Giáo trình phương pháp tính chương 6

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Chương 6

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

6.1 Mở đầu
Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật có phương trình chỉ đạo là (hệ)
phương trình vi phân thường cùng với điều kiện biên và điều kiện ban đầu.
Nghiệm đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rất hạn
chế; đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gần đúng.
Có hai loại bài toán là:
(i)
Bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu, bao gồm
(hệ) phương trình vi phân và điền kiện ban đầu của bài toán.
(ii) Bài toán biên, bao gồm (hệ) phương trình vi phân và điều kiện biên
Để giải gần đúng các bài toán nầy có hai phương pháp là:
(a) Phương pháp giải tích: tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức
như phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard, phương pháp chuổi
nguyên, phương pháp tham số bé,…
(b) Phương pháp số: tìm nghiệm gần đúng bằng số tại các điểm rời rạc;
nó còn chia ra phương pháp một bước (như phương pháp Euler,
Runghe-Kutta,…) và phương pháp đa bước (Adams,…); Với
phương pháp một bước tính nghiệm gần đúng yi thông qua yi-1 còn
với phương pháp đa bước yi tính được thông qua nhiều bước trước
đó: yi-1, yi-2, yi-3,…
6.2 Nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy đối với phương trình vi
phân thường

Giả sử ta cần giải bài toán Cauchy:

y' = f ( x , y )

y( x 0 ) = y 0 

(6.2.1)

Giả sử rằng trong miền ta xét, hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên
tục đến cấp n, khi đó nghiệm cần tìm sẽ có các đạo hàm riêng liên tục đến
cấp n + 1, và do đó ta có thể viết :

∆y 0 = y ( x0 ) − y 0 = ( x − x0 ) y , o +
( x − x0 ) 2
( x − x0 ) n +1 ( n +1)
y"0 +...... +
y 0 + θ ( x − x0
2!
(n + 1)!

n +1

) (6.2.2)

Ký hiệu x - x0 = h, với h đủ bé ta có thể bỏ qua 0(|x – x0|n+1).
θ ( x − x 0 ) n+1

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 33

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Từ (6.2.2) ta có: ∆y0 = y(x0+h) - y0 + hy’0 +
h n +1
h2
( n +1)
y0
y"0 +.......... +
(6.2.3)
(n + 1)!
2!
Để tính (6.2.3) ta lần lượt tính từ (6.2.1):
∂f 0
∂f
+ f0 0 ,
y’0 = f(x0,y0) = f0 , y”0 =
∂y
∂x
m

n
 ∂
∂mu
∂ 
K K
+ f  u = ∑ C m f

Nói chung ta có: 
x
∂x m −K ∂y K
∂
∂y 
K =0

n
hK
(K)
Vậy ta tính được: y(x) ≅ ∑ y (x 0 )
K!
K =0

Trong thực tế cách tính nầy ít dùng vì cồng kềnh; ta sẽ xét các phương
pháp giải khác đơn giản hơn.
6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica
Một trong những phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình vi
phân (6.2.1) là phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica.
Mục đích của phương pháp này là xây dựng nghiệm cần tìm là y= y(x)
Từ (6.2.1) ta có:

x

x

x0

x0

x

∫ dy = ∫ f ( t, y )dt

⇒ y(x ) − y(x 0 ) = ∫ f ( t , y )dt
x0

x

y( x ) = y 0 + ∫ f ( t , y)dt

Hay:

(6.2.4)

x0

∂f
< K.
∂y
Để tìm xấp xỉ liên tiếp, trong (6.2.4) thay y bằng y0, ta có xấp xỉ thứ

Giả sử f(x,y) là hàm liên tục theo x,y và

nhất:

x

y1 = y 0 + ∫ f ( t , y 0 )dt ,
x0

x

Tương tự có xấp xỉ thứ hai:

y 2 = y 0 + ∫ f ( t , y1 )dt
x0

x

Tổng quát, ta có:

y n = y 0 + ∫ f ( t , y n −1 )dt , với n = 1,2,3,…
x0

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 34


Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
x

Như vậy ta sẽ có: y( x ) ≈ y n ( x ) = y 0 + ∫ f ( t , y n −1 )dt
x0

lim y n ( x ) = y( x )
n →∞

M (KC) n
, trong đó f (x, y ) = M
Sai số: y n (x ) − y(x ) ≤
K.n!

Với: x − x 0 < a ≤ ∞,
Ta có:

 b
y − y 0 < b ≤ ∞ , thì C = min  a , 
 M

∂f
(i)
> 0 và f(x,y0) > 0 thì: y0 < y1 < y2 < . . . < yn < y(x)
∂y
∂f
(ii)
> 0 và f(x,y0) < 0 thì: y0 > y1 > y2 > . . . > yn > y(x)
∂y
Trong hai trường hợp nầy ta có dãy xấp xỉ 1 phía.
∂f
< 0 các xấp xỉ Pica lập thành các xấp xỉ 2 phía.
(iii)
∂y

6.2.2 Phương pháp Euler
y

y=f(x)

A3

A2

`

A1

Ao

xo

O

x1

x2

x

x3

Trước hết chia đọan [xo, X] thành n đọan nhỏ:
xi=xo+ih,
với i = 0,1,2,....,n

h=

(X − x o )
n

Đi xây dựng công thức, dùng khai triển Taylor hàm y=f(x) tại xi ta có:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 35


Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

y(x) = y(x i ) + y′(x i ).(x - x i ) +

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

y′′(ci )
( x − xi ) 2
2!

Với: ci = xi + θ(x - xi), 0 < θ < 1
Thay x = xi+1 = xi + h, và y’(xi) = f(xi,y(xi))
Ta có:

y(x i +1 ) = y(x i ) + h.f(xi , y(x i )) + h 2 .

y′′(c i )
2!

Khi bước chia h khá bé, số hạng cuối ≅ 0, khi thay y(xi) bằng ui ta được:
ui+1 = ui + hi.f(xi,ui)

Biểu thức nầy cho phép tính ui+1 khi biết ui, với điều kiện ban đầu được cho
là: uo = η
Đánh giá sai số:
Định lý: Gỉa sử

∂f
≤ L và y '' ≤ K , trong đó L, K là những hằng số, khi
∂y

đó phương pháp Euler hội tụ và sai số là ei = ui - y(xi) có đánh giá:

e i = u i − y ( x i ) ≤ M ( e 0 + αh )
M = e L ( x −x ) , α =
i

0

K
2

6.2.3 Phương pháp Runghe - Kutta bậc 4
Xét phương trình vi phân:
u’ = f(x , u)

k 1 = h.f (x i , u i )
k = h.f (x + 0.5h , u + 0.5k )
 2
1
i
i

1

⇒ ui +1 = ui + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
6
k 3 = h.f (x i + 0.5h , u i + 0.5k 2 )
k 4 = h.f (x i + h , u i + k 3 )
u i − Y ( x i ) = 0( h 4 )
Với sai số:
6.2.4 Phương pháp Adam
Giả sử cần giải phương trình vi phân:
Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x0) = y0
Cho biến số thay đổi bởi bước h nào đó; xuất phát từ điều kiện ban
đầu Y(x0) = Y0 bằng phương pháp nào đó (ví dụ: phương pháp RungheKutta bậc 4), ta tìm được 3 giá trị tiếp theo của hàm cần tìm y(x): Y1 =
Y(x1) = Y(x0+h), Y2 = Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h) .
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 36


Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

q2, q3.

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Nhờ các giá trị x0 , x1 , x2 , x3 và Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính được q0, q1,

Trong đó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2),
q3 = h.f(x3 , y3), sau đó ta lập bảng sai phân hữu hạn của các đại lượng y và q
x

xo

y
yo

x1

y1

∆y
∆yo

q
qo

∆q0

q1
∆y1

x2

∆q

y2

∆q1
q2

∆y2

x3
y3
--------- --------- -----------

∆q2
q3
--------- ----------

∆2q

∆3q

∆2q0

-------

∆3q0

∆2q1

---------------

---------

---------

-------------

Biết các số ở đường chéo dưới, ta tìm ∆y3 theo công thức Adam như sau:

1
5
3
∆y 3 = q 3 + .∆q 2 + .∆2 q 1 + .∆3 .q 0
2
12
8
Tiếp đó ta có:
Y4 = Y3 + ∆Y3 → q4 = h.f(x4, Y4)
Sau đó viết đường chéo tiếp theo như sau:
∆q3 = q4 - q3 , ∆2q2= ∆q3 - ∆q2 , ∆3q1 = ∆2.q2 - ∆2.q
Đường chéo mới cho phép ta tính ∆Y4 :
∆Y4 = q4 + 1/2∆q3 + 5/12∆2q2 + 3/8∆3q1
Vì vậy ta có: Y5 = Y4 + ∆Y4 . . . . .

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 37