TONG HOP TOAN 9 ÔN TẬP TOÁN 9

tổng hợp kiến thức
và cách giải các dạng bài tập toán 9
Phần I:
Đại số
Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức. (QUAN TRNG)
a.

A2 = A

b.

AB =

A. B

c.

A
=
B

A
B

d.
e.

( A 0; B > 0)

A2 B = A B
A B = A2 B

f.

( B 0)
( A 0; B 0)

A B = A2 B

A 1
=
B B

( A 0; B 0)

AB

( A < 0; B 0)

( AB 0; B 0)

i.

A
A B
=
B
B

k.

C
C ( A mB)
=
A B2
AB

( B > 0)
( A 0; A B 2 )

C
C( A m B )
=
A B2
A B

( A 0; B 0; A B )

m.
3. Hàm số y = ax + b (a 0)
- Tính chất:
+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hàm số y = ax2 (a 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành.
5. Vị trí tơng đối của hai đờng
thẳng(QUAN TRNG)
Xét đờng thẳng y = ax + b (d)
và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau a a'

(d) // (d') a = a' và b b'
(d) (d') a = a' và b = b'
6. Vị trí tơng đối của đờng
thẳng và đờng cong.


KIN THC TON 9 ễN THI VO 10

Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và
y = ax2 (P)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung

7. Phơng trình bậc hai. (QUAN TRNG)
Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn

= b2 - 4ac
' = b'2 - ac với b = 2b'
Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm - Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai
phân biệt:
nghiệm phân biệt:
x1 =

b+
b
x2 =
2a
2a
;

x1 =

b ' + '
b ' '
x2 =
a
a
;

Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép - Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm
b
b'
x1 = x2 =
x1 = x2 =
2a
:

a
kép:
Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
8. Hệ thức Viet và ứng dụng. (QUAN TRNG)
- Hệ thức Viet:
Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:
b

S = x1 + x2 = a

P = x .x = c
1 2

a

- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x2 - Sx + P = 0 (Điều kiện S2 - 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
c
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = a


c
a

Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =
9. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình(QUAN TRNG)
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình

Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào
thích hợp với bài toán và kết luận
Phần II:
hình học
Kiến thức cần nhớ.
2

2
COMPLETED BY BCH SMOTH


KIN THC TON 9 ễN THI VO 10

1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
(QUAN TRNG)
b2 = ab' c2 = ac'
h2 = b'c'
ah = bc
a2 = b2 + c2

A
b
c

B

h
c'

b'
C

H
a

1
1
1
= 2+ 2
2
h
b
c

2. Tỉ số lợng giác của góc nhọn.
0 < sin < 1 0 < coss < 1
tg =

sin
cos

tg.cotg = 1
1 + cot g 2 =

cos
sin
1
1 + tg 2 =
cos 2

cot g =

sin2 + cos2 = 1

1
sin 2

B

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B

a
c

A

b

C

4. Đờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục
đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
Trong một đờng tròn(QUAN TRNG)

+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: (QUAN TRNG)
Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
3

3
COMPLETED BY BCH SMOTH


KIN THC TON 9 ễN THI VO 10

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây: (QUAN TRNG)

Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối
- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau

Số điểm chung

Hệ thức liên hệ
giữa d và R

2

d
1

d=R

0

d>R

- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau

- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau

- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối
- Hai đờng tròn cắt nhau

- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài

Số điểm
chung
2

1

Hệ thức liên hệ giữa d
và R
R - r < OO' < R + r

OO' = R + r

+ Tiếp xúc trong

OO' = R - r

- Hai đờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau
4

OO' > R + r

COMPLETED BY BCH SMOTH

4


KIN THC TON 9 ễN THI VO 10

+ (O) đựng (O')

0

OO' < R - r

+ (O) và (O') đồng tâm

OO' = 0

5. Tiếp tuyến của đờng tròn(QUAN TRNG)
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua

tiếp

điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: (QUAN TRNG)
+ Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó.
A
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
(QUAN TRNG)

O

M

MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
B
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng

tròn đó: (QUAN TRNG)
Tiếp tuyến chung ngoài
Tiếp tuyến chung trong
d

d

d'

O
O'

O
O'

A

B

d'
O

6. Góc với đờng tròn(QUAN TRNG)
Loại góc
Hình vẽ
B

1. Góc ở tâm

A

O

Công thức tính số đo
ãAOB = sd ằAB

M

2. Góc nội tiếp
5

5
COMPLETED BY BCH SMOTH


x

A

B

KIN THC TON 9 ễN THI VO 10
ãAMB = 1 sd ằAB
2

O

B
A

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

M
OM

1
ã
xBA
= sd ằAB
2

C

D

C

4. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn

D

ãAMB = 1 ( sd ằAB + sdCD
ằ )
2

O
A
B

5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn

ãAMB = 1 ( sd ằAB sdCD
ằ )
2

Chú ý: Trong một đờng tròn(QUAN TRNG)
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm
cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp
thì chắn nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì
bằng nhau.
7. Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
l=

Rn
180

- Độ dài cung tròn n0 bán kính R :
8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
A

A

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

S=

R 2 n lR
=
360
2

O
O

9. Các loại đờng tròn(QUAN TRNG)
Đờng tròn ngoại tiếp
tam giác
B

C

B

Đờng tròn nội tiếp
tam giác
C

Tâm đờng tròn là giao
của ba đờng trung trực
của tam giác

Tâm đờng tròn là giao của

ba đờng phân giác trong của
tam giác

6

6
COMPLETED BY BCH SMOTH


KIN THC TON 9 ễN THI VO 10

10. Các loại hình không gian.
a. Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2rh
- Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2
- Thể tích hình trụ: V = Sh = r2h
b. Hình nón:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2rl
- Diện tích toàn phần: Stp = 2rl + r2

Trong đó

Trong đó

1
r 2h
- Thể tích hình trụ: V = 3

c. Hình nón cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l

1
h(r12 + r22 + r1 r2 )
3
- Thể tích: V =

d. Hình cầu.
- Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d
4
R3
3
- Thể tích hình cầu: V =

r: bán kính
h: chiều cao

r: bán kính
l: đờng sinh
h: chiều cao

r1: bán kính dáy lớn
r2: bán kính đáy nhỏ
Trong đó l: đờng sinh
h: chiều cao
Trong đó

R: bán kính
d: đờng kính

11. Tứ giác nội tiếp: (QUAN TRNG)
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc
.

7

7
COMPLETED BY BCH SMOTH