Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

LÊ NGỌC HẢI

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

LÊ NGỌC HẢI

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH
Nguyễn Mạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám
hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy
cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập
và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động
viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Lê Ngọc Hải


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Lê Ngọc Hải


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Không gian L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối
với phương trình Schrodinger trong miền nón . . . . . . . . . . .

16

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất

đối với phương trình Schrodinger trong miền nón . . . . . . . .

27

3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

v


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Tài liệu tam khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỉ thứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, Lagrange và Laplace như một công cụ để mô tả các mô hình của vật lý
học, cơ học. Đến thế kỉ thứ 19 công trình toán học, đặc biệt là công
trình của Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ
mạnh trong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toán
thực tiễn.
Chính vì thế, phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng
của toán học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ
bản. Thứ nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trình
nghiên cứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo
hàm riêng. Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm
riêng với các ngành toán học khác nhau như: giải tích hàm, lý thuyết
hàm, tô pô, đại số, giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
hiện đại gồm có: Phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic,
phương trình loại hypebolic. Không gian nghiệm đối với 3 loại phương
trình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng
tuyến tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết
với nhau. Mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câu
hỏi nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không? có duy nhất
1


không? phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?
Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng,
những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản
thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, nên nhờ sự giúp đỡ của

GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bài
toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương
trình Schrodinger trong miền nón”.
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về các kí hiệu, một số không
gian hàm, và một số bất đẳng thức cơ bản. Điều này giúp cho bạn đọc
thuận tiện và dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu luận văn.
Chương 2: Nêu định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tính
duy nhất, và đánh giá nghiệm của bài toán có điều kiện ban đầu trong
trụ có đáy không trơn.
Chương 3: Xét bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối
với phương tình Schrodinger trong miền nón. Nội dung chính là đưa ra
nghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất, đánh giá nghiệm
của bài toán.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của
bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình
Schrodinger trong miền nón. Kết quả nhận được là các định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán trên trong

2


miền nón.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của
luận văn là:
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian

Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng
vào nghiên cứu tính giải được của bài toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian
Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của
bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình
Schrodinger trong miền nón.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp xấp xỉ Galerkin.

6. Đóng góp mới của đề tài
Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
Rn là một không gian Euclide n− chiều, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
Cho hai điểm x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ). Tích vô
hướng được xác định bởi công thức:
n

xy =

x i yi ,
i=1

và khoảng cách giữa chúng được xác định bởi công thức
1
2

n

(xi − yi )2

|x − y| =

.

i=1

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên
của nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Kí hiệu Ωba = Ω×(a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, a < t < b, 0 ≤ a < b < ∞}
là trụ trong Rn+1 và mặt xung quanh của nó là: Sab = ∂Ω × (a, b) =
{(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}.
∞
và Ω∞
h = Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}; Sh = ∂Ω × (h, ∞) =

{(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)}.
Giả sử rằng ∂Ω là mặt khả vi vô hạn khắp nơi trừ gốc toạ độ, còn
trong lân cận nào đó của gốc toạ độ Ω trùng với nón K = {x : x/ |x| ∈ G},
ở đây G là miền trơn trên mặt cầu đơn vị S n−1 .
4

Ta viết ΩT = Ω × (0, T ) , ST = Ω × (0, T ).
Giả sử u là hàm véctơ phức với các thành phần u1 , ..., un . Ta kí
hiệu u = (u1 , ..., un ) và Dp u = ∂ |p| u/∂xp11 ...∂xpnn = uxp11 ...xpnn là đạo hàm
suy rộng cấp p theo biến x = (x1 , ...xn ); utk = ∂ k u/∂tk là đạo hàm suy
rộng cấp k theo biến t. Ở đây p = (p1 , ..., pn ) là kí hiệu đa chỉ số với pi
là các số nguyên không âm, |p| = p1 + ... + pn .
Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm
đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu C k (Ω) là tập hợp tất cả các
o

hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞; C (Ω) và
o

o

o

C k (Ω) = C (Ω) ∩ C k (Ω), ở đó C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục
trong Ω với giá compact thuộc Ω.
Co∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω.
Cho X là không gian Banach với chuẩn .

X.

Kí hiệu L∞ (0, T ; X)

là không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không
gian X, xác định trên (0, T ) sao cho

u

L∞ (0,T ;X)

= ess sup
0
u

X

< ∞.

Một hàm số f đo được trên Rn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại
một số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Rn . Cận dưới lớn nhất
các hằng số k được gọi là essential supremum của |f | trên Rn .
Kí hiệu esssup |f (x)|.
x∈Rn

Hàm u : U → R là liên tục Lipschitz nếu |u(x) − u(y)| ≤ C |x − y|
với C là hằng số; ∀x, y ∈ U . Ta viết
Lip [u] :=

sup

=

x,y∈U,x=y

5

|u(x) − u(y)|
.
|x − y|


• Một số kí hiệu:
µ0 : hằng số;
γ0 : hằng số;
γh = (2h + 1) γ, h = 1, 2, ...
L (x, t, D): Toán tử vi phân cấp 2;
L0 (x, t, D): Phần chính của toán tử L (x, t, D) tại gốc tọa độ.

1.2. Một số không gian hàm
1.2.1. Không gian Lp (Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho
0 ≤ p ≤ +∞. Khi đó Lp (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)
khả tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là:
|u|p dx < +∞.
Ω

Không gian Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn:
 p1


u

Lp (Ω)

|u|p dx .

=
Ω

L2 (Ω) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Ω với
chuẩn:
u

2
L2 (Ω)

|u(x)|2 dx.

=
Ω

Hơn nữa, Lp (Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là một không
gian Banach. Đặc biệt, với p = 2, không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert

6


với tích vô hướng
(f, g) =

f (x) g (x)dx.
Ω

1.2.2. Không gian L∞ (Ω)
Định nghĩa 1.2.2. Cho Ω là một miền trong không gian Rn . Khi

đó L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn:
u

L∞ (Ω)

= esssup |u (x)| .
x∈Ω

1.2.3. Không gian Sobolev
• Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Một
hàm v (x) ∈ L1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u (x) ∈
L1 (Ω) nếu:
u (x) Dα ψ (x) dx = (−1)|α|
Ω

v (x) ψ (x) dx,
Ω

o

với mọi ψ ∈ C ∞ (Ω).
Chú ý
Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u (x) có đạo hàm
thông thường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α. Từ định
nghĩa đạo hàm suy rộng rút ra hàm u (x) có không quá một đạo hàm
suy rộng.
7

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa
thông thường.
Ví dụ.
Xét hàm u (x) = |x| , x ∈ (−1, 1). Dễ thấy tại x = 0, hàm số không
tồn tại đạo hàm thông thường. Tuy nhiên ta có thể chỉ ra hàm số có đạo
hàm suy rộng cấp 1 tại x = 0.
Thật vậy
Giả sử v (x) là đạo hàm suy rộng của hàm u (x) = |x| ,

x ∈ (−1, 1)

khi đó ta có:
1

1

o

|x| .ψ (x) dx = −
−1

ψ ∈ C ∞ (−1, 1) .

v (x) .ψ (x) dx,
−1

1

0

|x| .ψ (x) dx =

T =

1

−x.ψ (x) dx +

−1

−1

0

0

= −x.ψ (x) |0−1 +

x.ψ (x) dx.

1

ψ (x) dx + x.ψ (x) |10 .

ψ (x) dx −
−1

0
1

=−

signx.ψ (x) dx.
−1

Vậy v (x) = signx là đạo hàm suy rộng của u (x) = |x| , x ∈ (−1, 1).
Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng có
đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u (x) có
đạo hàm suy rộng trong miền Ω là hàm v (x) , ψ (x) là một hàm bất kì
o

thuộc C ∞ Ω , Ω là miền con của Ω. Khi coi ψ (x) = 0 với x ∈ Ω \ Ω
o

ta nhận được ψ (x) ∈ C ∞ (Ω) . Ta có hệ thức:
u (x) Dα ψ (x) dx =

u (x) Dα ψ (x) dx
Ω

Ω

= (−1)|α|

v (x) ψ (x) dx = (−1)|α|
Ω

v (x) ψ (x) dx.
Ω

8


Từ đó ta nhận được u (x) có đạo hàm suy rộng trong miền Ω cũng
chính là hàm v (x). Đạo hàm suy rộng trong miền Ω được gọi là thu hẹp
của đạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω .
Có thể kiểm tra được rằng: Dα+β v = Dα Dβ v ,
aDα v1 + bDα v2 = Dα (av1 + bv2 ), ở đó a,b là các hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng
không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng
bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường.
Tuy nhiên không phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng
cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn α.
• Không gian H m (Ω)
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn .
Ta định nghĩa không gian H m (Ω) là không gian Hilbert bao gồm các
hàm thuộc L2 (Ω) với chuẩn:

u

H m (Ω)

 21

m

|Dα u|2 dx .

=

|α|=0

Ω

• Không gian H 1 (Ω)
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn .
Ta định nghĩa không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert bao gồm các
hàm thuộc L2 (Ω) với chuẩn:

u

H 1 (Ω)

 21

1

|Dα u|2 dx .

=
|α|=0

9

Ω


• Không gian Hom (Ω)
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn .
Ta định nghĩa không gian Hom (Ω) là bao đóng của Co∞ (Ω) trong chuẩn

của H m (Ω).
• Không gian H k,l Ωba
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
Rn , n ≥ 2. Khi đó


k,l
b
H
Ωa = u : Ωba → C s |




k

l

|Dα u|2 +


Ω

j=1

|α|=0

là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau
 
k

u

H k,l (Ωba )

=

|Dα u|2 +


Ω

l



2
|utj | dxdt < ∞ ,



 21



|utj |2  dxdt .
j=1

|α|=0

Không gian H k,l Ωba là một không gian Hilbert với tích vô hướng được
sinh bởi chuẩn.
• Không gian H 1,1 Ωba
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
Rn , n ≥ 2. Khi đó
H 1,1 Ωba =

|Dα u|2 + |utj |2 dx < ∞ ,

u : Ωba → C s |
Ω

là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau

1

u

H 1,1 (Ωba )

 21

|Dα u|2 + |utj |2 dx .

=
|α|=0

Ω

10

Không gian H 1,1 Ωba là một không gian Hilbert với tích vô hướng được
sinh bởi chuẩn.
• Không gian H 1,0 Ωba
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
Rn , n ≥ 2. Khi đó
H 1,0 Ωba =

|Dα u|2 dx < ∞ ,

u : Ωba → C s |
Ω

là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau

1

u

H 1,0 (Ωba )

 21

|Dα u|2 dx .

=
|α|=0

Ω

Không gian H 1,0 Ωba là một không gian Hilbert với tích vô hướng được
sinh bởi chuẩn.
o

• Không gian H k,l Ωba
Định nghĩa 1.2.10. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
o
k,l

n

R , n ≥ 2. Ta định nghĩa không gian H

Ωba là bao đóng của C0∞ (Ω)

trong chuẩn của không gian H k,l Ωba .
o
1,1

• Không gian H

Ωba

Định nghĩa 1.2.11. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
o

Rn , n ≥ 2. Ta định nghĩa không gian H 1,1 Ωba là bao đóng của C0∞ (Ω)
trong chuẩn của không gian H 1,1 Ωba .
o

1,0

• Không gian H

Ωba
11


Định nghĩa 1.2.12. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
o
1,0

n

Ωba là bao đóng của C0∞ (Ω)

R , n ≥ 2. Ta định nghĩa không gian H
trong chuẩn của không gian H 1,0 Ωba .
• Không gian H k,l −γ, Ωba

Định nghĩa 1.2.13. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
Rn , n ≥ 2. Khi đó


k,l
b
H
−γ, Ωa = u : Ωba → C s |




k

l

|Dα u|2 +


Ω

j=1

|α|=0

là không gian hàm véctơ chuẩn
 
u

H k,l (−γ,Ωba )

=

|Dα u|2 +


Ω



l

k



2  −2γt
|utj | e
dxdt < ∞ ,



 21

|utj |2  e−2γt dxdt .
j=1

|α|=0

Không gian H k,l −γ, Ωba là không gian Hilbert với tích vô hướng được
sinh ra bởi chuẩn như trên.
• Đặt L2 −γ, Qba = H 0,0 −γ, Qba .

1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy với
Cho a, b là các số thực dương và ε > 0. Khi đó
b2
ab ≤ εa + .
4ε
2

Chứng minh.
Ta có:
1

a.b = (2 ) 2 a .
12

b
1

(2 ) 2


Áp dụng Cauchy
b2
2

2

2a
(2 ) a .
+
1 ≤
2
(2 ) 2
1
2

b

2

b2
= .a + .
4
2

• Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho u, v ∈ Rn . Khi đó, ta có
|uv| ≤ |u| |v| .
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là u =
(u, u). Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
|uv| ≤ u

v .

Chứng minh.
Cho > 0 và
0 ≤ |u ± v|2 = |u|2 ± 2 uv + | v|2 ,
Do đó:
1
|u|2 + |v|2 .
2
2

±uv ≤
Cực tiểu hóa vế trái, đặt =

|u|

|v|

với v = 0.

Ta có
|uv| ≤

1
2 |u|
|v|

2

. |u| +

|u|
|v|

2

. |v|2

1
1
⇔ |uv| ≤ . |u| |v| + . |u| |v|
2
2
⇔ |uv| ≤ |u| |v|
Ta có điều phải chứng minh.
• Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng

13


Giả sử u và Φ là các hàm khả tích không âm trên [to , T ),
L = const > 0 thoả mãn
t

u (t) ≤ Φ (t) + L

u (t) dt, ∀t ∈ [t0 , T ) .
t0

Khi đó
t

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

u (t) ≤ Φ (t) + L
t0

Hơn nữa, nếu Φ (t) có đạo hàm Φ (t) khả tích trên [t0 , T ) thì
t

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

u (t) ≤ Φ (t0 ) + L
t0

Chứng minh
Đặt y(t) =

t
t0

u(t)dt, ta có
y = u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t),

∀t ∈ [t0 , T ) ,

hay
y − Ly(t) ≤ Φ(t),

∀t ∈ [t0 , T ) .

Bây giờ đặt z(t) = y(t)e−Lt ta nhận được
z (t) = (y (t) − Ly(t)) e−Lt ≤ Φ(t)e−Lt .
Ta có z (t0 ) = y(t0 ) = 0 và do đó
t

e−Ls Φ(s)ds,

z(t) ≤

∀t ∈ [t0 , T ) ,

t0

Suy ra
t

eL(t−s) Φ(s)ds,

y(t) ≤

∀t ∈ [t0 , T ) .

t0

Do đó
t

eL(t−s) Φ(s)ds,

u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t) ≤ Φ(t) + L
t0

14

∀t ∈ [t0 , T ) .


Nếu Φ(s) có đạo hàm Φ (s) khả tích trên [t0 , T ) thì bằng cách tính tích
phân từng phần, ta có
t

t
L(t−s)

L

e

L(t−s)

Φ(s)ds = −e

|tt0

Φ(s)

t0

eL(t−s) Φ (s)ds

+
t0

t

= Φ (t) − Φ(t0 )e

L(t−t0 )

eL(t−s) Φ (s)ds.

+
t0

Từ đó ta suy ra:
t

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

u (t) ≤ Φ (t0 ) + L
t0

Chú ý:
Nếu Φ ≡ C ≡ const trên [t0 , T ) thì từ bất đẳng thức trên ta suy ra
bất đẳng thức Gronwall - Belman thông thường, tức là
u (t) ≤ CeL(t−t0 ) , ∀t ∈ [t0 , T ) .
Nếu Φ ≡ 0 trên [t0 , T ) thì ta có
t

u(t) ≤ L

u(s)ds ⇒ u(t) ≡ 0,
t0

Bất đẳng thức được chứng minh đầy đủ.

15

∀t ∈ [t0 , T ) .


Chương 2
Bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ nhất đối với phương trình
Schrodinger trong miền nón
Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm

suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương
trình Schrodinger trong miền nón, ta nhận được kết quả về tính giải được
của bài toán trong các không gian Sobolev.

2.1. Đặt bài toán
Xét toán tử vi phân cấp 2
n

L (x, t, ∂) =

∂
∂xi
i,j=1

aij (x, t)

∂
∂xj

,
∞

ở đây aij ≡ aij (x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Ωh ,
aij = aji (i, j = 1, ..., n).
Đặt
n

B (u, v) (t) = −

aij uxj (x, t) vxi (x, t)dx, t ∈ [h, ∞) .

Ω i,j=1

Ta giả định thêm rằng dạng song tuyến tính B (t, ., .), là Eliptic mạnh
với t ∈ [h, ∞), nghĩa là tồn tại một hằng số µ0 > 0 không phụ thuộc vào
16


t và u, sao cho
− B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t)
o
1,0

với ∀u ∈ H

2
H 1 (Ω) ,

(2.1)

trong Ω∞
h

(2.2)

(Ω∞
h ) và t ∈ [h, ∞).

Bây giờ ta xét bài toán sau trong trụ Ω∞
h
iL (x, t, ∂) u − ut = f (x, t)

với điều kiện ban đầu
u|t=h = 0,

x ∈ Ω,

(2.3)

và điều kiện biên
u|Sh∞ = 0.

(2.4)

Bài toán (2.2) − (2.4) được gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ
nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón.

2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Định nghĩa: Cho f ∈ L2 (−γ, Ω∞
h ). Khi đó hàm u (x, t) được gọi là
o

nghiệm suy rộng của bài toán (2.2)−(2.4) trong không gian H 1,0 (−γ, Ω∞
h )
o
1,0

nếu u (x, t) ∈ H

(−γ, Ω∞
h ), u(x, h) = 0; với mỗi T > 0 đẳng thức tích

phân
i

uηt dxdt =

B (u, η) (t)dt +
ΩTh

ΩTh
o
1,1

xảy ra với ∀η (x, t) ∈ H

f ηdxdt,

(2.5)

ΩTh

(−γ, Ω∞
h ) , η (x, t) = 0 với t ≥ T .

Ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.1. Giả sử điều kiện (2.1) thoả mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng số
o

µ0 > 0, λ0 ≥ 0 sao cho với mọi hàm cố định u = u (x, t) ∈ H 1,0 (−γ, Ω∞
h )
17

ta có bất đẳng thức sau:
− B (u, u) (t) ≥ µ0 u

2
H 1 (Ω)

− λ0 u

2
L2 (Ω) .

(2.6)

Chứng minh
Từ điều kiện (2.1) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:
n

n

µ

2
L2 (Ω)

uxi

≤

i=1

aij uxj uxi dx
i=j=1

Ω

= −B (u, u) (t) −

aij uxj uxi dx
1≤i,j≤n

Ω
n

≤ −B (u, u) (t) + C (ε) u

2
H 0 (Ω)

+ε

uxi

2
L2 (Ω) ,

i=1

với 0 < ε < µ, C (ε) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được

n

(µ − ε)

uxi

2
L2 (Ω)

2
H 0 (Ω) ,

≤ −B (u, u) (t) + C (ε) u

i=1

hay là
n

uxi

2
L2 (Ω)

≤−

i=1

Đặt C1 = max

C(ε)
1
µ−ε , µ−ε

C (ε)
1
B (u, u) (t) +
u
µ−ε
µ−ε

2
H 0 (Ω) .

> 0, khi đó

n

uxi

2
L2 (Ω)

≤ C1 −B (u, u) (t) + u

2
W 0 (Ω)

.

i=1

Vậy nên
u

2
W 1 (Ω)

≤ −C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) u

Ta thấy tồn tại C2 = C2 (ε) sao cho
u

2
H 0 (Ω)

≤ε u

2
H 1 (Ω)

18

+ C2 u

2
L2 (Ω) .

2
H 0 (Ω) .

Thay vào trên ta nhận được
u

2
H 1 (Ω)

≤ −C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) ε u

≤ −C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) ε u

2
H 1 (Ω)

+ C2 u

2
L2 (Ω)

2
H 1 (Ω)

+ (C1 + 1) C2 u

2
L2 (Ω) .

2
H 1 (Ω)

−

(C1 + 1) C2
u
C1

2
L2 (Ω) .

Điều đó chỉ ra rằng
−B (u, u) (t) ≥

1 − (C1 + 1) ε
u
C1

Chọn 0 < ε < min µ, C11+1
µ0 =

và đặt

(C1 + 1) C2
1 − (C1 + 1) ε
> 0, λ0 =
,
C1
C1

ta được

−B (u, u) (t) ≥ µ0 u

2
H 1 (Ω)

− λ0 u

2
L2 (Ω) .

Bổ đề được chứng minh.
1
Bổ đề 2.2.2. Giả sử {ϕk (x)}∞
k=1 là một cơ sở của không gian H (Ω),

trực chuẩn trong L2 (Ω). Đặt
∞

n

dk (t)ϕk (t)|dk (t) ∈ H 1 (h, T ), dk (T ) = 0 ,

M=
n=1
o
1,1

H

k=1

(−γ, Ω∞
h )

=

o
1,1

η(x, t) ∈ H

o
1,1

Khi đó tập hợp M trù mật trong H

(−γ, Ω∞
h ) |η(x, h) = 0 ,

(−γ, Ω∞
h ).

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, D) thoả mãn điều
kiện (2.1) và thoả mãn điều kiện sau:
19