CHỦ điểm số NGUYÊN tố

CHỦ ĐIỂM:
SỐ NGUYÊN TỐ


Lê Phương Thảo
DANH
SÁCH
NHÓM 1

Lê Thị Như
Ngô Thị Loan
Trần Thị Thanh Tình


Bài toán số 1: Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a+1 là
lập phương của một số nguyên tố.
PHÂN TÍCH:
 Cần chú ý rằng mỗi số nguyên tố chỉ có ước là 1 và
chính nó.
 Mặt khác, mọi số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ.
Ta có lời giải sau:


Bài toán số 1: Tìm số nguyên tố a biết rằng 2a+1 là
lập phương của một số nguyên tố.
•

LỜI GIẢI:
• Với , ta có , không thích hợp.
• Với , do a là số nguyên tố nên a lẻ.
Vậy là lập phương của một số lẻ nghĩa là

Từ đó k là ước của a. Do a là số nguyên tố nên hoặc
• Nếu
• Nếu
Không có số nguyên tố a nào thỏa mãn phương trình này vì vế phải luôn lớn hơn 1.
Kết luận


Bài toán số 2: Tìm các số nguyên tố a, b, c thỏa
mãn điều kiện:
•PHÂN TÍCH:
 Căn cứ vào tính chất nếu p là số nguyên tố thì
 Từ chỗ abc chia hết cho 3 ta có ít nhất một trong
ba thữa số đó chia hết cho 3.
Ta có lời giải sau:


Bài toán số 2: Tìm các số nguyên tố a, b, c thỏa
mãn điều kiện:
LỜI
• GIẢI:
Từ suy ra a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3 hoặc c chia hết cho 3,
giả sử a chia hết cho 3, vì a là số nguyên tố nên
Vậy

Do b và c là các số nguyên tố nên
. Vậy ta có các trường hợp sau:


Bài toán số 2: Tìm các số nguyên tố a, b, c thỏa

mãn điều kiện:
Hoặc
•

Hoặc

Hoặc

b

b

Kết luận: Các số phải tìm là: (3;3;3), (3;2;5), (3;5;2), (5;3;2),
(5;2;3), (2;3;5), (2;5;3).


Bài toán số 3: Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng với
mọi số nguyên m>1, ta có:
A = (m+1)(m+2)...(pm-1)(pm)
Chia hết cho pm mà không chia hết cho pm+1
PHÂN TÍCH:

 Vì p là số nguyên tố nên để chứng minh A chia hết cho pm
cần chỉ ra A chứa n (n>m) thừa số p.
 Mặt khác, từ số 1 đến số (pm) có pm số tự nhiên liên tiếp,
mà cứ p số (kể từ số 1) lại có một bội của p vì vậy ta sẽ cố
gắng làm xuất hiện tích của (pm) số tự nhiên liên tiếp tính từ
số 1.

Bài toán số 3: Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng với
mọi số nguyên m>1, ta có:
A = (m+1)(m+2)...(pm-1)(pm)
Chia hết cho pm mà không chia hết cho pm+1
LỜI GIẢI:
A=
Nhóm tất cả cá bội của p ta có:
A=
=
= pm.1.2....(p - 1).(p +1)....(mp -1)
Vậy A chia hết cho pm
Cần chú ý rằng trong tích 1.2....(p – 1).(p + 1)...(mp – 1) không có thừa
số nào chia hết cho p và tất cả các bội của p đã bị nhóm lại rồi, do p là số
nguyên tố nên tích 1.2...(p – 1).(p + 1)....(mp – 1) không chia hết cho p.
Vậy A không chia hết cho pm+1.


Bài toán số 4: Cho p là số lớn hơn 3 sao cho 4p + 1
cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 4p – 1 là hợp số
PHÂN TÍCH:

Ta có 4p – 1 , 4p , 4p + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên ta
có hướng chứng minh 4p – 1 là hợp số nhờ tính chất chia
hết cho 3 .


Bài toán số 4: Cho p là số lớn hơn 3 sao cho 4p + 1
cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 4p – 1 là hợp số
LỜI GIẢI:
 Vì p > 3 và p là số nguyên tố nên (p,3) = 1 , mặt khác

4p + 1 cũng là số nguyên tố nên ta có được 4p và 4p
+ 1 không chia hết cho 3 .
 Vậy trong ba số nguyên liên tiếp 4p - 1, 4p, 4p +1 , ta
có 4p - 1 chia hết cho 3 .
 Do p > 3 nên 4p - 1 > 3.
 Từ đó suy ra 4p - 1 là hợp số .


Bài toán số 5:Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và
p+ 4 cũng là số nguyên tố.
PHÂN TÍCH:

Ta có thể tìm p nhờ xác định dư trong phép chia p
cho một số nào đó , chẳng hạn cho 3.


Bài toán số 5:Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và
p+ 4 cũng là số nguyên tố.
LỜI GIẢI:
 Vì p là số nguyên tố và p+ 2 , p+ 4 cũng là số nguyên tố không thỏa mãn
với p = 2 nên xét với p>2 .
 Với p >2 , p có thể rơi vào một trong 3 khả năng :
 Hoặc p = 3k ;hoặc p = 3k + 1 ; hoặc p = 3k +2 .(k>0)
 Không xảy ra với p = 3k +1 vì nếu vậy p + 2 = 3(k+1) chia hết cho 3 lớn
hơn 3 nên là hợp số .
 Không xảy ra p = 3k + 2 vì nếu vậy p + 4 = 3(k+2) là hợp số (vì lớn hơn
3 và chia hết cho 3).
 Vậy p = 3k . Do p là số nguyên tố nên p =3.