đương:
i, B là một cơ sở không điều kiện của B.

ii, Với mọi hoán vị σ của N, tập hợp B = xσ(i) : i ∈ N } là một cơ
sở của B.
iii, Với mọi x ∈ B với biểu diễn duy nhất x =

αj xj và mọi dãy
j∈N

{βj }j∈N sao cho |βj | ≤ 1 thì chuỗi

βj αj xj hội tụ.
j∈N

Ví dụ 1.1.2. ([7]) Ký hiệu lp (N), 1 ≤ p < ∞ là không gian của các dãy
số phức x = {xk }k∈N sao cho
x

lp (N)

p

1

|xk | ) p < ∞.

:= (
k∈N

Ký hiệu σn,k = 0 nếu n = k và σn,n = 1 với ∀k, n ∈ N.
Ký hiệu en = {σn,k }k∈N . Khi đó {en } n∈N là một cơ sở không điều kiện
của lp (N) với 1 ≤ p < ∞ nhưng {en } n∈N không là cơ sở của l∞ (N), không

gian tất cả các dãy bị chặn x = {xk }k∈N với chuẩn x

l∞ (N)

:= sup |xk | .
k∈N

Hệ eikx }k∈Z là một cơ sở cho L2 (0, 2π), 1 < p < ∞ nhưng không là cơ
sở không điều kiện trong Lp (0, 2π) nếu p = 2.

1.2. Khung trong không gian Hilbert
Trong nghiên cứu không gian véc tơ một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viết
như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên,
điều kiện là cơ sở rất hạn chế, không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các thành phần và đôi khi chúng ta thậm chí yêu cầu các thành
13


phần trực giao ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm
hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và
đây là lí do mà người ta mong muốn một công cụ linh hoạt hơn.
Khung là một công cụ như vậy. Một khung cho một không gian véc
tơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong
không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử
trong khung nhưng tính độc lập tuyến tính là không cần thiết.
Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ
bản trong lý thuyết khung cần đến cho những phần sau. Các kết quả
của mục này có thể tham khảo trong [1], [2], [6].
Trước tiên chúng ta xem xét trường hợp không gian hữu hạn chiều.

1.2.1. Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều
Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, được trang bị một
tích vô hướng < ., . >. Nhớ lại rằng một dãy ej

m
j=1

trong V là một cơ

sở của V nếu hai điều kiện sau đây thỏa mãn
i) V = span ej
ii)

m
ej j=1

m
.
j=1
m

cj ej = 0 với các hệ

là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu

số vô hướng cj

m
j=1

j=1

thì cj = 0, (j = 1, 2, . . . , m).

Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễn duy
nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại dãy các hệ số vô
hướng duy nhất cj

m
j=1

sao cho
m

f=

cj ej .
j=1

14

(1.4)


ej

m
j=1

là một cở sở trực chuẩn, nghĩa là một cơ sở với


0 nếu i = j
ei , ej = δij =
1 nếu i = j.

Hệ số cj

m
j=1

rất dễ tìm, đó chính là tích vô hướng của f trong (1.4)

với một ej tùy ý
m

m

f, ej =

ci ei , ej

=

i=1

ci ei , ej = cj .
i=1

Vì vậy

m

f=

f, ej ej .

(1.5)

j=1

Bây giờ ta sẽ định nghĩa về khung. Ta sẽ chứng minh rằng một khung
{fj }m
j=1 cũng cho ta một biểu diễn như (1.4).
Định nghĩa 1.2.1. Một họ đếm được của các véc tơ {fi }i∈I trong V
được gọi là một khung của V nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
A f

2

| f, fi |2 ≤ B f

≤

2

, ∀f ∈ V.

(1.6)

i∈I

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả cận khung dưới và cận
khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng
các cận khung tối ưu là các cận khung thật sự.
Trong không gian véc tơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên (mặc dù
có thể) khi xét các họ fj

j∈I

có vô hạn các phần tử. Trong phần này

chúng ta chỉ xem xét các họ hữu hạn fj

m
,m
j=1

∈ N. Với hạn chế này,

bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng
m

m

f, fj
j=1

2

≤

fj
j=1

15

2

f

2

với mọi f ∈ V,


nghĩa là, điều kiện khung trên tự động được thỏa mãn. Tuy nhiên, ta
m

fj

có thể tìm một cận khung trên tốt hơn
j=1

trong (1.6) thỏa mãn, cần thiết rằng span fj

2

. Để cho điều kiện dưới

m
j=1

= V . Điều kiện này

cũng là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khung cho bao tuyến tính của nó.
m
j=1

Mệnh đề 1.2.1. Cho fj

là một dãy trong V . Khi đó fj

m
j=1

là

m
.
j=1

một khung cho span fj

Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj
đều bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với
m

B =

fj

2

m
j=1

. Bây giờ lấy W := span fj

j=1

tục

và xem xét ánh xạ liên

m

∅ : W → R, ∅ (f ) :=

f, fj

2

.

j=1

Hình cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với
g = 1 sao cho
m

A :=

m

g, fj

2

= inf

j=1

: f ∈ W, f = 1 .

f, fj
j=1

Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ W, f = 0, ta có
m

m

f, fj

2

=
j=1

j=1

f
, fj
f

2

f

2

≥A f

2

.

Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 1.2.1. Một họ các phần tử fj
V khi và chỉ khi span fj

m
j=1

m
j=1

trong V là một khung của

=V .

Hệ quả 1.2.1 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số
phần tử cần thiết để làm cơ sở. Đặc biệt, nếu
16

fj

k
j=1

là một khung


của V và
fj

k
j=1

m
j=1
m
gj j=1

gj

là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì
cũng là một khung của V .

1.2.2. Khung trong không gian Hilbert tổng quát
Cho H là một không gian Hilbert khả li với tích vô hướng < ., . >
tuyến tính theo thành phần thứ nhất. Gọi I là tập chỉ số đếm được.
Họ các phần tử {fi }i∈I ⊆ H được gọi là dãy Bessel nếu
| f, fi |2 ≤ B f

∃B > 0 :

2

, ∀f ∈ H.

i∈I

Một dãy Bessel {fi }i∈I là một khung nếu
∃A > 0 : A f

2

| f, fi |2 , ∀f ∈ H.

≤
i∈I

Điều đó có nghĩa là dãy {fi }i∈I trong H là một khung nếu tồn tại hai
hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho
A f

2

| f, fi |2 ≤ B f

≤

2

, ∀f ∈ H.

i∈I

Khung {fi }i∈I được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung
Parseval nếu A = B = 1.
Một dãy {fi }i∈I được gọi là một cơ sở Riesz nếu nó vừa là một khung
vừa là một cơ sở cho H theo nghĩa: với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất
một dãy {αi }i∈I trong C sao cho x =

αi fi với sự hội tụ trong chuẩn.
i∈I

Ví dụ 1.2.1. Lấy
√

3 1
,
2 2

T

H = C2 , e1 = (0, 1) , e2 =
17

√

T

, e3 =

3 1
,
2 2

T

.


3
Khi đó {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là .
2
T
Thật vậy, với x = (x1 , x2 ) ∈ H bất kỳ, ta có
√
√
2
3
1
1
3
3
2

2
x, ej
= |x2 | +
x1 + x2 +
x1 − x2
2
2
2
2
j=1

2

3
|x1 |2 + |x2 |2
2
3
=
x 2.
2
=

Ví dụ 1.2.2. Giả sử {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.
(i) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞
k=1 hai lần ta thu được
∞
{fi }∞
i=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}. Khi đó {fi }i=1 là khung chặt với cận khung

A = 2.
Thật vậy, ta có
∞

∞
2

| f, ek |2 = 2 f

| f, fk | = 2
k=1

2

, ∀f ∈ H.

k=1

Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fi }∞
i=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...}. Khi đó
{fk }∞
k=1 là một khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có
∞

∞
2

2

| f, ek |2

| f, fk | = | f, e1 | +
k=1

k=1
∞

∞
2

≤

| f, ek |2

| f, ek | +
k=1
∞

k=1

| f, ek |2

=2
k=1

=2 f

2

.

Mặt khác
∞
2

∞
2

| f, e1 | +

| f, ek |2 = f

| f, ek | ≥
k=1

k=1

18

2

.


Do đó

∞
2

f

| f, fk |2 ≤ 2 f

≤

2

, ∀f ∈ H.

k=1

Vì vậy {fk }∞
k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận
khung trên là 2.
(ii) Giả sử
{fk }∞
k=1 :=

1
1
1
1
1
e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , ... ,
2
2
3
3
3

1
√
nghĩa là {fk }∞
là
dãy
mà
mỗi
véc
tơ
ek được lặp lại k lần. Khi đó
k=1
k
với mỗi f ∈ H có
∞

∞
2

| f, fk | =
k=1

k=1

1
f, √ ek
k

2

= f

2

.

Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A = 1.
Ví dụ 1.2.3. Ta xét L2 (T ), trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo
Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó eins

n∈Z

là cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn

cho L2 (T ). Nếu E ⊆ T là tập đo được bất kỳ, thì eins |E

n∈Z

là một

khung Parseval cho L2 (E).
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.1. Cho H là một không gian Hilbert và K là một không gian
con đóng của H. Gọi P là phép chiếu trực giao từ H lên K và {ei }i∈I
là một cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó {P ei }i∈I là một khung Parseval
của K.
Chứng minh. Gọi f là một phần tử thuộc K bất kỳ. Khi đó P f = f .
19


Ta có

| f, P ei |2 =

| P f, ei |2 =

i∈I

i∈I

| f, ei |2 = f

2

.

i∈I

Do đó {P ei }i∈I là một khung Parseval của K.
Bây giờ ta đi chứng minh eins |E

n∈Z

là khung Parseval cho L2 (E).

Cho f ∈ L2 (E). Đặt

f (t)
∼
f (t) =
 0
∼

nếu t ∈ E
nếu t ∈ T \E.
∼

2

Khi đó f (t) ∈ L (T ). Do đó bằng cách đồng nhất f và f ta có thể coi
L2 (E) là một không gian con đóng của L2 (T ). Khi đó P (eins ) = eins |E .
Do

eins |E

eins |E

n∈Z

n∈Z

là cơ sở trực chuẩn của L2 (T ) nên theo Bổ đề 1.2.1

là khung Parseval cho L2 (E).

Từ định nghĩa ta suy ra nếu {fi }i∈I là một khung hoặc chỉ là dãy
Bessel thì dãy { f, fi }i∈I là dãy thuộc l2 (I). Ta có thể định nghĩa toán
tử
θ : H → l2 (I), θf = { f, fi }i∈I .
Rõ ràng toán tử θ là tuyến tính.
Do
θf

2

| f, fi |2 ≤ B f

=

2

, ∀f ∈ H,

i∈I

nên θ là bị chặn và θ ≤

√

B.

Nếu {fi }i∈I là một khung thì θf
một đơn ánh.

20

2

≥A f

2

, ∀f ∈ H nên θ phải là


Ký hiệu ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) trong đó 1 ở vị trí thứ j và 0 ở các
vị trí còn lại. Khi đó {ei }i∈I làm thành cơ sở trực chuẩn của l2 (I). Cơ sở
trực chuẩn này thường được gọi là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l2 (I).
Gọi θ∗ : l2 (I) → H là toán tử liên hợp của θ. Theo định nghĩa toán
tử liên hợp thì
f, θ∗ ej = θf, ej =

f, fi ei , ei

= f, fj , ∀f ∈ H.

i∈I

Do đó θ∗ ej = fj , ∀j ∈ I. Do θ là toán tử tuyến tính bị chặn nên toán tử
θ∗ cũng là tuyến tính bị chặn và vì vậy
θ∗

ci ei

ci θ∗ ei =

=

i∈I

i∈I

ci fi .
i∈I

Theo Mệnh đề 1.1.5iii, ta có θ = θ∗ và θ ≤

√

B nên θ∗ ≤

√

B.

Toán tử θ thường được gọi là toán tử phân tích, toán tử θ∗ thường
được gọi là toán tử tổng hợp. Ta có thể đặc trưng một khung qua các
toán tử phân tích, toán tử tổng hợp như sau
Định lý 1.2.1. Giả sử {fi }i∈I là một họ các véc tơ trong không gian
Hilbert H. Khi đó các điều kiện sau là tương đương
i) {fi }i∈I là một khung của H.
ii) Toán tử tổng hợp là tuyến tính, bị chặn, toàn ánh.
iii) Toán tử phân tích là tuyến tính, bị chặn, đơn ánh.
Toán tử S định nghĩa bởi S = θ∗ θ thường được gọi là toán tử khung.
Lấy liên hợp ta có S ∗ = (θ∗ θ)∗ = θ∗ θ = S. Vậy S là toán tử tự liên hợp.
Ta có
Sf = θ∗ θf = θ∗ { f, fi }i∈I =

f, fi fi ,
i∈I

21

θ∗ θf, f =

f, fi fi , f

=

i∈I

| f, fi |2 .

f, fi fi , f =
i∈I

i∈I

Do đó {fi }i∈I là một khung và chỉ khi
A f, f ≤ Sf, f ≤ B f, f , ∀f ∈ H.
Điều đó có nghĩa là AI ≤ S ≤ BI với A, B > 0. Do đó S là toán tử
dương và bị chặn dưới bởi hằng số A > 0.
Bổ đề 1.2.2. Nếu S : H → H là một toán tử tuyến tính bị chặn và bị
chặn dưới bởi một hằng số dương A thì S là khả nghịch.
Chứng minh. Gọi R(S) = {f ∈ H : f = Sg, g ∈ H} . Ta sẽ chứng minh
R(S) là một không gian con đóng của H. Điều này có nghĩa là mọi dãy
Cauchy trong R(S) có giới hạn trong R(S).
Thật vậy, giả sử {fn } là một dãy Cauchy trong R(S). Khi đó fn = Sgn
với gn ∈ H.
Ta có
gn − gm

2

≤

1
1
S (gn − gm ) , gn − gm ≤
S (gn − gm )
A
A

do S ≥ AI, nghĩa là Sf, f ≥ A f
gn − gm ≤

2

gn − gm

, ∀f ∈ H. Từ đó suy ra

1
1
S (gn − gm ) =
f − fm .
A
A n

Vì vậy {gn } là dãy Cauchy trong H. Do đó nó phải có giới hạn g. Do S
là liên tục nên

Sg = lim Sgn = lim fn .
n→∞

n→∞

Vậy R(S) là không gian con đóng của H.
22