Bài toán sylvester và bài toán fermat torricelli cho các hình cầu euclid

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG
LONG
-----------------------------------------

HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI
TOÁN FERMAT – TORRICELLI
CHO
CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Hà Nội - Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
-----------------------------------------

HOÀNG THỊ THÙY LINH

BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT–
TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ : 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. ĐỖ VĂN LƯU

Hà Nội – Năm 2016


Lời cảm ơn
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
PGS.TS. ĐỗVăn Lưu – Người Thầy đã luôn giúp đỡ và hướng dẫn em trong
suốt học tập và làm luận văn này.
Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội. Em xin cảm ơn
tới các Giáo sư, Tiến sỹ và các Thầy, cô giáo trong bộ môn Toán đã giảng dạy
cho em những kiến thức cơ bản, nền tảng quý báu trong thời gian học cao học.
Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành khóa luận này.
Cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long,
chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, đã luôn thân thiện và nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong thời gian học tập vừa qua.
Tôi cảm ơn những người thân yêu trong gia đình và các bạn bè luôn
ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong suốt quá trình học
tập và thời gian làm luận văn.
Tác giả

Hoàng Thị Thùy Linh


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu.....................................................................................................1
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI

VI PHÂN HÀM LỒI
1.1.

Tập lồi và nón lồi.................................................................... 3

1.1.1. Tập lồi......................................................................................3
1.1.2. Nón lồi.................................................................................... 4
1.2.

Hàm lồi.................................................................................... 8

1.2.1. Hàm lồi.................................................................................... 8
1.2.2. Các phép toán về hàm lồi......................................................14
1.3.

Dưới vi phân hàm lồi............................................................ 17

1.4.

Dưới vi phân hàm max......................................................... 23

Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID
2.1.

Khái niệm và định nghĩa...................................................... 25

2.2.

Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid.......................... 26

2.2.1. Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu.............26
2.2.2. Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu...................32
2.3.

Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid.............49

2.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm tối ưu...........49
2.3.2. Cấu trúc nghiệm..............................................................56
KẾT LUẬN..................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................64


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi
và ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như:
Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau về hàm liên hợp, Định
lý Moreau – Rockafellar về dưới vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker
cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi các đối
tượng đẹp trong tối ưu hóa.Với các bài toán lồi ta có các điều kiện đặc
trưng cho nghiệm của bài toán đó dưới ngôn ngữ dưới vi phân của hàm
lồi.
Trong toán sơ cấp nhiều bài toán được phát biểu với các hàm lồi.
Với các bài toán cực trị, hàm lồi đóng một vai trò rất quan trọng. Cực trị
địa phương của hàm lồi trên miền lồi cũng là cực tiểu toàn cục, cực đại của
một hàm lồi trên một đa giác lồi đạt tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Nhiều bài toán sơ cấp hay được phát biểu theo hướng này. Bài toán
Sylvester cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ
hữu hạn các hình cầu Euclid. Tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các
hình cầu của họ thứ nhất và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai”. Bài

toán Fermat – Torricelli cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “
Cho hai họ các hình cầu Euclid. Hãy tìm một điểm làm cực tiểu tổng
khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần
nhất đến các hình cầu của họ thứ hai”. Các bài toán đó được nghiên cứu
bằng công cụ giải tích lồi trong [3]. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “BÀI
TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI CHO
CÁC HÌNH CẦU EUCLID ”
4


2. Nội dung đề tài
Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân
hàm lồi và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và
cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli của N. M.
Nam, N. Hoang và N. T. An đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 160
(2014) bằng phương pháp giải tích lồi.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1: “Các kiến thức cơ bản vê hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi”
Trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và các phép
toán về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân của hàm max.
Chương 2: “ Bài toán Sylester và bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu
Euclid”
Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, điều kiện
tối ưu và cách giải của Nam – Hoang – An (2014) cho bài toán Sylester
với các hình cầu Euclid và bài toán Fermat – Torricelli với ba hình cầu
Euclid. Trường hợp quan trọng của bài toán Sylester với ba hình cầu và
mối quan hệ với bài toán Apollonius cũng được trình bày trong chương
này.

5



Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN
HÀM LỒI
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, nón lồi, hàm lồi và
các phép toán về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi phân của hàm
max. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong [1], [2].

1.1. TẬP LỒI VÀ NÓN LỒI
1.1.1. Tập lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1
Tập A

X được gọi là lồi, nếu:

⊂

∀

x,x
1

2

∈

A,

∀

λ

R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λ x + (1 - λ ) x

∈

1

2

∈

A .

Giả sử A ⊂ X; x1, x2 ∈ A .
Định nghĩa 1.2
Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa như sau:
[x1, x2] = { x ∈ A : x = λ x1 + (1 - λ ) x2, 0

≤

λ

≤

1}.

Định nghĩa 1.3
Vectơ x
∃λ ≥ 0
i

∈

X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x , ... , x
1
m

( i = 1, ...,

m),

∑

m

λi = 1, sao cho x =

i =1

∑

λi xi .

i=1

Nhận xét 1.1
Tập A là lồi, nếu: x , x
∀

Ví dụ 1.1

1

2

∈

A

⇒

[x , x ]
1

2

⊂

A.

m

∈

X , nếu

6


Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình tròn trong mặt
phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi ...
Mệnh đề 1.1
X (α

Giả sử A
⊂
α
tập A =

∩
α∈I

A

∈

I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó,

cũng lồi.

α

Từ định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2

Giả sử tập A
i

tập
lồi.

⊂

X lồi,

λi ∈

R ( i = 1, ..., m). Khi

λ1 A1 + ...

λ2 A2 là

+

đó,

Mệnh đề 1.3
Giả sử X là không gian tuyến tính, tập A
i

tích Đề các A
1

×

i

... A là tập lồi trong X
×

m

1

×

⊂

X lồi ( i = 1, ..., m). Khi đó,
i

... X .
×

m

Mệnh đề 1.4
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X → Y là toán tử
tuyến tính. Khi đó
a) A
b) B

⊂
⊂

X lồi

⇒

T(A) lồi;

Y lồi

⇒

Nghịch ảnh T –1(B) của B là tập lồi.

Định lý 1.1
Giả sử tập A ⊂ X lồi; x1, ... , xm ∈ A. Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp
lồi của x1, ... , xm .
1.1.2. Nón lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.4


Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 , nếu:

7


∀

x

∈

K, ∀λ > 0

λx

⇒

K.

∈

K được gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu K – x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.5
Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi, có nghĩa là:
∀

x, y

∀λ ,

∈

K,

Ví dụ 1.2

µ

>0 ⇒

Các tập sau đây trong Rn :
{( , ... ,
ξ1

{( , ... ,
ξ1

)

ξn ∈

)

ξn ∈

R :
R :

≥

ξi

λx+

y

µ ∈

K.

0, i = 1, ... , n},
n

> 0, i = 1, ... , n}

ξi

n

là các nón lồi có đỉnh tại 0.
Mệnh đề 1.5
Giả sử Kα ( α ∈ I ) là các nón lồi có đỉnh tại x0 với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó,
Kα

là nón lồi có đỉnh tại x0 .
α∈I

Ví dụ 1.3
X = Rn , b ∈ Rn (α ∈ I ). Khi đó:
K={x

∈

là một nón lồi bởi vì K =
α∈I

Rn : < x ,

b

> ≤ 0,

α

∀α ∈ I

}

α

Kα , trong đó:

Kα = { x ∈ R : < x , bα >

≤

0}

là nón lồi.
Định lý 1.2
Tập K ⊂ X là một nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi:
Chứng minh

n


∀

x, y

∈

K, ∀λ

>0

⇒

x + y ∈ K, λ x ∈ K.

a) Giả sử K là nón lồi. Khi đó, do K là tập lồi, ta có:

8


z = 1 (x + y)
2

∈

K.

Do K là nón có đỉnh tại 0, ta lại có:
x + y = 2z
b)

Ngược lại, với x
∀

0. Với 0 <
Chú ý với

< 1, x, y

λ
λ

∈

∈

∈

K.

K, ∀λ > 0 ta có λ x

K ta có (1 -

λ

= 0 hoặc 1 ta vẫn có (1 -

)x

λ

∈

K,

)x +

K, vậy K là một nón có đỉnh tại

∈

λ

λ

y

y
∈

∈

K và (1 -

λ

)x +

λ

y

∈

K.

K. Vậy K là nón lồi có đỉnh

tại 0.
Hệ quả 1.1
Tập K

⊂

X là nón lồi ⇔ K chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của

các phần tử của K, tức là nếu x , ... , x
1

m

∈

K,

λ1 , ... ,
λm

m

>0
thì

∑
i=1

λ i xi ∈ K .

Hệ quả 1.2
Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính
dương của A. Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.6
Tương giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm 0 là
một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi A, ký hiệu là KA.
Định nghĩa 1.7
Tương giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được
gọi là bao tuyến tính của tập A, ký hiệu là lin A.
Nhận xét 1.2
b) Nếu A là tập lồi thì :
Mệnh đề 1.7
a) KA = KconvA ,


lin A = KA - KA .

9


KA =

λ

= {x

∈

X : x = z, ≥ 0, z
A},
λ λ
∈

A
λ ≥0

trong đó convA là bao lồi của A.
Giả sử X là không gian lồi địa phương, X* là không gian các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên X.
Định nghĩa 1.8
Vec tơ x*

∈

X* được gọi là pháp tuyến của tập lồi A tại
< x* , x - x >

≤

x∈

A, nếu:

0 ( ∀x ∈ A ).

Tập tất cả các vec tơ pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈A được gọi là nón
pháp tuyến của A tại x , ký hiệu là N ( x |A). Như vậy:
N( |A) = {x* X* : < x*, x – > ≤ 0,
x

∈

x

∀x ∈ A

}.

Nhận xét 1.3
Nón pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈A là lồi đóng.
Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.9
Giả sử A ⊂ X lồi, khác ∅ . Ta nói tập A lùi xa theo phương d

≠

0, nếu

A+ d
A(
0), hay:
λ ⊂
∀λ ≥
x+ d A (

0,
).
λ ∈
∀λ ≥ ∀x ∈ A

(1.1)

Nhận xét 1.4
Tập A lùi xa theo phương d nếu A chứa tất cả các nửa đường thẳng xuất
phát từ các điểm của A và theo phương d.
Định nghĩa 1.10
Tập các vectơ d ∈ X thỏa mãn (1.1) và vec tơ d = 0 được gọi là nón lùi
xa (recession cone) của A; ký hiệu là o+ A.
Định lý 1.3


10


Giả sử tập A

⊂

X lồi, khác

∅

. Khi đó, o+ A là nón lồi chứa điểm 0.

Đồng thời :

o+ A = {d
Ví dụ 1.4

∈

X:A+d

⊂

A}.

X = R2 .

a) C1 = {(x, y) : x > 0, y ≥

1
x

}

o+ C1 = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0} .

⇒

b) C2 = {(x, y) : y ≥ x2 }
o+ C2 = {(x, y) : x = 0, y ≥ 0}

⇒

1.2. HÀM LỒI.

1.2.1 Hàm lồi.
Giả sử X là không gian lồi địa phương, D

⊂

X, f : D → R

{ ±∞ }.

Định nghĩa 1.11
Trên đồ thị ( epigraph ) của hàm f, ký hiệu là epif, được định nghĩa

như

sau:
epif = {(x, r)

∈

D R : f(x) ≤ r}.
×

Định nghĩa 1.12
Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f, ký hiệu là dom f, được định
nghĩa như sau:
Dom f = {x ∈ D : f(x) < + ∞ }.
Định nghĩa 1.13
Hàm f được gọi là chính thường (proper), nếu dom f ≠∅ và f(x) > - ∞
(

∀

x

∈

D).

Định nghĩa 1.14


11


Hàm f được gọi là lồi trên D, nếu epif là tập lồi trong X R. Hàm f được
×

gọi là lõm trên D, nếu –f là hàm lồi trên D.
Nhận xét 1.5
Nếu f lồi

⇒

dom f lồi.

Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epif :
dom f = { x : f(x) < + } = {x : ∃ r , (x, r)
∞

∈

epif }.

Như vậy, dom f là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó, dom f
lồi.
Ví dụ 1.5
Hàm affine
f(x) = < x* , x > +

( x*

α

∈

X* , α ∈ R)

là hàm lồi trên X, trong đó X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên X.
Ví dụ 1.6
Giả sử f là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lân trên tập lồi mở A

⊂

Rn . Khi

đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian :
 ∂2 f 
Qx =






là bán xác định dương ( x

∀ ∈

i

A), tức là :

< z, Q z > ≥ 0 ( z
x

j

∂x



∀ ∈

Rn, x

∀ ∈

A).

Ví dụ 1.7

Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn :
|| x || = < x, x >1/2 = (x1 + ... + xn ) ,
trong đó x = (x1, ... , xn) ∈ Rn
Ví dụ 1.8

2

2


12


Hàm chỉ (indicator function ) ( . |A) của tập lồi A X là hàm lồi:
δ
⊂
0, �ế� � ∈ � ,
δ ( x |A) = {+∞, �ế� � ∉ � .
Ví dụ 1.9
Giả sử X* là không gian liên hợp của X. Hàm tựa (support funtion) s( . |A) của
tập lồi A

⊂

X* là một hàm lồi:
s (x|A) = sup
< x* , x> .
*
x ∈A

Định lý 1.4
Giả sử D là tập lồi trong không gian X, hàm f : D → ( −∞, +∞ ]. Khi đó, f
lồi trên D khi và chỉ khi:
f( λ x + (1 - λ )y) ≤ λ f(x) + (1 - λ )f(y)
(

∀

λ

∈

[0,1],

∀

x, y

∈

D).

(1.2)

Chứng minh
a)
xem như

Giả sử f là hàm lồi. Không mất tính tổng quát có thể
λ∈

(0, 1).

Không thể xảy ra trường hợp f(x) < +∞ , f(y) <

+∞ , mà f ( λ x +(1 - λ )y) = +∞ ,

thì [x, y]
+∞

⇒

⊂

dom f. Do

λ∈

bởi vì dom f lồi, với x, y

∈

dom f

(0, 1), nên: f(x) =

λ f(x) = +∞ . Nếu x hoặc y ∉ dom f , thì f(x) = +∞ hoặc f(y) = +∞ và

(1.2) đúng.
Bởi vì epif lồi, (x, r)

∀

∈

epif , (y, s)
∀

∈

epif,

(y, s) = ( x + (1 - )y, r + (1 - )s) epif .
λ
λ
λ
λ
∈
⇒

f( λ x + (1 - λ )y) ≤ λ r + (1 - λ )s.

∀

λ

∈

(0, 1), λ (x, r) + (1 - λ )

⇒

f( λ x + (1 - λ )y) ≤ λ f(x) + (1 - λ )f(y)
( lấy r = f(x), s = f(y) ).

b) Ngược lại, giả sử (1.2) đúng. Lấy (x, r) ∈ epif , (y, s) ∈ epif , λ ∈ [0, 1] ta phải
chứng minh:

13


λ

(x, r) + (1 - )(y, s) epif.
λ
∈

Thật vậy:
(x, ) epif, (y, s) epif
λ ∈
∈

⇒

f(x) ≤ r, f(y) ≤ s.

⇒

f( λ x + (1 - λ )y) ≤ λ f(x) + (1 - λ )f(y) ≤ λ r + (1 - λ )s

⇒

( x + (1 - )y, r + (1 - )s) epif
λ
λ
λ
λ
∈

⇒

λ

(x, r) + (1 - )(y, s) epif
λ
∈

Định lý 1.5

(Bất đẳng thức Jensen)

Giả sử f : X → ( −∞, +∞ ]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi
1, ... ,
m),

m

λ = 1,

∑

i =1

i

∀

x , ... , x
1

m

f( λ1 x1 + ...
Chứng minh

∈

∀

λ ≥ 0 (i =
i

X,

λm xm) ≤ λ1 f(x1) + ...

+

λm f(xm).

(1.3)

+

Không giảm tổng quát, có thể xem như

λi > 0 (i = 1, ... , m). Khi đó, nếu

xi ∉ dom f thì f(xi) = +∞ , λi f(xi) = +∞ và bất đẳng thức (1.3) là tầm thường. Do


m



dom f lồi nên không xảy ra trường hợp f(xi) < +∞ (i = 1, ... , m) mà f
λi xi

∑ 
=
 i=1

+∞ , bởi vì khi

đó

∑λ
m

x

i

∈

dom f.

i
i =1

Nếu xi ∈ dom f (i = 1, ... , m), do epif lồi và (xi, f(xi)) ∈ epif (i = 1, ... , m),
theo định lý 1.4, ta có:
( λ1 x1 + ... + λm x , λ1 f(x ) + ...
m
1
+
⇒

+

f( λ1 x1 + ...

Mệnh
λm xm)đề
≤
1.8

λm f(xm)) ∈ epif.

λ1 f(x1) + ... +

