Giao trinh bai tap c5 phan tich phuong an theo pp khac phan 2

TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Chương 4: LAN TRUYỀN CHẤT.
Sông ngòi vừa là nơi cung cấp nước (nguồn sinh họat), vừa là nơi tập trung nước
thải (từ các nhà máy, khu công nghiệp, cống thải…). Kinh tế càng phát triển, chất
lượng nước trong sông ngòai càng giảm. Vật chất lan truyền trong sông có n hiều
dạng khác nhau, và bài tóan tính lan truyền là vấn đề bắt buộc phải được đề cập
đến. Để nghiên cứu vấn đề này, ta cần hiểu từ những lý thuyết cơ bản về sự
truyền chất, những phương trình vi phân mô tả sự lan truyền các chất trong dòng
chảy

I PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN
1
Jvao

2

C

Jra

R

1

C+

∆x

2

∂C
∆x
∂x

x
Hình 1 – Sự lan truyền chất qua hai mặt cắt.

Phương trình lan truyền chất được thiết lập từ đònh luật bảo toàn khối
lượng trong không gian vi phân nằm giữa hai mặt cắt ướt kênh.
Xét đoạn dòng chảy mang vật chất giới hạn bởi hai mặt cắt có toạ độ x
(mặt cắt 1-1) và x+∆x (mặt cắt 2-2) (hình 1).
Nồng độ chất tại mặt cắt 1-1 là C, và tại mặt cắt 2-2 là (C+

IV-1

∂C
∆x ).
∂x


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Chênh lệch nồng độ ra-vào đoạn kênh qua hai mặt cắt ướt trong thời gian
∆t là:
∂C
∆t
∂t

Gọi ∆W là thể tích của đoạn dòng chảy đang xét ∆W=A ∆x.
Biến thiên khối lượng chất của đoạn dòng chảy này trong thời gian ∆t này

là:
∆W

∂C
∆t
∂t

(1)

Mặt khác, gọi Jvao và Jra là các thông lượng chất, biểu thò cho khối lượng
chất vào và ra khỏi đoạn kênh trên một đơn vò diện tích mặt cắt ướt trong một
đơn vò thời gian, do chuyển tải và khuếch tán.
Nếu dòng chảy chỉ xảy ra sự đơn chuyển (chuyển tải), thì thông lượng
được tính theo phương trình:
J = UC

(2)

U - vận tốc dòng chảy ; với U =

Q
A

A – diện tích mặt cắt ướt của đoạn dòng chảy.
Thông lượng này do vận tốc dòng chảy gây ra.
Nếu dòng chảy là dòng rối, tức là ở đây xảy ra cả quá trình chuyển tải và
quá trình khuếch tán, thì thông lượng được tính theo phương trình:
J = UC − E

∂C

∂x

(3)

Với: E - hệ số khuếch tán dọc theo phương x.
Trong đó, thành phần thứ hai của vế phải phương trình (3) có được dựa
theo đònh luật I Fick.

IV-2


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Để đảm bảo tính tổng quát, người ta dùng phương trình (3) để tính thông
lượng chất ra và vào đoạn kênh, tức là dòng chảy trên đoạn sông đang xét được
tính đến quá trình chuyển tải và khuếch tán.
Gọi R (hình 1) là khối lượng chất tăng lên hay mất đi trong một đơn vò thời
gian trong đoạn kênh do phản ứng.
Ta suy ra khối lượng chất thay đổi trong đoạn kênh trong khoảng thời gian
∆t là:

(J vao A − J ra A ± R )∆t

(4)

Cân bằng phương trình (1) và (4), ta được:
∆W

∂C
= J vao A − J ra A ± R

∂t

(5)

Trong đó:
∆W - thể tích
C – nồng độ chất.
Jvao – thông lượng của khối chất vào đoạn dòng chảy.
Jra – thông lượng của khối chất ra khỏi đoạn dòng chảy.
R – khối lượng chất tăng lên hay mất đi trong một đơn vò thời gian do phản
ứng, phân hủy, lắng đọng, gia nhập, phát triển, ….
Theo phương trình (3), thông lượng vào được xác đònh:
J vao = UC − E

∂C
∂x

(6)

Thông lượng ra được xác đònh bằng cách khai triển bậc 1 theo chuỗi
Taylor:
⎡ ∂C ∂ ⎛ ∂C ⎞ ⎤
∂C ⎞
⎛
J ra = U ⎜ C +
∆x ⎟ − E ⎢
+ ⎜
⎟∆x ⎥
∂x
⎝

⎠
⎣ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎦

IV-3

(7)


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Để xác đònh R, nếu chỉ xét đến phản ứng phân hủy (phản ứng này làm
cho vật chất bò mất đi) bậc 1 (tỷ lệ bậc 1 với khối lượng vật chất biến đổi trong
thể tích đang xét), thì :
(8)

R = − K ∆WC

trong đó K là hệ số của phản ứng
Thay (6), (7), (8) vào phương trình (5), ta được:
∆W

∂C
∂C ⎞
∂C
⎡ ∂C ∂ ⎛ ∂C ⎞ ⎤
⎛
= UAC − UA ⎜ C +
∆x ⎟ − EA
+ EA ⎢
+ ⎜

⎟ ∆x ⎥ − K ∆WC
∂t
∂x
∂x
⎝
⎠
⎣ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎦

(9)

Chia hai vế của phương trình (9) cho ∆W = A∆x , ta được:

∂C
∂C
∂ 2C
= −U
+E
− KC
∂t
∂x
∂x 2

(10)

Phương trình (10) là phương trình mô tả quá trình truyền chất. Phương trình
có thể viết lại dưới dạng hoàn thành thể (kết hợp với phương trình liên tục):
∂
( AC ) = ∂ ⎛⎜ AE ∂C ⎞⎟ − ∂ ( AUC ) + A( f (C ) + G (C ))
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂x

∂t

(11)

Các số hạng của phương trình (11) đặc trưng cho các thành phần như sau:
•

∂ ⎛
∂C ⎞
⎜ AE
⎟ - thành phần vật chất do khuếch tán.
∂x ⎝
∂x ⎠

•

∂
( AUC ) - thành phần vật chất do chuyển tải.
∂x

• AG(C) – thành phần vật chất của dòng gia nhập hay tách đi (mg/s/m).
-

G (C ) =

q(Cb − C )
trong trường hợp bổ sung nước.
A

Với Cb là nồng độ của nguồn nước bổ sung; q là lưu lượng gia nhập trên

một đơn vò chiều dài kênh.
-

G(C) = 0 trong trường hợp lấy nước (bơm, tưới, …), vì Cb=C.

IV-4


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

• Af(C) – tính đến sự thay đổi của mỗi thành phần. Những thay đổi này xảy
ra cho các thành phần cá nhân hoặc phần tử độc lập của sự chuyển tải,
khuếch tán, bao gồm: tác động vật lý, hoá học, sinh học và những tương
tác xảy ra trong dòng chảy. Ví dụ: tái thông khí, sự phát triển của tảo, tốc
độ chết Coliform, lắng đọng, tương tác, ….
Thông thường hai thành phần cuối này có dạng chung:
f (C ) + G (C ) = − KC + p

Với: K - tổng của các hệ số có liên quan đến nồng độ C, bao gồm: hệ số
phản ứng, lưu lượng gia nhập trên một đơn vò chiều dài, hệ số lắng đọng, ….
p - các hệ số tự do, không phụ thuộc vào nồng độ C, bao gồm: thành
phần tương quan với các yếu tố khác, nồng độ ứng với nguồn gia nhập, ….
Đối với các yếu tố môi trường khác nhau, K và p có những công thức tính
khác nhau để đặc trưng cho tính chất của chính yếu tố đó trong mối tương tác với
dòng chảy, với môi trường và giữa các yếu tố với nhau.
Như vậy, phương trình đạo hàm riêng phần của quá trình lan truyền chất
mô tả sự biến thiên của nồng độ chất theo không gian và thời gian có thể viết lại
như sau:
∂C
∂C

∂ 2C
+U
= E 2 − KC + p
∂t
∂x
∂x

(12)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN
Phương trình vi phân trên chưa có nghiệm giải tích (trừ một số trường hợp
đơn giản).
Có nhiều phương pháp số giải hệ phương trình lan truyền chất: phương
pháp phân rã, phu7ong pháp đường đặc trưng, phương pháp sai phân hữu hạn, thể
tích hữu hạn… Việc giải phương trình này bằng phương pháp sai phân hữu hạn là

IV-5


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

rất phổ biến với nhiều sơ đồ sai phân được khác nhau nhằm giải quyết bài toán
lan truyền. Phương trình (12) giải được, cần có điều kiện ban đầu và hai điều
kiện biên trên mỗi nhánh. Sau đây sẽ trình bày một vài phương pháp trên

2.1. Các phương pháp số
Người ta giải hệ phương trình lan truyền bằng phương pháp số, nghóa là
xác đònh C tại một số điểm nào đó trong không gian theo thời gian.
Các phương pháp số như sau: phương pháp phân rã (bao gồm phương pháp
đường đặc trưng để giải phương trình tải thuần tuý, và phương pháp sai phân hữu

hạn để giải phương trình khuếch tán thuần tuý), phương pháp sai phân hữu hạn
(giải toàn bộ phương trình lan truyền), … ứng với nhiều sơ đồ giải như sơ đồ ẩn, sơ
đồ hiện.
2.1.1. Phương pháp phân rã:
Chia phương trình lan truyền

∂C
∂C
∂ 2C
+U
= E 2 − KC + p làm hai bài toán và lần
∂t
∂x
∂x

lượt giải từng bài toán:
Bài toán 1: Giải phương trình tải thuần tuý:

∂C1
∂C
+ U 1 = − KC1 + p
∂t
∂x

với điều

kiện ban đầu là C1=Cn (Cn là nồng độ tại thời điểm t = n trước đó). (giải bằng
phương pháp đường đặc trưng)
Bài toán 2: Sau khi giải xong bài tóan 1, ta lấy các kết quả về nồng độ C1n làm
∂C2

∂ 2 C2
với
điều kiện ban đầu của C2 để giải phương trình khuếch tán tuý:
=E
∂t
∂x 2

điều kiện ban đầu của C2=C1n (bài toán này giải bằng phương pháp sai phân hữa
hạn). C2 sẽ là nghiệm của phương trình lan truyền (12).
Cứ như thế ta lần lượt giải xen kẻ giữa hai bài tóan trên
2.1.2. Phương pháp đường đặc trưng.
™ Nguyên tắc:

IV-6


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Đưa bài tóan giải trực tiếp phương trình lan truyền về bài toán giải hệ
phương trình vi phân toàn phần trên họ các đường đặc trưng.
Đường đặc trưng là một đường cong trên mặt phẳng toạ độ không gian và
thời gian. Trên đường đặc trưng đó, phương trình đạo hàm riêng trở thành
phương trình vi phân toàn phần.
Tuy nhiên, để dẫn đến phương trình vi phân toàn phần, phải đặt một số
điều kiện, ví dụ như bỏ qua thành phần khuếch tán, chỉ chuyển tải thuần tuý.
Nên phương pháp đường đặc trưng không cho kết quả thực tế.
Tuy nhiên, phương pháp đường đặc trưng là một phương pháp cơ bản, có ý
nghóa vật lý cụ thể. Là nền tảng mở đầu cho những phương pháp hiện đại hơn.
2.1.3 Phương pháp sai phân hữu hạn
™ Nguyên tắc:

Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những phương pháp số để giải
phương trình lan truyền có hiệu quả cao. Phương trình đạo hàm riêng được sai
phân trong lưới X-t.
Lưới X-t được xác đònh bởi trục khoảng cách X và trục thời gian t. Theo
chiều thời gian, các lớp lưới cách nhau một khoảng ∆t, còn theo chiều không
gian là ∆x. Thông thường ∆t không thay đổi từ lớp thời gian này sang lớp thời
gian kia, tuy nhiên trong một số trường hợp cũng có thể thay đổi. Còn ∆x có thể
thay đổi khi đi từ mặt cắt này sang mặt cắt khác.
t

n+1
n

∆t

C nj

∆x
j-1

j

j+1

Hình 2 – Sơ đồIV-7
lưới sai phân.

X

TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Trong hình 2, mỗi điểm trên lưới được xác đònh bằng chỉ số thời gian (kí
hiệu n) và không gian ( kí hiệu j)
Sơ đồ số trò chuyển phương trình đạo hàm riêng thành những phương trình
sai phân đại số hữu hạn. Các phương trình này trình bày sai phân riêng và tạm
thời trong các điểm chưa biết ở bước thời gian n+1, và bước thời gian n đã biết.
Lời giải của phương trình lan truyền sẽ được tính từ thời gian này đến thời gian
sau một cách liên tục.
Khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, ta có thể dùng nhiều loại sơ
đồ sai phân khác nhau. Các sơ đồ có thể chia làm hai loại: sơ đồ sai phân ẩn và
sơ đồ sai phân hiện .
− Sơ đồ sai phân hiện: các yếu tố nồng độ chất ở bước thời gian sau được tính
trực tiếp từ các yếu tố ở bước thời gian trước đó. Điều kiện là sử dụng ∆t đủ nhỏ
để cho bài toán ổn đònh.
− Sơ đồ sai phân ẩn: các yếu tố nồng độ chất ở bước thời gian sau phụ thuộc
lẫn nhau và liên hệ với các yếu tố ở bước thời gian trước đó. Với sơ đồ này,
không cần điều kiện cho bước thời gian ∆t.

III ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN
Phương trình lan truyền (11) (hay (12)) là phương trình đạo hàm riêng loại
parabol. Để giải phương trình này cho một nhánh sông, cần biết giá trò biên tại
mỗi đầu nhánh và giá trò ban đầu tại tất cả các mặt cắt.
1. Điều kiện ban đầu.
Áp đặt giá trò nồng độ ban đầu tại tất cả các mặt cắt:
C(x,0) =Ci (với i= 1, 2, 3, …,N).
Trong đó, N – số mặt cắt trong nhánh.

IV-8

TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Trong quá trình giải bài toán lan truyền, giá trò biên lan truyền theo hướng
dòng chảy với vận tốc U. Nếu dòng chảy chỉ theo một hướng nhất đònh thì sau
một khoảng thời gian nào đó, toàn miền sẽ chòu ảnh hưởng của biên và không
chòu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu. Tuy nhiên, do các dao động tuần hoàn
của thuỷ triều làm dòng chảy luôn đổi hướng, nên ảnh hưởng của điều kiện ban
đầu trong bài toán truyền chất tồn tại lâu phụ thuộc vào tốc độ truyền triều, đòa
hình, … .; các điểm xa nguồn xả, ảnh hưởng của điều kiện ban đầu khá lâu.
Vì thế, giá trò nồng độ ban đầu tại tất cả các mặt cắt: C(x,0) =Ci, được xác
đònh theo các phương pháp sau:
− Căn cứ vào số liệu thực đo tại một số trạm, cho trước một phân bố nồng độ
nào đó dựa trên nội suy tuyến tính.
− Dựa vào nồng độ biên và điều kiện thuỷ lực của sông, khởi tạo nồng độ tại
các biên xa nguồn thải một giá trò rất nhỏ (hay bằng 0), các giá trò nồng độ tại
các mặt cắt khác được nội suy tuyến tính.
− Giả sử nồng độ ban đầu của các mặt cắt đều bằng 0. Sau một khoảng thời
gian tính, các nồng độ này sẽ bò chi phối bởi nồng độ ở biên.
2. Điều kiện biên.
Xác đònh điều kiện biên ở cửa sông là xác đònh giá trò của nồng độ chất
Nồng độ

t0

C0

Triều dâng

Triều rút

T

Hình 3 – Điều kiện biên ở cửa sông.
IV-9

Thời gian


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

trung bình qua mặt cắt ngang theo thời gian. Có thể cho rằng, trong suốt khoảng
thời gian thuỷ triều dâng lên, nồng độ biên ở cửa sông bằng với nồng độ đo đạc ở
biển. Trong khoảng thời gian thuỷ triều rút, nồng độ này được chi phối bởi sông,
cụ thể là bởi nồng độ tại các mặt cắt trước đó về phía thượng lưu. Nồng độ này
cần được tính toán.
Vì rằng ở cuối khoảng thời gian thuỷ triều rút, nồng độ chất của nước chảy
ra khỏi cửa sông khác nồng độ ở biển. Do đó ở thời gian đầu lúc thuỷ triều dâng,
có sự thay đổi dần từ nồng độ ở cuối thuỷ triều rút tới nồng độ ở biển. Diễn biến
này xảy ra trong một khoảng thời gian t0, phụ thuộc vào điều kiện thực tế ở biển.
Hình 3 biểu diễn sực biến thien độ mặn ở biên cử sông giáp với biển
Trong đó:
t0 – khoảng thời gian chuyển từ nồng độ (thấp) ở thời kỳ cuối thuỷ triều rút
đến nồng độ ở biển lúc đầu thuỷ triều dâng, được gọi là khoảng thời gian chuyển
tiếp.
C0 – nồng độ ở biển.
T – chu kì thuỷ triều.
Thông thường giá trò t0 rất nhỏ, cho bằng t0/T = 0.05 – 0.15.
Dựa trên cơ sở đã trình bày về điều kiện biên, nồng độ chất ở biên nói
chung (bao gồm biên ở cửa sông, biên ở thượng lưu) được xử lý như sau:
− Đối với biên lỏng:

Khi dòng chảy hướng từ ngoài vào miền tính, nồng độ chất ở biên bằng
nồng độ chất cho trước (thường được nội suy từ dãi các giá trò theo thời
gian).
Thông thường, dưới ảnh hưởng của thủy triều, đối với một bước thời gian tương
đối nhỏ, quá trình lan truyền do chuyển tải là quan trọng. Quá trình lan truyền do
khuếch tán chỉ ảnh hưởng tích luỹ sau một khoảng thời gian dài, còn trong một

IV-10


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

bức thời gian ∆t nhỏ thì hầu như nồng độ chất không bò ảnh hưởng bởi quá trình
này. Vì thế, cho một bước thời gian ∆t, tại biên ta có thể giả thiết vật chất lan
truyền qua biên chỉ do truyền tải, và như vậy thì thành phần

∂ 2C
∂x 2

= 0 . Như vậy:

Nếu dòng chảy từ miền tính hướng ra thì sử dụng điều kiện

∂ 2C
∂x 2

= 0 . Khi

đó, nồng độ tại biên được tính thông qua quá trình tải (quá trình khuếch tán
được bỏ qua trong bước thời gian tính này). Nồng độ chất tại biên là nghiệm của

phương trình tải thuần tuý sau (giải theo phương pháp đường đặc trưng):
∂C
∂C
+U
= − KC
∂x
∂t

− Đối với biên cụt: p dụng điều kiện phản xạ toàn phần

∂C
= 0.
∂x

Vậy, nồng độ các nút ở bước thời gian trước (điều kiện ban đầu) và các
nút biên ở bước thời gian sau (điều kiện biên) đã được xử lý. Bài toán truyền
chất trên mạng kênh sông được đưa về bài toán trên các nhánh sông nếu điều
kiện tại hợp lưu được xác đònh.

IV. XÁC ĐỊNH NỒNG ĐỘ BIÊN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG
ĐẶC TRƯNG.
Như lí luận trên, trong trường hợp ở biên,

t+∆t

dòng chảy từ miền tính hướng ra biên, thì nồng

t

độ tại biên là nghiệm của phương trình tải như

sau:
∂C
∂C
+U
= − KC
∂t
∂x

B
A
∆x

Hình 4 – Vết di chuyển của một
hạt lỏng

(13)

Phương trình (13) được giải trên cơ sở lí thuyết:

IV-11


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Theo quan điểm Lagrange, một hạt lỏng ở thời điểm t nằm tại điểm A, với
vận tốc U hạt lỏng sẽ dòch chuyển theo một quỹ đạo nào đó để đạt tới điểm B tại
thời điểm t+∆t (hình 4). Như vậy, trong quá trình tải thuần túy, nếu hạt chất lỏng
không thay đổi, nồng độ tại B sẽ bằng một hàm số tính theo nồng độ tại A :
C( B , t + ∆t ) = f(C( A , t))
Như vậy để xác đònh được nồng độ tại điểm B chỉ cần đi ngược lại quỹ đạo

tới điểm A, tại đây ta đã biết nồng độ (nồng độ tại A được biết trước hoặc được
nộ suy từ các điểm lân cận). Quá trình vừa mô tả trên là cơ sở lý thuyết của
phương pháp đường đặc trưng đối với phương trình tải.
Ta thay U =

dx
vào phương trình (13), suy ra:
dt

∂C ∂C dx
+
= − KC
∂t
∂x dt

(13a)

Vế trái chính là đạo hàm toàn phần của C theo thời gian t, nên:
dC
= − KC
dt

(13b)

Tương đương:
dC
= − Kdt
C

Lấy tích phân cho hai vế, ta có:

ln(C)=-Kt+const
hay

ln(C)=-Kt + ln(const)

hay

ln(C/const)=-Kt

Trong đó, const là hằng số.
Suy ra nghiệm của phương trình (13a) có dạng:
C = const ∗ e − Kt

Ta xét các điều kiện để tìm const:

IV-12


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Tại thời điểm t=t0, ta có nồng độ C=C0, suy ra:
conts =

C0
e − Kt 0

Như vậy, tại thời điểm t=t0+∆t, nồng độ là C tính bằng:
C0

C=

e

− Kt0

e − Kt = C 0 e − K (t −t0 ) = C 0 e − K∆t

(14)

Ghi chú rằng nghiệm C theo (14) chỉ đúng trên họ đường đặc trưng dx=Udt.
Tóm lại: Trong phương pháp đường đặc trưng, có ba bước cần tiến hành:
− Bước 1: xác đònh giá trò tại chân đường đặc trưng (tại A).
Theo chứng minh như trên, phương trình (13) có miền xác đònh nằm trên
họ đường đặc trưng là dx=Udt.

B

n+1

Đường đặc trưng

∆t
A

n
i-1

i

∆x’
i+1

∆x

Hình 5 – Tìm nồng độ theo phương pháp đường đặc trưng.

Trong khoảng vi phân ∆t, U được xem là hằng số. Trong thực tế tính toán,
U được tính là trung bình giữa hai lớp thời gian n và n+1.
Với giả thiết trên, trong khoảng thời gian ∆t các đường cong dx=Udt được
xem là các đường thẳng song song. Để xác đònh chân đường đặc trưng chỉ cần
tính ∆x’ (hình 5)
Với: ∆x’=U∆t

IV-13


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

− Bước 2: nội suy giá trò nồng độ tại chân đường đặc trưng (tại A) qua các giá
trò đã biết.
Nồng độ chất ở bước thời gian n được biết tại tất cả các điểm; nếu A giữa
các điểm xi và xi-1, thì phải dùng phương pháp nội suy để suy ra nồng độ tại A (có
nhiều phương pháp nội suy, ở đây để đơn giản, nồng độ tại A được nội suy tuyến
tính).
− Bước 3: tính giá trò tại B ở lớp thời gian n+1 theo (14): C = C0 e − K ∆t

V. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI
PHÂN HỮU HẠN.
Cho đến nay, có nhiều sơ đồ được đưa ra để giải bài toán lan truyền chất.
Phần này trình bày 3 sơ đồ sai phân: Sơ đồ hiện theo Chevereau và Preissmann,
sơ đồ ẩn Crank Nicolsion và sơ đồ ẩn Upwind.

t
n+1

n
i-1

i-1/2

i+1/2

i

x
i+1

Hình 6 – Lưới sai phân theo sơ đồ Chevereau và Preissmann.
5.1 Sơ đồ Chevereau và Preissmann
Đây là sơ đồ hiện trung tâm . (hình 6) Theo không gian, thành phần
khuếch tán tại điểm i-1/2 được sai phân như sau:

IV-14


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

∂C
AE
∂x

i−

1
2

≈ A 1E
i−

2

i−

1
2

Cin − Cin−1
xi − xi −1

(15)

Thành phần khuếch tán tại điểm i+1/2:
AE

∂C
∂x

i+

1
2

≈ A 1E
i+

2

i+

1
2

Cin+1 − Cin
xi +1 − xi

(16)

Sự chênh lệch nồng độ trong khối thể tích theo thời gian:
A

C n +1 − Cin ∂AC
A n +1Cin+1 − Ain Cin
∂C
;
≈ Ai i
= i
∂t i
∆t
∂t i
∆t

(17)

Phương trình lan truyền được viết lại:
A

∂C
∂C
∂ ⎛
∂C ⎞
+ A(− KC + p )
= ⎜ AE
⎟ − AU
∂x
∂t ∂x ⎝
∂x ⎠

(18)

Thay các sai phân (15), (16), (17) vào phương trình (18), ta được:
⎡
Cin+1 − Cin
Cin − Cin−1
Cin+1 − Cin ⎤
1
Ai
=
− ( AE )i +1 / 2
⎢( AE )i −1 / 2
⎥
∆t
xi +1 / 2 − xi −1 / 2 ⎣

xi − xi −1
xi +1 − xi ⎦
C n − Cin−1
− ( AU ) i −1 / 2 i
+ Ai (− KCin + pi )
xi − xi −1

Phương trình trên tương đương với:
Cin+1 =

⎡
Cin − Cin−1
Cin+1 − Cin ⎤
∆t
(
)
(
)
AE
−
AE
i −1 / 2
i +1 / 2
⎢
⎥
Ai (xi +1 / 2 − xi −1 / 2 ) ⎣
xi − xi −1
xi +1 − xi ⎦
∆t ( AU ) i −1 / 2 Cin − Cin−1
−

+ ∆t (− KC in + pi ) + Cin
Ai
xi − xi −1

(19)

Phương trình (19) là công thức sai phân tính nồng độ chất tại các nút ở
bước thời gian sau.
Sơ đồ chỉ ổn đònh khi thoả điều kiện:
E∆t
≤ 0. 5
(xi +1 − xi )(xi − xi −1 )

(20)

IV-15


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

5.2 Sơ đồ Crank Nicolsion
Đây là sơ đồ ẩn, được sử dụng tương đối phổ biến, có bậc chính xác là 2
với sai số sai phân 0(∆t 2 , ∆x 2 ) .
Các đạo hàm riêng được sai phân theo công thức:

∂ C C in +1 − C in
=
∂t
∆t

(21)

∂ 2C ∂ 2Cin + ∂ 2Cin+1
=
∂x 2
2∆x 2

(22)

Viet lai phuong trinh lan truyen:
∂C
∂C
∂ 2C
= −U
+ E 2 − KC + p
∂t
∂x
∂x

(23)

Lần lượt thay (21) và (22) vào để sai phân phương trình (23).
Dùng sai phân tiến cho thời gian và sai phân trung tâm cho không gian, ta
được phương trình sau (hình 7):
C in +1 − C in
C in + C in
δC in + δC in +1
δ 2 C in + δ 2 C in
= −U
+E

−
K
+ pi
i
∆t
2∆x
2∆x 2
2

Suy ra:
⎡ ( C in+1 − C in−1 ) + ( C in++11 − C in−+11 ) ⎤
C in +1 − C in
⎥
= −U ⎢
4∆x
∆t
⎢⎣
⎥⎦

(24)

⎡ ( C in+1 − 2C in + C in−1 ) + ( C in++11 − 2C in +1 + C in−+11 ) ⎤
C n + C in
⎥ − Ki i
+E⎢
+ pi
4∆x
2
⎢⎣
⎥⎦

n+1

n
i-1

i+1
i
Hình 7 – Sơ đồ sai phân theo phương pháp Crank Nicolsion
IV-16


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Ta đặt:
λ=

E∆t

(∆x) 2
U∆t
γ =
2∆x

Sắp xếp lại phương trình (24), ta có:

− (λ + γ )Cin−+11 + (2 + 2λ − Ki ∆t )Cin+1 + (γ − λ )Cin++11 =
(λ + γ )Cin−1 + (2 − 2λ + Ki ∆t )Cin + (γ − λ )Cin+1 + 2 pi ∆t

(25)

Phương trình (25) có dạng:

a i C in−+11 + bi C in +1 + c in++11 = d i

(26)

Trong đó:
ai = − (λ + γ )
bi = (2 + 2λ − K i ∆t )
ci = (γ − λ )

di = (λ + γ )Cin−1 + (2 − 2λ + Ki ∆t)Cin + (γ − λ)Cin+1 + 2 pi ∆t
Các thành phần ai, bi, ci, di đều tính được ở bước thời gian n.
5.3 Sơ đồ Upwind
Phương trình truyền chất (1) được viết lại:
∂
( AC ) = ∂ ( AE ∂C ) − ∂ ( AUC ) + A(− KC + p)
∂t
∂x
∂x
∂x

Trong sơ đồ này:
• Thành phần biến thiên theo thời gian sử dụng sai phân tiến

IV-17

(27)

TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

• Thành phần biến thiên theo không gian – thành phần chuyển tải- sử dụng
sai phân tiến theo nếu U in+1 <0; sai phân lùi theo không gian nếu U in+1 ≥ 0 .
• Riêng thành phần khuyếch tán vẫn sử dụng sai phân trung tâm, vì bản
chất của hướng khuyếch tán là về hai phía
Xét hai trường hợp như sau:
™ Trường hợp 1: U in+1 ≥ 0
Dòng chảy
i-1

i

i+1

n+1

n
i
Hình 8.a – Lưới sai phân theo sơ đồ Upwind (trường hợp 1).
− Bước 1: sai phân phương trình (27), thành phần chuyển tải (di chuyển do vận
tốc) được sai phân lùi theo phương x. Đồng thời, chia hai vế cho Ai, ta được:
∂C i
=
∂t

( AE

∂C

∂C
) i +1 / 2 − ( AE
) i −1 / 2
( AUC) i − ( AUC) i −1
∂x
∂x
−
− KC i + p
A i ∆x
A i ∆x

(28a)

− Bước 2: rời rạc đạo hàm theo không gian của thành phần khuếch tán và đạo
hàm thời gian của nồng độ chất thành những sai phân hữu hạn.
C in+1 − C in ⎛ ( AE )i +1 C in++11 − ( AE )i C in+1 ⎞ ⎛ ( AE )i C in+1 − ( AE )i −1 C in−+11 ⎞
=⎜
⎟−⎜
⎟
∆t
Ai ∆xi2
Ai ∆xi2
⎝
⎠ ⎝
⎠
n n+1
n
n+1
n+1
n

Q C − Qi −1C i −1
C + Ci
− i i
− Ki i
+ pi
2
Ai ∆xi

(29a)

Sắp xếp lại phương trình (29a), ta được phương trình có dạng:
a i C ni −+11 + b i C ni +1 + c i C ni ++11 = d i

Trong đó:

IV-18

(30a)


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

⎡
∆t ⎤
ai = − ⎢( AE )i −1
⎥
Ai ∆xi2 ⎥⎦
⎢⎣
bi = [( AE )i + ( AE )i −1 ]
∆t

ci = 1 − ( AE )i
d i = C in − K i

Ai ∆xi2

∆t
Ai ∆xi2

+ Qi

− Qi −1

∆t
Ai ∆xi

∆t
∆t
+ Ki
Ai ∆xi
2

∆t n
C i + p i ∆t
2

™ Trường hợp 2: U in+1 < 0
Dòng chảy
i-1

i

i+1

n+1

n
i
Hình 8.b – Lưới sai phân theo sơ đồ Upwind (trường hợp 2).
Tiến hành các bước sai phân tương tự trường hợp 1. Kết quả thu được:
− Bước 1:
∂C i
=
∂t

( AE

∂C
∂C
) i +1 / 2 − ( AE
) i −1 / 2
( AUC) i +1 − ( AUC) i
∂x
∂x
−
+ f (C i )
A i ∆x
A i ∆x

− Bước 2:

C ni +1 − C ni ⎛ ( AE) i +1 C ni ++11 − ( AE) i C ni +1 ⎞ ⎛ ( AE) i C ni +1 − ( AE) i −1 C ni −+11 ⎞
⎟
⎟−⎜
= ⎜⎜
⎟
⎟ ⎜
∆t
A i ∆x i2
A i ∆x i2
⎠
⎠ ⎝
⎝
(29b)
n
n +1
n n+1
n +1
n
Q i +1 C i +1 − Q i C i
Ci + Ci
−
−K
+ pi
A i ∆x i
2

Sắp xếp lại phương trình (29b), ta được phương trình có dạng:

IV-19

(28b)


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

(30b)

a i C ni −+11 + b i C ni +1 + c i C ni ++11 = d i

Trong đó:
ai = 1 − ( AE )i

∆t
Ai ∆xi2

− Qi

bi = [( AE )i +1 + ( AE )i ]
ci = −( AE )i +1
d i = C in − K i

∆t
∆t
+ Ki
Ai ∆xi
2

∆t
Ai ∆xi2

+ Qi +1

∆t
Ai ∆xi

∆t
Ai ∆xi2
∆t n
C i + p i ∆t
2

Các sơ đồ ẩn Crank Nicolsion hay Upwind cùng đưa về hệ phương trình có
dạng tương đương nhau: phương trình (26) và phương trình (30a) (hay (30b).
Theo sơ đồ đoạn sông trong hình 1, đoạn sông đang xét có N mặt cắt. Viết
lại các phương trình này với i=2 đến i=N-1, ta được hệ phương trình sau:

⎧a2C1 + b2C2 +c2C3
⎪
a3C2
+b3C3
+c3C4
⎪
⎨
⎪ ……
⎪⎩
aN −1CN −2 +bN −1CN −1 +cN −1CN

= d2
= d3

(32)

= dN −1

Hệ phương trình có (N-2) phương trình , và N ẩn nồng độ C tại các mặt
cắt trên nhánh sông. Bài toán được giải bằng phương pháp truy đuổi với điều
kiện ban đầu và hai điều kiện biên.

VI CÁC YẾU TỐ CHẤT LƯNG NƯỚC
6.1 Độ mặn
Chuyển động của nước mặn trên kênh sông được mô tả bởi phương trình
tải và khuếch tán một chiều (2), được viết lại như sau:

IV-20


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

∂S
∂S
∂2S
+U
= E 2 − KS + p
∂t
∂x
∂x

(33)

Trong đó:

S – độ mặn trung bình qua mặt cắt.
E – hệ số khuếch tán dọc.
U – vận tốc dòng chảy.
K=

q
- tương ứng với lưu lượng gia nhập q.
A

p=q

Sq
A

- trong đó Sq là độ mặn của dòng gia nhập.

6.2 Nhu cầu oxy sinh hoá (BOD) và oxy hoà tan (DO)
Nước thải của các nguồn thải chủ yếu là chất thải hữu cơ, đặc biệt là nước
thải sinh hoạt chứa 90% là chất thải hữu cơ. Vì thế, ta có thể dùng chỉ tiêu BOD
(Biochemical Oxygen Demand) và DO (Dissolved Oxygen) để đánh giá mức độ
ô nhiễm.
Trong quá trình tự làm sạch, các chất thải bẩn hữu cơ bò phân hủy bằng
con đường sinh hóa là chủ yếu và bò pha loãng trong dòng chảy. Lượng oxy cần
thiết để vi sinh vật phân huỷ các chất thải bẩn hữu cơ trong một đơn vò thể tích
mẫu nước được gọi là nhu cầu oxy sinh hoá BOD, đơn vò là mg/L oxy. Lượng oxy
nhất đònh hoà tan trong một đơn vò thể tích nước tự nhiên được gọi là lượng oxy
hoà tan DO.
Có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến DO trong nước:
− Sự hoà tan oxy từ không khí vào nước.
− Sự sản sinh oxy trong nước do quá trình quang hợp của thực vật thủy sinh.

− Sự mất oxy để phân hủy các chất hữu cơ trong nước.

IV-21


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

− Sự mất oxy do hô hấp của động vật thủy sinh.
Việc mô phỏng sự thay đổi của BOD, DO trong nước, từ lâu đã được các
nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu. Bởi vì DO là chỉ tiêu chung cho sự sống
trong môi trường nước và phần lớn các chất thải bẩn có tương tác với oxy. Hơn
nữa, BOD là nguyên nhân chính làm giảm sút hàm lượng DO trong nước. Vì vậy,
mô hình mô phỏng BOD bao giờ cũng gắn với DO.
Viết lại phương trình lan truyền (2) cho yếu tố BOD và DO như sau:
Với BOD có nồng độ B:
q
∂B
∂B
∂2B q
− B − ( K1 + K 3 ) B + Bq
+U
=E
A
∂t
∂s
∂s 2 A

(34)

Với DO có nồng độ D:

q
∂D
∂D
∂2D q
+U
=E
− D + K 2 ( D s − D ) − K1 B + Dq + f ( A, N1 , N 2 ) (35)
2
∂t
∂s
A
A
∂s

Trong đó:
B – nồng độ BOD.
D – nồng độ DO.
Bq - nồng độ BOD trong dòng gia nhập với lưu lượng q.
Dq - nồng độ DO trong dòng gia nhập với lưu lượng q.
Ds - độ bão hoà oxy trong nước.
K1 - hằng số biến đổi BOD.
K2 - hằng số thấm oxy vào nước.
K3 - hằng số biến đổi BOD do lắng đọng.
U - vận tốc trung bình của dòng chảy.
E – hệ số khuếch tán dọc.

IV-22


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

f(A,N1,N2) – hàm số phụ thuộc nồng độ sinh khối tảo A, nồng độ nitơ
amonia N1 và nitơ nitrit N2. Trong khoá luận này, bỏ qua ảnh hưởng của hàm
f(A,N1,N2).
Phương trình (34) và (35) đều có dạng chung với phương trình (2) và được
giải bằng phương pháp tương tự.
Các hệ số của phương trình được xác đònh như sau:
Ds là hàm số theo nhiệt độ :
Ds = 475 / ( 33.5 + T )

(36)

Với T là nhiệt độ của dòng chảy và Ds tính bằng mg/l.
Hoặc Ds được tra trong bảng nồng độ oxy bão hoà trong nước sạch ở các
nhiệt độ khác nhau.

Bảng 1 - Nồng độ oxy bão hoà trong nước sạch ở các nhiệt độ khác nhau.
Tnước(0C)

Ds(mg/l)

Tnước(0C)

Ds(mg/l)

Tnước(0C)

Ds(mg/l)

0

2
4
6
8
10
12
13

14.62
13.83
13.10
12.44
11.84
11.29
10.78
10.54

14
16
18
20
22
23
24
25

10.31
9.87
9.46
9.10

8.74
8.58
8.42
8.26

26
27
28
29
30
32
34
36

8.11
7.97
7.83
7.69
7.56
7.30
7.06
6.84

Nguồn: Assessment of sources of air water and land pollution, WHO, 1993.
Từ bảng 1 có thể nhận thấy rằng nhiệt độ dòng chảy càng cao thì độ bão
hoà oxy Ds càng giảm.
Hệ số thấm khí (tốc độ thông khí) K2 thường là hàm số theo nhiệt độ, vận
tốc dòng chảy, độ sâu.

IV-23

TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Theo Bennett và Rathbun , K2 được tính theo công thức thực nghiệm sau:
K 2 = 2.33

U 0.674

(37)

d1.865

Với:
U - vận tốc trung bình của dòng chảy (m/s).
d - độ sâu trung bình (m)
K2 – giá trò K2 ở 200C và đo bằng đơn vò 1/ngày.
Để tính K2 ở nhiệt độ bất kỳ:
K 2 (T) = K 2 (20)θ T−20

(38)

Với θ =1.024 – 1.028.
Từ công thức trên có thể thấy rằng tốc độ thấm oxy từ không khí vào nước
tỷ lệ với tốc độ dòng chảy và tỷ lệ nghòch với độ sâu. Sông càng sâu oxy thấm
vào càng khó.

Bảng 2 - Các giá trò hằng số thấm oxy vào nước [3].
Nguồn nước
Hồ nhỏ, ao

Sông tù nước, hồ lớn
Sông lớn, chảy chậm
Sông lớn chảy nhanh
Chảy xiết
Thác nước

K2 ở 200C(1/ngày)
Sâu

nông

0.12
0.24
0.36
0.46
0.67
>1.15

0.24
0.36
0.46
0.67
1.15
>1.15

Nguồn: Assessment of sources of air water and land pollution, WHO, 1993.
Theo Wrigh và McDonnel [3], K1 ở 200C là:
K1 = 99.3 Q-0.49

(38)

IV-24


TS. Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM

Với Q(m3/h) lưu lượng dòng chảy, K1 có đơn vò là 1/ngày.
Để tính K1 ở nhiệt độ bất kỳ:
K1(T) = K1(20) θT-20
Với

(39)

θ =1.135 khi T = 0 - 200C.
θ =1.056 khi T > 200C.

VII. CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VỀ TRUYỀN CHẤT CHO MỘT HP
LƯU
Bài toán truyền chất luôn được giải xen kẻ với bài toán thuỷ lực sau mỗi bước
thời gian.
Bài toán mạng sông được đưa về bài toán giải những nhánh sông khi yếu
tố nồng độ trên những hợp lưu được xác đònh.
Ở đây, việc xét chiều dòng chảy tại các mặt cắt lân cận hợp lưu, trên mỗi
nhánh sông nối với hợp lưu, là rất quan trọng.
Tại thời điểm t, nếu dòng
chảy trên nhánh k

có chiều

chảy vào hợp lưu, thì nồng độ

3
1

J

tại mặt cắt sát hợp lưu trên
…

nhánh này sẽ chi phối nồng độ
tại hợp lưu và chi phối nồng độ

n-1

1

n

Ghi chú:

tại các mặt cắt sát hợp lưu trên

1

- Nhánh

các nhánh có chiều dòng chảy

1

- Nút

2

n-1

…

- Chiều dương.
- Chiều dòng chảy.

ra khỏi hợp lưu.
Trên thực tế, việc xem

n

…

Hình 9 - Chiều dòng chảy ở hợp lưu.

IV-25

2