Một vài ứng dụng của thống kê Bose - Einstein biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HÀ

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ
BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2013


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh - người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Vật lí, đặc biệt
là các thayfam cô trong tổ Vật lí lí thuyết, phòng sau Đại học – Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian
học tập và nghiên cứu.
Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp,… đã luôn động
viên, giúp đỡ tôi để luận văn được hoàn thành.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả

Trần Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan và chịu trách nhiệm trước Hội đồng khoa học: Luận
văn này là kết quả nghiên cứu trung thực của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không sao chép kết quả của bất
kỳ công trình khoa học nào dưới bất kỳ hình thức nào. Mọi trích dẫn làm căn
cứ khoa học đều đã được ghi chú đầy đủ, trung thực.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả

Trần Thị Hà


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ................................................................................................
LỜI CAM ĐOAN ..........................................................................................
MỤC LỤC ......................................................................................................
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
Chương 1: XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ ............. 5
1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman............................................................. 5
1.1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman...................................................... 5
1.1.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp
Các ô Boltzmann ..................................................................................... 6
1.2. Phương pháp Gibbs .............................................................................. 8
1.2.1. Phương pháp Gibbs ....................................................................... 8
1.2.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp
Gibbs........................................................................................................ 10

1.3. Phương pháp lí thuyết trường lượng tử................................................ 11
1.3.1. Hệ các dao động tử boson ............................................................. 11
1.3.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein bằng phương pháp
lí thuyết trường lượng tử ......................................................................... 14
1.4. Kết luận chương 1 ................................................................................ 15
Chương 2: ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN
VÀO HỆ LƯỢNG TỬ .................................................................................. 16
2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính....................... 16
2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của vật rắn................................... 20
2.3. Áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein nghiên cứu bức xạ cân
bằng ......................................................................................................... 24
2.4. Áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein nghiên cứu hiÖn t-îng
ng-ng tô Bose - Einstein......................................................................... 25
2.5. Kết luận chương 2 ............................................................................ 31


Chương 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSEEINSTEIN BIẾN DẠNG................................................................................ 32
3.1. Cơ sở toán học của hình thức luận dao động tử điều hòa biến
dạng ......................................................................................................... 32
3.2. Dao động tử [q]- boson và thống kê Bose-Einstein biến dạng - q ............. 33
3.3. Dao động tử {q}- Boson .................................................................. 35
3.4. Xác định phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q.... 36
3.5. Chứng minh dao động tử biến dạng q mô tả dao động tử phi điều
hòa tuyến tính .......................................................................................... 37
3.6. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử phi
điều hòa tuyến tính .................................................................................. 38
3.7. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng –q nghiên cứu
trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein ........................................................ 40
3.8. Kết luận chương 3 ............................................................................ 44
KẾT LUẬN .................................................................................................... 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt. Tùy thuộc vào
loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần:
Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử. Vật lí thống kê lượng tử
tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí
thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là
trường hợp riêng. Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các
tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử.
Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường: các chất bao gồm một số rất
lớn các nguyên tử, phân tử. Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng
hạn lượng tử của trường điện từ là các photon,…Từ đó có thể thấy đối tượng
nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng.
Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt
trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm
về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó. Cơ sở của nhiệt động học
là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của
nhiệt động lực học. Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời
của nhân loại và đó được thực nghiệm xác nhận. Vật lí thống kê nghiên cứu
mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật
chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ. Vật lí thống kê xuất phát từ các
tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên hệ để rút ra những tính chất
của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất thống kê. Tại sao lại phải dùng
phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các
phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài
toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt lượng tử. Câu trả

2
lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là hệ quả
của tính chất số đông đó là quy luật tính thống kê, chứ không phải vì hệ nhiều
hạt có số bậc tự do rất lớn. Ở đây có quy luật lượng đổi - chất đổi: Khi số bậc
tự do tăng lên quá lớn - lượng đổi, thì tính chất của các quy luật cũng thay đổi
- chất đổi.
Mặc dù tính cách của một hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học
của cơ học, nhưng trong hệ nhiều hạt có biểu hiện của quy luật tính thống kê.
Rõ ràng là tính cách thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ
hay một số ít hạt và chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện của quy luật
tính thống kê. Nhưng tính cách của từng hạt riêng lẻ tạo nên hệ nhiều hạt vẫn
quyết định tính cách của toàn bộ hệ.
Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta đã dùng các
phương pháp cơ bản sau: Phương pháp các ô Boltzmann, phương pháp Gibbs,
phương pháp lí thuyết trường lượng tử. Về mặt lịch sử phương pháp các ô
Boltzmann ra đời sớm nhất nhưng phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm và
được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê. Ngày nay lí thuyết trường
lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các
tính chất của nó. Lí thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết
các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, lí thuyết trường lượng tử
đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí. Đặc biệt trong việc
nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử.
Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của
các quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt.
Việc áp dụng các thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ
lượng tử đã giải quyết được rất nhiều vấn đề mà các thống kê cổ điển không
thể giải thích đầy đủ được như nhiệt dung của vật rắn, các tính chất của khí

3
electron, nhit dung ca khớ electron trong kim loi v hin tng ngng t
Bose-Eintein, ...
Cỏc tớnh toỏn lớ thuyt c xõy dng i vi mụ hỡnh lý tng, do ú
vn cú nhng sai khỏc gia kt qu lớ thuyt v thc nghim thu c. Khi ú
ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp gn ỳng gii quyt. Nhúm lng
t m cu trỳc nú l i s bin dng phự hp vi nhiu mụ hỡnh ca vt lớ, l
mt phng phỏp gn ỳng ca lớ thuyt trng lng t .
Nhúm lng t v i s bin dng c kho sỏt thun li trong hỡnh
thc lun dao ng t iu ho bin dng. Trong nhng nm gn õy vic
nghiờn cu nhúm lng t v i s bin dng c kớch thớch thờm bi s
quan tõm ngy cng nhiu n cỏc ht tuõn theo cỏc thng kờ khỏc vi thng
kờ Bose - Einstein v thng kờ Fermi - Dirac nh thng kờ para Bose, para
Fermi, thng kờ vụ hn, cỏc thng kờ bin dng...., vi t cỏch l cỏc thng kờ
m rng. Cho n nay cỏch m rng ỏng chỳ ý nht l trong khuụn kh ca
i s bin dng.
Với mong muốn hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới các hạt vi mô, và hệ
các hạt đồng nhất boson, em đã chọn đề tài Mt vi ng dng ca thng
kờ Bose Einstein bin dng.
Mc ớch ca ti l xõy dng cỏc thng kờ lng t bin dng bng
phng phỏp lớ thuyt trng lng t v ỏp dng cỏc thng kờ ú vo nghiờn
cu mt s hin tng vt lớ.
Ni dung chớnh ca ti gm ba chng: Chng 1 trỡnh by mt
cỏch h thng cỏc phng phỏp xõy dng phõn b thng kờ lng t, trong
chng 2 chỳng tụi ó ỏp dng phõn b thng kờ Bose-Einstein nghiờn cu
mt s hin tng vt lớ. Vic ỏp dng phng phỏp lớ thuyt trng lng t
xõy dng phõn b thng kờ Bose-Einstein bin dng v ỏp dng phõn b
thng kờ Bose-Einstein bin dng nghiờn cu mt s hin tng vt lớ

4
nhằm mở rộng phạm vi phù hợp của kết quả lý thuyết và thức nghiệm được
trình bày trong chương 3.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng thống kê Bose-Einstein bằng các phương pháp Cac ô
Boltzmann, phương pháp Gibbs và phương pháp lí thuyết trường lượng tử.
- Áp dụng thống kê Bose –Einstein vào các hệ lượng tử .
- Xây dựng và áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q vào các
hệ lượng tử .
3. Đối tượng nghiên cứu
- Hệ các hạt đồng nhất Boson.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lí lí thuyết.
- Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác.
- Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử .


5
Chương 1
XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman
1.1.1. Phương pháp Các Ô Boltzman
Nội dung của phương pháp các ô Boltzmann là: chia không gian pha
thành các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét các
sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số
các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với những điều kiện bên
ngoài nhất định tức là tìm được xác suất nhiệt động của hệ. Sau đó dựa vào
nguyên lý Boltzmann tìm được entrôpi của hệ và dựa vào điều kiện cực đại

của entrôpi khi cân bằng nhiệt động, ta tìm được phân bố thống kê của hệ [1].
Theo nguyên lí Boltzmann thì entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ tỉ lệ
với logarít nêpe của xác suất nhiệt động W, cũng chính là logarít nêpe của số
các trạng thái vi mô khả hữu của hệ
S = k ln W,

( 1.1 )

với k là hằng số Boltzmann.
Entropi định nghĩa như vậy không những chứng tỏ entrôpi có bản chất
đặc biệt thống kê, không thể có một dụng cụ đo trực tiếp entrôpi, mà còn phù
hợp với định lý Nerst ( nguyên lí thứ ba của nhiệt động lực học) cho rằng:
đường đẳng nhiệt T = 0 trùng với đường đoạn nhiệt S = 0. Thật vậy, khi nhiệt
độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lượng ngày càng thấp. Khi
T=0, hệ chỉ nằm trong trạng thái lượng tử có năng lượng thấp nhất do đó W=1
và S = k ln W = k ln1 = 0
Theo quan niệm lượng tử, một trạng thái vi mô của hệ trong không
gian pha tương ứng với không phải một điểm pha mà là một thể tích cực
tiểu nào đó của không gian pha. Đối với một hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu


6
như vậy của không gian pha là bằng G min = h 3N . Do đó đối với một hệ
lượng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ Γ của không gian pha sẽ chứa
G
trạng thái lượng tử.
h 3N

Mặt khác, ta biết rằng trong vật lí thống kê lượng tử do tính đồng nhất
như nhau của các hạt đồng nhất, các phép hoán vị bất kỳ của chúng không đi

đến trạng thái vi mô nào mới. Vì vậy số cái trạng thái lượng tử sẽ giảm đi N!
lần và trong thể tích Γ của không gian pha sẽ chỉ có chứa

G
trạng thái.
h N!
3N

Hơn nữa các trạng thái lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của
spin của các hạt (có 2s+1 định hướng khác nhau) thế mà spin lại không tham
gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lượng tử sẽ tăng lên
(2s+1) lần. Như vậy một thể tích Γ của không gian pha sẽ chứa tất cả là
(2s + 1)Γ
trạng thái lượng tử.
h 3N .N!

1.1.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Các
ô Boltzmann
Đối với hệ các hạt đồng nhất boson có spin nguyên, các hạt được
xem như là không thể phân biệt được và có các trị số năng lượng rời rạc.
Để xây dựng thống kê lượng tử Bose - Einstein đối với hệ các hạt boson
đồng nhất bằng phương pháp các ô, với quan niệm các ô như là các trạng
thái lượng tử của hạt.
Xét hệ các hạt Boson mà trạng thái được diễn tả bằng hàm sóng đối
xứng và không tuân theo nguyên lý Pauli. Bằng cách tách ra một miền không
gian pha có zi ô pha ta hãy tìm số các chuyển vị của ni hạt theo các ô đó, phù
hợp với các tính chất của hạt Boson. Bài toán quy về tìm sự phân bố n i yếu tố
không phân biệt trong các ô, đồng thời trong mỗi ô số hạt là không hạn chế,

7
tức là ta tìm số các phương pháp mà nhờ đó n i hạt không phân biệt có thể xếp
đặt trong zi ô có đánh số, chú ý rằng số hạt trong mỗi ô là tuỳ ý. Các phép
tính tổ hợp, đi đến kết quả số các phương pháp đó là bằng
Wi =

( n i + zi - 1)!,
n i !( zi - 1)

(1.2)

trong đó Wi là số các trạng thái có thể có đối với các n i và zi đã cho
trước. Do đó xác suất nhiệt động của hệ, tức là toàn bộ các trạng thái vi mô có
thể có của hệ sẽ là
W = P Wi = P
i

i

( n i + zi - 1)!.
n i !( zi - 1)!

(1.3)

Như vậy khi có cân bằng nhiệt động, số các hạt trong zi ô có năng
lượng ei sẽ là
ni =

zi
.

exp {-a - bei } - 1

(1.4)

Từ đó hàm phân bố theo năng lượng hay số hạt trung bình ứng với một
ô sẽ là
f ( ei ) =

ni
1
=
,
zi exp {-a - bei } - 1

(1.5)

Đó chính là hàm phân bố theo năng lượng hay phân bố thống kê Bose–
Einstein.
Ta hãy tìm các hằng số a và b trong phân bố đó, theo nguyên lý Boltzmann,
ta có:
S
e -a-bei
e -a-b ei
= ln W = å n i ( -a - bei ) + Zi ln -a
= -aN - b E + å zi ln -a-b ei ,
e
-1
k
e - bei - 1
i

i


8
p dng h thc:
1
ổ dS ử
ỗ ữ = = -kb,
ố ảE ứT T

nờn
b=-

1
.
kT

(1.6)

T iu kin chun hoỏ
N = ồ ni = ồ
i

i

zi
,
exp {-a - bei } - 1

ta c:

a=

m
.
kT

(1.7)

V phõn b thng kờ Bose- Einstein cú dng
f (e) =

1
.
ỡe - m ỹ
exp ớ
ý-1
ợ kT ỵ

1.2. Phng phỏp Gibbs
1.2.1. Phng phỏp Gibbs
C s ca phng phỏp Gibbs l thay vic kho sỏt s bin i vi mụ
ca h ó cho vi thi gian bng vic kho sỏt mt tp hp nhiu h tng t
vi h ó cho, gi l tp hp thng kờ. Tp hp thng kờ l mt hp cỏc h
tng t vi nhau cú s lng v loi ht nh nhau, trong cỏc iu kin v
mụ ging nhau v trng thỏi vi mụ kh hu khỏc nhau. ng thi phi bo
m rng mi mt h trong tp hp thng kờ sm hay mun s i qua mi
giai on bin i dnh cho cỏc h tng t khỏc. Nh vy, tp hp thng kờ
cng cú th coi nh l tp hp cỏc trng thỏi vi mụ kh d tng ng vi cựng
mt trng thỏi v mụ ang xột ca h [1].

9
Phương pháp Gibbs thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị
trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp
thống kê.
Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được
trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác
suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ.
Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc
tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ
đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng E k là
ì Y - Ek ü
WK = exp í
ý,
î q þ

(1.8)

Trong đó y và q có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống kê.
Khi có sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều
hàm sóng khác nhau hay là nhiều trạng thái vật lí khác nhau thì
ì y - Ek ü
WK = g k (E k )exp í
ý.
î q þ

(1.9)

Nói chung số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ
phân bố chính tắc lớn lượng tử

W ( n 0 , n1....) =

1
exp {W + mN - E k } g(E k ),
N!

Với W là thế nhiệt động lớn, m là thế hoá học. Ký hiệu
G = ( n o , n1.....) =

g(E k )
.
N!

(1.10)


10
Vy
Ơ
ỡ
ỹ
W
+
n
m
e
(
)
ồ
l

l
ùù
ùù
l =0
W ( n o , n1....) = exp ớ
ý.G ( n o ,n1...) ,
q
ù
ù
ùợ
ùỵ

(1.11)

Cụng thc (1.11) cho ta bit xỏc xut cho h cú n 0 ht nm trờn mc
eo , n1 ht nm trờn mc e1 ,..... nh vy ú l cụng thc v xỏc sut cỏc s cha

y v ta cú th tỡm c s ht trung bỡnh nm trờn mt mc nng lng:
n k = ồồ ...n k W ( n o , n1....).
no

(1.12)

n1

iu kin chun hoỏ l
ỡW ỹ

ồồ...W ( n ,n ....) = exp ớợ q ýỵ Z = 1,
o

no

1

n1

(1.13)

Trong ú Z l tng trng thỏi ca h:
ỡ ồ n l ( ml - e l ) ỹ
ù
ù
Z = ồồ ....exp ớ l-0
ý G ( n o ,n1...),
q
n o n1
ù
ù
ợ
ỵ

(1.14)

Ngha l
W = -q ln Z.

(1.15)
Da vo cỏc h thc (1.14) , (1.15), ta c
nk = -

ảW
ảm k

.
m k =m

(1. 16)

1.2.2. Xõy dng phõn b thng kờ Bose Einstein bng phng phỏp Gibbs
i lng G k ( n o , n1 ,.....) =

g(E k )
xut hin l vỡ ta k n kh nng
N!

xut hin cỏc trng thỏi vt lớ mi khi hoỏn v (v ta ) cỏc ht. i vi h
cỏc ht ng nht boson v fermion tc l h c mụ t bng hm súng i


11
xng v phn i xng thỡ cỏc phộp hoỏn v u khụng i n mt trng thỏi
vt lớ mi no, bi vỡ khi ú hm súng ca h s ch hoc khụng i du hoc
i du, ngha l din t cựng mt trng thỏi lng t. Do ú i vi h cỏc
ht ng nht boson v fermion ta cú
g(E k ) = N!,

Suy ra
G k ( n 0 ,n1....) = 1.

(1.17)
i vi h ht boson khụng b cm bi nguyờn lớ Pauli, s ht trờn cựng
mt mc nng lng cú th cú tr s bt k, nờn tng trng thỏi ca h l
Ơ

1
,
l=0
ỡm l - el ỹ
1 - exp ớ
ý
ợ q ỵ

Z=P

(1.18)

T ú, ta cú:
Ơ
m -e ự
ộ
W = -q ln Z = qồ ln ờ1 - exp l l ỳ .
q ỷ
ở
l= 0

(1.19)

Theo (1.16) ta thu c trung bỡnh ca cỏc s cha y hay phõn b
thng kờ Bose Einstein:

n = f (e) =

1
.
ỡe - m ỹ
exp ớ
- 1ý
ợ kT
ỵ

(1.20)

1.3. Phng phỏp lớ thuyt trng lng t
1.3.1. H cỏc dao ng t boson
Trong biu din s ht, cỏc dao ng t boson c c trng bi cỏc
+
toỏn t sinh, hy dao ng t a$ ,a$ tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn [2], [3]:

$ $ + - a$ + a$ = 1.
aa

(1.21)


12
µ biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy boson a$ + ,a$ và
Toán tử số hạt N

tuân theo các hệ thức giao hoán:
µ = a$ + a,

$ N
µ + 1 = aa
$ $+,
N
µ $ ù = -a,
$ é N,a
µ $ + ù = a$ + .
é N,a
ë
û
ëê
ûú

(1.22)

Đại số (1.21) được thực hiện trong không gian Fock có các véctơ cơ sở
ˆ , thỏa mãn phương trình
là véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N
)
N n =n n ,
(1.23)

Trong đó: n là trạng thái có n dao động tử thoả mãn điều kiện trực chuẩn:
n m = dn,m

,

(1.24)

Và được xác định bằng cách tác động liên tiếp toán tử sinh dao động tử

lên trạng thái chân không
n =

n
1
aˆ + ) 0 .
(
n!

(1.25)

+
Tác dụng của các toán tử sinh hạt a$ , hủy hạt a$ lên các véctơ cơ sở của

không gian Fock là
+
a$ | n = n + 1 | n + 1 ; a$ | n = n | n - 1 .

(1.26)

+
µ
Từ (1.26) chúng ta tìm được dạng ma trận của các toán tử a$ ,a$ và N

như sau:
Để biểu diễn các toán tử boson bằng ma trận, chúng ta xét phần tử
+
a +m,n = m a$ n = m

n + 1 n + 1 = n + 1 m n + 1 = n + 1 . dm,n +1 ,

(1.27)

Với m, n nhận các giá trị: 0, 1, 2,…Từ (1.27) chúng ta tìm được biểu
+
diễn ma trận của toán tử a$ có dạng:


13
æ0
ç
ç 1
ç
$a + = ç 0
ç0
ç
ç ...
ç
è0

0 ö
÷
0 0 ... 0 0 ÷
2 0 ... 0 0 ÷÷
.
0
3 ... 0 0 ÷
÷
... ... ... ... ... ÷
÷

0
0 ... n - 1 0 ø
0

0

...

0

(1.28)

Làm tương tự với toán tử hủy hạt a$ , chúng ta có phần tử a m,n
a m,n = m a n = n m n - 1 = n. dm,n -1 ,

(1.29)
Với m, n nhận các giá trị 0, 1, 2, …Biểu diễn ma trận của toán tử a$ có dạng:
æ0
ç
ç0
ç
$a = ç 0
ç ...
ç
ç0
ç
è0

1
0

0
...
0
0

ö
÷
2 0 ... 0 0
÷
÷
0
3 ... 0 0 ÷
.
÷
... ... ... ... ...
÷
0
0 ... 0 n - 1 ÷
÷
0
0 ... 0
0 ø
0

0

...

0

0

(1.30)

Thực hiện các phép nhân ma trận chúng ta thu được các hệ thức (1.21)
và (1.22).
Thật vậy, ta có phần tử ma trận N mn được xác định như sau:
µ n = m n n = n m n = nd .
N mn = m N
m,n

µ là một ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính
Ma trận N

bằng 0, 1, 2, … n - 1 , còn các phần tử khác đều bằng 0. Chúng ta sẽ kiểm tra
lại, ta có:


14
µ = a$ + a$
N
0
0
æ0
ç
0
ç 1 0
ç0
2 0
=ç

ç0 0
3
ç
ç ... ... ...
ç
0
è0 0
æ0
ç
ç0
= ç0
ç
ç ...
ç
è0

0 öæ 0
֍
0 0 ֍ 0
0 0 ֍
֍ 0
0
0 ֍ ...
֍
... ... ֍ 0
֍
n - 1 0 øè 0

...

0

...
...
...
...
...

ö
÷
1 0 ... 0 0 ÷
0 2 ... 0 0 ÷ .
÷
... ... ... ... ... ÷
÷
0 0 ... 0 n - 1 ø
0

0

...

0

1

0

0

2

ö
÷
... 0 0
÷
÷
... 0 0
÷
... ... ... ÷
÷
... 0 n - 1 ÷
÷
... 0 0 ø

0 ...
0

0

0

3

...

...

...

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(1.31)

1.3.2. Xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein bằng phương pháp lí
thuyết trường lượng tử
Bây giờ, chúng ta tìm phân bố thống kê của hệ dao động tử Boson đồng
nhất đơn mode bằng cách xuất phát từ biểu thức trung bình thống kê theo tập
hợp chính tắc lớn của một đại lượng vật lý F được biểu hiện bởi toán tử Fˆ là:
µ -m N
µ
b( H
1
) Fˆ ö ,

F$ = Tr æç e ÷
Z è
ø

Trong đó b =

(1.32)

1
µ là Hamiltonian. Thông thường
, m là thế hoá học, H
kT

1
µ = eN
µ với e = hw là lượng
khi chọn gốc năng lượng ở giá trị E o = hw thì H
2

tử năng lượng, Z là tổng trạng thái đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ
µ -m N
µ
-b( H
) ö.
Z = Tr æç e
÷
è
ø

(1.33)

15
ˆ = aˆ + aˆ vào các công thức (1.32), (1.33), chúng ta thu được
Thay Fˆ º N

số hạt trung bình có cùng mức năng lượng e là
ˆ = aˆ + aˆ =
n= N

1
.
ìe - m ü
exp í
ý-1
î kT þ

(1.34)

Chú ý: Khi kể đến sự suy biến của các mức năng lượng e , chúng ta
nhân thêm vào (1.34) bậc suy biến g ( e ) , ta có biểu thức đầy đủ của phân bố
thống kê Bose - Einstein là
f (e) =

g (e)
.
ìe - m ü
exp í
ý-1
î kT þ

(1.35)

1.4. Kết luận chương 1
Trong chương này chúng tôi đã trình bày một cách có hệ thống ba
phương pháp xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein. Về phương diện lịch
sử phương pháp các ô của Boltzmann ra đời sớm nhất, tuy nhiên phương pháp
Gibbs có nhiều ưu điểm hơn và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí
thống kê hiện đại. Bên cạnh đó, chúng tôi đã trình bày phương pháp thứ ba đó
là phương pháp lí thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê BoseEinstein. Đây là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu các vấn đề ở chương tiếp theo.


16
Chương 2
ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN
VÀO HỆ LƯỢNG TỬ

2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính
Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có
khối lượng m dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một
đường thẳng nào đó.
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa có thể tìm được bằng phương
pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian [2], [3], [4].
$ 2x mw 2
P
µ=
H
+
x$ ,

2m
2

Chúng ta ký hiệu xˆ º qˆ là toán tử tọa độ, pˆ x º pˆ = -ih

(2.1)
d
là toán tử
dx

xung lượng.
Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ là
ˆ ˆ ] = pq
ˆ ˆ - qp
ˆ ˆ = ih
[ p,q
ˆ ˆ ] y = -ih
[ p,q

d
d
d
d
x - x ( -ih ) = -ih x + ihx
dx
dx
dx
dx

d

d
( xy ) + ihx y = -ihy
dx
dx

ˆ ˆ ] = -ih.
[ p,q

(2.2)
Có thể biểu diễn Hamiltonian theo pˆ và qˆ
pˆ 2 mw2 2
µ
H=
+
qˆ ,
2m
2

Đặt

(2.3)


17
p = i

mhw +
( a - a ) ,
2

q =

h
a + + a ) ,
(
2mw

theo a v a + nh sau:
Khi ú ta biu din H
2
p 2 mw2 -2
1 2 mhw
mw2 h
+ 2
à
H=
+
q =
.i .
.( a - a ) +
.
a + a + )
(
2m
2
2m
2
2 2mw
2
2

1 hw
= . ộờ( a + a + ) - ( a - a + ) ựỳ
ỷ
2 2 ở
1 hw
= . ộở( a + a + )( a + a + ) - ( a - a + )( a - a + ) ựỷ
2 2
1 hw
+ + 2a + a )
= . ( 2aa
2 2

=

hw +
+ a + a ) .
aa
(
2

(2.4)

Cỏc toỏn t a v a + c biu din ngc li qua p v q
p = i

mhw +
a - a ) ị a + - a =
(
2

q =

h
a + + a ) ị a + + a =
(
2mw

p
2
= -ip
,
mhw
mhw
i
2
q
2mw
= q
,
h
h
2mw

T ú ta thu c
a =
a + =

m ổ
p ử
ỗ wq + i ữ ,

2wh ố
mứ
m ổ
p ử
ỗ wq - i ữ .
2wh ố
mứ

(2.5)

(2.6)


18
D dng chng minh c cỏc toỏn t a v a + tha món h thc giao hoỏn
ộởa,a
+ ựỷ = 1.

(2.7)

Tht vy
m ổ
p ử m ổ
p ử
+ ựỷ = aa
+ - a + a =

ộởa,a
ỗ wq + i ữ
ỗ wq-i

ữ
2wh ố
m ứ 2wh ố
mứ
-

m ổ
p ử m ổ
p ử
ỗ wq - i ữ
ỗ wq + i ữ
2wh ố
m ứ 2wh ố
mứ

1
i
- 2iwqp
) = ( pq
- qp
) = 1.
( 2iwpq
2 hw
h

S dng h thc (1.19) ta thu c Hamiltonian cú dng
à = ổ a + a + 1 ử hw.
H
ỗ
ữ

2ứ
ố

(2.8)

Vic nghiờn cu ph nng lng ca dao ng t iu hũa quy v bi
toỏn tỡm cỏc vect riờng v tr riờng ca Hamilonian (2.8), trong ú cỏc toỏn
t a v a + tha món h thc giao hoỏn (2.7). lm iu ú ta nh ngha
mt toỏn t mi nh sau
= a + a,

N

(2.10)

à vi cỏc toỏn t a v a +
Tha món h thc giao hoỏn gia toỏn t N
ự = Na
- aN
= a + aa
- aa
+ a = ( a + a - aa
+ ) a = -1a = -a,

+ ộở N,a
ỷ

Suy ra

(

)

= a N
-1 ,
Na

(2.11)

+
+ +
+
+
+
+
+ ự = Na
+ - a + N
= a + aa











+ ộở N,a

a
a
a
=
a
aa
a
a
=
a
(
)
ỷ

hay

(

)

+ = a + N
+1 .
Na

(2.12)


19
ˆ ứng với trị riêng n, khi
Ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N

ˆ
đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N

ˆ n =n n .
N

(2.13)

Các kết quả tính toán cho chúng ta các kết luận sau:
ˆ là các số không âm.
Kết luận 1:Các trị riêng của toán tử N
ˆ ứng
Kết luận 2: Nếu n là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử N
ˆ
với trị riêng n, thì aˆ p n cũng là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n – p), và ( aˆ + ) n cũng là một véc tơ trạng thái riêng của
p

ˆ ứng với trị riêng (n + p),với p = 1,2,3…, và ( n - p ) khác 0.
toán tử N
ˆ là nmin có giá trị bằng 0.
Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N

Kết luận 4: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được
biểu diễn bằng công thức
1ö
æ
E n = ç n + ÷ hw.
2ø

è

(2.14)

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có các đặc điểm sau:
+ Đặc điểm 1: Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ
có thể nhận các giá trị gián đoạn.
+ Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa các mức
năng lượng liền kề nhau là hằng số DE = hw .
+ Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến
tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không”. Mức “không” của năng
lượng là E 0 =

hw
> 0 . Năng lượng ''không'' tương ứng với dao động “không”
2

mà ta không thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn. Nói khác đi, do
có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong


20
trạng thái nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng
lượng thấp nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tử vẫn thực hiện dao
động. Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng
tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối.
+ Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến
tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1.
Từ biểu thức về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa, ta thấy
trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều

hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng hw. Khái niệm hạt ở đây thực chất đó chỉ là
các giả hạt còn gọi là các “chuẩn hạt”.
Và ta thiết lập được các công thức sau:
ˆ n =n n ,
N
aˆ n = n n - 1 ,

(2.15)

aˆ + n = n + 1 n + 1 ,
n =

1 +n
aˆ 0 .
n!

2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của vật rắn.
Cơ sở vật lí:
Để khắc phục những thiếu sót của lý thuyết nhiệt dung cổ điển, ngay từ
năm 1907, khi mà các ý tưởng về vật lý lượng tử chỉ mới bắt đầu phát triển,
Einstein đã đề nghị một phương pháp có thể giải thích sự giảm của nhiệt dung
vật rắn ở vùng nhiệt độ thấp. Einstein coi chuyển động của các nguyên tử
trong vật rắn là chuyển động của các dao động tử điều hòa lượng tử độc lập
ba chiều có cùng một tần số.