GIAO TRINH c4b CO SO TU DONG

MÔN HỌC

CƠ SỞ TỰ ĐỘNG
Giảng viên: Nguyễn Đức Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại Học Bách Khoa Tp.HCM
Email:


CHƯƠNG 4

ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ THỐNG


Nội dung chương 4
4.1 Khái niệm ổn định
4.2 Các tiêu chuẩn ổn định đại số
 Điều kiện cần
 Tiêu chuẩn Routh
 Tiêu chuẩn Hurwitz

4.3 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
 Khái niệm QĐNS
 Phương pháp vẽ QĐNS
 Xét tính ổn định dùng QĐNS

4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số
 Khái niệm đặc tính tần số
 Đặc tính tần số của các khâu cơ bản

 Đặc tính tần số của hệ thống tự động


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Định nghĩa
Qũy đạo nghiệm số (QĐNS) là tập hợp tất cả các
nghiệm của PTĐT của hệ thống khi có một thông số
nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 → ∞


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ QĐNS
Xét hệ thống sau
R(s)

+
-

Gc(s)

G(s)

C(s)

PTĐT của hệ thống là
K 1
1 + G c (s)G(s) = 1 +
=0
s s+4
⇔ s 2 + 4s + K = 0

1
G(s) =
s+4
K
G c (s) =
s


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ QĐNS
Nghiệm của PTĐT ứng với vài giá trị K khác nhau
K

Nghiệm

0

s = 0, -4

4

s = -2 ± j0

8

s = -2 ± j2

16

s = -2 ± j3.26


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Quy tắc vẽ
N(s)
QĐNS
 Biến đổi PTĐT về dạng 1 + K
=0
D(s)

Đặt

N(s)
G 0 (s) = K
D(s)

Gọi n, m lần lượt là số cực, zero của G0(s)

(1) ⇔ 1 + G 0 (s) = 0
 G 0 (s) = 1
⇔
∠G 0 (s) = (2l + 1) π

(1)


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Quy tắc vẽ
 QT1: Số nhánh

của QĐNS = n
QĐNS
 QT2:
 Khi K = 0 các nhánh của QĐNS xuất phát từ
các cực G0(s)
 Khi K → ∞, m nhánh của QĐNS tiến đến m
zero của G0(s), n-m nhánh còn lại tiến về ∞ theo
các tiệm cận xác định bởi QT5 và QT6.
 QT3: QĐNS đối xứng qua trục thực
 QT4: Một điểm trên trục thực thuộc QĐNS nếu
tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là số lẻ


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Quy tắc vẽ
tạoQĐNS
bởi các tiệm

 QT5: Góc
(2l + 1) π
thực
α=

n−m

cận của QĐNS với trục

(l = 0, ±1, ±2,...)

 QT6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực (A)

n

OA =

m

∑p − ∑z
i =1

i

i =1

i

n−m

 QT7: Điểm tách nhập (nếu có) của QĐNS là
nghiệm của PT: dK

ds

=0


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Quy tắc vẽ
 QT8: Giao điểm
QĐNS
của QĐNS với trục ảo được xác định

bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz hoặc
thay
s = jω vào PTĐT
 QT9: Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức pj
m

θ j = 180 + ∑ arg(p j − z i ) −
0

i =1

n

∑ arg(p

i =1,i ≠ j

j

− pi )


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 8
Vẽ QĐNS của hệ thống sau khi a = 0 → +∞
R(s)

+
-

Gc(s)

PTĐT của hệ thống

G(s)

C(s)

10
G(s) =
s(s + 1)

s+a
G c (s) =
s+8

 s + a   10 
1 + G c (s)G(s) = 0 ⇔ 1 + 
= 0 (1)
÷
÷
 s + 8   s(s + 1) 
10
⇔ 1+ a 3
= 0 Các cực: p1 = 0, p2 = -3, p3 = -6
2
s + 9s + 18s


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Ví dụ 8

 α1 = −π / 3

Tiệm α = (2l + 1)π = α = π / 3
 2
3
−
0
α = π
cận
 3
n

OA =

(l = 1)

m

∑p − ∑z
i =1

(l = −1)
(l = 0)

i

i =1

n−m

i

0 − 3− 6 − 0
=
= −3
3− 0

 Điểm tách
3
2
2
s
+
9s
+
18s
da
3s
+ 18s + 18
nhập
(1) ⇔ a = −
⇒
=−
10
ds
10
s1 = −3 + 3 = −1.2679
da

⇒
=0⇔
ds
s 2 = −3 − 3 = −4.7321 Loại


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 8
 Giao điểm QĐNS với trục ảo
3
2
(1) ⇔ s + 9s + 18s + 10a = 0

(2)
Dùng tiêu chuẩn Hurwitz → agh = 16.2
Thay agh = 16.2 vào (2), ta có các giao
điểm

 s1 = i3 2

s 2 = i3 2

s3 = −9

Có thể thay s = jω vào (2) để tìm các giao điểm
này.


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 8

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 9
Vẽ QĐNS của hệ thống sau khi K = 0 → +∞
R(s)

+
-

Gc(s)

PTĐT của hệ thống

G(s)

C(s)

1
G(s) = 2
s + 4s + 13
K
G c (s) =
s

1
 K 

1 + G c (s)G(s) = 0 ⇔ 1 +  ÷ 2
÷ = 0 (1)

 s  s + 4s + 13 
1
⇔ 1+ K 3
= 0 Các cực: p1 = 0,
2
s + 4s + 13s
p2 = -2+3i, p3 = -2-3i


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 9

 α1 = −π / 3

Tiệm α = (2l + 1)π = α = π / 3
 2
3
−
0
α = π
cận
 3
n

OA =

(l = 1)

m

∑p − ∑z
i =1

(l = −1)
(l = 0)

i

i =1

n−m

i

4
=−
3

 Điểm tách
dK
nhập
3
2
(1) ⇔ K = −s − 4s − 13s ⇒
= −3s 2 − 8s − 13
ds
 s1 = −1.333 + 1.5986i
dK
⇒
=0⇔

ds
s 2 = −1.333 − 1.5986i

Không
điểm

có
tách


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 9
 Giao điểm QĐNS với trục ảo
3
2
(1) ⇔ s + 4s + 13s + K = 0

(2)

Thay s = jω vào (2)

(2) ⇔ ( jω)3 + 4( jω) 2 + 13( jω) + K = 0
ω = ±3.6
⇒
K = 52


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 9
 Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2

θ2 = 1800 − arg(p 2 − p1 ) − arg(p 2 − p3 )
= 1800 − arg(−2 + 3i ) − arg(6i )
= 1800 − (900 + 33.690 ) − 900
= −33.69

0


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Ví dụ 9


Bài tập
5)

Vẽ QĐNS của hệ thống vòng kín khi K = 0 → +∞
R(s)

+
-

1
G(s) = 2
s (s + 1)

Gc(s)

G(s)

C(s)

a) G c (s) = K
b) G c (s) = K(s + 0.5)


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Đáp số
5a


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Đáp số 5b


Bài tập
6)

Vẽ QĐNS của hệ thống vòng kín khi K = 0 → +∞
R(s)

+
-

Gc(s)

K(s + 4)
G(s) = 2
( s + 2s + 2 ) ( s + 8)

G(s)

C(s)

1
G c (s) =
s(s + 6)


Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
Đáp số 6