Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa các điểm lùi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

TRẦN XUÂN HIỆP

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

TRẦN XUÂN HIỆP

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn
Mạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô
giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập
và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả

Trần Xuân Hiệp


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả

Trần Xuân Hiệp


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Không gian L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối
với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi .

13

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất
đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi . .
25
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

v


3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

vi


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỉ
thứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, Lagrange và
Laplace như một công cụ để mô tả các các mô hình của vật lý học, cơ
học. Đến thế kỉ thứ 19 các công trình toán học đặc biệt là công trình
của Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ mạnh
trong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toán thực
tiễn. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu đối với phương trình
parabolic xuất phát từ việc mô tả các chuyển động khác nhau trong tự
nhiên khi điều kiện ban đầu không ảnh hưởng tới diễn biến của chuyển
động. Do đó ta có thể giả sử tại thời điểm ban đầu −∞ và nghiên cứu
các quá trình cho trước dựa trên tính chất biên của miền mà nó xảy ra.
Bài toán này đặt ra vấn đề tìm ra một nghiệm của một phương trình
hoặc hệ phương trình Parabolic với những điều kiện biên cho trước với
−∞ < t ≤ T, T ≤ ∞. Thứ nhất luận văn trình bày sự tồn tại và duy
nhất nghiệm uh với điều kiện ban đầu t = h. Sau đó bằng cách cho
t → −∞, thu được khả năng giải được của bài toán mà không cần điều
kiện ban đầu. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng
của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương
trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi không chỉ quan trọng về
mặt lý thuyết mà còn quan trọng trong các bài toán ứng dụng.
1


Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, những

người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác
giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, dưới sự giúp đỡ của GS.TSKH
Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên không
có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong
miền chứa điểm lùi”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài
toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình
truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi. Kết quả nhận được là các định lí
tồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán
trên trong miền chứa điểm lùi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev,
các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng vào
nghiên cứu tính giải được của bài toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev,
nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên
2


không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt
trong miền chứa điểm lùi.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ
Galerkin, tổng hợp các kết quả trong các tài liệu liên quan.

6. Đóng góp của đề tài
Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc xét những trường
hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
Rn là một không gian Euclide n− chiều, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của
nó, Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Kí hiệu Qba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞}
là trụ trong Rn+1 ; mặt xung quanh của nó là Sab = ∂Ω × (a, b) =
{(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} .
+∞
Nếu (a, b) = R thì ta viết QR = Q+∞
−∞ và SR = S−∞ ; (a, b) = (0, b) thì ta

viết Qb0 = Qb , S0b = Sb ; Q∞
h là hình trụ Ω × (h, ∞).
Giả sử u là hàm véctơ giá trị phức với các thành phần u1 , ..., un . Ta kí
hiệu u = (u1 , ..., un ) và Dp u = ∂ |p| u/∂xp11 ...∂xpnn = uxp11 ...xpnn là đạo hàm
suy rộng cấp p theo biến x = (x1 , ...xn ); utk = ∂ k u/∂tk là đạo hàm suy
rộng cấp k theo biến t. Ở đây p = (p1 , ..., pn ) là kí hiệu đa chỉ số với pi
là các số nguyên không âm, |p| = p1 + ... + pn .

Kí hiệu C k (Ω) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k
o
0

o

trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞, C (Ω) = C (Ω) và C k (Ω) = C (Ω) ∩ C k (Ω),
o

ở đó C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong Ω với giá compact
thuộc Ω.
Co∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω.
4


Một hàm số f đo được trên Rn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một
số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Rn . Cận dưới lớn nhất các
hằng số k được gọi là essential supremum của |f | trên Rn .
Kí hiệu: esssup |f (x)|
x∈Rn

Hội tụ yếu
Cho X là không gian Banach thực. Ta nói dãy {uk }∞
k=1 ⊂ X hội tụ yếu
đến u ∈ X nếu u∗ , uk → u∗ , u với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn
u∗ ∈ X ∗ , và kí hiệu là : uk

u.

Điểm lùi

Chúng ta gọi một miền bị chặn Ω ⊂ Rn là một miền lùi ngoài nếu
(1) 0 ∈ ∂Ω, Ω \ {0} là một miền trơn (n − 1) chiều của lớp C ∞ .
(2) Kí hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ), thì
{x ∈ Ω : 0 < xn < 1} ≡ x = (x , xn ) ∈ Rn : |x | < xkn ,

k ≥ 1.

Chúng ta gọi một miền bị chặn Ω ⊂ Rn là một miền lùi trong nếu
(1) 0 ∈ ∂Ω, Ω \ {0} là một miền trơn (n − 1) chiều của lớp C ∞ .
(2) Kí hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ), thì
{x ∈ Ω : 0 < xn < 1} ≡ x = (x , xn ) ∈ Rn : |x | > xkn ,

k ≥ 1.

Kí hiệu ϕ là hàm dương, khả vi vô hạn trên (0, 1] thỏa mãn các điều
kiện sau đây:
(i) lim ϕ(τ )k−1 ϕ(τ )(k) < ∞ với k = 1, 2, ...,
τ →0

(ii)

1 dτ
0 ϕ(τ )

= +∞.

Giả sử rằng Ω là một miền bị chặn trong Rn , n ≥ 2, với ∂Ω
5

{0}

trơn. Điểm 0 ∈ ∂Ω được gọi là điểm lùi trên biên ∂Ω nếu tồn tại
các hàm hj (x), j = 1, ..., n − 1, sao cho
(iii) Ánh xạ

yi = hj (x) ; j = 1, ..., n − 1
ϕ(xn )
1 dτ

yn = xn ϕ(τ
)
biến tập {x ∈ Ω : 0 < xn < 1} thành nửa hình trụ
C+ = {y = (y , yn ) ∈ Rn : y ∈ ω, yn > 0} = ω × (0, +∞),
ở đó ω là một miền trơn trong Rn−1 .
(iv)
det

∂yj
∂xk

= ϕ(xn )−n det
j,k=1,...,n

∂hj
∂xk

≥ c.ϕ(xn )−n
j,k=1,...,n−1

(v) Với mọi tập đa chỉ số α các giới hạn sau
lim ϕ(xn )|α|−1 ∂xα hj (x),

xn →0

j = 1, ..., n − 1 tồn tại hữu hạn (đều theo

y ∈ ω),
Điều kiện Lipschitz
Hàm u : U → R; (U là tập mở trong Rn ) là liên tục Lipschitz nếu:
|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y| ; C > 0 là hằng số, ∀x, y ∈ U . Viết:
Lip [u] :=

|u(x) − u(y)|
.
|x − y|
x,y∈U,x=y
sup

1.2. Một số không gian hàm
1.2.1. Không gian Lp (Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho
0 < p < +∞. Khi đó Lp (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)
6


khả tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là:
|u|p dx < +∞
Ω

Không gian Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn :

 p1
u

Lp (Ω)

|u|p dx

=
Ω

Hơn nữa, Lp (Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là một không gian
Banach.
Với p = 2, ta có L2 (Ω) là không gian các hàm khả tổng cấp 2 trong Ω
với chuẩn

 21


u

L2 (Ω)

|u|2 dx

=
Ω

và không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(f, g) =

f (x) g (x)dx.
Ω

1.2.2. Không gian L∞ (Ω)
Định nghĩa 1.2.2. Cho Ω là một miền trong không gian Rn . Khi đó
L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo nghĩa
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn
u

L∞ (Ω)

= esssup |u (x)| .
x∈Ω

1.2.3. Không gian Sobolev
• Đạo hàm suy rộng
7


Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Một hàm
v (x) ∈ L1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (x) ∈ L1 (Ω)
nếu:
u (x) Dp ψ (x) dx = (−1)|p|

v (x) ψ (x) dx.
Ω

Ω

o
∞

với mọi ψ ∈ C (Ω).
• Không gian W l (Ω)
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Ta định
nghĩa W l (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L2 (Ω) , x ∈ Ω
với chuẩn

 21


u

W l (Ω)

|Dp u|2 dx .

=
|p|≤l

Với l = 1 ta có

u

W 1 (Ω)

 12

1

|Dp u|2 dx .

=
|p|=0

Ω

0

• Không gian W l (Ω)
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Ta định
0

nghĩa W l (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn của không gian W l (Ω)
• Không gian W l,k Qba .
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn , n ≥ 2.
Ta định nghĩa W l,k Qba là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈

8


L2 Qba với chuẩn

u

W l,k (Qba )

k

l

|Dα u|2 dxdt +

=
|α|=0

Qba

Qba

j=1

Đặc biệt

u

|α|=0

∂ u
dxdt .
∂tj

Qba

|Dα u|2 dxdt ,

và

u

W 1,1 (Qba )

1

2

|Dα u|2 dxdt +

=
|α|=0

 12

 21

1

=

W 1,0 (Qba )

2

j

Qba

Qba

 12

∂u
dxdt .
∂t

0

• Không gian W l,k (Qba )
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn . Ta định
0

nghĩa không gian W l,k (Qba ) là bao đóng trong không gian W l,k (Qba ) của
tập hợp tất cả các hàm u(x, t) thuộc C ∞ (Qba ) sao cho u(x, t) = 0 khi
(x, t) ∈ Qδb = (x, t) ∈ Qba : dist (x, t) , Sab < δ

với δ là số dương đủ

bé.
• Không gian W l,k −γ, Qba
Định nghĩa 1.2.8. Ta định nghĩa W l,k −γ, Qba là không gian bao gồm
tất cả các hàm véctơ phức u (x, t) , (x, t) ∈ Qba sao cho Dp u (., t) , utj (., t) ∈
L2 (Ω) , (0 ≤ |p| ≤ l, 1 ≤ j ≤ k) với mỗi t ∈ (a, b) và


u

2
W l,k (−γ,Qba )

=
Qba

|Dp u|2 +


|p|≤l

|utj |2  e−2γt dxdt < ∞.
1≤j≤k

9


Không gian W l,k −γ, Qba là một không gian Hilbert với tích vô hướng
được sinh ra bởi chuẩn.
Nói riêng
 21


u

W l,0 (−γ,Qba )

=

Qba |p|≤l

|Dp u|2 e−2γt dxdt

0

• Không gian W l,k (−γ, Qba )
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω là một miền trong Rn . Ta định nghĩa
0

không gian W l,k (−γ, Qba ) là bao đóng trong W l,k −γ, Qba của tập các
véctơ hàm phức thuộc W l,k −γ, Qba khả vi vô hạn trong Qba và triệt
tiêu gần mặt xung quanh Sab .

1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy
Cho a, b là các số thực dương và ε > 0. Khi đó
b2
ab ≤ εa + .
4ε
2

1

Chứng minh. Ta có: a.b = (2ε) 2 a .

b
1

(2ε) 2

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho
tích trên ta được:
2εa2 +

a.b = (2ε) a .
1 ≤
2
(2ε) 2
1
2

b

• Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

10

b2
2ε

= εa2 +

b2
.
4ε


Cho u, v ∈ Rn . Khi đó, ta có
|uv| ≤ |u| |v| .
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là u =
(u, u). Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đắng thức Cauchy- Schwarz
|uv| ≤ u
Chứng minh. Cho ε > 0 và chú ý 0

v .
|x ± εy|2 = |x|2 ±2ε.xy+|ε.y|2 .

Do đó:
1
ε
|x|2 + |y|2 .
2ε
2

±xy ≤
Cưc tiểu hoá vế trái, đặt ε =

|x|
|y| ,

với y = 0.

Ta có điều phải chứng minh.
• Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng
Giả sử u và Φ là các hàm khả tích không âm trên [to , T ) , L = const > 0
thoả mãn
t

u (t) ≤ Φ (t) + L

u (t) dt, ∀t ∈ [t0 , T ) .
t0

Khi đó

t

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

u (t) ≤ Φ (t) + L
t0

Hơn nữa, nếu Φ (t) có đạo hàm Φ (t) khả tích trên [t0 , T ) thì
t
L(t−t0 )

u (t) ≤ Φ (t0 ) e

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

+
t0

Ta nhận thấy rằng nếu Φ ≡ C ≡ const trên [t0 , T ) thì từ bất đẳng thức
trên ta suy ra bất đẳng thức Gronwall- Belman thông thường, tức là
u (t) ≤ CeL(t−t0 ) , ∀t ∈ [t0 , T ) .
11


Chứng minh. Đặt y(t) =

t
t0

u(t)dt, ta có

y = u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t),

∀t ∈ [t0 , T ) ,

hay
y − Ly(t) ≤ Φ(t),

∀t ∈ [t0 , T ) .

Bây giờ đặt z(t) = y(t)e−Lt ta nhận được
z (t) = (y (t) − Ly(t)) e−Lt ≤ Φ(t)e−Lt .
Ta có z (t0 ) = y(t0 ) = 0 và do đó
t

e−Ls Φ(s)ds,

z(t) ≤

∀t ∈ [t0 , T ) ,

t0
t

eL(t−s) Φ(s)ds,

y(t) ≤

∀t ∈ [t0 , T ) .

t0

Do đó
t

eL(t−s) Φ(s)ds,

u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t) ≤ Φ(t) + L

∀t ∈ [t0 , T ) .

t0

Nếu Φ(t) có đạo hàm Φ (t) khả tích trên [t0 , T ) thì bằng tích phân từng
phần, ta có
t

L

t

e

L(t−s)

Φ(s)ds = −e

L(t−s)

Φ(s)

t0

|tt0

eL(t−s) Φ (s)ds

+
t0

t

= Φ (t) − Φ(t0 )e

L(t−t0 )

eL(t−s) Φ (s)ds.

+
t0

Từ đó ta suy ra:
t

eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) .

u (t) ≤ Φ (t0 ) + L
t0

Bất đẳng thức được chứng minh đầy đủ.

12


Chương 2
Bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ nhất đối với phương trình
truyền nhiệt trong miền chứa điểm
lùi
Chương này dành cho việc trình bày sự tồn tại và duy nhất của
nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối
với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi. Phương pháp
chính được sử dụng là phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin. Không
mất tính tổng quát, trong luận văn luôn xét Ω là miền bị chặn trong
Rn , (n ≥ 2) với ∂Ω \ {0} trơn và 0 là điểm lùi của ∂Ω.

2.1. Đặt bài toán
Xét toán tử vi phân cấp 2
n

L (x, t, D) =

∂
∂xi
i,j=1

aij (x, t)

∂
∂xj

,
∞

ở đây aij = aij (x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Qh , aij = aji (i, j = 1, ..., n).
Hơn nữa, giả sử rằng aij là liên tục đều với x ∈ Ω theo biến t ∈ [h, ∞).

13


Bây giờ chúng ta xét bài toán sau đây trong trụ Q∞
h :
trên Q∞
h

L (x, t, D) u − ut = f (x, t)

(2.1)

Với điều kiện biên
u|Sh∞ = 0

(2.2)

u (x, h) = 0 trên Ω

(2.3)

Và điều kiện ban đầu

Giả sử rằng bài toán đang xét là Parabolic mạnh, tức là: với mọi ξ ∈

Rn \ {0} và (x, t) ∈ Qh , ở đây µ0 = const > 0 bất đẳng thức sau đúng:
n

aij (x, t) ξi ξj ≥ µ0 |ξ|2 .

(2.4)

i,j=1

Bổ đề 2.2.1. Giả sử (2.4) được thỏa mãn. Khi đó với mọi hàm u ∈
0

W 1,0 (−γ, Q∞
h ) , ∃µ1 > 0, λ > 0 sao cho ta có bất đẳng thức sau
n

n

aij (x, t) uxj uxi
Ω

|uxi |2 dx − λ u

dx ≥ µ1

i,j=1

i,j=1

Ω

2
L2 (Ω)

(2.5)

Đặt
n

B(u, u)(t) =

aij (x, t) uxj uxi
Ω

dx,

i,j=1

Khi đó bất đẳng thức (2.5)có thể viết lại như sau:
B (u, u) (t) ≥ µ1 u

2
0

W 1 (Ω)

−λ u

2
L2 (Ω) .

Chứng minh. Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:
n

n

µ

uxi
i=1

2
L2 (Ω)

≤

aij (x, t) uxj uxi
Ω

i=j=1

14

dx



= B (u, u) (t) −



n

aij (x, t) uxj uxi  dx


Ω

i,j=1;i=j
n

≤ B (u, u) (t) + C (ε) u

2
W 0 (Ω)

+ε

uxi

2
L2 (Ω)

i=1

với 0 < ε < µ, C (ε) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được
n

(µ − ε)

uxi

2
L2 (Ω)

2
W 0 (Ω)

≤ B (u, u) (t) + C (ε) u

i=1

hay là
n
2
L2 (Ω)

uxi

≤

i=1
C(ε)
1
µ−ε , µ−ε

Đặt C1 = max

1
C (ε)

B (u, u) (t) +
u
µ−ε
µ−ε

2
W 0 (Ω) .

> 0, ta nhận được

n

uxi

2
L2 (Ω)

≤ C1 B (u, u) (t) + u

2
W 0 (Ω)

.

i=1

Vậy u

2
W 1 (Ω)

≤ C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) u

2
W 0 (Ω) .

Ta có C2 = C2 (ε) sao

cho
u

2
W 0 (Ω)

≤ε u

2
W 1 (Ω)

+ C2 u

2
L2 (Ω)

Thay vào trên ta nhận được
u

2
W 1 (Ω)

≤ C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) ε u
≤ C1 B (u, u) (t) + (C1 + 1) ε u

2
W 1 (Ω)

2
W 1 (Ω)

+ C2 u

2
L2 (Ω)

+ (C1 + 1) C2 u

2
L2 (Ω) .

Điều đó chỉ ra rằng
B (u, u) (t) ≥

1 − (C1 + 1) ε
u
C1

Chọn 0 < ε < min µ, C11+1
µ0 =

2

W 1 (Ω)

−

(C1 + 1) C2
u
C1

và đặt

1 − (C1 + 1) ε
(C1 + 1) C2
> 0, λ0 =
C1
C1
15

2
L2 (Ω) .


ta được
B (u, u) (t) ≥ µ0 u

2
W 1 (Ω)

2
L2 (Ω) .

− λ0 u

Bổ đề 2.2.1 được chứng minh.

2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Định nghĩa. Cho f ∈ L2 (Ω). Khi đó hàm u (x, t) được gọi là nghiệm
0

suy rộng của bài toán (2.1) − (2.3) trong không gian W 1,0 (−γ, Q∞
h ) khi
0

và chỉ khi u (x, t) ∈ W 1,0 (−γ, Q∞
h ) , u (x, h) = 0, với mỗi T > 0 và đẳng
thức
−

uηt dxdt =

B (u, u) (t)dt +
QTh

f ηt dxdt

(2.6)

QTh

QTh
0

đúng với mọi hàm thử η = η (x, t) ∈ W 1,1 (−γ, Q∞
h ) sao cho η (x, t) = 0
với t ≥ T .

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Tính duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán (2.1) − (2.3) được phát
biểu trong định lý sau:
Định lý 2.3.1. Giả sử aij liên tục đều trên Q∞
h theo t ∈ (0, +∞);
∂aij
∂t

≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, ở đó µ = const > 0. Khi đó bài toán (2.1) − (2.3)
0

có không quá một nghiệm suy rộng trong W 1,0 (−γ, Q∞
h ) , γ > 0.
Chứng minh. Giả sử bài toán (2.1) − (2.3) có hai nghiệm suy rộng
0

u1 và u2 trong W 1,0 (−γ, Q∞
h ) với T > h, b tùy ý thuộc (h, T ).
Đặt
u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) .
16


Ta có:
0

u ∈ W 1,0 (−γ, Q∞
h ) , γ > 0, u(x, h) = 0.
Xét hàm
η (x, t) =




t
b u (x, τ ) dτ, h

≤t≤b

,b ≤ t ≤ T .

0
0
1,1

Khi đó ta nhận được η (x, t) ∈ W

−γ, QTh , η (x, T ) = 0 và ηt (x, t)

theo nghĩa đạo hàm suy rộng sẽ bằng u (x, t) , ∀t ∈ [h, b].
Hàm η (x, t) thỏa mãn mọi tính chất của hàm thử trong định nghĩa
nghiệm suy rộng nên
n
Qbh

aij (x, t) ηxi ηxj dxdt −

ηt ηdxdt = 0.

(2.7)

Qbh

i,j=1

Do aij = aji nên sau khi cộng (2.7) với lượng liên hợp của nó ta nhận
được:
n

2Re
i,j=1

Qbh

aij ηxi ηxj dxdt +

Qbh

∂
(η η¯)dxdt = 0.
∂t

(2.8)

Ta lại có

2Re

∂η ∂ η¯
∂
aij
∂t
∂xi ∂xj

∂aij ∂η ∂ η¯
.
∂t ∂xi ∂xj
∂ηt ∂ η¯
∂η ∂ η¯t
+ 2Re aij
+ aij
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
∂aij ∂η ∂ η¯
∂ηt ∂ η¯
= 2Re
.
+ 4Re aij
∂t ∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
= 2Re

∂
∂η ∂ η¯
⇒ 2Re
aij

∂t
∂xi ∂xj

n

= 2Re
i,j=1

n

∂
∂η ∂ η¯
= Re
aij
∂t
∂xi ∂xj
i,j=1

aij
n

− Re
i,j=1

17

∂η ∂ η¯
∂xi ∂xj

∂aij ∂η ∂ η¯

∂t ∂xi ∂xj

.

.


Do đó (2.8) viết lại
n

Re
Qbh

∂
∂η ∂ η¯
aij
∂t
∂xi ∂xj
i,j=1

n

∂aij ∂η ∂ η¯
∂t ∂xi ∂xj

−
i,j=1

+
Qbh

dxdt.

∂
(η η¯)dxdt = 0 (2.9)
∂t

Tích phân từng phần (2.7) ta được
2

|η(x, h)| dx+
Ω

Do

Ω
∂aij
∂t

∂η ∂ η¯
aij
(x, h)dx =
∂xi ∂xj

n

∂aij ∂η ∂ η¯
dxdt.
∂t
∂x

∂x
i
j
i,j=1

Qbh

bị chặn, nên theo bất đẳng thức Cauchy và (2.5) ta nhận được
n

ηt 2L2 (Qb )
h

2
W 1 (Ω)

+ µ1 η (x, h)

2

≤ C (ε)
i,j=1

Qbh

ηxj dxdt + η

2
.
L2 (Qbh )

(2.10)
Từ đây ta suy ra
n
2
W 1 (Ω)

η (x, h)

2

≤C
Qbh

i,j=1

ηxj dxdt,

(2.11)

ở đó hằng số C chỉ phụ thuộc vào µ, µ1 . Đặt
t

vi (x, t) =

uxi (x, τ ) dτ,
h

với h < t < b ta có biểu diễn sau:
b

ηxj (x, τ ) dτ = vi (x, b) − vi (x, t) .

ηxi (x, t) =
t

Theo (2.10) ta có
n

η (x, h)

2
W 1 (Ω)

n
2

|vi (x, b)|2 + |vi (x, t)|2 dxdt

ηxj dxdt ≤ C

=
j=0

Ω

i=0

n

n
2

|vi (x, t)|2 dxdt

|vi (x, b)| dx + C

= Cb
i=0

Qbh

Ω

i=0

18

Qbh

(2.12)


Đặt
1

|vi (x, t)|2 dx

J (t) =
Ω

i=0

Từ (2.12) ta nhận được
b

(1 − Cb) J (b) ≤ C

J (t) dt,

b∈

h

h,

1
2C

.

Theo bất đẳng thức Gronwall - Belman ta có:
1
J (t) = 0 trên h, 2C
.

Từ (2.10), (2.12) dẫn đến ηt ≡ 0 (h.k.n) trong L2 (Ω). Sử dụng những lí
1
luận tương tự như trên suy ra u1 ≡ u2 (h.k.n) trên h, 2C
. Vì C chỉ phụ

thuộc vào µ, µ1 và T nên ta có thể chứng minh được là sau một số hữu
hạn bước u1 ≡ u2 (h.k.n) trong L2 (Ω) trên (h, T ]. Vì T > h tùy ý nên
u1 ≡ u2 trên (h, ∞)(h.k.n).
Định lý được chứng minh.

2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Ta xét bài toán sau trong Q∞
h
Lu − ut = f

trên Q∞
h

(2.13)

Với điều kiện biên
u|Sh∞ = 0

(2.14)

u (x, h) = 0 trên Ω

(2.15)

Và điều kiện ban đầu

Đặt

n

aij uxj uxi dx, t ∈ R.

B (u, u) (t) =
i,j=1

Ω

19