BÀI GIẢNG môn lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN phần II đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN và PHÂN PHỐI xác SUẤT

Chương 2

ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
I – Khái niệm về đại lượng
ngẫu nhiên


Các thí dụ:
 Kiểm tra 3 sản phẩm và quan
tâm đến số sản phẩm đạt tiêu
chuẩn có trong 3 sản phẩm kiểm
tra.


 Khảo sát điểm thi môn toán
cao cấp của một sinh viên hệ
chính qui và quan tâm đến điểm
thi của sinh viên này.
 Khảo sát doanh thu của một
siêu thò trong một ngày và quan
tâm đến doanh thu (triệu đồng)
của siêu thò.


• Số sản phẩm
đạt tiêu chuẩn.
• Điểm thi môn
toán cao cấp
của sinh viên.
• Doanh thu

của siêu thò.

Đạïi
lượng
ngẫu
nhiên


Khi thực hiện một phép thử,
bằng một qui tắc hay một hàm ta
có thể gán các giá trò bằng số cho
những kết quả của một phép thử.
Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng
nhận các giá trò khác nhau tuỳ
thuộc vào kết quả của một phép
thử.


Khi thực hiện phép thử, đại lượng
ngẫu nhiên sẽ nhận một (và chỉ
một) giá trò trong tập hợp các giá
trò mà nó có thể nhận. Đại lượng
ngẫu nhiên nhận một giá trò cụ
thể là biến cố.


Các đại lượng ngẫu nhiên thường
được ký hiệu là: X, Y, Z, . . .
X 1 , X 2, . . . , X n ; Y 1 , Y 2, . . . , Y m ;
....

Các giá trò ĐLNN có thể nhận
được ký hiệu là:
x1, x2, . . ., xn; y1, y2, . . . , ym; . . .


Có thể đònh nghóa ĐLNN như sau:
Cho phép thử τ có không gian
mẫu Ω . Một ánh xạ từ Ω vào R
được gọi là một đại lượng ngẫu
nhiên (hay biến ngẫu nhiên)


Thí dụ:
Kiểm tra 3 sản phẩm và gọi X là
số sản phẩm đạt tiêu chuẩn có
trong 3 sản phẩm kiểm tra.


Ω
X=1

X=0

ω 000
ω 100
ω 010
ω 001

ω 111

ω 110
ω 101
ω 011

X=3

X=2


II – Phân loại ĐLNN
Đại lượng ngẫu nhiên có thể là
rời rạc hoặc liên tục.
Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là
rời rạc nếu tập hợp các giá trò mà
nó có thể nhận là một tập hợp
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.


Đối với ĐLNN rời rạc, ta có thể
liệt kê được các giá trò của nó.
ĐLNN được gọi là liên tục nếu các
giá trò mà nó có thể nhận có thể
lấp kín một khoảng trên trục số.
Đối với ĐLNN liên tục, ta không
thể liệt kê tất cả các giá trò của
nó.


Thí dụ: Số sinh viên vắng mặt
trong mỗi buổi học ; số máy hỏng

trong từng ngày của một phân
xưởng, . . . là các đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc.


Nếu gọi X là trọng lượng của một
loại sản phẩm do một nhà máy
sản xuất; Y là thu nhập của
những người làm việc trong một
ngành; . . . . thì X, Y là những đại
lượng ngẫu nhiên liên tục.


III – Phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên
1- Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất dùng để
thiết lập phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.


Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có
thể nhận một trong các giá trò:
x1, x2, . . . ., xn
với các xác suất tương ứng là:
 
p1, p2, . . . ., pn
pi = P(X = xi)
(i = 1, 2, . . . , n)

Bảng phân phối xác suất của X có
dạng:
X
x1
x2 . . . x n
P

p1

p2 . . . pn

Đối với bảng phân phối xác suất,
ta luôn có: n

∑p
i =1

i

=1


Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm
(trong đó có 6 sản phẩm loại I).
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ
hộp ra 2 sản phẩm. Lập bảng
phân phối xác suất của số sản
phẩm loại I có trong 2 sản phẩm
lấy ra.

Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I
có trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp
thì X là ĐLNN rời rạc có thể
nhận các giá trò : 0, 1, 2 với các
xác suất tương ứng:
2
C4
2
p1 = P( X = 0) = 2 =
C10 15


1
6

1
4

C .C
8
p 2 = P( X = 1) =
=
2
C10
15
2
6
2

10

C
5
p 3 = P( X = 2) =
=
C
15


Vậy phân phối xác suất của X là:
X

0

1

2

P

2/15

8/15

5/15

Vì sao đối với bảng phân phối
xác suất, ta luôn có:
n

∑p
i =1

i

=1


2- Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên liên tục X, ký
hiệu là f(x), thỏa mãn các điều
kiện sau:


ª
ª

f(x) ≥ 0

(∀x)

+∞

f
(
x
)
dx

=
1
∫

−∞

b

∫

ª P(a < X < b) = f ( x )dx
a


f(x)

P(a< X < b)

0

a

b

x


3- Hàm phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất có thể
thiết lập cho cả đại lượng ngẫu

nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.