Nghiên cứu tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 51 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM
KHOA CÔNG TRÌNH
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG
KHUNG CHỊU TẢI TRỌNG SÓNG NGẪU NHIÊN
THỰC HIỆN:
PGS. TS. ĐÀO VĂN TUẤN
HẢI PHÒNG 4-2016
MỤC LỤC
MỤC LỤC .......................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 3
Chương 1 ......................................................................................................... 4
1.1 Tổng quan về công trình biển dạng khung ........................................................... 4
1.2 Phương pháp tính toán công trình biển dạng khung ............................................. 9
1.3 Mục tiêu của đề tài .............................................................................................. 11
Chương 2 ....................................................................................................... 12
2.1 Phương pháp phần tử Hữu hạn ........................... Error! Bookmark not defined.
2.2 Phương pháp PTHH trong tính toán hệ khung không gianError! Bookmark not defined.
Chương 3 ....................................................................................................... 45
3.1 Công trình thực tế ............................................................................................... 45
3.2 Số liệu ban đầu .................................................................................................... 45
3.3 Kết quả tính toán ................................................................................................. 48
3.4 Kết luận ............................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 50
PHỤ LỤC ......................................................................................................... 51
2
MỞ ĐẦU
1. Tính thời sự của đề tài
Việt nam là đất nước có bờ biển dài trên 3000km, thềm lục địa có giàu tài nguyên
và đang được khai thác. Các công trình biển dạng khung hiện có tại Việt Nam là giàn
khoan, nhà giàn, đèn biển v.v…các kết này đều chịu tải trọng của sóng biển. Hiện nay
việc tính toán công trình biển dạng khung được đề cập trong các tài liệu trong nước chủ
yếu là cho trường hợp đơn giản: trụ đơn thẳng đứng, sóng tiền định. Tuy nhiên kết cấu
của các công trình ngoài biển là kết cấu không gian phức tạp, chịu tải trọng sóng ngẫu
nhiên. Chính vì vậy việc tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng tiền
ngẫu nhiên là việc cần thiết. Nội dung đề tài trình bày tính toán dao động ngẫu nhiên
công trình biển dạng khung.
2. Mục tiêu của đề tài
Thiết lập thuật toán, lập chương trình tính toán công trình biển dạng khung chịu tải
trọng sóng ngẫu nhiên.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài dùng phương pháp phân tích, phương pháp phần tử hữu hạn, lập trình đề đạt
được kết quả đề ra.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung đề tài chỉ tập trung tính toán dao động công trình biển dạng khung chịu tải
trọng sóng ngẫu nhiên.
5. Ý nghĩa thực tế, khoa học
Kết quả nghiên cứu của đề tài áp dụng để tính toán công trình biển dạng khung chịu
tải trọng sóng ngẫu nhiên. Nội dung của đề tài đóng góp một phần vào phương pháp luận
tính toán công trình biển, có thể làm tài liệu tham khảo trong giảng dạy, nghiên cứu tính
toán công trình biển dạng khung.
3
Chương 1.
TỔNG VỀ CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG
KHUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH CÔNG
TRÌNH BIỂN DẠNG KHUNG
1.1 Tổng quan về công trình biển dạng khung
1.1.1 Khái quát về công trình biển
Diện tích biển và đại dương chiếm 7/10 diện tích trái đất, nhu cầu hoạt động của
con người trên biển ngày càng tăng. Vì vậy cần thiết phải xây dựng công trình biển nhằm
đáp ứng các mục tiêu cơ bản như sau:
- Phục vụ thăm dò, khai thác và vận chuyển dầu khí vào bờ: (dàn khoan biển);
- Phục vụ cho nhu cầu đi lại, ăn ở ngoài biển và các hoạt động khác như: khai thác
tài nguyên, du lịch, nghiên cứu khoa học;
1.1.1.1 Phân loại theo vị trí công trình biển so với bờ:
- Công trình biển ven bờ;
- Công trình biển ngoài khơi;
- Công trình biển ngoài hải đảo.
1.1.1.2 Phân loại theo mục đích sử dụng của công trình:
- Dàn khoan biển: Công trình biển ngoài khơi cố định dùng khai thác dầu khí (dàn
khoan biển).
- Công trình bảo đảm hàng hải: hải đăng…
- Trạm nghiên cứu: trạm khí tượng, thủy hải văn.
1.1.1.3 Quá trình phát triển của các công trình biển cố định
Quá trình phát triển của các công trình biển có liên quan chặt chẽ đến việc thăm dò
và khai thác dầu khí.
Ngày nay kết cấu của các công trình biển đã phát triển rất mạnh con người đã vươn
tới khai thác dầu khí tại các độ sâu lớn, kết cấu của các công trình biển cũng thay đổi tùy
theo độ sâu.
Hình 1-1. Kết cấu công trình biển theo chiếu sâu.
a, Công trình biển bằng thép:
4
Trên thế giới: 1947 xuất hiện dàn khoan thép đầu tiên ở độ sâu 6 m tại Mexico (trên
vịnh Mexich).
1949: các dàn khoan thép đã đạt độ sâu 15m nước;
1950: có dàn khoan 30m nước;
1960: có dàn khoan 90m nước;
1970: có dàn khoan 300m nước;
Hiện nay có dàn khoan 420m nước (dàn Bull Winkle tại vịnh Mexico do công ty
Shell thiết kế nặng 56.000 tấn).
- Ở Việt Nam: có dàn khoan 50m nước.
Trong công trình biển thép chiếm khoảng 70% dạng công trình biển cố định được
xây dựng như ở Mexico, ở Trung đông, ở Chinê, ở biển Bắc có điều kiện rất phức tạp, có
chiều cao sóng hs = 30m, ở Mếch xích (Mexico)... hs = 20m. Tại mỏ COGNAC: người ta
xây dựng công trình biển ở chiều sâu nước d = 310m tổng trọng lượng thép là 50.000 T,
(so sánh tháp effel tổng trọng lượng = 20.000t).
b, Công trình biển cố định bằng bê tông
1973 ở mỏ EKOFISK (biển Bắc-Nauy) ở độ sâu: 70m, khối lượng BT = 80.000m3.
1989 dàn ''GULFAKSC'' ở độ sâu nước d = 216m, bình quân khối lượng bê tông là
360.000m3. Nếu độ sâu tăng thì khối lượng vật liệu tăng rất nhanh làm giá thành tăng,
nên yêu cầu phải có tính toán hợp lý về kỹ thuật và kinh tế.
Hình 1-2. Đồ thị phát triển công trình biển cố định bằng thép và bêtông.
Hiện nay, các nhà xây dựng đã đi đến kết luận: đối với loại kết cấu cố định chỉ nên
sử dụng ở độ sâu từ 300 400m. Để khắc phục nhược điểm của công trình biển cố định
khi chiều sâu nước tăng người ta dùng kết cấu mềm và rất mềm, là phương án mà các kết
cấu ổn định được là nhờ bởi phao hoặc các dây neo.
Dạng mới đã đạt được các yêu cầu:
- Có thể di động được;
- Kết hợp được nhiều công dụng khác.
1.1.2 Công trình biển tại Việt nam
Việt Nam là một quốc gia có phần đất liền rộng gần ba trăm ba mươi ngàn cây số
vuông, kéo dài trên bờ biển Đông với hơn ba ngàn cây số bờ biển. Lãnh hải và vùng đặc
5
quyền kinh tế biển của nước ta gấp 3 lần phần đất liền, Việt nam có nhiều điều kiện thuận
lợi để phát triển kinh tế biển: vận tải, thuỷ sản, dầu mỏ v.v...
Các công trình biển phục vụ cho các ngành kinh tế biển được xây dựng ngày càng
nhiều: giàn khoan, công trình báo hiệu, nhà giàn (trạm dịch vụ kỹ thuật biển), đại đa số
các công trình này đều có dạng khung không gian.
1.1.2.1 Phục vụ dầu khí
Hình 1-3. Giàn khoan Bạch Hổ
Hình 1-4. Giàn khoan Vietsopetrol
6
Hình 1-5. Giàn khoan thăm dò Jack up.
Hình 1-6. Giàn khoan thăm dò Jack up.
1.1.2.2 Phục vụ an ninh quốc phòng
7
Hình 1-7. Nhà giàn của Hải quân Việt Nam.
Hình 1-8. Nhà giàn của Hải quân Việt Nam.
1.1.2.3 Phục vụ an toàn Hàng hải
8
Hỡnh 1-9. ốn bin Bụng Trng Cn Gi TP. HCM.
1.2 Phng phỏp tớnh toỏn cụng trỡnh bin dng khung
Cụng trỡnh bin cú kt cu a dng tựy theo sõu, vi cỏc tm quan trng khỏc
nhau vic ỏp dng cỏc mụ hỡnh tớnh cng khỏc nhau, cỏc mụ hỡnh tớnh c khỏi quỏt
theo s sau:
Mô hình các bài toán
Lực sóng tựa tĩnh
Bài toán tĩnh
Lực động
1
Bài toán động
.. .
Mu+Cu+Ku=F(t)
Ku=F(t)
Lực động tiền định
Lực động ngầu nhiên
Mô hình tiền định
2
Mô hình xác suất
3
Ph-ơng pháp giải các
bài toán
Phân tích theo "Mode"
Tính trong miền tần số
(Hệ tuyến tính)
Tính trong miền thời gian
(Hệ tuyến tính hoặc phi tuyến)
Hỡnh 1-10. Cỏc phng phỏp tớnh kt cu Cụng trỡnh bin.
9
Hiện nay phương pháp tính toán theo tiền định vẫn là phổ biến, mô hình tính toán
này có thể chia thành hai loại:
- Bài toán tựa tĩnh;
- Bài toán động.
1.2.2 Mô hình tựa tĩnh.
Như ta đã biết, khi bỏ qua hiệu ứng động của tải trọng sóng, tức là không tính đến
ảnh hưởng của các lực quán tính xuất hiện do gia tốc chuyển động của các phần tử kết
cấu chịu các tải trọng thay đổi theo thời gian. Trong trường hợp này, tải trọng sóng được
coi là "tựa tĩnh" và tương ứng với tải trọng tựa tĩnh là bài toán tĩnh của kết cấu Công trình
biển nhưng kết quả tính toán sẽ được nhân với hệ số động. Phương trình của bài toán tĩnh
có dạng:
Ku F (t )
(1-1)
Với phương pháp tựa tĩnh để xác định được ứng suất lớn nhất trong các phần tử của
kết cấu ta cần xác định nội lực theo các hướng sóng và vị trí sóng khác nhau, như vậy với
bài toán tựa tĩnh cần phải giải phương trình (1-1) nhiều lần. Hay nói cách khác véctơ tải
trọng nút F (t ) cần được xác định theo các hướng sóng và các thời điểm khác nhau.
Theo 22 TCN 222-95 thì tải trọng động của sóng khi tác động lên công trình kiểu
kết cấu hở làm từ các cấu kiện kiểu vật cản cục bộ phải được xác định bằng cách nhân giá
trị tải trọng tĩnh với hệ số động học kđ lấy theo bảng sau:
Bảng 1-1. Hệ số động trọngt ính toán tải trọng sóng
Tỷ số các chu kỳ
TC
TS
0,01
0,1
0,2
0,3
1
1,15
1,2
1,3
Hệ số động học kđ
Trong đó:
TC- Chu kỳ dao động riêng của công trình (s);
TS- Chu kỳ trung bình của sóng (s).
Khi tỷ số các chu kỳ TC/TS>0,3 thì phải tính toán công trình theo phương pháp động
lực học.
1.2.3 Mô hình động
Phương trình chuyển động của hệ kết cấu công trình biển sau khi đã thực hiện rời
rạc hoá sơ đồ kết cấu (quy khối lượng về nút theo phương pháp phần tử hữu hạn), có
dạng dao động tổng quát của hệ nhiều bậc tự do:
Mu Cu Ku F (t )
(1-2)
Trong đó:
M- Ma trận khối lượng của hệ kết cấu;
C- Ma trận các hệ số cản;
K- Ma trận độ cứng của hệ kết cấu;
u- Véctơ chuyển vị của kết cấu;
10
F(t)- Véctơ tải trọng nút.
Nếu véc tơ tải trọng nút là đại lượng ngẫu nhiên khi đó phương trình trên là phương
trình dao động ngẫu nhiên.
1.3 Mục tiêu của đề tài
Nội dung đề tài trình bày phương pháp giải phương trình trên bằng phương pháp
chồng mode, với mặt sóng ngẫu nhiên được tạo ra ứng với phổ cho trước sẽ xác định
được chuyển chuyển vị và nội lực của kết cấu theo thời gian thực, sau khi phân tích quá
trình ngẫu nhiên của kết quả sẽ thu được các đặc trưng thống kê của chuyển vị và nội lực.
11
Chương 2.
TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG
KHUNG CHỊU TẢI TRỌNG SÓNG NGẪU
NHIÊN
2.1 Sóng ngẫu nhiên
Theo lý thuyết sóng ngẫu nhiên: một mặt sóng phẳng ngẫu nhiên có thể phân tích
thành tổng các sóng điều hòa với góc lệch pha ngẫu nhiên. Phương trình đường mặt sóng
ngẫu nhiên xác định theo công thức:
N
η ( x , t ) :
i1
(ai cos(ki x - ωi t αi))
Trong đó:
ai : biên độ;
ki : số sóng;
i : góc lệch pha ngẫu nhiên.
Để xác định được hàm (x, t ) (đường mặt sóng ngẫu nhiên) cần xác dịnh các đại
lượng ai , ki và i . Nếu mặt sóng ngẫu nhiên tại khu vực khảo sát thỏa mãn một phổ nào
đó khi đó ta có:
ai 2S (i ) , k
2
, i góc lệch pha ngẫu nhiên.
Trong đó:
S ( ) : hàm phổ tần số, hoàn toàn xác định;
: bước sóng.
Các đại lượng động học của sóng ngẫu nhiên là tổng các đại lượng động học của
các sóng thành phần (sóng điều hòa) và được xác định theo công thức:
u ( x , z , t) :
g k
ai
i
cosh k ( z d ) cos( k x - ω t α )
i
i
i
i
ω cosh ( ki d)
i1 i
v( x , z , t ) :
g k
ai
i
sinh k ( z d ) sin( k x - ω t α )
i
i
i
i
ω cosh ( ki d )
i1 i
N
N
g k
i
a
cosh k ( z d ) sin( k x - ω t α )
i
i
i
i
i
cosh ( ki d )
i1
N
ax( x , z , t) :
12
g k
i
a
sinh k ( z d ) cos( k x - ω t α )
i
i
i
i
i cosh ( ki d )
i1
N
az( x , z , t ) : -
Trong đó:
u(x, z, t ) : vận tốc phần tử nước theo phương x;
v(x, z, t ) vận tốc phần tử nước theo phương z;
ax(x, z, t ) : gia tốc phần tử nước theo phương x;
az (x, z, t ) : gia tốc phần tử nước theo phương z.
Dựa vào các đại lượng vận tốc và gia tốc ta xác định được các lực tác dụng lên các
phần tử dạng thanh của công trình theo công thức Morison.
Các phổ thường dùng để tính toán công trình biển có thể sử dụng hai loại phổ sau:
2.1.1 Phổ Pierson-Moskowitz (PM)
Được xác định bởi công thức:
Trong đó:
là tần số đỉnh phổ.
2.1.2 Phổ Jonswap
được xác định tương tự như phổ Pierson-Moskowitz trong trạng thái biển
ngắn hạn,
được xác định bởi:
Trong đó:
là công thức của phổ Pierson-Moskwitz;
là thông số hình dáng đỉnh không thứ nguyên;
là thông số độ rộng đỉnh;
đối với
13
đối với
là chỉ số chuẩn.
Giá trị trung bình của phổ Jonswap theo thực nghiệm là
,
;
Đối với
Phổ Jonswap giảm đi so với Phổ Pierson-Moskowitz;
Phổ Jonswap được coi là mô hình hợp lý cho
Giá trị của
;
có thể được xác định theo công thức:
đối với
đối với
đối với
Trong đó
tính bằng giây và
tính bằng mét.
2.2 Dao động một bậc tự do
Để giải bài toàn dao động ngẫu nhiên trước hết xét bài toán dao động một bậc tự do
chịu tải trọng bất kỳ (ngẫu nhiên).
2.2.1 Dao động cưỡng bức có cản chịu tải trọng bất kỳ
Trong thực tế lực cưỡng bức có thể không có chu kỳ mà có dạng bất kỳ,đây là
trường hợp lực tác dụng tổng quát nhất.
q
q=f(t)
k
m
k
O
t'
xop , x op , xop
x
dt'
t
t
Hình 2-1. Dao động cưỡng bức có lực tác dụng là bất kỳ.
Ký hiệu lực tác dụng là F (t ') ta có:
mx -cx - kx F (t ')
Đặt q
Q F (t ')
f (t ') khi đó:
m
m
14
x 2nx p 2 x q f (t ')
Đặt giả thiết tại t’ ta có một số gia xung lực qdt’. Khi đó hệ sẽ có một số gia vận tốc
bằng: dx xdt '
Q
dt qdt . Trong khoảng dt’ ta cần xác định số gia về quãng đường. Sử
m
dụng công thức của dao động tự do có cản.
x nx0
x e -nt x0 cos pd t 0
sin pd t
pd
Cho x0 0 ; x 0 dx qdt ' ; t t - t ' ta có:
Khoảng dịch chuyển từ t’ đến t là:
dx e -n (t -t ' )
qdt '
sin p d (t - t ')
pd
Quãng đường x được xác định như sau:
e - nt nt '
e q sin pd (t - t ')dt '
pd 0
t
x
Đây là nghiệm riêng của phương trình dao động cưỡng bức có cản. Nghiệm tổng
quát có dạng:
xe
- nt
Nếu q
t
x nx0
1
nt '
x0 cos pt
(
)
sin
p
t
e
q
sin
p
t
t
'
dt
'
d
d
p
p
d
d 0
Q
const ta có:
m
q e - nt
x nx0
( pd cos pd t n sin pd t )
x e -nt x0 cos pt
sin pd t 2 1 pd
pd
p
Nếu Q chỉ tồn tại trong khoảng thời gian t1 thì có thể coi khi 0 t t1 thì lực tác
dụng là Q, khi t t1 thì lực tác dụng là -Q. Chuyển vị được xác định theo công thức:
Đây là trường hợp chuyển vị của vật chịu tác dụng của xung lực.
Q
Q
Q
Q
O
t
O
t1
t
-Q
Hình 2-2. Dao động do tác dụng xung lực.
Khi 0 t t1 :
q e - nt
x nx0
( pd cos pd t n sin pd t )
x e -nt x0 cos pt
sin pd t 2 1 pd
pd
p
Khi t t1 :
15
q e - nt
x nx0
( pd cos pd t n sin pd t ) x e -nt x0 cos pt
sin pd t 2 1 pd
pd
p
q e -n (t -t1 )
pd cos pd (t - t1 ) n sin pd (t - t1 )
12
pd
p
Nếu Q Q t ( Q là tốc độ biến thiên của lực tác dụng theo thời gian) ta có:
x nx0
x e - nt x0 cos pt
sin p d t
pd
p d2 - n 2
Q 2n
- nt 2n
t
e
cos
p
t
sin
p
t
d
d
2
p2
mp 2 p 2
p
p
d
Trong nhiều bài toán khi lực tác dụng không thể biểu diễn dưới dạng giải tích mà
chỉ biểu diễn bằng một tập hợp các điểm rời rạc hoặc dạng bảng. Khi đó hoặc là xấp xỉ
tập hợp các giá trị đã cho bằng một công thức giải tích hoặc tổng quát tổng quát hơn là
các hàm nội suy và lặp lại quá trình tính cho các giá trị.
Khi sử dụng xấp xỉ xung lượng dưới dạng các hằng số trong khoảng thời gian thì sai
số thường lớn. Để tăng độ chính xác người ta sử dụng xấp xỉ bậc cao, cụ thể là sử dụng
xấp xỉ tuyến tính.
Q
Qi 1
Qi
O
t
t
t1 t 2 t 3
Hình 2-3. Dao động do tác dụng xung lực hình bậc thang.
Như vậy tại mỗi một khoảng thời gian xung lượng có dạng hình thang. Nó bằng
diện tích của hình chữ nhật và tam giác cộng lại. Như vậy chuyển vị sẽ bằng tổng của 3
chuyển vị:
-Chuyển vị tại thời điểm trước;
-Chuyển vị do xung lượng hình chữ nhật;
-Chuyển vị do xung lượng hình tam giác.
Với hệ có cản ta có:
16
x nxi -1
x e - n (t -ti -1 ) xi -1 cos p d (t - t i -1 ) i -1
sin p d (t - t i -1 )
pd
n
qi -1 1 - e - n (t -ti -1 ) cos p d (t - t i -1 )
sin p d (t - t i -1 )
pd
qi
p d2 - n 2
2n
- n (t - t i ) 2 n
(
)
t
t
e
cos
p
t
t
sin p d (t - t i -1 )
2
i -1
d
i -1
2
2
t i
p
p pd
p
Trong đó:
q qi - qi -1 , q
q
Q
, q
Tại thời điểm ti chuyển vị có dạng:
t
m
x nxi -1
xi e - nti xi -1 cos p d t i i -1
sin p d t i
pd
qi -1
n
1 - e - nti cos p d t i
sin p d t i
2
pd
p
qi
p d2 - n 2
2n
- nti 2n
t
e
cos
p
t
sin p d t i
i
2
d
i
2
2
2
p t i
p
p pd
p
Đạo hàm biểu thức trên và chia cho ta có:
x i -1 nxi -1
cos p d t i
p d - xi -1 sin p d t i
pd
x i e -nti
- n xi -1 cos p d t i xi -1 nxi -1 sin p d t i
pd
qi -1 -nti
n
n
e
sin p d t i - p d - sin p d t i
cos p d t i
n cos p d t i
2
pd
pd
p
p d2 - n 2
- nti 2n
cos
p
t
sin
p
t
1 - ne
d
i
d
i
2
p2
p
p
q
d
2 i
2
2
p t i
e - nti - p d 2n sin p d t i - p d - n cos p d t i
p2
p2
Công thức trên dùng để thực hiện phép tính truy hồi để tìm ra chuyển vị.
Để xác định phản lực cần xác định gia tốc:
17
x nxi -1
xi e - nti p d2 - xi -1 cos p d t i - i -1
sin p d t i
pd
x nxi -1
- e - nti np d - xi -1 sin p d t i i -1
cos p d t i
pd
x nxi -1
- e - nti np d - xi -1 sin p d t i i -1
cos p d t i
pd
x nxi -1
e - nti n 2 xi -1 cos p d t i i -1
sin p d t i
pd
qi -1 - nti
n
e
np d - sin p d t i
cos p d t i
2
pd
p
-
qi -1 - nti 2
n
e
n cos p d t i
sin p d t i
2
pd
p
-
qi -1 - nti 2
n
e
p
cos
p
t
sin
p
t
d
d
i
d
i
p
p2
d
qi -1 - nti
n
e
np d - sin p d t i
cos p d t i
2
pd
p
-
2n
qi -nti
p d2 - n 2
e
np
sin
p
t
cos p d t i
d
d
i
2
2
2
p t i
p pd
p
qi -nti 2 2n
p d2 - n 2
e
n
cos
p
t
sin p d t i
d
i
2
2
2
p t i
p pd
p
qi -nti 2 2n
p d2 - n 2
e
p
cos
p
t
sin p d t i
d
d
i
2
2
2
p t i
p pd
p
2n
qi -nti
p d2 - n 2
- 2
e
np d - 2 sin p d t i - 2
cos p d t i
p t i
p pd
p
Sau khi biến đổi ta có công thức:
x nxi -1
xi e -nti p d2 - n 2 - xi -1 cos pd t i - i -1
sin pd t i
pd
x nxi -1
- 2e -nti np d - xi -1 sin pd t i i -1
cos p d t i
pd
(
2
)
qi -1 -nti
n
e
npd - sin pd t i
cos pd t i
2
pd
p
(
qi -1 -nti 2
e
pd - n 2
2
p
) cos p t
d
i
n
sin pd t i
pd
18
-2
-
2n
qi -nti
p d2 - n 2
e
np
sin
p
t
cos p d t i
d
d
i
2
2
2
p t i
p pd
p
qi -nti 2
p d2 - n 2
2 2n
(
)
e
p
n
cos
p
t
sin p d t i
d
d
i
2
2
2
p t i
p pd
p
2.3 Dao động nhiều bậc tự do
Để giải bài toán dao động ngẫu nhiên tổng quát (nhiều bậc tự do) có thể sử dụng
phương pháp chồng mode khi đó phương trình dao động n bậc tự do sẽ được biến đổi
thành n phương trình dao động một bậc tự do, lời giải có thể áp dụng theo nội dung đã
được nêu trên.
2.3.1 Phương trình dao động nhiều bậc tự do
Phương trình dao động của hệ nhiều bậc tự do có dạng
M x C x K x Q(t )
(2-1)
Trong đó:
M - ma trận khối lượng của hệ;
C - ma trận hệ số cản nhớt của hệ;
K - ma trận độ cứng của hệ;
(Q(t )) - véc tơ tải trọng nút của hệ.
Các đại lượng trên được xác định nhờ vào việc tổ hợp các đại lượng tương ứng của
từng phần tử.
M e N T Ndv - ma trận khối lượng của phần tử;
V
ce N T cNdv - ma trận cản;
V
K e B T DBdv ma trận độ cứng;
V
Qe N T Fdv N T pds vectơ lực.
V
S
2.3.2 Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động
Đối với hệ có n bậc tự do phương trình dao động tự do được viết dưới dạng sau:
M 11
M
21
...
M n1
M 12
M 22
...
M n2
... M 1n x1 K11
... M 2 n x2 K 21
... ... ... ...
... M nn xn K n1
K12
K 22
...
K n2
... K1n x1
... K 2 n x 2
0
... ... ...
... K nn x n
(2-2)
Hoặc: M x K x 0
Trong đó:
M - ma trận khối lượng của hệ;
19
K - ma trận độ cứng của hệ.
Đặt giả thiết, dao động riêng của một khối lượng là các hàm điều hoà có dạng:
xi X M i sin ( pi t - i )
(2-3)
Trong đó:
pi và i - tần số vòng và góc lệch pha của dao động riêng;
xi - vectơ chuyển vị của dạng dao động thứ i;
X M i - vectơ biên độ dao động của dạng dao động thứ i.
x1
X M1
x
X
2
xi ; X M i M 2
...
...
X Mn
x n
i
i
Thay giá trị xi vào phương trình dao động ta có:
H i X M i 0
H i - ma trận đặc trưng có dạng sau:
H i K - pi2 M
Để cho phương trình trên có nghiệm x M i 0 thì H i 0
K11 - pi2 M 11
K - pi2 M 21
detH i 21
...
K n1 - pi2 M n1
K12 - pi2 M 12
K 22 - pi2 M 22
...
K n1 - pi2 M n1
... K1n - pi2 M 1n
... K 2 n - pi2 M 2 n
0
...
...
... K nn - pi2 M nn
Các giá trị pi được gọi là các trị riêng, X M i là các vectơ riêng. Nếu xác định được
pi ta sẽ xác định được vectơ riêng.
Có thể viết như sau:
K X M i
pi2 M X M i
(2-4)
Để đưa về bài toán tìm trị riêng dạng chuẩn Ax x ta có thể nhân cả hai vế
với M -1 nhưng khi đó ma trận M -1 K sẽ không đối xứng. Để bảo toàn tính đối xứng
ta phân tích ma trận M thành tích hai ma trận theo phương pháp Cholesky:
M U U T
U - ma trận tam giác dưới;
U T
(2-5)
- ma trận tam giác trên.
Trong trường hợp M là ma trận đường chéo thì:
U U T M 1 / 2 ; U -1 (U -1 )
T
M
-1 / 2
20
Đặt:
X u i U T X M i X M i
( )
U
T -1
X u i
Ta có:
K ( U T ) X u i pi2 M ( U T ) X u i
-1
-1
Nhân cả hai vế với U -1 ta được:
U -1 K ( U T ) X u i pi2 U -1 M ( U T ) X u i
-1
-1
do:
U -1M ( U T ) U -1U U T (U T )
I - ma trận đơn vị.
-1
-1
I
( )
Đặt K u U -1 K U T
-1
Ta có phương trình:
K u X u i
pi2 X u i
(2-6)
Đây là dạng chuẩn của bài toán trị riêng trong đó K u là ma trận đối xứng, các p i2
tìm được sẽ có giá trị dương.
2.3.3 Tọa độ chuẩn
Để xác định mối liên quan giữa các dạng dao động chính ta xét hai dạng dao động i
và j khác nhau, ta có:
K X M i
pi2 M X M i
S X M j p 2j M X M j
Nhân phương trình thứ nhất với X M Tj và phương trình thứ hai bên phải với X M Ti .
Sau khi đã chuyển trí phương trình thứ hai.
X M Tj K X M i
pi2 X M j M X M i
X M Tj K X M i
p 2j X M j M X M i
T
K K T ; M M T
T
do các ma trận này là đối xứng. Trừ phương trình 1 cho
phương trình hai ta có:
(p
2
i
)
- p 2j X M j M X M i 0
T
do hai vế trái giống nhau, tương tự như vậy nếu ta nhân với
(2-7)
1
1
và 2 ta có:
2
pj
pi
1
1
X T K X M i 0
p2 p2 M j
j
i
(2-8)
Để thoả mãn hai phương trình sau trong khi pi2 p 2j và i j thì:
21
X M Tj M X M i X M Ti M X M j
X M Tj K X M i X M Ti K X M j
0
0
Các điều kiện trên thể hiện tính trực giao của các dạng dao động với các ma trận
M và K .
Trong trường hợp i j ta có:
X M Ti M X M i mgi
X M Ti K X M i K gi
Trong đó mgi và Kgi là các hằng số phụ thuộc cách lấy chuẩn của vectơ X M i .
Để thuận tiện, sắp xếp các vectơ riêng thành một ma trận các vectơ riêng.
X M X M 1
XM2
... X Mn
Kết hợp với các phương trình trên ta có:
X M T M X M M g
(2-9)
X M T K X M K g
Trong đó K g và M g là các ma trận đường chéo. Quá trình biến đổi trên là quá
trình chéo hoá các ma trận độ cứng và khối lượng.
Ứng dụng phép biến đổi trên vào phương trình dao động tự do bằng cách nhân trái
với X M T và đặt I X M X M -1 ta được:
X M T M X M X M -1x X M T K X M X M -1x 0
Có thể viết lại như sau:
M x K x 0
g
g
g
g
(2-10)
Trong đó:
x X x
x X x
-1
g
M
g
M
-1
Hoặc:
x X M xg
x X M x
Nhờ có phép chéo hoá mà ma trận độ cứng và khối lượng của hệ trở thành ma trận
chéo. Vectơ chuyển vị x g được gọi là các toạ độ chính và các phương trình trở nên tách
biệt nhau.
Bài toán tìm trị riêng có thể viết lại dưới dạng sau, khi thay X M i bằng X M
K X M M X M p 2
(2-11)
22
Trong đó p 2 là ma trận chéo:
p12
0
2
p
...
0
0
p 22
...
0
... 0
... 0
... ...
... p n2
Được gọi là ma trận các trị riêng hay ma trận các giá trị đặc trưng. Nhân trái
phương trình trên với X M T ta có:
K M p
2
g
(2-12)
g
Hoặc: K gi mgi pi2
Như vậy trong các toạ độ chính độ cứng bằng khối lượng nhân với trị riêng tương
ứng.
Do các thành phần của dạng dao động có thể nhân với một hằng số bất kỳ nên toạ
độ chính không có lời giải duy nhất. Thông thường người ta chọn dạng dao động sao cho
ma trận M g là đơn vị. Bằng cách lấy chuẩn của các vectơ riêng theo ma trận khối
lượng, hay:
X H Ti M X H i
M gi 1
Trong đó:
X H i X M
(2-13)
ci
ci
X M Ti M X M i
n
X
Mji M jk X Mki
j 1
k 1
n
Nếu M là đường chéo thì ci
(M
n
j 1
j
2
X Mji
(2-14)
)
Nếu tất cả vectơ riêng đều được lấy chuẩn thì ma trận khối lượng chính sẽ là ma
trận đơn vị:
X M M X M M g I
Khi đó ma trận độ cứng chính sẽ là:
X H T K X H K g p2
(2-15)
Như vậy khi các vectơ riêng được lấy chuẩn theo M thì ma trận độ cứng trong hệ
toạ độ chính bằng ma trận trị riêng. Trường hợp riêng của hệ toạ độ chính này hệ toạ độ
chuẩn.
Phương trình dao động tự do trong hệ toạ độ chuẩn có dạng:
xH p 2 xH 0
(2-16)
Nghiệm của phương trình trên có dạng:
23
Khi đó:
x X H x H
x X H xH
2.3.4 Dao động cưỡng bức có cản n bậc tự do
Xét một hệ nhiều bậc tự do chịu lực cưỡng bức và có cản. Khi đó hệ phương trình
dao động có dạng:
M x C x K x Q
(2-17)
Trong đó:
C - ma trận cản.
Để đơn giản hoá coi: C aM bK
a, b - hằng số.
Khi đó các dạng dao động sẽ trực giao với ma trận C hay nói cách khác là trong
hệ toạ độ chuẩn C H có dạng đường chéo. Biến đổi phương trình dao động về dạng trong
hệ tọa độ chuẩn, ta có:
(
)
xHi a bpi2 x Hi pi2 x Hi q Hi
Đặt 2ni a bpi2 ; i
(2-18)
ni
trong đó: C Hi (a bpi2 ) . Ta có phương trình:
pi
xHi 2ni x Hi pi2 x Hi q Hi
Hoặc:
xHi 2 i pi x Hi pi2 x Hi q Hi
Trong thực tế người ta thường xác định giá trị i từ thực nghiệm ứng với mỗi dạng
dao động, cách đơn giản nhất là cho i của các dạng dao động là như nhau mà không
thành lập ma trận C .
Các phương trình trên hoàn toàn độc lập với nhau, cách giải giống như dao động
của hệ 1 bậc tự do.
Trong trường hợp cần xác định các phản lực gối theo thời gian, người ta cần có ma
trận cản C . Ma trận này được xác định từ C H . Ta có:
C (X H -1 ) CH X H -1
T
Để không phải nghịch đảo ma trận X H ta sử dụng công thức:
X H -1 X H T M
Suy ra:
C M X H CH X H T M
(2-19)
Hoặc tìm các hệ số a, b từ hai số n1 và n2 đã biết:
24
2p1 p 2
a
2n1 a bp
2p1 a bp
p1 p 2
suy
ra:
hay
2n2 a bp 22
2p 2 a bp 22
b 2
p1 p 2
2
1
2
1
(2-20)
Ta có:
C aM bK
(2-21)
2.4 Tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên
Công trình biển dạng khung chính là khung không gian, ta cần xác định ma trận
khối lượng, ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng nút chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên.
2.4.1 Ma trận khối lượng phần tử khung không gian
Ma trận khối lượng được xác định theo công thức:
M e N T N dv
(2-22)
V
Được gọi là ma trận tương thích của phần tử trong bài toán động lực học, trong một
số trường hợp người ta còn sử dụng dạng đơn giản của ma trận khối lượng bằng cách đặt
các khối lượng tập trung tại các điểm nút theo hướng của các chuyển vị thẳng hoặc
chuyển vị xoay. Ma trận khối lượng như vậy gọi là ma trận khối lượng tập trung, nó là
ma trận đường chéo- Ma trận tương thích cho kết quả chính xác hơn, nhưng ma trận tập
trung lại có tác dụng trong trường hợp bài toán lớn, vì nó là ma trận đường chéo.
Do phần tử khung không gian làm việc ở 4 trạng thái độc lập nhau:
PT khung không gian = PT dọc trục + PT khung xy + PT khung xz+ PT xoắn
Chính vì vậy để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử khung không gian là đi xác
định ma trận độ cứng của các phần tử làm việc ở trạng thái thành phần.
2.4.2 Ma trận khối lượng của phần tử thanh chịu xoắn dọc trục.
Biến dạng xoắn dọc trục của phần tử thanh là góc xoắn (x ) của mặt cắt ngang bất
kỳ được xấp xỉ như sau:
(x ) N ue
Trong đó:
N 1 - x
l
x
l
(0)
(l )e
ue
Do hàm chuyển vị là hàm góc xoắn (x, t ) nên có thể thấy rằng vận tốc chuyển
động của một điểm cách tâm tiết diện một khoảng r là:
r(x, t ) r N ue
d
Trong đó:
dt
25
