Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi : Giải toán trên máy tính Casio

Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

B. nội dung
Phần I: Hướng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS

A/.máy tính casio Fx:500 MS
I/ Các phím và cách bấm máy sử dụng chung cho cả máy Fx:500 MS và Fx:570 MS

:
1) Các loại phím:
+ Phím trắng: Bấm trực tiếp ( ví dụ: 5 ta ấn

5= 5 )

+ Phím vàng: Bấm SHIFT + Phím vàng (Ví Dụ: 4 81 , ta bấm 4 SHIFT

x

81 = 4 81 )

+ Phím đỏ: Bấm ALPHA + Phím đỏ (ví dụ: A, ta bấm ALPHA A
2) Mở tắt máy:
+ Mở máy: Bấm ON
+ Tắt máy: Bấm

SHIFT + OFF

+ Xoá màn hình khi làm tính :

- Bấm

AC

- Bấm SHIFT CLR 2 =
- Bấm SHIFT CLR 3 =
+ Để kiểm tra lỗi ta dùng các phím
+ Để sữa lỗi: - Dùng phím

>< di chuyển.

- Bấm phím DEL xoá ký tự đang nhấp nháy
- Bấm phím SHIFT + IN S chèn ký tự đánh sót
II/ .máy tính casio Fx:500 MS:
*) Chế độ Mode: Nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo,dạng số
biểu diễn kết quả, chữ số có nghĩa,sai số làm tròn...phù hợp với giã thiết của bài toán
−hinh

→
a) Bấm Mode ( 1 lần) man

COMP SD REG
1
2 3
1


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
+ Bấm Mode 1 → Làm các phép tính thường

+ Bấm Mode 2 → Làm thống kê một biến
+ Bấm Mode

→ Làm thống kê hai biến

−hinh

→
b) Bấm Mode Mode( 2 lần) man

EQR
1

+ Bấm Mode Mode 1 man
−hinh

→ UNKNO S

( giải phương trình )

( ẩn )

- Bấm tiếp 2 → Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bấm tiếp 3 → Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
+ Bấm Mode Mode 1



man
−hinh

→ Degree (bậc)

- Bấm tiếp 2 → Giải phương trình bậc hai một ẩn
- Bấm tiếp 3 → Giải phương trình bậc ba một ẩn
c) Bấm Mode Mode Mode ( 3 lần)

man
−hinh

→

Deg Ded Gra
1
2
3

+ Bấm Mode Mode Mode 1 → Chọn đơn vị đo góc là độ
+ Bấm Mode Mode Mode 2 → Chọn đơn vị đo góc là rađian
+ Bấm Mode Mode Mode 1 → Chọn đơn vị đo góc là grad
d) Bấm Mode Mode Mode Mode ( 4 lần)

man
−hinh

→

Fix Sci Norm
1 2
3

+ Bấm Mode Mode Mode Mode 1 → Có chọn số số lẻ thập phân

+ Bấm Mode Mode Mode Mode 2 → Có chọn hiện số dạng : a.10 n
+ Bấm Mode Mode Mode Mode 3 → Có chọn số dạng thường
e) Bấm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lần)
man
−hinh

→

Disp
−hinh

→
Bấm tiếp 1 man
1

ab / c d / c
1
2

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 → kết quả dưới dạng hổn số
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 → kết quả dưới dạng phân số

2


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
−hinh

→
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1  man

Dot Comma
1
2

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1  1
→ Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (.)

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1  1
→ Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (,)

III/. Cách làm một bài thi “ Giải toán trên máy tính casio"
*Quy định:
1. Yêu cầu các em dự thi chỉ dùng máy Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio
fx 500 ES, Casio fx 570 ES để giải.
2. Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phảiviết đủ 10 chử số
hiện trên màn hình máy tính.
3. Trình bày bài giải theo các bước sau :
- Sơ lược lời giải ( lời giải vắn tắt)
- Thay số vào công thức (nếu có)
- Viết quy trình ấn phím
- Kết quả
*Nhận xét : Qua các đề thi tỉnh, khu vực tổ chức các năm gần đây. Chúng ta có thể nhìn
đề thi ‘ Giải toán trên máy tính Casio theo các định hướng sau đây :
1. Bài thi học sinh giỏi" Giải toán trên máy tính Casio " phải là một bài thi Học
sinh giỏi toán có sự trợ giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học
hoặc tăng tốc độ tính toán.
2. Đằng sau các bài toán Giải trên máy tính Casio ẩn chứa những định lý, thuật
toán, thậm chí cả một lý thuyết toán học ( số học, dãy tru hồi...)
`

3. Phát huy được vai trò tích cực của toán học và máy tính trong giải các bài toán
thực tế

3


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

Phần II: Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay
I/. Một số dạng toán xác định số (số học):

1/ . Loại 1. Tính chính xác kết quả phép tính :
.Phương pháp: Dựa vào các tính chất sau:
1) Số a1a 2 a3 a 4 ...a7 a8 = a1a 2 a3 a 4 . 10 4 + a5 a6 a7 a8
2) Tính chất của phép nhân: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC +
BD
3) Kết hợp tính trên máy và làm trên giấy.
.Mục tiêu: Chia số lớn thành nhữngsố nhỏmà không tràn màn hình khi thực hiện trên
máy
ví dụ1: tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 1234567892
d) Tính chính xác của số: C = 10234563
Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375
= 12578.103.14375 + 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000
+

13843125
= 180822593125
Vậy A = 12578963 x 14375 = 180822593125
b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892
Tính trên máy:
123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521
Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
= 15239902500000000
+
1676204100000
46090521
= 15241578750190521
3
d) C = 1023456 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
Tính trên máy:
10233
= 1070599167;
3.10232.456 = 1431651672
3.1023.4562 = 638155584;
4563
= 94818816
Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000
1431651672000000
4


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

+

638155584000
94818816
= 1072031456922402816

Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Tính kết quả đúng của các tích sau:

a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630
b) N = 401481484254012

Bài 2: Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432
Bài 3: Tính chính xác tổng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16!
* Hướng dẫn: Ta có n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n!
* Đáp số:
S = 355687428095999
Bài 4: a) Tính bằng máy tính: Q = 1 + 2 2 + 3 + . . . + 10 2 .
b) Có thể dùng kết quả đó để tính tổng : K = 2 2 +.4 2 + 6 2 + ... + .20 2 mà không dùng
máy tính .hãy trình bày lời giải ấy.
Đáp số: a) Q = 385; b) K = 1540
2

2

 1012 + 2 
Bài 5: Tính chính xác của số A = 


 3 
10k + 2
Nhận xét:
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
3
2

 10k + 2 

 là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6
 3 

* Ta dễ dàng CM được và tính được kết quả là: A = 111111111111555555555556

2/. loại

2: Tìm số dư của phép chia của số a cho số b

* Phương pháp:
1/. Đối với số bị chia tối đa có 10 chữ số:
 A

 A

Thì số dư của A: B = A - B.   (trong đó   là phần nguyên của A cho
B
B
2/. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:
Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số

ta ngắt ra thành hai nhóm. Nhóm đầu 9 chữ
số đầu( kể từ bê trái). tìm được số dư như phần 1). Rồi viết tiếp sau số dư còn lại tối đa 9
chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì làm liên tiếp như vậy.
*Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ≠ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số
nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0 ≤ r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b:
a SHIFT STO A
b SHIFT STO B
a

a

ALPHA A ÷ ALPHA B = (   ) Χ ALPHA B - ALPHA B Χ   =(Kquả: r =...)
b 
b 
5


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

Ví dụ1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975 Tính số
dư
b) Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B
ANPHA A ÷ ANPHA B =
(6,213716089)
SHIFT

A

- 6 ×

B

=

(650119)

Vậy số dư là: r = 650119
b) Ta phân tích: 8 = 88.87 Ta có: 88 ≡ 1732(mod2004)
87 ≡ 968(mod2004)
⇒ 815 ≡ 1732 x 968 (mod2004) ≡ 1232(mod2004)
Vậy số dư là: r = 1232
15

Bài tập áp dụng:

Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047.
b) Tìm số dư đó.Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789

3/.

Đáp số:

r=9

loại 3: Tìm UCLN – BCNN của a và b:
*Phương pháp:

1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số
a a , .m a ,
=
=
b b , .m b ,

Trong đó (a , ; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m

2. Với các số a và b lớn hơn 10 chữ số thì ta dùng thuật toán ƠLE:
Tìm UCLN(a;b) với a 〉 b ta có thuật toán sau :
a = b.q 1 + r1
b = r1 .q 2 + r2
r1 = r2 q3 + r3
.
.rn − 2 = rn −1 q n + rn
rn −1 = rn q n +1 + 0

Số dư cuối cùng khác 0 là r n chính là UCLN (a;b) hay : r n = UCLN (a;b)
* Chú ý:

a.b

BCNN(a;b) = UCLN (a; b)
6


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

Ví dụ 1:

Tìm UCLN của hai số: a = 24614205, b = 10719433
Giải:

a a , .m a ,
*C 1: +) Ta có: = , = ,
b b .m b

Trong đó (a , ; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m

+) Quy trình ấm máy:
24614205 SHIFT STO A
ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)
Vậy UCLN(a;b) = 21311
*C 2:
+)Theo thuật toán Ơle tìm số dư trong phép chia số a cho b ta được:
+) quy trình ấm máyliên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm được và kết quả UCLN(a,
b) = 21311)

3. Xác định số ước số của một số tự nhiên n
*:Định lí : Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:
n = p1e1 p2e2 ... pkek ,

với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó số ước số của n được tính theo công thức:
τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)
Ví dụ2:

Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800.

Giải:
Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được:
A = 210.35.52.7.11.13
áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là:
τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
Vậy số các ước dương của số A = 6227020800 là: 1584
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của:
a = 75125232 và b = 175429800
Đáp số: UCLN(a, b) =
; BCNN(a, b) =
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Đáp số: 46080

7


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

4/.

loại 4: Tìm chữ số x của số n =

a n a n -1 ...xa 1 a 0 M m

với m

∈

N

* Phương pháp: 1) Dựa vào các dấu hiệu chia hết của 2,3,4,5,6,7,8,9,11...
2) Thay x lần lượt từ 0 đến 9 sao cho n Mm
Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết
cho 7
*Sơ lược lời giải:
- Số lớn nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 sẽ là: 19293z 4 .
Lần lượt thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta được số lớn nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là:
1929354 ,thương là 275622
- Số nhỏ nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 sẽ là: 10203z 4 .
Lần lượt thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta được số nhỏ nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là:
1020334 , thương là 145762
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số n dạng: N = 1235679 x 4 y chia hết cho 24.
*Sơ lược lời giải:
Vì N M24 ⇒ N M3 ; N M8 ⇒ (37 + x + y) M3 ; x 4 y M8.
⇒ y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) M3 và x 4 y M8, ta có:
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng: 1x 2 y3z 4 chia hết cho 13.
Số 2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 25
Số 3: Tìm chữ số a biết rằng 46928381a6506 chia hết cho 2009
Số 4: Tìm chữ số x biết rằng 469x838196506 chia hết cho 2009

8


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

* loại 4: Tìm chữ số tận cùng của số n = a n a n -1 ...xa 1 a 0 với n ∈ N

. Phương pháp: (Vận dụng các tính chất sau)
1) Những số có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào cũng có
chữ số tận cùng là: 0;1;5;6
2) Những số cố chữ số tận cùng là: 2;4;6 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 6
3) Những số cố chữ số tận cùng là: 3;7;9 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 1
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
5) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích đó có chữ số tận cùng là: 0
6) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 và nhân với số lẻ thì tích đó có chữ
số tận cùng là: 5
7) Số chính phương chỉ chứa các số tận cùng là: 0;1;4;5;6;9
8) Tìm 2 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số dư khi chia số đó cho 10 (hoặc bội của
10 bé hơn 100)
9) Tìm 3 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số dư khi chia số đó cho 100 (hoặc bội
của 100 bé hơn 1000)
10)
Thử trên máy lần lượt các số thoả mãn điều kiện bài toán thì ta chọn
10 Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
12) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những
số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
13) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ
những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số: a) 9 9 và b) 14 14
*Sơ lược lời giải::
a) Ta thấy 9 9 là số lẻ nên 9 9 = 2.k + 1 ⇒ 9 9 = 9 2.k +1 nên tận cùng là số 9

b) ta thấy 14 14 chẳn nên 14 14 =2.k ⇒ 14 14 =14 2.k =196 k nên chữ số tận cùng là số: 6
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số: 14 14
*Sơ lược lời giải:
Ta có: 7 4 - 1 = 2400 ⇒ 7 4.k - 1 M100 ⇒ 7 14 - 1 M100 ⇒ 7 14 có 2 chữ số là : 01
Mặt khác : 14 14 = 2 14 .7 14
Nhưng: 2 14 : 20 dư 4 (vì : 2 12 - 1 = { (2 4 ) 3 - 1 } : (2 4 - 1) =15; ⇒ 4.(2 12 - 1 ): 20 )
Và : 7 14 : 20 dư 9 ( vì :7 4.k - 1 : 100 ⇒ 7 12 -1 : 100 ⇒ 7 12 : 20 dư 1 ⇒ 7 14 : 20 dư 9 )
Vậy : 14 14 : 20 dư 4.9 = 36 ⇒ 14 14 : 20 dư 10 ⇒ 14 14 có 2 chữ số tận cùng là:16
Ví dụ 3: Tìm Các số x ; y sao cho xxxxx : yyyy có thương là 16 dư r.
Còn xxxx : yyy có thương là 16 dư r -2000
*Sơ lược lời giải:
Theo bài ra ta có: xxxxx = 16. yyyy + r (1)
( 2)
xxxx = 16 . yyy + r - 2000
9

14

9

14

14

14

14

9

Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
Lấy (1) trừ ( 2) ta được : x0000 = 16. y 000 + 2000
⇔ 10.x = 16.y + 2
5x − 1
⇔ 5.x = 8.y + 1 ⇒ y =
( vì x; y ∈ Z ; 0  x;y ≤ 9 )
8
⇒ x = 5: y = 3

Ví dụ 4: Tìm các số khi bình phương sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số
khi bình phương có tận cùng là bốn chữ số 4 ?
*Sơ lược lời giải:
Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình
phương của số:
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
ta chỉ có các số:12, 62, 38, 88 khi bình phương lên có tận cùng là hai chữ số 4. Tính trên
máy bình phương của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta được: 462, 962, 38, 538 khi bình phương có tận cùng là 444.
* Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: không có số N nào để N 2 kết thúc bởi bốn
chữ số tận cùng là : 4444.
Bài tập áp dụng:

Bài 5: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:
1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị

2) Là số chính phương.
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393
cũng như 655 đều có số dư là 210.
Bài 7: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.
Bài 8: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất sau:
1) Viết dưới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trước các chữ số còn lại sẽ được
một số gấp 4 lần chữ số ban đầu.
Bài 9: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
Bài 10: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n 3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối
đều là số 1.
Bài 11: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể
khác nhau).
Bài 12: Với giá trị tự nhiên nào của n thì:
1,01n - 1 < (n - 1) và 1,01n > n.
10


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

Bài 13:

Tìm tất cả các số tự nhiên: x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 Sao cho x1 x 2 ...x8 = ( x1 x 2 )

4

Đáp số – Hướng dẫn lời giải:

Bài 1: Đáp số: - Số lớn nhất là 129304; - Số nhỏ nhất là 1020344
Số 2: Đáp số: - Số lớn nhất là 2939475; - Số nhỏ nhất là: 1030425
Số 3: Đáp số: a =
Số 4: Đáp số: x =
Bài 5: *Sơ lược lời giải:: Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6 .
- Đặt x = a1a2 a3 . Khi ấy a4 a5 a6 = x + 1 và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế
trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 6: *Sơ lược lời giải:
Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 393
x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hết cho 655
⇒ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 7:
*Sơ lược lời giải: Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số
x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
⇒ 30 + xyz chia hết cho 315. Vì 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các
bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):
- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285

- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600
- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915
Vậy ta có đáp số sau:
x y z
2 8 5
6 0 0
9 1 5
11


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

Bài 8: *Sơ lược lời giải:
- Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số.
- Từ điều kiện 1) số đó dạng: a1a2 ...an 6
- Từ điều kiện 2), ta có: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6
(*)
- Đặt a = a1a2 ...an , thì: a1a2 ...an 6 = 10a + 6
6a1a2 ...an = 6.10n + a
- Khi đó (*) trở thành:
6.10n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**)
Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13.
Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra
số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần lượt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lượt là:
6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996.
Khi đó a = 15384 ⇒ Số cần tìm là: 153846.
Bài 9: *Sơ lược lời giải::
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1, 2,...

ta được n =
0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Chứng minh với mọi n ≥ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:
(2n + 7) M(n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] M(n + 1) ⇒ 5 M(n + 1) ⇒ n ≤ 5.
Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) Tương tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 10: *Sơ lược lời giải::
Nhận xét: 1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:11, 21,
31,...81, 91 được duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11.
2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471.
(Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 )
3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471.
(Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k ∈Z+, thì:
111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
< 111 ...
{
{ 1111 < 112 000...00
{ )
14 2 43 0000
14 2 43 0000
( 111000...00
4
m =3 k
4
3k
3k

⇒ 3 1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10k +1

Tính trên máy:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do đó, với k ≥ 1. Cho k = 1 ta được n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là:
n = 103...8471
⇒ Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta được các số này đều vượt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
12


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111
Bài 11: *Sơ lược lời giải::
a) Trước hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89:
- Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7.
- Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm được:
để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19:
- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:
19 x 10k ≤ n2 < 20 x 10k ⇔ 19.10k ≤ n < 20.10k (1)
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
19.10m ≤ n < 20.10m

⇔ 4,3588989.10m ≤ n < 4,472135955.10m (2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta được n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
190.10m ≤ n < 200.10m

⇔ 13,78404875.10m ≤ n < 14,14213562.10m (3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta được n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414
Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán.
b) Ta có:
2525 x 108 ≤ x2 < 2526 x 108
⇔ 50,24937811 x 104 ≤ x < 50,25932749 x 104
Vậy : 502493 < x < 502593
Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là:
502517, 502533, 502567, 502583.
Bài 12:*Sơ lược lời giải:
Ta có:
1,01512 ≈ 163,133... < 512
1,011024 ≈ 26612,56.. > 1024
Vậy: 512 < n < 1024
Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phương pháp chia đôi:
521+1024

- Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có: 1, 01 2 = 1, 01768 = 2083, 603... > 768
Vậy lại có: 512 < n < 768
Sau một số bước chia đôi như thế đi đến: 650 < n < 652
Cuối cùng ta có:
1,01651 = 650,45... < 651
1,01652 = 656,95.. > 652
⇒ n = 652
* Quy trình trên MT Casio fx: 500 MS

(Thuật toán: Xét hiệu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,...
13


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+))
- Gán cho ô nhớ A giá trị tự nhiên đầu tiên:
0 SHIFT STO A
- Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp:
1,01 ∧ ANPHA A - ANPHA A
:

ANPHA

A

ANPHA

=

ANPHA

A

+ 1

- Lặp lại công thức trên:
= ... =
Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652.

Bài 13:*Sơ lược lời giải:
Ta có: 10.000.000 ≤ x1 x 2 ...x8 = ( x1 x 2 ) 4 ≤ 99999999
⇔ 57 ≤ x6 x8 ≤ 99
Ta ghi lên mà hình ( 57 ) 4 = 10556001 không thoả mãn ở vị trí x 6 ; x 8
Dùng phím 〈 để sửa và thử các số từ 57; 58; ...;98; 99. ta được 3 số : 65; 86; 91
Vậy ta có 3 bộ số x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 là : 65 4 = 17850625 ; 86 4 = 54700816 ; 91 4 = 68574961
II. đa thức:

* Kiến thức bổ sung:
1) Cho đa thức P (x) bậc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*)
Trong đó: an ; an-1 ; ...a1; a0 ∈ /R ; an ≠ 0
Khi đó: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gọi các hệ số
N ếu x0 mà P(x0) = 0 thì x0 là nghiệm của P(x)
2) Khi chia đa thức P (x) cho (x - α ) luôn tồn tại một đa thức thương Q(x) và số dư
r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (x - α ) + r
* Chú ý: (Định lý Bezout)
1) N ếu x = α là nghiệm của P(x) ⇔ P(x)M(x - α )
2) Nếu x0 là nghiệm nguyên của P(x) thì x0 ước của a0
3) N ếu tổng các hệ số bằng 0 thì P(x) = 0 có nghiệm là x = 1 ( Hay P(x) M( x - 1) )
4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 có
nghiệm là x = -1 (Hay P(x) M( x + 1) )
* Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biến)
Khi chia đa thức P(x) cho ( x - α ) thương là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1và có số dư
là: r . Khi đó ta có sơ đồ như sau:
an
an-1
an-2
an-3
......

a1
a0
α
bn
bn-1
bn-2
bn-3
.......
b1
r = b0
Trong đó: bn = an
bn-1 = α . bn + an-1
bn-2 = α . bn-1 + an-2
..........................
b1 = α . bn-1 + a1
b0 = α . b1 + a0.
14


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
Khi đó: 1). P ( α ) = b0
2). Nếu P ( α ) = 0 thì P(x) M(x - α )
3). Nếu P (x) ≠ 0 thì P (x) : (x - α ) có số dư là: r = P ( α )

Và có thương là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ...

+ b 2 . x + b1

1/.Loại 1: Tính giá trị của đa P(x,y,) khi x = x0, y = y0;
*Phương pháp:

1). Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả.
2). Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thương và giá trị của đa
thức tại x = α ( r = P( α ) = b0 )
*Trên máy tính: 1). - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M. - Rồi thực hiện quy trình
2). -Tính nhờ vào biến nhớ Ans
3x 5 − 2 x 4 + 3x 2 − x + 1
Ví dụ 1: Tính A =
khi x = 1,8165
4 x 3 − x 2 + 3x + 5

Giải:
*Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
Bấm phím: 1 . 8165 =

( 3 Ans ^ 5 − 2 Ans ^ 4 + 3 Ans x 2 − Ans + 1 ) ÷ ( 4 Ans ^ 3 − Ans x 2 + 3 Ans + 5 ) =

Kết qủa: 1.498465582
*Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
Bấm phím: 1 . 8165 SHIFT STO X

( 3 ALPHA X ^ 5 − 2 ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X x 2 − ALPHA X + 1 ) ÷ ( 4 ALPHA X ^ 3 − ALPHA

Kết qủa: 1.498465582
* Chú ý: Trong các kỳ thi HSG thường vẫn hay có dạng toán này. Đặc biệt các cuộc thi cấp
huyện. Khản năng tính toán dẫn đến sai số thường không nhiều. Nhưng biểu thức quá phức
tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán. Tránh tình trạng phép tính vượt quá giới hạn nhớ của
máy tính. Sẽ dẫn đến kết quả sai ( Kết quả đã quy tròn trên máy tính trong quá trình thực
hiện, có trường hợp kết quả sai hẳn). Do vậy không có điểm trong trường hợp này.
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a. A(x) = x 4 + 5x3 − 3x 2 + x − 1 khi x = 1,23456
b. P(x) = 17x 5 − 5x 4 + 8x 3 + 13x 2 − 11x − 357 khi x = 2,18567

2/.Loại 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhi thức ax + b
*Phương pháp: Khi chia đa thức P (x) cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thương Q(x)
và số dư r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) + r
⇒

b
a

P(- ) = r
b
a

Vậy số dư trong phép chia P (x) cho (ax + b) là r = P(- )
15


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
x14 − x 9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia: P=
x − 1,624

Đặt

Giải:
Q(x) = x14 − x 9 − x 5 + x 4 + x2 + x − 723

Khi đó số dư trong phép chia: P=

x14 − x9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
là Q(1,624)
x − 1,624

*Qui trình bấm máy (fx-500MS và fx-570 MS)
1 . 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14 − ALPHA X ^ 9 − ALPHA X ^ 5 + ALPHA X ^ 4 + ALPHA X ^ 2 + ALPHA X − 72

Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập áp dụng:

Bài 1:
Bài 2:

x 5 − 6, 723x 3 + 1,857x 2 − 6,458x + 4,319
Tìm số dư trong phép chia
x + 2,318
4
4
2
Cho P( x ) = x + 5x − 4x + 3x − 50 .

a) Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3.
b) Tìm BCNN(r1,r2)?

3/.Loại 3: xác định tham số m để đa thức P(x)+m chia hết cho nhi thức
a.x+ b

*Phương pháp: Khi chia đa thức P (x) + m cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thương
Q(x) và số dư r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) +m + r
Để P (x) + m chia hết cho (ax + b) thì: m +r = 0 ⇔ m =- r
⇔ m =- P(-

b
)
a

Ví dụ 1: Tìm a để đa thức A(x) = x 4 + 7x3 + 2x 2 + 13x + a chia hết cho x+6.
Giải: *Sơ lược lời giải:
Đặt P(x) = x 4 + 7x3 + 2x 2 + 13x
Khi đó ta có: A(x) = P(x) + a
Mà dư khi chia P(x) cho x+6 là: r = P(-6)
Vậy để A(x) Mx+6 thì r + a = 0 ⇒ a = - r = - P(-6)
*Qui trình bấm máy fx-500MS
(−) 6 SHIFT STO X
(−) ( ALPHA X ^ 4 + 7 ALPHA X x 3 + 2 ALPHA X x 2 + 13 ALPHA X ) =

Kết quả: a = -222
Ví dụ 2: Cho P(x) = 3x + 17x – 625. Tìm m để P(x) + m chia hết cho x + 3 ?
Giải: *Sơ lược lời giải:
Ta có: dư khi chia P(x) cho x + 3 là: r = P(-3) để P(x) + m2 chia hết cho x + 3
3

2

3
Thì: m2 =- P(-3) = - 3 ( −3) + 17 ( −3 ) − 625 => m = ± − 3 ( −3) + 17 ( −3) − 625
*Qui trình bấm máy fx-500MS:

3

16


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
(−) ( 3 ( (−) 3 ) x3 + 17 ( (−) 3 ) − 625 ) =

Kết quả: m = ± 27,51363298

4/. Loại 4: Tìm thương và số dư khi chia đa thức cho đơn thức:
*Phương pháp: Sử dụng sơ đồ Horner
an
an-1
an-2
an-3
...... a1 a0
α
bn
bn-1
bn-2
bn-3
....... b1 r = b0
Trong đó: bn = an
bn-1 = α . bn + an-1
bn-2 = α . bn-1 + an-2
..........................
b1 = α . bn-1 + a1
b0 = α . b1 + a0.
Khi đó: 1). P ( α ) = b0

2). Nếu P ( α ) = 0 thì P(x) M(x - α )
3). Nếu P (x) ≠ 0 thì P (x) : (x - α ) có số dư là: r = P ( α )
Và có thương là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ...
+ b 2 . x + b1
Chứng minh:
Ta xét đa thứ bậc ba: P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 chia cho x - α
Ta có: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b3x2 + b2x + b1)(x- α ) + r
= b3x3 + (b2-b3 α )x2 + (b1-b2 α )x + (r - b1 α )
Từ đó ta có công thức truy hồi Horner:
b 3 = a3
b2= b3 α + a2
b1= b2 α + a1
b0 = r = b1 α + a3.
Ví dụ 1: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x + 5.
Giải
Ta có: α = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
*Qui trình bấm máy fx-500MS:
(−) 5 SHIFT STO M
1 × ALPHA M + 0 = (-5)
× ALPHA M − 2 = (23)
× ALPHA M + (−) 3 = (-118)
× ALPHA M + 0 = (590)

Vậy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x
+ 5)(x6 -5x5 + 23x4 -118x3
+ 590x2-2590x + 14751) 73756.

× ALPHA M + 0 = (-2950)
× ALPHA M + 1 = (14751)
× ALPHA M + (−) 1 = (-73756)

5/. Loại 5: Phân tích đa thức theo bậc của một đơn thức
*Phương pháp: Sử dụng sơ đồ Horner cho n lần
17


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

áp dụng n-1 lần sử dụng sơ đồ Horner ta phân tích được đa thức P(x) bậc n theo x- α :
P(x)=r0+r1(x- α )+r2(x- α )2+…+rn(x- α )n.
Ví dụ 1: Phân tích P(x) = x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
Giải:
Thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x- α )+r0 theo theo sơ đồ Horner ta được q1(x) và r0. Sau
tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
Vậy x4 – 3x3 + x – 3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
2 = 1 + 28(x-3) +
2
3
4
3
27(x-3) + 9(x-3)
3 1 3 9 2
q2(x)=x +3x+1, r1 = + (x-3) .
8
28
6/. Loại 6: Xác
định đa thức &
q3(x)=x+6, r0 = 27
tính giá trị một 3 1 6 27

số giá trị của
3
1
9
q
(x)=1=a
,
r
=
9
4
0 0
đa thức khi
biết một số giá

trị của khác của nó:
*Phương pháp:
1). Giải hệ phương trình từ đó tìm được các hệ số
2). Tìm đa thứ phụ trước, rồi quay lại tìm đa thức.
Ví dụ 1: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =
16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Giải:
Đặt A(x) = P(x) - x2 ta có: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0;
Nên theo định lý Bezout ta có: x = 1;2;3;4;5 là nghiệm của A(x) do đó ta có:
k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x-4)(x - 5) = P(x) - x2
=> P(x) = k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2
Vì P(x) có bậc lớn nhất là: 5 và có hệ số bằng 1 nên k = 1
Vậy P(x) = ( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2
=> .P(6) = ( 6 - 1)(6-2)(6 - 3)(6-4)(6 - 5) + 62 = 156
.P(7) = ( 7 - 1)(7-2)(7 - 3)(7-4)(7 - 5) + 72 = 769

.P(6) = ( 8 - 1)(8-2)(8 - 3)(8-4)(8- 5) + 82 = 2584
.P(6) = ( 9 - 1)(9-2)(9 - 3)(9-4)(9 - 5) + 92 = 6801
Ví dụ 2: Cho P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450. Biết đa thức P(x) chia hết cho các nhị
thức (x - 2) ; (x - 3); (x - 5) . Hãy tìm các giá trị a, b, c và các nghiệm của đa thức.
*HD: Dùng chức năng giải hpt ta được kết quả: a = -59; b = 161; c = - 495;
x1 = 2; x2 = 3; x3=5; x4=3/2; x5=-5/3
Bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
Bài 3: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n của các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
18


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

b. Với giá trị của m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một
nghiệm duy nhất
Bài 4: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2010
2. Tìm gía trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
Bài5. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).

Bài 6: Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a. Tìm điều kiện của m để P(x) có nghiệm là: x = 0,3648
b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho (x -23,55)
7x 5 y-x 4 y3 +3x 3 y+10xy4 -9
5x 3 -8x 2 y 2 +y3

Bài 7: 1.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính F=

x 5 -6,723x 4 +1,658x 2 -9,134
x-3,281
7
6
5
4
3
2
3. Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m . Tì m m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

2.Tìm số dư r của phép chia :

Bài 8:
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x 5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 b. Cho
P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3)=107.
Tính P(12)?

Bài 9: Cho ủa thửực P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài 10: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:

a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 11: Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) =
48. Tính P(2010)?
Bài 12: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5. Chia P(x)
cho x – 2 được số dư là - 4. Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x 81 + ax57 + bx41 + cx19 +
Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)
19


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

3: Liên phân số:
Cho a, b (a>b) là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán ơclít chia a cho b, phân số

a
có thể viết
b

b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
b Vì b0 là phân dư của a khi chia cho b nên b > b 0. Do vậy ta
b
dưới dạng: b
b0
b

b
1
= a1 + 1 = a1 +
b0
b0
b0
được
b1
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
1
b
b
a1 +
Tiếp tục như vậy ta được sau n bước ta được:
1 .
...an −2 +
an

Cách biểu diển này gọi là cách biểu diển số hửu tỉ dưới dạng liên phân số. Mọi số hửu tỉ có
một biểu diển duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn là [ a0 ,a1 ,...,an ] .
a0 +

Vấn đề đặt ra là: hãy biểu diển liên phân số

1
a1 +

1

a
1 về dạng b và ngược lại
...an −1 +
an

Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng.
* Qui trình bấm máy fx-500MS:
1). Tính từ dưới lên trên:
Bấm lần lượt các phím: an −1 + 1 ab/ c an = an −2 + 1 ab / c Ans = ...a0 + 1 ab / c Ans =
2). Tính từ trên xuống dưới:
Bấm lần lượt các phím: a0 + (1 ab / c (a1 + 1 ab / c ( a2 + ...an −1 + 1( a b / c an ))))))))) =
A = 1+

Ví dụ1: Tính giá trị của:

1
2+

1

3+

1
2

Giải:
20

Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

Qui trình bấm trên máy fx-500MS

23
16

*Cách 1: Bấm các phím: 3 + 1 ab / c 2 = 2 + 1 ab/ c Ans = 1 + 1 a b/ c Ans = SHIFT ab / c ( )
 23 

*Cách 2: Bấm các phím: 1 + (1 ab / c (2 + (1 ab / c ( 3 + (1 ab / c 2 )))) =  ÷
 16 
Ví dụ 2: Biết

15
1
=
17 1 + 1

1
a+
b

trong đó a và b là các số dương. Tìm a,b?

Giải:

15 1
1

1
1
=
=
=
=
17
2
1
1
17
1+
1+
1+
Ta có:
15
1 . Vậy a = 7, b = 2.
15
15
7+
2
2

Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
A = 3+

5

2+

2+

Bài 2:
Tìm các số tự nhiên a và b biết:

4

2+

B= 7+
5

4

2+

5
3

329
=
1051 3 +

1
5+

1

1

a+

1
b

Bài 3: Tìm giá trị của x, y của các phương trình sau:
4+

a.

x

1+

1

=
1

x

4+

1

y
1

b. 1 +

1

1
3+
1
2+
5
2
12
A = 30 +
5
Bài 6: Cho
10 +
2003
Hãy viết lại A dưới dạng A = [ a0 ,a1 ,...,an ] ?
2+

1
3+
4

3+

21

+

y
2+

1

4+

1
6

1
3+

3+

1

1

3+

1
4


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

4.Dãy số:

1. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
dãy số (un) cho bởi

un = f(n), n ∈ N*

trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước.

Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A :
1 SHIFT STO A
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : A = A + 1
= ... = ...
- Lặp dấu bằng:
Giải thích:
1 SHIFT STO A
: ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A
f(A) : A = A + 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần
nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bấm dấu
bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu =
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
n
n
1  1 + 5   1 − 5  

un =
 −
  ; n = 1, 2,3...
5  2   2  



Giải:

- Ta lập quy trình tính un như sau:
1 SHIFT STO A
( 1 ÷
5 ) ( ( ( 1 +

5 )

÷ 2 )

∧

ANPHA

A

- (

( 1 -

5 ) ÷ 2 ) ∧ ANPHA A ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA
A + 1=
- Lặp lại phím: = ... = ...
kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.

2. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
dãy số (un) cho bởi

 u1 = a
22


 u n+1 = f(u n ) ; n ∈ N*


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "

trong đó f(un) là biểu thức của
un cho trước.

Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta
nhập bằng ANS )
- Lặp dấu bằng: =
Giải thích:
- Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện
tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu = ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
 u1 = 1

un + 2

 un +1 = u + 1 , n ∈ N *
n


Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 =

(

(u1)
ANS + 2 )

÷

(

ANS + 1 )

=

(u2)

= ... =

- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1
u8 = 1,414215686
u2 = 1,5
u9 = 1,414213198
u3 = 1,4
u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667
u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103
u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714
u13 = 1,414213562

u7 = 1,414201183
u14 =...= u20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
3

 u1 = 3

3
3
u
=
u
, n ∈N *
(
)

n
 n +1

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
23


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
SHIFT
ANS

3 =

3

∧

(u1)

SHIFT

3 =

3

(u2)

(u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
=

=

3. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Dãy số (un) cho bởi

 u 1 = a, u 2 = b

 u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n ∈ N*

Cách lập quy trình:
* Cách 1:

Bấm phím: b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B
Và lặp lại dãy phím:
× A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A
× A +

ANPHA

B

× B + C SHIFT

STO

B

Giải thích: Sau khi thực hiện
b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B
trong ô nhớ A là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào
trong ô nhớ B , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: × A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A máy tính tổng
u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ A . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô
nhớ A (trong ô nhớ B vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: × A + ANPHA B × B + C SHIFT STO B máy tính tổng
u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ B . Như vậy khi đó ta có u 5 trên màn hình và trong ô
nhớ B (trong ô nhớ A vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng COPY để lập
lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy
số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím: b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B

× A +

ANPHA

A

× B + C SHIFT

STO

A

× A +

ANPHA

B

× B + C SHIFT

STO

B

∆

SHIFT

COPY

Lặp dấu bằng: = ... = ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím:

a SHIFT STO A b SHIFT STO B
ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C
24


Tài liệu bồi dưỡng "Giải toán trên máy tính Casio "
ANPHA : ANPHA A ANPHA =
:

ANPHA

ANPHA

B

ANPHA

=

ANPHA

B

ANPHA

C

Lặp dấu bằng: = ... = ...

Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
 u 1 = 1, u 2 = 2

 u n+2 = 3u n+1+ 4 u n + 5 ; n ∈ N*

Hãy lập quy trình tính un.
Giải: Thực hiện quy trình:
2 SHIFT STO A × 3 + 4 × 1 + 5 SHIFT STO B
× 3 +

ANPHA

A

× 4 + 5 SHIFT

STO

A

× 3 +

ANPHA

B

× 4 + 5 SHIFT

STO

B

∆

SHIFT

COPY

= ... = ...

ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
Hoặc có thể thực hiện quy trình:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
ANPHA C ANPHA = 3 ANPHA B + 4 ANPHA A + 5
ANPHA

:

ANPHA

A

ANPHA

=

ANPHA

B

ANPHA

:

ANPHA

B

ANPHA

=

ANPHA

C

= ... = ...

ta cũng được kết quả như trên.

4.Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
Dãy số (un) cho bởi

 u 1 = a

 u n+1 = f ( { n, un } ) ; n ∈ N*

Trong đó f ( { n, un } ) là kí
hiệu của biểu thức un+1 tính
theo un và n.

* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:
- Sử dụng 3 ô nhớ:

A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1

25