Luận văn Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

PHAN HỮU THẾ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU
PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

ĐẮK LẮK, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

PHAN HỮU THẾ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU
PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích.
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang

ĐẮK LẮK, 2016

MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LỜI CAM ĐOAN

i
ii

LỜI CẢM ƠN

iii

BẢNG KÍ HIỆU

iv

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đồng cấu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI
SỐ BANACH

18

2.1

Đồng cấu phức

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số Banach

20

2.3

Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử .

27

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang.
Các kết quả trong luận văn được sử dụng và trích dẫn chính xác.

ii


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Tây Nguyên dưới sự hướng
dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và tận tình hướng
dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, seminar,

tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như có được những ý kiến
đóng góp quý báu của các Thầy Cô ở Trường Đại học Tây Nguyên. Tác giả xin
chân thành cảm ơn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo nhà Trường Đại học Tây Nguyên,
Phòng Sau đại học - Trường Đại học Tây Nguyên và Bộ môn Toán - Khoa KHTN
và CN - Trường Đại học Tây Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong thời gian học tập tại trường.
Đặc biệt, cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn
bè, các học viên trong lớp Cao học Toán Giải tích K09 đã cộng tác, giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Đắk Lắk, tháng 12 năm 2016

iii


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

N

: Tập hợp các số tự nhiên.

R

: Tập hợp số thực.

C

: Tập hợp số phức.

K

: Trường số thực R hoặc trường số phức C

F (Rn ) : Tập hợp các ánh xạ khả vi trên R.
Mn

: Tập hợp các ma trận vuông thực cấp n.

AutG

: Tập hợp các tự đẳng cấu trên G.

A

: Đại số Banach.

B(E)

: Tập hợp các hàm tuyến tính và liên tục.

J

: Ideal đóng.

F

: Họ tất cả các ideal thực sự của A chứa J .

∆A

: Tập hợp tất cả đồng cấu phức trên A .

MA

: Tập các ideal cực đại của A .

iv


MỞ ĐẦU
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý thuyết đại số Banach là lĩnh vực quan trọng của toán giải tích có lịch sử
phát triển lâu dài của toán học gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học
nổi tiếng trên thế giới như Von Neumann, Gelfand, Naimark. . .
Lý thuyết đại số Banach có rất nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều chuyên
nghành của toán học, đặc biệt là ứng dụng trong nghiên cứu giải tích phức,
đại số đều, lý thuyết toán tử,. . . . Chẳng hạn như năm 1969 Harris, Sibuya
và Weinberg ([6]) giới thiệu một lớp đại số Banach Hr các hàm phức một
biến là tổng của một chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trên đường tròn tâm
tại gốc có bán kính r > 0 và lớp đại số này có rất nhiều ứng dụng thú vị
trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình vi phân, định
lý chuẩn bị Weierstrass, định lý hàm ẩn,.... .
Nhờ lý thuyết đại số Banach ta có thể chứng minh Định lí Wierner nói
về tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi Fourier một cách ngắn gọn và lý thú. Do
vậy, lý thuyết về đại số Banach đã được trình bày trong nhiều tài liệu toán
học (([1]), ([2]), ([4]), ([5]), ([7]))
Đồng cấu phức là một trong những vấn đề cơ bản của của Lý thuyết đại
số Banach, nó cho phép ta mô tả và tìm hiểu được một số đối tượng như
ideal cụ thể như, số các đồng cấu phức trên một đại số Banach phức giao

hoán A chính là số các ideal cực đại của A ([8]), đồng cấu phức cũng cho
phép ta mô tả các và tìm hiểu các tính chất của đại số Banach con,. . . .
Dựa trên các tài liệu đã có và dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS. TS.
Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi chọn đề tài: " Một số tính chất của đồng
cấu phức trên đại số Banach." Mục đích của luận văn là tập hợp và trình
1


bày lại các kiến thức về đồng cấu phức một cách chi tiết và trình bày theo
một logic nhất định phù hợp với nội dung và cấu trúc của luận văn. Ngoài
Phần mở đầu, Kết luận, và Danh mục tài liệu tham khảo, Luận văn được bố
cục thành hai chương .
2. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Đối tượng nghiên cứu
- Đại số.
- Đại số Banach.

• Nội dung nghiên cứu
- Trình bày và chứng minh một số tính chất của đồng cấu phức trên đại
số Banach.

• Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài.
- Phân tích, tổng hợp các kết quả thu nhận được, hệ thống, tổng quát
hóa lại những vấn đề liên quan đến đề tài.
3. BỐ CỤC LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 2 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản, một số ví

dụ của đại số và đại số Banach làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính
của luận văn.
Chương 2. Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số Banach
Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn. Trong chương này,
chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, ví dụ và chứng minh một số tính chất của
đồng cấu phức trên đại số Banach.

2


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản, một số ví dụ
của đại số, đồng cấu đại số và đại số Banach làm cơ sở cho việc trình bày nội
dung chính của luận văn.

1.1

Đại số

Định nghĩa 1.1.1. ([2]) Giả sử K là một trường (K = R, C) và G là không
gian vecto trên K. Khi đó G được gọi là đại số trên K nếu G được trang bị
thêm một phép toán tích trong "•" với

•:G×G→G
(f, g) → f g
thỏa mãn
(i). f (g + h) = f g + f h;
(ii). (f + g) h = f h + gh;

(iii). (αf ) g = f (αg) = α (f g) ;
với mọi f, g, h ∈ G; α ∈ K.

3


Ví dụ 1.1.1. Ta kí hiệu F (Rn ) = {f : Rn → R|f trơn} .

F (Rn ) được trang bị 3 phép toán như sau
với mọi f, g ∈ F (Rn ) ; x ∈ Rn ; α ∈ R.
(i). (f + g)(x) = f (x) + g(x);
(ii). (αf )(x) = αf (x);
(iii). (f.g) (x) = f (x) .g (x) .
Khi đó, F (Rn ) cùng với 3 phép toán trên lập thành một đại số trên R.
Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), F (Rn ) lập thành một không gian
véctơ thực. Ở đây ta chỉ kiểm tra tính chất song tuyến tính của phép tích trong.
Với mọi f, g, h ∈ F (Rn ) , x ∈ Rn , α ∈ R, ta có

• f (g + h)(x) = f (x)(g + h)(x)
= f (x)[g(x) + h(x)]
= f (x)g(x) + f (x)h(x)
= (f g + f h)(x)
Suy ra f (g + h) = f g + f h.
• (f + g)h)(x) = (f + g)(x)h(x)
= [f (x) + g(x)]h(x)
= f (x)h(x) + g(x)h(x)
= (f h + gh)(x)
Do đó (f + g)h = f h + gh.
• ((αf ) g) (x) = (αf ) (x) g (x)
= αf (x) g (x)

= α (f g) (x)
= (f (αg)) (x)
Vậy (αf ) g = f (αg) = f (αg) .
4


Ví dụ 1.1.2. Ta kí hiệu Mn = {A = (aij ) |aij ∈ R}, A là ma trận vuông thực
cấp n.
Với mọi A = (aij ) , B = (bij ) , C = (cij ) ∈ Mn và λ ∈ R, các phép toán trên

Mn được xác định như sau
(i). A + B = (aij + bij ) ;
(ii). λA = (λaij ) ;
n

(iii). AB = (cij ); (cij ) =

aik bkj ;
k=1

Khi đó Mn là một đại số trên R.
Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), Mn lập thành một môđun. Ta kiểm
tra tính chất song tuyến tính của phép tích trong.
Với mọi A = (aij ) , B = (bij ) , C = (cij ) ∈ Mn , λ ∈ R, ta có

• Giả sử D = A(B + C) = (dij ) ∈ Mn . Khi đó
n

aik (bkj + ckj )

(dij ) =
k=1
n

=

n

aik bkj +
k=1

aik ckj .
k=1

Do đó D = AB + AC.
Vậy A(B + C) = AB + AC.

• Khi đó E = (A + B)C = (eij ) ∈ Mn . Khi đó
n

(eij ) =

(aik + bkj )ckj
k=1
n

=

n

aik ckj +
k=1

bik ckj .
k=1

Suy ra E = AC + BC.
Vậy (A + B)C = AC + BC.

• Đặt F = A(λB) = (fij ) ∈ Mn . Khi đó
n

(fij ) =

n

aik (λbkj )
k=1

=

n

(λaik )bkj
k=1

=λ

aik bkj .
k=1

5


Do đó E = (λA)B = λ(AB).
Suy ra A(λB) = (λA)B = λ(AB).
Ví dụ 1.1.3. Với mọi a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 và λ ∈ R, ta trang bị ba
phép toán
(i). a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 );
(ii). λa = (λa1 , λa2 , λa3 );
(iii). a ∧ b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) .
Khi đó R3 cùng với ba phép toán trên lập thành một đại số trên R.
Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), R3 lập thành một không gian véctơ.
Ta kiểm tra tính chất song tuyến tính của phép tích trong.

6


(i). (a + b) ∧ c = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ∧ (c1 , c2 , c3 )
= ((a2 + b2 ) c3 − (a3 + b3 ) c2 , (a3 + b3 ) c1
− (a1 + b1 ) c3 , (a1 + b1 ) c2 − (a2 + b2 ) c1 )
= (a2 c3 + b2 c3 − a3 c2 − b3 c2 , a3 c1 + b3 c1
− a1 c3 − b1 c3 , a1 c2 + b1 c2 − a2 c1 − b2 c1 )
= (a2 c3 − a3 c2 , a3 c1 − a1 c3 , a1 c2 − a2 c1 )
+ (b2 c3 − b3 c2 , b3 c1 − b1 c3 , b1 c2 − b2 c1 )
= a ∧ c + b ∧ c.
(ii). a ∧ (b + c) = (a1 , a2 , a3 ) ∧ (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )
= (a2 (b3 + c3 ) − a3 (b2 + c2 ) , a3 (b1 + c1 )
− a1 (b3 + c3 ) , a1 (b2 + c2 ) − a2 (b1 + c1 ))
= (a2 b3 + a2 c3 − a3 b2 − a3 c2 , a3 b1 + a3 c1 − a1 b3

− a1 c3 , a1 b2 + a1 c2 − a2 b1 − a2 c1 )
= (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
+ (a2 c3 − a3 c2 , a3 c1 − a1 c3 , a1 c2 − a2 c1 )
= a ∧ b + a ∧ c.
(iii). λ (a ∧ b) = λ (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
= (λ (a2 b3 − a3 b2 ) , λ (a3 b1 − a1 b3 ) , λ (a1 b2 − a2 b1 ))
= ((λa2 ) b3 − (λa3 ) b2 , (λa3 ) b1 − (λa1 ) b3 , (λa1 ) b2 − (λa2 ) b1 )
= λa ∧ b.
Tương tự ta có λ (a ∧ b) = a ∧ λb.
Chú ý 1.1.1

• Trong luận văn này xét G là đại số kết hợp.
• Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì G được gọi là đại số giao hoán; Nếu
7


tích trong có tính chất kết hợp thì G được gọi là đại số kết hợp; Nếu ab = 0
với mọi a, b ∈ G thì G được gọi là đại số tầm thường;

• Giả sử C là một tập con của đại số G. Khi đó C được gọi là đại số con của
G nếu C khép kín với các phép toán trên G;
• Giả sử C là một đại số con của đại số G. Khi đó C được gọi là iđêan của G
nếu với mọi g ∈ C, f ∈ G thì gf ∈ C.
Giả sử I là một iđêan của đại số G . Ta kí hiệu G/I = {f + I|f ∈ G}.

G/I được trang bị các phép toán như sau :
Với mọi f, g ∈ G; λ ∈ K,ta có:
(i) (f + I) + (g + I) = (f + g) + I;
(ii) λ (f + I) = λf + I; ∀f ∈ G,
(iii) (f + I) (g + I) = (f g) + I.

Khi đó, ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.1.1. ([4]) G/I cùng với ba phép toán trên lập thành một đại số
trên K .
Chứng minh. Với hai phép toán (i) và (ii), G/I lập thành một môđun. Ta kiểm
tra tính chất song tuyến tính của phép tích trong. Với mọi f, g, h ∈ G; λ ∈ K,
ta có

• ((f + I) + (g + I)) (h + I) = ((f + g) + I) (h + I)
= (f + g) h + I
= (f h + I) + (gh + I)
= (f + I) (h + I) + (g + I) (h + I) .

8


• (f + I) ((g + I) + (h + I)) = (f + I) ((g + h) + I)
= f (g + h) + I
= (f g + I) + (f h + I)
= (f + I) (g + I) + (f + I) (h + I) .
• (λ (f + I)) (g + I) = ((λf ) + I) (g + I)
= λ (f g) + I
= λ (f g + I)
= λ ((f + I) (g + I)) .
Vậy G/I là một đại số trên K.

1.2

Đồng cấu đại số

Định nghĩa 1.2.1. ([3]) Giả sử G và G là hai đại số trên K . Ánh xạ ϕ : G →

G được gọi là một đồng cấu đại số nếu ϕ thỏa mãn các điều kiện sau
(i). ϕ (af + bg) = aϕ (f ) + bϕ (g) ; với mọi f, g ∈ G, a, b ∈ K;
(ii). ϕ (f g) = ϕ (f ) .ϕ (g) ; với mọi f, g ∈ G.
Ví dụ 1.2.1. a) Xét ánh xạ đồng nhất

id : G → G
f → ϕ (f ) = f.
và ánh xạ

0=ϕ:G→G
f → ϕ (f ) = 0.
Là các đồng cấu đại số.

9


b) Xét ánh xạ ϕx

ϕx : R 3 → R 3
a → a ∧ x; x cố định.
Khi đó ϕx là một đồng cấu đại số.
Thật vậy, với mọi a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , x (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; α, β ∈ R,
ta có

• ϕx (αa + βb) = (αa + βb) ∧ x
= ((αa2 + βb2 ) x3 − (αa3 + βb3 ) x2 ; (αa3 + βb3 ) x1
− (αa1 + βb1 ) x3 ; (αa1 + βb1 ) x2 − (αa2 + βb2 ) x1 )
= (α (a2 x3 − a3 x2 ) + β (b2 x3 − b3 x2 ) ; α (a3 x1 − a1 x3 )
+ β (b3 x1 − b1 x3 ) ; α (a1 x2 − a2 x1 ) + β (b1 x2 − b2 x1 ))

= α (a2 x3 − a3 x2 ; a3 x1 − a1 x3 ; a1 x2 − a2 x1 )
+ β (b2 x3 − b3 x2 ; b3 x1 − b1 x3 ; b1 x2 − b2 x1 )
= α (a ∧ x) + β (b ∧ x)
= αϕx (a) + βϕx (b) .
• ϕx (a ∧ b) = (a ∧ b) ∧ x
= − (b ∧ x) ∧ a − (x ∧ a) ∧ b
= a ∧ (b ∧ x) + (a ∧ x) ∧ b
= a ∧ ϕx (b) + ϕx (a) ∧ b.
Nhận xét 1.2.1. a)Một đồng cấu đại số ϕ vừa là song ánh thì đẳng cấu .
Giả sử ϕ : G → G là một đẳng cấu đại số.
Khi đó ϕ−1 : G → G cũng là một đẳng cấu đại số.
Thật vậy, vì ϕ là đẳng cấu nên ϕ là song ánh, do đó ϕ−1 cũng là song ánh. Ta
kiểm tra tính đẳng cấu của ϕ−1 .
10


Với mọi f , g ∈ G ; a, b ∈ K và ϕ(f ) = f , ϕ(g) = g , ta có

• ϕ−1 (af + bg ) = ϕ−1 [aϕ (f ) + bϕ (g)]
= ϕ−1 [ϕ (af + bg)]
= af + bg
= aϕ−1 (f ) + bϕ−1 (g ) .
• ϕ−1 (f g ) = ϕ−1 [ϕ (f ) ϕ (g)]
= ϕ−1 [ϕ (f g)]
= fg
= ϕ−1 (f ) ϕ−1 (g ) .
b) Kerϕ = {f ∈ G|ϕ (f ) = 0} là một iđêan của G.
Thật vậy, mọi f, g, ∈ Kerϕ; h ∈ G và a ∈ K, ta có

• ϕ(f − g) = ϕ(f ) − ϕ(g) = 0. Suy ra f − g ∈ Kerϕ.

• ϕ(af ) = aϕ(f ) = 0 hay af ∈ Kerϕ.
• ϕ(f.h) = ϕ(f ).ϕ(h) = 0. Do đó f g ∈ Kerϕ.
Vậy Kerϕ là một iđêan của G.
c) Imϕ = {g ∈ G |g = ϕ (g) , g ∈ G} là đại số con của G.
Thật vậy, với mọi f , g ∈ Imϕ; α ∈ K và f = ϕ(f ), g = ϕ(g), ta có

• f + g = ϕ(f ) + ϕ(g) = ϕ(f + g). Suy ra f + g ∈ Imϕ.
• af = aϕ(f ) = ϕ(af ). Do đó af ∈ Imϕ.
• f .g = ϕ(f ).ϕ(g) = ϕ(f.g). Từ đó ta có f .g ∈ Imϕ
Vậy Imϕ là một đại số con của G.
Mệnh đề 1.2.1. ([4]) Giả sử G, G , G là các đại số trên vành K. Các ánh
xạ ϕ : G → G và ψ : G → G là các đồng cấu đại số. Khi đó ánh xạ

ψ ◦ ϕ : G → G cũng là một đồng cấu đại số.
Chứng minh. Với mọi f, g ∈ G; a, b ∈ K , ta có

11


• (ψ ◦ ϕ)(af + bg) = ψ(ϕ(af + bg)
= ψ(a.ϕ(f ) + b.ϕ(g))
= a.ψ(ϕ(f )) + b.ψ(ϕ(g))
= a.(ψ ◦ ϕ)(f ) + b.(ψ ◦ ϕ)(g).
• (ψ ◦ ϕ)(f.g) = ψ(ϕ(f.g))
= ψ(ϕ(f ).ϕ(g))
= ψ(ϕ(f )).ψ(ϕ(g))
= (ψ ◦ ϕ)(f ).(ψ ◦ ϕ)(g).
Vậy ψ ◦ ϕ là một đồng cấu đại số.
Ta kí hiệu AutG =

ϕ : G → G|ϕ là tự đẳng cấu . Khi đó, ta có mệnh

đề
Mệnh đề 1.2.2. ([4]) AutG cùng với phép tích ánh xạ lập thành một nhóm.
Chứng minh.

• Với mọi ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ∈ AutG; f ∈ G, ta có
[(ϕ1 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ3 ] (f ) = [ϕ1 (ϕ2 (ϕ3 ))] (f )
= [ϕ1 (ϕ2 ◦ ϕ3 )] (f )
= [ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3 )] (f ) .
Suy ra (ϕ1 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ3 = ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3 ).
• Ta kí hiệu
e = id : G → G
f → f.
Với mọi ϕ ∈ AutG; ∀f ∈ G, ta có

(ϕ ◦ e) (f ) = (ϕ ◦ id) (f ) = ϕ (id (f )) = ϕ (f ) .
Suy ra ϕ ◦ e = ϕ.
12


Tương tự e ◦ ϕ = ϕ. Do đó e là phần tử trung hòa của AutG.

• Ta xét
ϕ:G→G
f → ϕ(f ).
Khi đó, ta luôn có

ϕ−1 : G → G
f → ϕ−1 (f ).

(ϕ ◦ ϕ−1 ) (f ) = ϕ (ϕ−1 (f )) = f.

Suy ra ϕ ◦ ϕ−1 = id.

Vậy AutG là một nhóm.

1.3

Đại số Banach

Định nghĩa 1.3.1. ([1]) Một đại số Banach A là một đại số phức thỏa mãn
các điều kiện:

1) A là một không gian Banach với chuẩn · nào đó cho trước;
2) xy ≤ x

y , với mọi x, y ∈ A ;

3) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A ;
4) e = 1.
• Phần tử e được gọi là đơn vị của A . Trong suốt chương này ta khảo sát đại
số Banach giao hoán có đơn vị e.

• Phân tử x ∈ A được gọi là khả nghịch trong A nếu tồn tại y := x−1 ∈ A
sao cho: x−1 .x = x.x−1 = e.
Khi đó x−1 được gọi là phần tử nghịch đảo của x. Kí hiệu G(A ) là tập hợp
các phần tử khả nghịch của A .
Nhận xét 1.3.1. Phần tử đơn vị e của đại số Banach là duy nhất .
13

Ví dụ 1.3.1. Ta có A = C và các phép nhân các số phức theo nghĩa thông
thường là một đại số Banach có đơn vị e = 1, thật vậy

+) (C +, .) là một không giam vecto
+) Xét phép nhân trong (·) C × C −→ C
(z1 , z2 ) −→ z1 z2
Trong đó z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i. Khi đó C cùng với phép nhân trong
như trên lập thành một đại số, thật vậy:

∀z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i, z3 = x3 + y3 i, ∀α ∈ R. Ta có:
1)(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 );
2)(z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 và z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ;
3)α(z1 z2 ) = z1 (αz2 ) = (αz1 )z2
Vậy C là một đại số.

+) Trêm tập C ta xét ánh xạ · : C −→ R
z = x + yi −→ z = |x| + |y|.
Rõ ràng · là một chuẩn trên C.

+)C là không gian Banach với chuẩn được xác định trên.
+) Ta có z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i
= |x1 x2 − y1 y2 | + |x1 y2 + x2 y1 |
≤ |x1 x2 | + |y1 y2 | + |x2 y1 + |x1 y2 |
|x1 ||x2 | + |y1 | + |y2 | + |x1 ||y2 | + |x2 ||y1 |
(|x1 | + |y1 |) + (|x2 | + |y2 |)
z1

z2 ;

+) e = 1 = 1.
Vậy C là đại số Banach.
Ví dụ 1.3.2. Giả sử A là không gian Banach. Ta kí hiệu

L(A ) = f : A → A |f tuyến tính và liên tục
14


Ta trang bị các phép toán trên L(A ) là:

1)(f + g)(x) = f (x) + g(x); ∀f, g ∈ B(E), x ∈ E.
2)(λ.f )(x) = λ.f (x); ∀λ ∈ K, f ∈ B(E), x ∈ E.
3)(f.g)(x) = f (g(x)); ∀f, g ∈ B(E), x ∈ E.
Khi đó L(A ) là một đại số Banach. Thật vậy,
Trên L(A ) được trang bị chuẩn f = sup f (x)
x =1

Khi đó L(A ) là một không gian Banach.
Ở đây ta cần kiểm tra các tính chất của đại số Banach đối với L(A )

• f.g = sup f (g(x))
x =1

≤ f . g(x)
≤ f . g . x
= f . g
• e = id = sup id(x)) = sup x = 1.
x =1

x =1

Nhận xét 1.3.2. L(A ) là đại số các toán tử liên tục từ A vào A .
Ví dụ 1.3.3. A = f : khả vi trên C
Ta định nghĩa trên A các phép toán:

• Phép cộng : f + g : C −→ C
x −→ (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ A.
• Phép nhân ngoài: αg : C −→ C
x −→ (αf )(x) = αf (x); ∀α ∈ C, ∀f ∈ A.
• Tích trong: f.g : C −→ C
x −→ (f.g)(x) = f (x).g(x); ∀f, g ∈ A.
Khi đó A là một đại số Banach.
Ví dụ 1.3.4. Xét tập hợp :

R∗2 = {a = (a0 ; a1 )|a0 , a1 ∈ R}
15


Trong R∗2 , ta trang bị các phép toán:

∀a = (a0 , a1 ); b = (b0 , b1 ) ∈ R∗2 , ∀λ ∈ R ta có:
i)a + b = (a0 + b0 , a1 + b1 )
ii)λa = (λa0 , λa1 )
iii)a.b = (a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 )
Khi đó, R∗2 cùng với hai phép toán i), ii) là một không gian vecto hai chiều
với cơ sở {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}
Ta đặt a = |a0 | + |a1 |. Bây giờ ta chứng minh (R∗2 , · ) là một đại số
Banach giao hoán có đơn vị.
Chứng minh. -Trước hết, ta có hàm a → a (với a ∈ R∗2 ) là một chuẩn, thật
vậy

+ a = |a0 | + |a1 | ≥ 0, ∀a ∈ R∗2 .
Giả sử a = 0 ⇔|a0 | + |a1 | = 0





⇔

|a0 | = 0

⇔


 |a1 | = 0

a0 = 0

⇔ a = 0.


 a1 = 0

+ λa = |λa0 | + |λa1 |
= |λ||a0 | + |λ||a1 |
= |λ|(|a0 | + |a1 |) = λ a , ∀λ ∈ R
+ a + b = |a0 + b0 | + |a1 + b1 |
≤ |a0 | + |b0 | + |a1 | + |b1 |
≤ (|a0 | + |a1 |) + (|b0 | + |b1 |) = a + b , ∀a, b ∈ R∗2

Vậy · là chuẩn.
-(R∗2 , · ) là một không gian Banach, thật vậy:
Giả sử {xn } là dãy Cauchy trong R∗2 khi đó:

∀ > 0, ∃k ∈ N, sao cho ∀m, n ≥ k ta có
xm − xn <

16


n
m
n
⇔ |xm
0 − x0 | + |x1 − x1 | <
n
⇔ |xm
i − xi | < , ∀i = 0, 1

Điều này chứng tỏ {xni } là dãy Cauchy trong R.Vì R là đầy đủ nên tồn tại

x0i ∈ R sao cho xni → x0i . Vậy xn → x0 , x0 = (x00 , x01 ) ∈ R∗2
Vậy R∗2 là không gian Banach.
- Cuối cùng ta chứng minh R∗2 cùng với phép toán iii) là đại số, thật vậy:
Với mọi a = (a0 , a1 ), b = (b0 , b1 ), c = (c0 , c1 ) ∈ R∗2 ta có:

1)(ab)c = a0 b0 c0 , a1 b0 c0 + a0 b1 c0 + a0 b0 c1 = a(bc)
2)λ(ab) = a(λb) = (λa)b, ∀λ ∈ R
3)(a + b)c = (a0 c0 + b0 c0 , a0 c1 + b0 c1 + a1 c0 + b1 c0 ) = ac + bc
Tương tự chứng minh được a(b + c) = ab + ac

4) ab = |a0 b0 | + |a1 b0 + a0 b1 |
≤ |a0 b0 | + |a1 b0 | + |a0 b1 |
≤ |a0 ||b0 | + |a1 ||b0 | + |a0 ||b1 |
≤ |a0 ||b0 | + |a1 ||b0 | + |a0 ||b1 | + |a1 ||b1 |
= (|a0 | + |a1 |) + (|b0 | + |b1 |)
= a . b
5) lại có ab = ba, ∀a, b R∗2 và ae0 = e0 a = a.
Chứng tỏ R∗2 là đại số Banach giao hoán có đơn vị e0 (1, 0).

17


Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG
CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ
BANACH
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, ví dụ của đồng cấu
phức. Chứng minh một số tính chất cơ bản của đồng cấu phức trên đại số Banach. Trình bày đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử. Và đây
cũng chính là vấn đề chính của luận văn.

2.1

Đồng cấu phức

Định nghĩa 2.1.1. ([1]) Cho A là một đại số phức. Ánh xạ tuyến tính

h : A −→ C
được gọi là một đồng cấu phức nếu h ≡ 0 và h(xy) = h(x)h(y) với mọi

x, y ∈ A .
Ví dụ 2.1.1. Xét tập hợp :

R∗2 = {a = (a0 ; a1 )|a0 , a1 ∈ R}
Trong R∗2 , ta trang bị các phép toán:
18


∀a = (a0 , a1 ); b = (b0 , b1 ) ∈ R∗2 , ∀λ ∈ R ta có:
i)a + b = (a0 + b0 , a1 + b1 )
ii)λa = (λa0 , λa1 )
iii)a.b = (a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 )

Ánh xạ ϕ : R∗2 −→ C, a = (a0 , a1 ) → ϕ(a) = a0 là một đồng cấu phức
Chứng minh. + ϕ(e1 ) = ϕ(1, 0) = 1, chứng tỏ ϕ = 0

+ ∀a = (a0 , a1 ), b = (b0 , b1 ) ∈ R∗2 , ∀λ ∈ C ta có:
• ϕ(a + b) = ϕ(a0 + b0 , a1 + b1 ) = a0 + a1 = ϕ(a) + ϕ(b)
• ϕ(αa) = ϕ(αa0 , αa1 ) = αa0 = αa
• ϕ(ab) = ϕ(a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 ) = a0 b0 = ϕ(a)ϕ(b.)
Chứng tỏ ϕ là đồng cấu phức.
Ví dụ 2.1.2. Giả sử X là không gian Hausdorf và compact. C(X) là đại số
Banach giao hoán có đơn vị. Ta xét ánh xạ, ∀x ∈ X; hx : C(X) → C cho bởi

f → hx = f (x), ∀f ∈ C(X).
Khi đó, hx là một đồng cấu phức trên C(X).
Chứng minh. với mọi α ∈ C, f, g ∈ C(X), ta có

hx (f + g) = (f + g)(x) = f (x) + g(x) = hx (f ) + hx (g)

hx (αf ) = (αf )(x) = αf (x) = αhx (f )
hx (f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = hx (f )hx (g)
Mặt khác, hx (e) = e(x) = 1
Suy ra, hx là một đồng cấu phức trên C(X).

19