đạo hàm

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý
NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1


I-Đạo hàm tại một điểm
1-Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm:
1.Bài toán vận tốc tức thời:
1-Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga.Quãng đường
s(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của th ời gian t(phút). Ở nh ững
2
phút đầu tiên, hàm số đó là s=t .


Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t;t0] với t0=3và
t=2; t=2,5; t=2,9; t=2,99
Nêu nhận xét về các kết quả thu được khi t càng gần t0=3
Giải:
Xem quãng đường là một hàm số theo th ời gian t
Quãng đường đi được sau thời gian t: s=s(t)
Quãng đường đi được sau thời gian t0:s0=s(t0)

3


•

Ta có:vận tốc trung bình trong khoảng thời gian |t-t0| là :

s − s0

*Nếu t càng gần t0 thì vận tốc trung bình càng gầt
n vậ−
n tốcttức thời tại t0
0
**Giới hạn hữu hạn (nếu có)
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0

s (t ) − s (t0 )
lim
t − >t 0
t − t0
4


•
•
•
•

2.Bài toán tìm cường độ tức thời:
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời gian t:Q=Q(t)
Ta có cường độ trung bình trong khoảng thời gian |t-t0|:

*Nếu t càng gần t0 thì cường độ dòng điện trung bình càng gần cường độ
tức thời của dòng điện tại t0

Q(t ) − Q(t 0 )
I tb =
t − t0

5


•

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

Q(t ) − Q(t 0 )
lim
t − >t0
t − t0

được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0
*Nhận xét:

Việc tìm giới hạn
f ( x) − f ( x0 )
lim
x − > x0
x − x0

trong đó y=f(x)
dẫn tới khái niệm:
ĐẠO HÀM
6


2. Định nghĩa đạo hàm tại
một điểm

•

Cho y=f(x) xác định trên (a;b) và x 0thuộc (a;b).

Trong to¸n häc nÕu giíi h¹n
f ( x ) − f ( x0 )
lim
tån t¹i
x → x0
x − x0
th× gäi lµ ®¹o hµm
Ký hiệu:f’(x0) hoặc y’(x0)

cña hs y = f ( x ) t¹i x 0 .

7


•

Tức là:

f ( x ) − f ( x0 )
f '( x 0 ) = lim
x → x0
x − x0
∆y
Hay: f '( x 0 ) = lim
∆x → 0 ∆x
víi ∆x = x − x0 (sè gia ®èi sè)

∆y = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
(sè gia hµm sè)

8




3.Cỏc bc tớnh o hm bng nh ngha:

+B1: Giả sử x là số gia đối số
tại x0. Tính y=f(x0+x)-f(x0).
+B2: Lập tỷ số y
+B3: Tìm

x

Từ định nghĩa cho
biết các bớc tính
đạo hàm?

y
lim
x 0 x

9


• Ví dụ1:
• Tính đạo hàm của f(x)=1/x tại x0 =2

• Giải:
• +Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0=2
∀ ∆y=f(x0+ ∆x )-f(x0)=
• + Ta có:
∆x
−

2(2 + ∆x)

∆y
1
=-1/4
=−
∆x
2(2 + ∆x)
Vậy:f’(2)=-1/4
•
∆y
lim
∆x − > 0 ∆x
+

10


2
VD2: T×m đạo hàm cña hµm sè y=x +x t¹i x0=1.
Giải:
+Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0=1

∀ ∆y=f(x0+ ∆x )-f(x0)=3.

+

2

+ Ta có:

+

•

∆y=3
=∆x
∆x

∆x

∆x

∆y
lim
∆x − > 0 ∆x

Vậy:f’(1)=3

11


•

4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số:

§Þnh lý:
NÕu ∃ f’(x0) ⇒ y=f(x) liªn tôc t¹i x0
Tõ ®Þnh lý ta cã nhËn xÐt:
• y=f(x) gi¸n ®o¹n t¹i x0 ⇒ ∃f '( x 0 )


• y=f(x) liªn tôc t¹i x0 ⇒
f '( sè
x 0cã
) ®¹o
NÕu∃hµm
hµm t¹i x0 th× nã cã
liªn tôc t¹i x0?
12


•

Chẳng hạn:

− x
f(x)= 
x
•

2

nếu x ≥ 0
nếu x <0

liên tục tại x=0 nhưng không có đ ạo hàm tạị đó
Nhận xét: đồ thị là đường liền

y

nhưng “gãy” tại 0

O

x

y=x
y= -x

13

2


CỦNG CỐ
•
•
•

Xem lại bài học
Làm bài tập sách giáo khoa
Xem trước phần tiếp theo

14