Một số phương pháp giải phương trình volterra - fredholm

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của thầy PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành
và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh, đồng thời tác giả cũng
xin được gửi lời cảm ơn chân thành các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải
tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên
cứu.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Học viên

Nguyễn Tiến Dũng


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong
bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Học viên

Nguyễn Tiến Dũng


Mục lục

Mở đầu

1

Nội dung

2

1

3

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Bổ sung về không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach . . . . . . . . . .

7

2 Một số phương pháp giải phương trình Volterra-Fredholm

9

2.1. Lý thuyết tổng quan về phương trình Volterra – Fredholm . . . . . . .

9

2.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2. Toán tử tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.3. Phương trình Volterra – Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Phương pháp giải phương trình Volterra –
Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1. Phương pháp lặp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.2. Phương pháp xấp xỉ hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

iii


iv
2.3. Phương trình tích phân Volterra – Fredholm . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.1. Phương pháp lặp tổng quát giải phương trình tích phân Volterra
– Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.2. Phương pháp chuỗi lũy thừa giải phương trình tích phân VolterraFredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.3. Phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích phân
Volterra-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4. Giải gần đúng phương trình tích phân Volterra – Fredholm bằng lập

trình Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ứng dụng của phương trình Voltera - Fredholm
3.1. Bài toán biên của phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . .

47
53
53

3.2. Ứng dụng phương trình tích phân Volterra – Fredholm vào giải bài toán
biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61


BẢNG KÝ HIỆU
C

Tập số phức

C[a;b]

Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

Dk[a;b]

Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp
k trên [a, b]

l2

Tập tất cả những dãy số thực (phức) x = {xn } sao cho chuỗi
∞

|xn |2 hội tụ

n=1

N

Tập số tự nhiên

N∗

Tập số tự nhiên khác không

R

Tập số thực

Rk

Không gian thực k chiều

Ø

Tập hợp rỗng

∞

Dương vô cùng (tương ứng với +∞)

−∞

Âm vô cùng

θ

Phần tử không
.

Chuẩn
Kết thúc chứng minh


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong toán học, cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuật khác dẫn đến
những phương trình, hệ phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tích phân.
Phương trình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được
quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp
xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa . . . .
Nói đến toán học ứng dụng không thể không nói đến Giải tích số. Đó là bộ môn

khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm,
các bài toán tối ưu.
Có nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ thuật, cuộc sống . . . có
thể dẫn tới việc nghiên cứu các phương trình ở dạng sau:
Ax = y (A là toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y )
Phương trình có dạng trên được gọi là phương trình toán tử. Trong lớp các phương
trình toán tử, phương trình Volterra- Fredholm giữ vị trí quan trọng. Phương trình
Volterra- Fredholm là phương trình có dạng:
x = AF x + V x + f ,
trong đó A(t) (0 ≤ t ≤ T ) là họ những toán tử tuyến tính tác động trong X, hàm trừu
tượng f (t) ∈ XT ; V là toán tử Volterra, F là toán tử Fredholm và AF x = F Ax.
Với ý nghĩa trên, với lòng yêu thích môn học và sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS
Khuất Văn Ninh tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải phương
trình Volterra- Fredholm”.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu một cách hệ thống về phương trình Volterra- Fredholm.
Từ đó xây dựng một số phương pháp giải phương trình Volterra- Fredholm.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết, một số phương pháp giải phương trình Volterra - Fredholm.
Ứng dụng vào giải phương trình tích phân Volterra - Fredholm.
- Nghiên cứu ứng dụng của phương trình tích phân Volterra - Fredholm vào giải
bài toán biên của phương trình vi phân thường.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung chủ yếu vào một số phương pháp giải gần đúng của phương

trình Volterra- Fredholm.

5. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu và làm rõ một cách có hệ thống về phương trình Volterra- Fredholm.

6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn
đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Bổ sung về không gian Banach

1.1.1.

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức),
hàm thực · : X → R thoả mãn ba tính chất:
1. x ≥ 0 ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0 ∀x ∈ X
2. λx = |λ| · x ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K
3. x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X
Được gọi là chuẩn trên X, cặp (X, · ) được gọi là không gian tuyến tính định
chuẩn, hay không gian định chuẩn.
Ví dụ 1.1.1. Không gian véctơ tất cả các hàm số x = x(t) xác định và đo được trên
đoạn [a; b] với bình phương mođun khả tích trên [a; b], (−∞ < a < b < +∞) ta kí hiệu
là L2[a,b] .

b

L2[a,b] =

x = x(t)
a

3

|x(t)|2 dt < +∞ .


4
Khi đó L2[a,b] , ·

là không gian định chuẩn, với chuẩn · xác định bởi:
b

1
2

2

, x ∈ L2[a,b] .

|x(t)| dt

x =
a

Thật vậy:
1) ∀x ∈ L2[a,b] : |x(t)|2 ≥ 0, ∀t ∈ [a, b] suy ra:
b

b

2

|x(t)| dt ≥ 0 hay

1
2

2

|x(t)| dt

a

= x ≥0

a
b

⇒ x =0⇔

1
2

2

|x(t)| dt

=0

a
b

⇔

|x(t)|2 dt = 0 ⇔ |x(t)|2 = 0 hầu khắp nơi trên [a; b]

a

⇔ x(t) = 0 hầu khắp nơi trên [a; b]
⇔ x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b] ⇔ x = θ.
2) ∀λ ∈ K, x ∈ L2[a,b] :
b

1
2

2

|λx(t)| dt

λx =

b

2

1
2

2

|λ| |x(t)| dt

=

a

a
b

1
2

2

|x(t)| dt

= |λ|

b

1
2

2

|x(t)| dt

= |λ| ·

= |λ| · x .

a

a

3) ∀y, x ∈ L2[a,b] : (x + y) (t) = x(t) + y(t), ∀t ∈ [a, b] nên:
b

1
2

2

b

|(x + y)(t)| dt

x+y =

1
2

2

|(x(t) + y(t))| dt

=

a

.

a

Từ bất đẳng thức Holder:
b

b

|(x(t).y(t)| dt

≤

1
2

2

|(x(t)| dt

a

b

·

a

1
2

2

|(y(t)| dt

,

a

ta có:
x+y

2

b

=

|x(t) + y(t)|2 dt ≤

a
b

≤

b

(|x(t)| + |y(t)|)2 dt

a
b

|x(t)|2 dt + 2.

a

|y(t)|2 dt

1
2

a
b

=

|x(t)|2 dt

a

Cho nên x + y

1

2

|x(t)|2 dt

a
b

+

|y(t)|2 dt

a
2

b

≤ ( x + y )2 hay:

1
2

1
2

b

+

|y(t)|2 dt

a
2

= ( x + y )2 .


5
x+y ≤ x + y .
Tính chất
1) d (x, y) = x − y , ∀x, y ∈ (X, · ) là một mêtric trên X.
2) Trong một không gian tuyến tính định chuẩn X:
(i) Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục.
(ii) Chuẩn · là một hàm số liên tục trên X.
Chứng minh. (i) Giả sử hai dãy {xn } , {yn } trong không gian định chuẩn X, lần lượt
hội tụ tới x0 , y0 thuộc X tức lim xn = x0 , lim yn = y0 và {λn } là dãy số trong trường
K với lim λn = λ0 ∈ K.
Khi đó:
+) xn + yn − (x0 + y0 ) = xn − x0 + yn − y0
≤ xn − x0 + yn − y0 → 0 (khi n → ∞).
⇒ lim(xn + yn ) = x0 + y0 .
+) λn xn − λ0 x0 = λn (xn − x0 ) + (λn − λ0 )x0
≤ λn (xn − x0 ) + (λn − λ0 )x0
≤ |λn | xn − x0 + |λn − λ0 | x0 → 0 (khi n → ∞).
Từ đó ta có: lim (λn xn ) = λ0 x0 .
(ii) Với mọi x, y ∈ X ta có:
x = x−y+y ≤ x−y + y
⇒ x − y ≤ x−y

(1.1)

y = y−x+x ≤ y−x + x = x−y + x
⇒ y − x ≤ x−y
Từ (1.1) và (1.2) suy ra:
| x − y |≤ x−y .
Do đó, với {xn } là một dãy phần tử trong X mà hội tụ tới x0 ∈ X thì:

(1.2)


6
| xn − x0 | ≤ xn − x0

→ 0 (khi n → ∞)

Suy ra lim xn = x0 , hay ta có chuẩn · là một hàm số liên tục trên X.
n→∞

1.1.2.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2. Một không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản của X đều hội tụ trong X.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản
nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃n0 ∈ N∗ để ∀m, n ≥ n0 ta đều có xn − xm < ε.
Ví dụ 1.1.2. Không gian Rn với chuẩn x =

n

x2i , trong đó x = (xi )i=1,n là một

i=1

không gian Banach.
Định lý 1.1.1. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi mọi
chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
∞

Chứng minh. Giả sử X là không gian Banach, chuỗi

xn hội tụ tuyệt đối trong X,
n=1

∞

∞

xn hội tụ, gọi {Sn } là dãy tổng riêng của chuỗi

tức chuỗi
n=1

n

xn với Sn =
n=1

xk ,
k=1

khi đó với mọi số tự nhiên n, p ta có:

n+p

n+p

xk ≤

Sn+p − Sn =
k=n+1

xk → 0 khi n, p → ∞.
k=n+1

Suy ra {Sn } là một dãy cơ bản trong không gian X, vì X là không gian Banach
∞

xn hội tụ.

nên dãy này hội tụ, do đó chuỗi
n=1

Ngược lại, X là không gian định chuẩn thoả mãn mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều
hội tụ, ta chỉ ra X là không gian Banach. Thật vậy, giả sử {xn } là một dãy cơ bản bất
kì của không gian tuyến tính định chuẩn X, khi đó với mỗi số tự nhiên n tồn tại số tự
nhiên kn sao cho m ≥ kn , l ≥ kn thì khi đó:
xl − xm ≤

1
.
2n

(1.3)


7
Ta chọn các kn sao cho: k1 < k2 < k3 < ... < kn < ... thì ta sẽ có dãy con {xkn } của
dãy {xn } hôi tụ trong X, vì từ (1.3) suy ra:
xkn+1 − xkn <

1
, ∀n ∈ N∗ .
2n

Suy ra chuỗi
xk1 + (xk2 − xk1 ) + (xk3 − xk2 ) + ... + xkn+1 − xkn + ....

(1.4)

Có xkn+1 − xkn → 0 khi n → ∞.
Do vậy (1.4) hội tụ tuyệt đối, theo giả thiết thì chuỗi (1.4) hội tụ. Mặt khác,
Sn = xkn , với mọi n ∈ N. Do vậy {xkn } hội tụ trong X, vì {xn } là dãy cơ bản suy ra
chuỗi {xn } hội tụ trong X. Suy ra (X, · ) là không gian Banach.

1.1.3.

Nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.4. Chúng ta nói rằng, ánh xạ f : E → F là ánh xạ co, nếu tồn tại
0 < α < 1 sao cho:
f (x) − f (y)

F

≤α x−y

E

∀x, y ∈ E,

trong đó, α được gọi là hệ số co.
Chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.1.2. Giả sử f là một ánh xạ co từ tập đóng M vào chính nó thuộc không
gian Banach E với hệ số co α. Khi đó trong M , ánh xạ f có duy nhất một điểm bất
động x∗ . Điểm này chúng ta có thể tìm bằng cách sau:
xn = f (xn−1 ) , n = 1, 2, ..., x0 cho trước, x0 ∈ M ,
trong đó xn ∈ M và xn → x∗ . Ngoài ra chúng ta còn có đánh giá:
x n − x∗ ≤

αn
x0 − x1 .
1−α


8
Hệ quả 1.1. Giả sử f được xác định trong hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r0 ,
B [x0 ; r0 ] ⊂ E, với E là không gian Banach. Giả sử f là một ánh xạ co trong B [x0 ; r0 ]
và thỏa mãn điều kiện f (x0 ) − x0 ≤ (1 − α) r0 . Khi đó trong hình cầu đó, f có duy
nhất một điểm bất động. Điểm đó có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ ở trên.
Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng f (B [x0 ; r0 ]) ⊂ B [x0 ; r0 ].
Thực vậy, giả sử x ∈ B[x0 ; r0 ], nghĩa là x − x0 ≤ r0 , khi đó:
f (x) − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) − x0

≤ α x − x0 + r0 (1 − α) ≤ αr0 + r0 (1 − α) = r0 .
Điều này có nghĩa là
f (x) ∈ B [x0 ; r0 ].

Định lý 1.1.3. Giả sử f là một ánh xạ từ tập đóng M ⊂ E vào chính nó và tồn tại
một m ∈ N sao cho ánh xạ f m (x) là ánh xạ co trong M . Khi đó trong M , f có duy
nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Nếu m = 1, thì đúng theo định lý 1.1.2.
Giả sử m > 1. Đặt g = f m .
Theo định lý 1 thì g có duy nhất một điểm bất động x∗ .
Ta có g (f (x∗ )) = f (g (x∗ )) = f (x∗ ). Như thế f (x∗ ) ∈ M là điểm bất động của f .
Do g có duy nhất một điểm bất động nên f (x∗ ) = x∗ .
Hệ quả 1.2. Giả sử f là một ánh xạ từ tập đóng lồi M ⊂ E vào chính nó và có đạo
hàm liên tục thỏa mãn f (x) ≤ α < 1. Khi đó kết luận của định lý 1 đúng.


Chương 2
Một số phương pháp giải phương
trình Volterra-Fredholm
2.1.

Lý thuyết tổng quan về phương trình Volterra
– Fredholm

2.1.1.

Một số khái niệm

Cho X là một không gian Banach. Giả sử x (t) là hàm trừu tượng xác định trên
đoạn [0; T ], và nhận giá trị trong X, nghĩa là với mỗi t ∈ [0; T ], x (t) là một phần tử

trong X.
+ Hàm trừu tượng x (t) được gọi là liên tục tại điểm t0 ∈ [0; T ] nếu:
lim x (t) − x (t0 ) = 0.

t→t0

+ Kí hiệu XT là không gian các hàm trừu tượng liên tục trên đoạn [0; T ] với chuẩn:
x

XT

= sup

x (t) .

0≤t≤T

Định nghĩa 2.1.1. Toán tử F tuyến tính tác động từ không gian XT vào không gian
XT được gọi là toán tử kiểu Fredholm.
9


10
Ví dụ 2.1.1. Toán tử tích phân Fredholm:
T

K (t, s) x (s) ds,

Fx (t) =
0

trong đó K (t, s): hạch (nhân) của toán tử tích phân.
Định nghĩa 2.1.2. Toán tử V tuyến tính tác động từ không gian Xt (0 ≤ t ≤ T ) vào
không gian XT được gọi là toán tử kiểu Volterra.
Ví dụ 2.1.2. Toán tử tích phân Volterra:
t

Vx (t) =

K (t, s) x (s) ds,
0

trong đó K (t, s): hạch (nhân) của toán tử tích phân.
Định nghĩa 2.1.3. (Định nghĩa bán kính phổ của toán tử tuyến tính)
Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực R hoặc số
phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian X vào chính nó. Khi đó:
lim

n

n→∞

An ,

được gọi là bán kính phổ của toán tử A, kí hiệu là ρ (A),
ρ (A) = lim

n

n→∞

2.1.2.

An .

Toán tử tích phân Volterra

Trong không gian X = C[0;T ] ta xét toán tử tích phân Volterra:
t

Ax ≡

K(t, s)x (s) ds.
0

Đặt M = max |K (t, s)|.
0≤t,s≤T

(M t)k
x với mọi k nguyên dương, trong đó
Ta sẽ chứng minh rằng: A x (t) ≤
k!
Ak = A Ak−1 .
k


11
Ta chứng minh bằng qui nạp:
t

K(t, s)x(s)ds

+ k=1: Ax(t) =
0

t

t

K(t, s)x(s)ds ≤

⇒ |Ax(t)| =
0
t

≤

|K(t, s)| |x (s)| ds
0

max |K(t, s)| max |x (s)| ds

0 0≤t,s≤T
t

≤

0≤s≤T
t

ds = M t x .

M x ds = M x
0

0

Suy ra bất đẳng thức trên đúng với k = 1.
+ Giả sử bất đẳng thức trên đúng với k − 1, k ≥ 2, tức là:
Ak−1 x (t) ≤

(M t)k−1
x .
(k − 1)!

Ta chứng minh bất đẳng thức trên đúng với k.
Ta có:
t
k

t

K(t, s)Ak−1 x(s)ds ≤

A x(t) =
0
t

≤

|K(t, s)| Ak−1 x(s) ds
0
t

max |K(t, s)| Ak−1 x(s) ds ≤

0 0≤t,s≤T
t
k−1

M. Ak−1 x(s) ds
0

(M s)k−1
= M A x(s) ds ≤ M
x ds
0
0 (k − 1)!
t
Mk
Mk
sk t
=
x
sk−1 ds =
x
|
(k − 1)!
(k − 1)!
k 0

0
Mk
tk
Mk k
=
x
=
t x
(k − 1)!
k
k!
(M t)k
=
x .
k!
t

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
(M t)k
(M T )k
x ≤
x do 0 ≤ t ≤ T ,
k!
k!
(M T )k
Ak x = max Ak x(t) ≤
x
0≤t≤T
k!
(M T )k

k
⇒ A x ≤
x
k!
Ak x
(M T )k
⇒
≤
x
k!
Ak x
(M T )k
k
⇒ A = sup
≤
x
k!
x=0

Ta có: Ak x(t) ≤


12
⇒ Ak ≤

(M T )k
.
k!

(M T )k

(M T )k
. Chuỗi này hội tụ, vì theo dấu hiệu Dalambe với ak =
,
k!
k!
k=0
∞

Xét chuỗi
ta có:

ak+1
k!
(M T )k+1
MT
·
→ 0 khi k → ∞.
=
=
k
ak
(k + 1)! (M T )
k+1
Suy ra với k đủ lớn thì:

2.1.3.

(M T )k
< 1 ⇒ Ak < 1 .
k!

Phương trình Volterra – Fredholm

Định nghĩa 2.1.4. Phương trình Volterra – Fredholm là phương trình có dạng:
x = AF x + V x + f ,

(2.1)

trong đó: A (t) (0 ≤ t ≤ T ) là họ những toán tử tuyến tính tác động trong X, còn hàm
trừu tượng f (t) ∈ XT , V là toán tử Volterra, F là toán tử Fredholm và AF x = F Ax.
Định lý 2.1.1. (Định lí Mamedov) Xét phương trình dạng:
x = A1 x + A2 x + f ,

(2.2)

trong đó A1 là toán tử tuyến tính hữu hạn chiều,
A2 là toán tử tuyến tính có ρ (A2 ) < 1.
Đặt Sk = I + A2 + A22 + ... + Ak2 .
Khi đó dãy {xn } hội tụ đến nghiệm duy nhất x∗ của phương trình (2.2) và
xn − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 · Ak+1
2

n

· x0 − x ∗ ,

trong đó dãy {xn } xác định bởi công thức:
xn = Sk A1 xn + Ak+1
2 xn−1 + Sk f , n = 1, 2, ..., x0 ∈ X tùy ý.
Chứng minh. Từ phương trình (2.2) ta có:

13
x − A2 x = A1 x + f ⇔ (I − A2 ) x = A1 x + f .
Do A2 có bán kính phổ đủ nhỏ nên tồn tại (I − A2 )−1 .
⇒ x = (I − A2 )−1 A1 x + (I − A2 )−1 f .
Áp dụng định lí về toán tử ngược, ta có: (I − A2 )−1 =

∞

Ak2 .

k=0
∞

Ta có:

Ak2 =

k

Ai2 +

i=0

k=0
k

Đặt: Sk =

∞

Ai2 .

i=k+1

Ai2 = I + A2 + A22 + A32 + ... + Ak2 .

i=0
∞

Khi k đủ lớn thì Sk tiến dần đến

Ak2 .

k=0

Từ đó ta có: (I − A2 )

−1

≈ Sk , k đủ lớn.

Do hai toán tử xấp xỉ bằng nhau nên toán tử này khả nghịch thì toán tử kia cũng
khả nghịch.
Vậy, Sk khả nghịch với k đủ lớn.
Do đó phương trình (2.2) tương đương với:
Sk x = Sk A1 x + Sk A2 x + Sk f .
Thật vậy,
(2.2) ⇒ (2.3):

x = A1 x + A2 x + f ⇒ Sk x = Sk (A1 x + A2 x + f )
⇒ Sk x = Sk A1 x + Sk A2 x + Sk f .
(2.3) ⇒ (2.2):
Do Sk khả nghịch nên tồn tại Sk−1 .
(2.3) ⇒ Sk−1 Sk x = Sk−1 Sk A1 x + Sk−1 Sk A2 x + Sk−1 Sk f
⇒ x = A1 x + A2 x + f .
Thay Sk = I + A2 + A22 + A32 + ... + Ak2 vào phương trình (2.3).
Thu gọn ta được phương trình sau:

(2.3)


14
x = Sk A1 x + Ak+1
2 x + Sk f .
Do A1 là toán tử tác động trong không gian X , A1 là toán tử tuyến tính hữu hạn
chiều và X là không gian tuyến tính nên A1 (X) là không gian tuyến tính và A1 (X)
là không gian hữu hạn chiều.
Xét toán tử Sk = I + A2 + A22 + A32 + ... + Ak2 : I biến không gian bao nhiêu chiều
thành không gian bấy nhiêu chiều; A2 , A22 , A32 , AK
2 là các toán tử tuyến tính nên các
toán tử này biến không gian A1 (X) thành các không gian con tương ứng không gian
A1 (X). Do đó Sk A1 cũng là toán tử hữu hạn chiều hơn nữa:
dim Sk A1 (X) = dim A1 (X)
Từ đó, nếu giả thiết rằng tồn tại toán tử (I − Sk A1 )−1 , thì nghiệm gần đúng của
phương trình (2.2) có thể xây dựng như sau:
xn = Sk A1 xn + Ak+1
2 xn−1 + Sk f, n = 1, 2, ...,
hay,
−1

xn = (I − Sk A1 )−1 Ak+1
Sk f , n = 1, 2, ....
2 xn−1 + (I − Sk A1 )

Dễ dàng thấy rằng:
xn = Sk A1 xn + Ak+1
2 xn−1 + Sk f, n = 1, 2, ...
⇔ (I − Sk A1 ) xn = Ak+1
2 xn−1 + Sk f
−1
⇔ xn = (I − Sk A1 )−1 Ak+1
Sk f .
2 xn−1 + (I − Sk A1 )
∗
Mặt khác, x∗ = Sk A1 x∗ + Ak+1
2 x + Sk f
∗
⇔ (I − Sk A1 ) x∗ = Ak+1
2 x + Sk f
−1
∗
⇔ x∗ = (I − Sk A1 )−1 Ak+1
Sk f .
2 x + (I − Sk A1 )

Suy ra, xn − x∗ = (I − Sk A1 )−1 Ak+1
(xn−1 − x∗ )
2
≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

Ta chỉ ra: xn − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2
Thật vậy, từ trên ta có:

xn−1 − x∗ .
n

x0 − x∗ .


15
xn − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

xn−1 − x∗ .

Tương tự: xn−1 − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

xn−2 − x∗ ,

xn−2 − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

xn−3 − x∗ ,

...................................................................,
x1 − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

x0 − x∗ .

Thay liên tiếp các bất đẳng thức sau vào bất đẳng thức trước, ta được:
xn − x∗ ≤ (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

n

x0 − x∗ .

Ta có:
(I − Sk A1 )−1 Ak+1
≤ (I − Sk A1 )−1
2

Ak+1
,
2

mà,
Ak+1
≤ A2
2

k+1

.

Suy ra,
(I − Sk A1 )−1 Ak+1

≤ (I − Sk A1 )−1
2
Từ giả thiết A2 có bán kính phổ nhỏ, suy ra A2

k+1

A2

k+1

.

rất nhỏ so với 1, với k đủ lớn.

Với mỗi cố định thì (I − Sk A1 )−1 là xác định. Như vậy, với k đủ lớn ta luôn có:
(I − Sk A1 )−1

A2

k+1

< 1,

hay
(I − Sk A1 )−1 Ak+1
<1
2
⇒ lim (I − Sk A1 )−1 Ak+1
2

n

n→∞

=0

⇒ lim xn − x∗ = 0
n→∞

⇒ lim xn = x∗ .
n→∞

Định lý 2.1.2. Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính tác động trong
X. Trong X ta xét phương trình tuyến tính:


16
x = Ax + f ,

(2.4)

trong đó f là phần tử cho trước thuộc X và A < 1.
Khi đó dãy {xn } hội tụ đến nghiệm duy nhất x∗ của phương trình (2.4) và
xn − x ∗ ≤ A

n

x0 − x∗ .

(2.5)

Hay là:
xn − x

A n
≤
1− A

∗

x1 − x0 ,

(2.6)

trong đó dãy {xn } xác định bởi công thức:
xn = Axn−1 + f, n = 1, 2, 3, ..., x0 ∈ X tùy ý.
Chứng minh. Từ công thức (2.7) ta có:
xn = An x0 +

n−1

Ai f .

i=0

Thật vậy:
x1 = Ax0 + f ,
x2 = Ax1 + f = A (Ax0 + f ) + f = A2 x0 + Af + f ,
2

x3 = Ax2 + f = A3 x0 +

Ai f ,

i=0

.................................................,
xn = An x0 +

n−1

Ai f .

i=0
n

Đặc biệt, nếu x0 = f thì xn =

Ai f .

i=0

Do A < 1 nên suy ra tồn tại lim xn và x∗ = lim xn .
n→∞

n→∞

Thật vậy:
đặt Ax + f = Bx. Thay vào (2.4) ta có: x = Bx
d (Bx, By) = Ax + f − Ay − f = Ax − Ay

= A (x − y) ≤ A
Vì A < 1 nên B là ánh xạ co.

x−y .

(2.7)


17
Lấy x0 tùy ý:
x1 = Bx0 ,
x2 = Bx1 ,
........................,
xn = Bxn−1 .
Áp dụng nguyên lí ánh xạ co trong không gian định chuẩn ta có tồn tại điểm bất
động x∗ : x∗ = Bx∗
⇒ x∗ = Ax∗ + f .
Vậy x∗ là nghiệm của phương trình đã cho và tồn tại giới hạn trên.
Chuyển qua giới hạn trong đẳng thức (2.7) khi n → ∞ ta có:
lim xn = lim (Axn−1 + f ) ⇒ x∗ = Ax∗ + f .

n→∞

n→∞

Từ đây, ta thu được x∗ là nghiệm của phương trình (2.4).
Tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.4) là dễ thấy.
Thật vậy, nếu x, y là những nghiệm của phương trình (2.4) thì:
x = Ax + f ; y = Ay + f .
⇒ x − y = Ax + f − Ay − f = A (x − y) ≤ A

x−y

⇔ (1 − A ) x − y ≤ 0.
Do A < 1 ⇒ (1 − A ) > 0.
Nên suy ra x − y = 0 ⇔ x = y.
Vậy tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.4) được chứng minh.
Bây giờ ta đánh giá tốc độ hội tụ của dãy (2.7) tới nghiệm x∗ . Ta có:
xn − x∗ = Axn−1 + f − Ax∗ − f = Axn−1 − Ax∗
= A (xn−1 − x∗ ) ≤ A

xn−1 − x∗ .

Tương tự,
xn−1 − x∗ ≤ A

xn−2 − x∗ ,

xn−2 − x∗ ≤ A

xn−3 − x∗ ,


18
.................................................,
x2 − x∗ ≤ A

x1 − x∗ ,

x1 − x∗ ≤ A

x0 − x∗ .

Từ đó suy ra:
xn − x∗ ≤ A

n

x0 − x∗

Bất đẳng thức (2.5) được chứng minh.
Từ công thức (2.7) với n = 1, 2, 3, ... ta có, với m > n thì:
x1 = Ax0 + f ,
x2 = Ax1 + f ,
...........................,
xm−1 = Axm−2 + f ,
xm = Axm−1 + f .
Suy ra:
x2 − x1 = A(x1 − x0 ) ≤ A

x1 − x0 ,

x3 − x2 = A(x2 − x1 ) ≤ A

x2 − x1 ≤ A

2

x1 − x 0 ,

............................................,
xn+1 − xn = A(xn − xn−1 ) ≤ A

xn − xn−1 ≤ A

n

x1 − x0 ,

....................................,
xm−1 − xm−2 ≤ A
xm − xm−1 ≤ A

m−2

m−1

x1 − x0 ,

x 1 − x0 .

Ta có:
xm − xn = xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + ... + xn+1 − xn ,
≤ xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + ... + xn+1 − xn ,
≤ A
=( A

m−1
m−1

+ A

m−2

m−2

x1 − x0 + ... + A

+ ... + A n ) x1 − x0 ,

( A m−n−1 + A m−n−2 + ... + 1) x1 − x0 ,
1 − A m−n
≤ A n
x1 − x0 .
1− A
= A

n

x1 − x0 + A

n

x1 − x0 ,


19
Cho m → ∞ trong bất đẳng thức trên ta có:
xn − x

∗

A n
≤
1− A

x1 − x0 .

Như vậy bất đẳng thức (2.6) được chứng minh. Định lí được chứng minh hoàn
toàn.
Định lý 2.1.3. Giả sử A là một toán tử tuyến tính tác động trong X. Nếu một lũy
thừa Ak nào đó của A có tính chất Ak < 1 thì dãy {xn } được xây dựng theo công
thức:
xn = Axn−1 + f , n = 1, 2, 3, ...,
hội tụ đến nghiệm duy nhất x∗ của phương trình (2.4) và:
n−k

xn − x ∗ ≤

k

A

k

xk − x∗ .
k−1

Chứng minh. Ta đưa vào kí hiệu: Ax ≡ Ax + f ; fk ≡

Ai f .

i=0
k

k

Dễ thấy: A x = A x + fk .
Thật vậy:
Ax = Ax + f ,
A2 x = A Ax = A (Ax + f ) + f = A2 x + Af + f ,
A3 x = A A2 x = A A2 x + f = A (A2 x + Af + f ) + f
= A3 x +

2

Ai f ,

i=0

............................................,
Ak x = Ak x + fk .
Xét phương trình: x = Ak x = Ak x + fk .
Do Ak < 1 và áp dụng định lí (2.1.2) đối với phương trình x = Ak x + fk .
Thì phương trình nay có nghiệm duy nhất x∗ ,
x∗ = Ak x∗ = Ak x∗ + fk .


20
Khi đó , ta chỉ ra Ak Ax∗ = A Ak x∗ .

Thật vậy,
A2 Ax∗ = AA Ax∗ = A A2 x∗ ,
A3 Ax∗ = A2 A Ax∗ = A2 A2 x∗ = AA A2 x∗ = A A3 x∗ ,
.............................................,
Ak Ax∗ = Ak−1 A Ax∗ = · · · = A Ak x∗ .
Từ,
x∗ = Ak x∗ ⇒ Ak Ax∗ = A Ak x∗ = Ax∗ .
Suy ra, Ax∗ là điểm bất động của toán tử Ak . Nên theo nguyên lí ánh xạ co áp
dụng trong không gian định chuẩn điểm bất động là duy nhất nên Ax∗ = x∗ mà
Ax∗ = Ax∗ + f nên Ax∗ + f = x∗ .
Vậy x∗ là nghiệm của phương trình x = Ax + f .
Ta chứng minh: lim xn = x∗ .
n→∞

Thật vậy, với n ≥ k ta có:
xn = Axn−1 + f ,
xn−1 = Axn−2 + f ,
..........................,
xn−k+1 = Axn−k + f .
Thay liên tiếp các đẳng thức trên, ta có:
xn = Ak xn−k + Ak−1 f + Ak−2 f + · · · + Af + f .
Với,
k−1

fk =

Ai f ⇒ xn = Ak xn−k + fk .

i=0

Do đó:
xn − x∗ = Ak xn−k + fk − Ak x∗ − fk = Ak (xn−k − x∗ ) .