Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

LÊ THỊ THU

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

LÊ THỊ THU

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn
Mạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải
tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên
cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Lê Thị Thu


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Lê Thị Thu


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Không gian L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với
phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi . . . . . . .

14

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối

với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi . . .

26

3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

v


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần
đầu tiên vào thế kỉ thứ XVIII trong các công trình của những nhà toán
học như Euler, Dalamber, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan
trọng để mô tả các mô hình của Vật lí và Cơ học. Chỉ đến thế kỉ thứ XIX
và đặc biệt là công trình nghiên cứu của Riemann, phương trình đạo hàm
riêng mới trở thành công cụ mạnh dùng trong lĩnh vực toán học khác.
Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng chúng ta đã biết được các
vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền
sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần
lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại
Eliptic, Hypebolic, Parabolic. Khi nghiên cứu ta thấy rằng, điều kiện tồn
tại nghiệm theo nghĩa thông thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như
tính trơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài
toán đối với phương trình trên những miền bất kì hoặc đối với những bài
toán của phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi
tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là những nghiệm
“thô” lúc đầu là nghiệm “khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi hoặc nghiệm cổ
điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau nhờ các công cụ của giải tích
hàm, ta làm cho nghiệm suy rộng gần đến nghiệm thông thường. Chính vì
vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích
1


thích sự khám phá của những người yêu thích nó.
Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, những
người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác

giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, dưới sự giúp đỡ của GS.TSKH
Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài : “Bài toán biên không
có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền nhiệt
trong miền chứa điểm lùi”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài
toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền
nhiệt trong miền chứa điểm lùi. Kết quả nhận được là các định lý tồn tại
và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán trên trong
miền chứa điểm lùi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev,
các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng vào nghiên
cứu tính giải được của bài toán.

2


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev,
nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên
không có điều kiện ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt trong miền
chứa điểm lùi.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ

Galerkin. Tổng hợp các kết quả trong các tài liệu liên quan.

6. Đóng góp mới của đề tài
Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc tổng kết hoặc
xét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
Rn là một không gian Euclide n− chiều, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của
nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Cho 0

a < b, kí hiệu Ωba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)} là

trụ trong Rn+1 và mặt xung quanh của nó là
Sab = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} .
+∞
Nếu (a, b) = R thì ta viết ΩR = Ω+∞
−∞ và SR = S−∞ . Nếu (a, b) = (h, ∞) thì
∞
∞
ta viết Ω∞
h và Sh , trong đó Ωh = Ω×(h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}

và Sh∞ = ∂Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)} .

Giả sử u là hàm véc tơ phức với các thành phần u1 , ..., un . Ta kí hiệu
u = (u1 , ..., un ) và Dα = ∂ |α| /∂xα1 1 ...∂xαnn là đạo hàm suy rộng cấp α theo
biến x = (x1 , ...xn ); utk = ∂ k u/∂tk là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t.
Ở đây α = (α1 , ..., αn ) là kí hiệu đa chỉ số với αi là các số nguyên không
âm, |α| = α1 + ... + αn .
Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó
khác không và kí hiệu là supp.
Kí hiệu C k (Ω) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp
o
o

o

k trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞, C (Ω) = C (Ω) và C k (Ω) = C (Ω) ∩ C k (Ω), ở
4


o

đó C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong Ω với giá compact thuộc
Ω.
Co∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω.
Một hàm số f đo được trên Rn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại
một số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Rn . Cận dưới lớn nhất các
hằng số k được gọi là essentialsupremum của |f | trên Rn và kí hiệu là:
esssup |f (x)| .
x∈Rn

Dãy {uk }∞
k=1 hội tụ yếu đến phần tử u ∈ H nếu và chỉ nếu thoả mãn

hai điều kiện sau
(i) Tồn tại một hằng số C sao cho uk ≤ C với mọi k;
(ii) ϕ (uk ) hội tụ đến ϕ (u) với mọi ϕ thuộc tập hợp con trong H ∗ sao cho
bao tuyến tính các phần tử của nó trù mật trong H ∗ .
Cho X là không gian Banach với chuẩn .

X

. Kí hiệu L∞ (0, T ; X) là

không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian
X, xác định trên (0, T ) sao cho
u

L∞ (0,T ;X)

= esssup u
0
X

< ∞.

Định nghĩa. Ta gọi miền bị chặn Ω ⊂ Rn là miền lùi trong nếu
(1) O ∈ ∂Ω, ∂Ω \ {O} là một đa tạp C ∞ trơn (n − 1) chiều.
(2) Kí hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ), khi đó
{x ∈ Ω : 0 < xn < 1} ≡ x = x , xn ∈ Rn : x > xkn , k
Định nghĩa.Ta gọi miền bị chặn Ω ⊂ Rn là miền lùi ngoài nếu
(1) O ∈ ∂Ω, ∂Ω \ {O} là một đa tạp C ∞ trơn (n − 1) chiều.

5

1.


(2) Kí hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ), khi đó
{x ∈ Ω : 0 < xn < 1} ≡ x = x , xn ∈ Rn : x < xkn , k

1.

1.2. Một số không gian hàm
1.2.1. Không gian Lp (Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho 0 ≤
p < +∞. Khi đó Lp (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) khả
tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là:
|u|p dx < +∞.
Ω

Không gian Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn
 p1


u

Lp (Ω)

|u|p dx .

=
Ω

Hơn nữa, Lp (Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là một không
gian Banach. Đặc biệt, với p = 2, không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert
với tích vô hướng
(f, g) =

f (x) g (x)dx.
Ω

L2 (Ω) còn gọi là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Ω.
1.2.2. Không gian L∞ (Ω)
Định nghĩa 1.2.2. Cho Ω là một miền trong không gian Rn . Khi đó
L∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo
6


Lebesgue và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn
u

L∞ (Ω)

= esssup |u (x)| .
x∈Ω

1.2.3. Không gian Sobolev
• Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Một hàm
v (x) ∈ L1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u (x) ∈ L1 (Ω)
nếu
u (x) Dα ψ (x) dx = (−1)|α|

v (x) ψ (x) dx,
Ω

Ω
o
∞

với mọi ψ ∈ C (Ω) .
Chú ý
Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u (x) có đạo hàm thông
thường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α. Từ định nghĩa
đạo hàm suy rộng rút ra hàm u (x) có không quá một đạo hàm suy rộng.
Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa
thông thường.
Ví dụ. Xét hàm u (x) = |x| ,

x ∈ (−1, 1). Dễ thấy, tại x = 0, hàm số

không tồn tại đạo hàm thông thường. Tuy nhiên ta có thể chỉ ra hàm số
có đạo hàm suy rộng tại x = 0.
Thật vậy
Giả sử v (x) là đạo hàm suy rộng của hàm u (x) = |x| ,

x ∈ (−1, 1)

khi đó ta có:
1

1

|x| .ψ (x) dx = −
−1

0

v (x) .ψ (x) dx,
−1

7

ψ ∈ C ∞ (−1, 1) .


1

0

|x| .ψ (x) dx =

T =

1

−x.ψ (x) dx +

−1

−1
0

= −x.ψ (x)

|0−1

1

ψ (x) dx + x.ψ (x) |10 .

ψ (x) dx −

+

x.ψ (x) dx.
0

−1

0
1

=−

signx.ψ (x) dx.
−1

Vậy v (x) = signx là đạo hàm suy rộng của u (x) = |x| ,

x ∈ (−1, 1) .

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng có đạo
hàm suy rộng cấp α trong miền Ω ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u (x) có đạo
hàm suy rộng trong miền Ω là hàm v (x) , ψ (x) là một hàm bất kì thuộc
o

C∞ Ω ,

Ω là miền con của Ω. Khi coi ψ (x) = 0 với x ∈ Ω \ Ω ta nhận
o

được ψ (x) ∈ C ∞ (Ω) . Ta có hệ thức:
u (x) Dα ψ (x) dx =
Ω

u (x) Dα ψ (x) dx
Ω

= (−1)|α|

v (x) ψ (x) dx = (−1)|α|
Ω

v (x) ψ (x) dx.
Ω

Từ đó ta nhận được u (x) có đạo hàm suy rộng trong miền Ω cũng
chính là hàm v (x). Đạo hàm suy rộng trong miền Ω được gọi là thu hẹp
của đạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω .
Có thể kiểm tra được rằng: Dα+β v = Dα Dβ v ,

aDα v1 + bDα v2 =

Dα (av1 + bv2 ), ở đó a,b là các hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng
không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng
bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường. Tuy
nhiên không phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp α
không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn α.
• Không gian W2m (Ω)
8


Định nghĩa 1.2.4. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Ta định
nghĩa W2m (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L2 (Ω) sao
α

cho D u (x) ∈ L2 (Ω) với mọi |α| m và có chuẩn

 21
m

u

W2m (Ω)

|Dα u|2 dx .

=
|α|=0

Ω

o m

• Không gian W 2 (Ω)
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Ta định
o m

o
∞

nghĩa W 2 (Ω) là bao đóng của C (Ω) trong chuẩn của W2m (Ω) .
• Không gian W2m,l Ωba
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn , n

2. Ta

định nghĩa không gian W2m,l Ωba là không gian bao gồm tất cả các hàm
u (x, t) ∈ L2 Ωba , sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m
thuộc L2 Ωba và theo t đến cấp l thuộc L2 Ωba với chuẩn

u

W2m,l (Ωba )

m

2

l

α

2

|D u| dxdt +

=
|α|=0
o m,l

• Không gian W 2

Ωba

k=1

Ωba

 12

∂ku
dxdt .
∂tk

Ωba

Định nghĩa 1.2.7. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn , n
o m,l

định nghĩa không gian W 2

2. Ta

Ωba là bao đóng trong không gian W2m,l Ωba

của tập hợp tất cả các hàm u (x, t) thuộc C ∞ Ωba sao cho u(x, t) = 0 khi
(x, t) ∈ Ωδa,b = (x, t) ∈ Ωba : dist (x, t), Sab < δ , δ là số dương đủ bé.
• Không gian W2m,,l e−γt , Ωba
9


Định nghĩa 1.2.8. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn .Ta định
nghĩa không gian W2m,l e−γt , Ωba , γ > 0 là không gian bao gồm tất cả các
hàm u (x, t) ∈ L2 Ωba , sao cho e−γt u ∈ W2m,l Ωba và có chuẩn


 21

2
m
l
∂ k u  −2γt

u W m,l e−γt , Ωba = 
|Dα u|2 +
e
dxdt .
k
2
∂t

b
Ωa
|α|=0

o m,l

• Không gian W 2

k=1

e−γt , Ωba

Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω là miền trong Rn . Ta định nghĩa không gian
o m,l

W2

e−γt , Ωba là bao đóng trong W2m,l e−γt , Ωba của tập hợp tất cả các

hàm u (x, t) khả vi vô hạn trong Ωba , triệt tiêu trong Ωδa,b .

1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy
Cho a, b là các số thực dương và ε > 0. Khi đó
b2
a.b ≤ εa + .
4ε
2

Bất đẳng thức trên được gọi là Bất đẳng thức Cauchy đối với ε.

Chứng minh
Đối với hai số thực dương a, b ta luôn có Bất đẳng thức Cauchy
a2 b2
+ .
a.b ≤
2
2
1

Ta có: a.b = (2ε) 2 a .

b
1

(2ε) 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho tích trên ta được
1

a.b = (2ε) 2 a .

2

b
1

(2ε) 2

≤

2εa
+
2

10

b2
2ε

2

= εa2 +

b2
.
4ε


Bất đẳng thức đã được chứng minh.
• Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Cho u, v ∈ Rn . Khi đó, ta có
|uv| ≤ |u| |v| .
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là u =
(u, u). Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
|uv| ≤ u

v

Chứng minh
Cho ε > 0 và chú ý 0

|x ± εy|2 = |x|2 ± 2ε.xy + |εy|2 .

Do đó
±xy ≤

1
ε
|x|2 + |y|2 .
2ε
2
|x|
|y| ,

Cưc tiểu hoá vế trái, đặt ε =

với y = 0.

Ta có điều phải chứng minh.
• Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng
Giả sử u và Φ là các hàm khả tích, không âm trên nửa đoạn [to , T ) , L =
const > 0 thoả mãn
t

u (t) ≤ Φ (t) + L

u (t) dt, ∀t ∈ [t0 , T ) .
t0

Khi đó

t

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [0, T ) .

u (t) ≤ Φ (t) + L
t0

Hơn nữa, nếu Φ (t) có đạo hàm Φ (t) và Φ (t) khả tích trên [t0 , T ) thì
t
L(t−t0 )

u (t) = Φ (t0 ) e

eL(t−s) Φ (s) ds,

+L
t0

11

∀t ∈ [t0 , T ) .


Chứng minh
t
t0

Đặt y(t) =

u(t)dt, ta có

y = u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t),

∀t ∈ [t0 , T ) ,

hay
y − Ly(t) ≤ Φ(t),

∀t ∈ [t0 , T ) .

Bây giờ đặt z(t) = y(t)e−Lt ta nhận được
z (t) = (y (t) − Ly(t)) e−Lt ≤ Φ(t)e−Lt .
Ta có z (t0 ) = y(t0 ) = 0 và do đó
t

e−Ls Φ(s)ds,

z(t) ≤

∀t ∈ [t0 , T ) ,

t0

Suy ra
t

eL(t−s) Φ(s)ds,

y(t) ≤

∀t ∈ [t0 , T ) .

t0

Do đó
t

eL(t−s) Φ(s)ds,

u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t) ≤ Φ(t) + L

∀t ∈ [t0 , T ) .

t0

Nếu Φ(t) có đạo hàm Φ (t) khả tích trên [t0 , T ) thì bằng tích phân từng
phần, ta có
t

L

t

e

L(t−s)

Φ(s)ds = −e

L(t−s)

Φ(s)

t0

|tt0

eL(t−s) Φ (s)ds

+L
t0
t

= −Φ (t) + Φ(t0 )e

L(t−t0 )

eL(t−s) Φ (s)ds.

+L
t0

Từ đó ta suy ra:
t
L(t−t0 )

u (t) ≤ Φ (t0 ) e

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

+L

t0

12


Bất đẳng thức được chứng minh .
Nhận xét
Nếu Φ ≡ C ≡ const trên [t0 , T ) thì từ bất đẳng thức trên ta suy ra bất
đẳng thức Grolwall- Belman thông thường, tức là :
t

u (t) ≤ C + L

u (s) ds ⇒ u (t)

CeL(t−t0 ) , ∀t ∈ [t0 , T ) .

t0

Đặc biệt, nếu Φ (t) ≡ 0 trên [t0 , T ) thì
t

u (t)

u (s) ds ⇒ u (t) ≡ 0,

L
t0

13

∀t ∈ [t0 , T ) .


Chương 2
Bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ hai đối với phương trình truyền
nhiệt trong miền chứa điểm lùi
2.1. Đặt bài toán
Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền
nhiệt trong miền chứa điểm lùi. Không mất tính tổng quát, trong luận văn
luôn xét Ω là miền bị chặn trong Rn (n

2) với ∂Ω \ {0} trơn và 0 là điểm

lùi của ∂Ω.
Xét toán tử vi phân cấp 2
n

L (x, t, ∂) =

∂
∂xi
i,j=1

aij (x, t)

∂
∂xj

,

∞

ở đây aij ≡ aij (x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Ωh , aij = aji (i, j = 1, ..., n)
Bây giờ chúng ta xét bài toán sau đây trong trụ Ω∞
h :
L (x, t, ∂) u − ut = f (x, t)
∂u
= 0 trên
∂N

trong Ω∞
h ,
Sh∞ ,

u (x, h) = 0, trên Ω,

14

(2.1)
(2.2)
(2.3)


trong đó

n

∂u
∂u
=
aij
cos (ν, xi ) ,
∂N
∂x
j
i,j=1
ở đây v là véctơ pháp tuyến đơn vị ngoài đối với mặt Sh∞ .
Bài toán (2.1) − (2.3) được gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ hai trong trụ Ω∞
h .
Bài toán đang xét là Parabolic mạnh nếu
với mọi ξ ∈ Rn \ {0} ,(x, t) ∈ Ωh , ở đây θ = const > 0 , ta luôn có bất
đẳng thức sau :

n

aij (x, t) ξi ξj ≥ θ |ξ|2 .

(2.4)

i,j=1

Giả sử (2.4) được thỏa mãn. Khi đó với hai hằng số µ0 > 0, λ0 ≥ 0 sao cho
với mọi hàm cố định u = u (x, t) ∈ W 1,0 (e−γt , Ω∞
h ) ta có bất đẳng thức sau
n

n

∂u ∂u
dx
aij (x, t)
∂xj xi
Ω i,j=1

2

µ0
i,j=1

Đặt:

Ω

∂u
dx − λ0 u
∂xi

n

B (u, u) (t) =

aij (x, t)
Ω i,j=1

2
L2 (Ω) .

(2.5)

∂u ∂u
dx.
∂xj ∂xi

Bất đẳng thức (2.5) được viết lại như sau
B (u, u) (t) ≥ µ0 u

2
W 1 (Ω)

− λ0 u

2
L2 (Ω) .

.
Chứng minh 2.6
Từ điều kiện (2.1) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có
n

n

µ

uxi
i=1

2
L2 (Ω)

≤

aij (x, t)
Ω i=j=1

15

∂u ∂u
dx
∂xj ∂xi

(2.6)


= B (u, u) (t) −

aij (x, t)
Ω i=j

∂u ∂u
dx
∂xj xi
n

≤ B (u, u) (t) + C (ε) u

2

W 0 (Ω)

+ε

uxi

2
L2 (Ω) .

i=1

với 0 < ε < µ, C (ε) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được
n

(µ − ε)

2
L2 (Ω)

uxi

2
W 0 (Ω) ,

≤ B (u, u) (t) + C (ε) u

i=1

hay là

n
2
L2 (Ω)

uxi

≤

i=1
C(ε)
1
µ−ε , µ−ε

Đặt C1 = max

C (ε)
1
B (u, u) (t) +
u
µ−ε
µ−ε

2
W 0 (Ω) .

> 0, khi đó

n

uxi

2
L2 (Ω)

≤ C1 B (u, u) (t) + u

2
W 0 (Ω)

.

i=1

Vậy nên u

2
W 1 (Ω)

2
W 0 (Ω) .

≤ C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) u

Tồn tại C2 = C2 (ε) sao cho
u

2
W 0 (Ω)

≤ε u

2
W 1 (Ω)

+ C2 u

2
L2 (Ω) .

Thay vào trên ta nhận được
u

2
W 1 (Ω)

≤ C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) ε u

≤ C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) ε u

2
W 1 (Ω)

+ C2 u

2
L2 (Ω)

2
W 1 (Ω)

+ (C1 + 1) C2 u

2
L2 (Ω) .

2
W 1 (Ω)

−

(C1 + 1) C2
u
C1

2
L2 (Ω) .

Điều đó chỉ ra rằng
B (u, u) (t) ≥

1 − (C1 + 1) ε
u
C1

Chọn 0 < ε < min µ, C11+1
µ0 =

và đặt

1 − (C1 + 1) ε

(C1 + 1) C2
> 0, λ0 =
.
C1
C1
16

.


ta được
B (u, u) (t) ≥ µ0 u

2
W 1 (Ω)

− λ0 u

2
L2 (Ω) .

2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Định nghĩa. Cho f ∈ L2 (Ω). Khi đó hàm u (x, t) được gọi là nghiệm
suy rộng của bài toán (2.1) − (2.3) trong không gian W 1,0 (e−γt , Ω∞
h ) khi và
chỉ khi u (x, t) ∈ W 1,0 (e−γt , Ω∞
h ) , u (x, h) = 0, với mỗi T > 0 và đẳng thức
−

B (u, u) (t) dt +

ΩTh

uηt (t) dxdt =
ΩTh

f η (t) dxdt,

(2.7)

ΩTh

đúng với mọi hàm thử η = η (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , Ω∞
h ) sao cho η (x, t) = 0
với t ≥ T .

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Định lí sau cho ta kết quả về tính duy nhất của nghiệm suy rộng cho
bài toán (2.1) − (2.3).
Định lý 2.3.1. Giả sử aij liên tục đều trên Ω∞
h theo t ∈ (0, +∞);

∂aij
∂t

≤

µ; 1 ≤ i, j ≤ n, ở đó µ = const > 0. Khi đó bài toán (2.1) − (2.3) có không
quá một nghiệm suy rộng trong W 1,0 (e−γt , Ω∞
h ) , γ > 0.
Chứng minh

Giả sử bài toán (2.1) − (2.3) có hai nghiệm suy rộng u1 và u2 trong
W 1,0 e−γt , ΩTh với T > h, b tùy ý thuộc (h, T ).
Đặt
u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) .
17


Ta có:
u ∈ W 1,0 e−γt , ΩTh , u(x, h) = 0.

 t u (x, τ ) dτ, h ≤ t ≤ b
b
Xét hàm : η (x, t) =
0
,b ≤ t ≤ T .
Khi đó ta nhận được η (x, t) ∈ W 1,1 e−γt , ΩTh , η (x, T ) = 0 và ηt (x, t) =
u (x, t) , ∀t ∈ [h, b].
Hàm η (x, t) thỏa mãn mọi tính chất của hàm thử trong định nghĩa
nghiệm suy rộng nên
n

aij (x, t)
Ωbh i,j=1

∂η ∂η
dxdt +
∂xi ∂xj

ηt η (t) dxdt = 0.

(2.8)

Ωbh

Do aij = aji nên sau khi cộng (2.8) với lượng liên hợp của nó ta nhận
được:
n

aij

2Re
i,j=1

Ωbh

∂η ∂η
dxdt +
∂xi ∂xj

Ωbh

∂
(η η¯)dxdt = 0.
∂t

(2.9)

Ta lại có
2Re

∂η ∂ η¯
∂
aij
∂t
∂xi ∂xj

∂ηt ∂ η¯
∂η ∂ η¯t
+ aij
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
∂ηt ∂ η¯
+ 4Re aij
.
∂xi ∂xj

∂aij ∂η ∂ η¯
∂t ∂xi ∂xj
∂aij ∂η ∂ η¯
= 2Re
∂t ∂xi ∂xj
= 2Re

∂
∂η ∂ η¯
⇒ 2Re
aij
∂t
∂xi ∂xj

+ 2Re aij

n

∂
∂η ∂ η¯
= Re
aij
∂t
∂xi ∂xj
i,j=1

n

− Re
i,j=1

∂aij ∂η ∂ η¯
∂t ∂xi ∂xj

Vậy (2.9) viết lại như sau
n

Re
Ωbh

∂
∂η ∂ η¯
aij
∂t

∂xi ∂xj
i,j=1

n

−
i,j=1

∂aij ∂η ∂ η¯
∂t ∂xi ∂xj
+
Ωbh

18

dxdt

∂
(η η¯)dxdt = 0. (2.10)
∂t

.


Tích phân từng phần phần thực (2.9) ta được
2

|η(x, h)| dx +
Ω

Ω

Do

∂aij
∂t

n

∂η ∂ η¯
aij
(x, h)dx =
∂xi ∂xj

Ωbh

bị chặn, nên theo bất đẳng thức Cauchy và (2.5) ta nhận được
n

ηt 2L2 (Ωb )
h

∂aij ∂η ∂ η¯
dxdt.
∂t
∂x
∂x
i
j
i,j=1

+ µ1 η (x, h)

2
W 1 (Ω)

2

≤ C (ε)
Ωbh

i=1

∂η
dxdt + ε ηt
∂xi

2
.
L2 (Ωbh )

(2.11)
Từ đây ta suy ra
n

η (x, h)

2
W 1 (Ω)

2

∂η
dxdt,
∂xi

≤C
Ωbh

i=1

(2.12)

ở đó hằng số C chỉ phụ thuộc vào µ, µ1 . Đặt
h

Dk u (x, τ ) dτ,

vk (x, t) =
t

với h < t < b ta có biểu diễn sau:
t
k

Dk u (x, τ ) dτ = vk (x, b) − vk (x, t) .

D η (x, t) =
b

Theo (2.12) ta có
n

η (x, h)

2
W 1 (Ω)

=
i,j=1

Ω

1

2

∂η
∂xi

|vk (x, b)|2 + |vk (x, t)|2 dxdt.

dxdt ≤ C
Ωbh

|k|=0

1

1

2

|vk (x, t)|2 dxdt.

|vk (x, b)| dx + C

= Cb
|k|=0

Ω

|k|=0

Ωbh

Đặt
1

|vk (x, t)|2 dx.

J (t) =
|k|=0

Ω

Từ (2.13) ta suy ra:
b

(1 − Cb) J (b) ≤

J (t) dt,
h

19

b∈

h,

1
2C

.

(2.13)