KHẢO SÁT ỨNG XỬ PHI TUYẾN TĨNH HÌNH HỌC CÁC KẾT CẤU TẤM, VỎ CHỊU UỐN BẰNG PHẦN TỬ CSDSG3_KS. Nguyễn Đăng Thạch, TS. Nguyễn Văn Hiếu, PGS.TS. Nguyễn Thời Trung

KHẢO SÁT ỨNG XỬ PHI TUYẾN TĨNH HÌNH HỌC CÁC KẾT CẤU TẤM, VỎ
CHỊU UỐN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3
GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC ANALYSIS OF PLATE, SHELL STRUCTURES
UNDER BENDING LOAD USING CS-DSG3 ELEMENT
KS. Nguyễn Đăng Thạch, TS. Nguyễn Văn Hiếu, PGS.TS. Nguyễn Thời Trung
TÓM TẮT
Trong bài báo này, ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm,
vỏ được nghiên cứu bằng một phương pháp phần tử hữu hạn
trơn CS-DSG3 sử dụng phần tử tam giác ba nút đã được đề xuất
gần đây. Cơ sở lý thuyết tấm/vỏ bao gồm lý thuyết biến dạng
nhỏ - chuyển vị lớn của von Kármán và cách tiếp cận Total
Lagrangian dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(First order Shear Deformation Theory – FSDT). Phần tử CSDSG3 có thể khắc phục hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do
lý thuyết FSDT gây ra, đồng thời giúp tăng độ chính xác cũng
như ổn định lời giải số với lưới thô và lưới méo. Các kết quả số
trong bài báo được so sánh với những kết quả tham khảo có sẵn,
nhằm minh họa tính hiệu quả của phần tử CS-DSG3 trong việc
phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm vỏ. Các kết quả từ
bài báo sẽ giúp người thiết kế hiểu rõ hơn các dạng ứng xử phi
tuyến hình học của kết cấu tấm, vỏ.
Từ khóa: Phân tích phi tuyến hình học, Kết cấu tấm/vỏ, Phần tử
hữu hạn trơn.
ABSTRACT
This paper studies the geometrically nonlinear behaviors of
plate and shell structures using the triangular Cell-based
Smoothed Discrete Shear Gap (CS-DSG3) proposed recently.
The plate theories used in the paper including the small strain –
large deflection theory of von Kármán and the Total Lagrangian
approach are used in association with the First order Shear
Deformation Theory (FSDT). The CS-DSG3 element helps to
overcome shear-locking phenomenon caused by the FSDT and

improve the accuracy and effectiveness of numerical solutions
for coarse and distorted meshes. The results obtained in this
paper are compared with other available numerical results to
illustrate the robustness of the CS-DSG3 element in
geometrically nonlinear analysis of plate and shell structures.
The paper also helps designers to have a better understanding of
nonlinear behavior types of these structures.
Keywords: Geometric nonlinear analysis, Plate/Shell structures,
Smoothed finite elements.
KS. Nguyễn Đăng Thạch
Học viên cao học, Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Kiến Trúc
TP. HCM
Email:
Điện thoại: 0986413759
TS. Nguyễn Văn Hiếu
Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Kiến Trúc TP. HCM
Email:
Điện thoại: 0938123299
PGS. TS. Nguyễn Thời Trung
Viện khoa học tính toán, Trường Đại học Tôn Đức Thắng
Email:
Điện thoại: 0933666226

1. Giới thiệu
Với khả năng tạo hình phong phú và sở hữu các đặc tính cơ
lý đặc biệt, kết cấu tấm, vỏ đã trở nên phổ biến và được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Do có những ứng xử phức
tạp trong các điều kiện biên và tải trọng khác nhau, việc nghiên
cứu ứng xử của kết cấu tấm, vỏ luôn là một trong những đề tài
được quan tâm. Trong đó, nghiên cứu về ứng xử phi tuyến hình

học tấm, vỏ là một trong những cơ sở quan trọng để đánh giá
quá trình làm việc của kết cấu khi có biến dạng lớn hay độ võng
lớn. Phân tích phi tuyến hình học của kết cấu là quá trình xác
định mối quan hệ giữa tải trọng tác dụng và chuyển vị của kết
cấu. Để xác định mối quan hệ này, một chuỗi các bước lặp cần
được thực hiện để cập nhật liên tục độ cứng của kết cấu ứng với
các trạng thái thay đổi của tải trọng tác dụng. Trong mỗi bước
tải, quá trình lặp được thực hiện nhằm đảm bảo sự cân bằng
giữa ngoại lực và ứng suất trong kết cấu. Quá trình tính toán
này vì vậy đã làm tăng chi phí tính toán đáng kể so với phân
tích tuyến tính. Do đó, việc lựa chọn phần tử thích hợp và các
phương pháp tính toán đúng đắn là vấn đề cần được quan tâm
nghiên cứu chuyên sâu trong phân tích ứng xử phi tuyến hình
học của kết cấu. Các báo cáo, nghiên cứu về lĩnh vực này là rất
nhiều và khó có thể liệt kê đầy đủ ở đây. Tuy nhiên, một số nét
chính trong lịch sử nghiên cứu vấn đề này có thể tìm thấy trong
tài liệu được tổng hợp khá đầy đủ, chi tiết của Crisfield [1] hay
Gal và Levy [2].
Trong ba thập kỷ qua, phương pháp phần tử hữu hạn đã
được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để mô phỏng ứng xử
của kết cấu tấm, vỏ. Tuy nhiên phương pháp này vẫn còn những
hạn chế nhất định liên quan đến kỹ thuật rời rạc miền bài toán,
độ chính xác, tính ổn định của nghiệm cũng như chi phí tính
toán. Do đó, việc đề xuất những cải tiến cho phương pháp phần
tử hữu hạn truyền thống luôn giữ vai trò rất quan trọng và mang
tính thời sự trong nhiều thập kỷ qua. Gần đây, phương pháp
phần tử hữu hạn trơn được phát triển nhằm giải quyết một số
vấn đề tồn tại của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống
như nâng cao hiệu quả trong phân tích, tính toán, cải thiện độ
chính xác của nghiệm ngay cả với lưới thô, cải thiện độ ổn định

của nghiệm với lưới méo.
Trong bài báo này, kết cấu tấm, vỏ được phân tích dựa trên
lý thuyết biến dạng nhỏ - chuyển vị lớn của von Kármán và
cách tiếp cận Total Lagrangian trên nền tảng của cơ sở lý thuyết
biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Tuy nhiên, việc áp dụng lý
thuyết FSDT thường gặp hai nhược điểm lớn: hiện tượng “trội
cắt” (shear locking) ảnh hưởng đến kết quả phân tích với tấm
mỏng và ứng xử quá cứng (overly stiff) làm giảm độ chính xác
và độ hội tụ thấp trong phương pháp số. Để khắc phục những
hạn chế này, phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc độ lệch trượt
được làm trơn trong phần tử tam giác CS-DSG3 [3] đã được đề
xuất. Phương pháp này là sự kết hợp giữa kỹ thuật trơn dựa trên
phần tử CS-FEM [4] và phần tử rời rạc độ lệch trượt DSG3 [5].
Vì vậy, mục tiêu của nghiên cứu này sẽ sử dụng phần tử CSDSG3 để phân tích ứng xử phi tuyến hình học kết cấu tấm, vỏ
với dạng hình học và điều kiện biên khác nhau. Đây là phần tử
có những đặc tính tốt như đơn giản trong việc thành lập công
thức, linh hoạt trong rời rạc miền hình học nên có thể giảm đáng
kể chi phí tính toán so với các phần tử truyền thống trước đây.
Trang 1


2. Cơ sở lý thuyết

với a =
x2 − x1 , b =
y2 − y1 , c =
y3 − y1 , d =
x3 - x1 như Hình 1 và

Đối với kết cấu tấm, mô hình ứng xử được xây dựng trong

mặt phẳng Oxy, ở đó, mỗi nút của phần tử có 5 bậc tự do
u , v, w, β x , β y . Với kết cấu vỏ, các phần tử được xác định bất

xi = [ xi

yi ] , i = 1, 2, 3, là tọa độ nút; Ae là diện tích của phần
T

tử tam giác.

kỳ trong không gian tổng quát OXYZ. Do đó, ngoài 5 thành
phần bậc tự do trên, chúng ta cần kể đến thành phần bậc tự do
thứ sáu β z là góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh trục
Oz nhằm thể hiện đầy đủ và chính xác được bản chất ứng xử
của kết cấu vỏ. Ngoài ra chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ tổng thể
OXYZ về hệ tọa độ địa phương Oxyz cần được xác định.
Rời rạc miền giới hạn Ω thành N e phần tử hữu hạn sao cho

=
Ω



Ne
e=1

Ωe và Ωi ∩ Ω j = ∅, i ≠ j . Trường chuyển vị tổng

quát trên mỗi phần tử tấm Ωe được xấp xỉ theo phương pháp
phần tử hữu hạn như sau:

=
uh

3

3

N (x)I d ∑ N d
=
∑

6 I
I
I 1=
I 1
=

I

(1)

I

T

trong đó d I = uI vI wI β xI β yI β zI  là trường chuyển vị
tại nút thứ I của phần tử; N I (x), I = 1, 2, 3, là các hàm dạng
của phần tử tam giác trong hệ tọa độ tự nhiên có dạng:
(2)

N1 =1 − ξ − η , N 2 =ξ , N 3 =η .
Biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt trên mỗi
phần tử Ωe được xấp xỉ là:
=
εm

B d ;κ ∑
=
B d ;γ ∑
=
S d ;ε
∑=
∑G d
mI

I

I

bI

I

I

I

I

g

i

I

I

(3)

I

trong đó, B mi , Bbi , Si , G i là các ma trận gradient biến dạng,
được tính bởi công thức:

B mI

 NI ,x

= 0
 NI , y


0
NI , y
NI ,x

0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0 

0 0 0 N I , x

BbI = 0 0 0
0
0 0 0 N I , y

0 0 N I , x
SI = 
0 0 N I , y

(4)

0
NI , y
NI ,x

0

0
0 

(5)

NI

0

0

NI

0
0 

(6)



b − c
0
0 0 0 0 c
0 0 0 0 0 −b 0 0 0 0 0 


1
B mL =
d − a 0 0 0 0 0 −d 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 
 0
2 Ae 
d − a b − c 0 0 0 0 −d c 0 0 0 0 a −b 0 0 0 0 
  

  
B m1
Bm 2
Bm3



(8)
0 0 0 c
0 0
0 0 0 0 −d 0
0 0 0 −d c 0



Bb 2

Hình 2:Ba tam giác con được
tạo từ tam giác 1-2-3 của phần
tử CS-DSG3.

Để khắc phục hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do lý thuyết
FSDT gây ra, Bletzinger [5] đã đề xuất phương pháp rời rạc độ
lệch trượt (DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt của tấm.
Khi đó, ma trận gradient biến dạng cắt trong công thức (6) được
viết lại bởi công thức:
ac / 2
bc / 2 0
0 0 b − c Ae 0 0 0 0 c
0 0 d − a 0 A 0 0 0 − d −ad / 2 −bd / 2 0
e  
 


S2
S1
1 

S=
2 Ae 0 0 −b −bd / 2 −bc / 2 0
0 0 a
ad / 2 ac / 2 0


 
S3












(11)
Trong CS-DSG3 [3], mỗi phần tử tam giác được chia thành
ba tam giác con bằng cách kết nối các điểm trọng tâm của các
phần tử đến ba nút xung quanh của phần tử như Hình 2. Véc-tơ
chuyển vị tại điểm trọng tâm O được tính toán là giá trị trung
bình của ba véc-tơ chuyển vị đỉnh d e1 , d e 2 và d e 3 và có dạng:

d e1 + d e 2 + d e 3
(12)
3

Trong mỗi tam giác con, phần tử DSG3 được sử dụng để tính
toán các biến dạng và tránh hiện tượng shear locking. Sau đó,
kỹ thuật làm trơn biến dạng cho phần tử tam giác được sử dụng
để làm trơn biến dạng ở ba tam giác con.
Trên tam giác con thứ nhất Δ 1 (O-1-2), trường chuyển vị của
phần tử tấm được biểu diễn như sau:
de0 =

0 0 N I , x 0 0 0
(7)
GI = 

0 0 N I , y 0 0 0
Thay công thức (2) vào công thức (4), (5) và (7), ma trận
gradient biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng hình học
được xác định bởi:


0 0 0 b − c
0
0
1 
0
d −a 0
B=
0 0 0
b
2 Ae 
0 0 0 d −a b−c 0
 

Bb1


Hình 1:Phần tử tam giácDSG3
và hệ tọa độ địa phương trong
phần tử.


0 0 0 −b 0 0 

0 0 0 0 a 0
0 0 0 a −b 0 
 
Bb 3


(9)


1 0 0 b − c 0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 −b 0 0 0 


G=
2 Ae 0 0 d − a 0 0 0 0 0 − d 0 0 0 0 0 a 0 0 0 


  


BG1

BG 2
BG 3



u e∆1 = {ue

ve

β ex

we

β ey β ez }

T

(13)

và được xấp xỉ tuyến tính như sau:

=
u e∆1

{

trong đó d ∆1 = d o∆1

d1∆1

3

=
N d
∑
∆1
i

i =1

d ∆2 1

∆1
i

N ∆1 d ∆1

(14)

} là trường chuyển vị tại các nút

O,1,2 trong tam giác (O-1-2); N ∆1 =  N1∆1 N 2∆1 N 3∆1  là hàm


dạng tại các nút O, 1, 2 trong tam giác (O-1-2). Các ma trận
gradient biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt, biến
dạng hình học của tam giác con Δ 1 được tính như sau:
 d e1 
1 ∆1
1 ∆1   

 1 ∆1
∆1
∆1
ε mL∆1 =
b
+
b
b
+
b
b
B mL∆1 d e (15)
m2
m1
m3
m1  d e 2  =
 3 m1
3
3


  d e 3 
L∆
Bm

1

(10)
Trang 2

m

κ b∆1

(16)
 d e1 
1 ∆1
1 ∆1   
 1 ∆1
∆1
∆1
=
Bb∆1 d e (17)
 3 bb1 + bb 2 3 bb1 + bb 3 3 bb1  d e 2  =

  d e 3 
∆
B 1
b

γ

∆1
s

 d e1 
 1 ∆1 ∆1 1 ∆1 ∆1 1 ∆1   
S ∆1 d e
=

 3 s1 + s 2 3 s1 + s3 3 s1  d e 2  =

 d e 3 
∆
S 1

∆

BG1

trong đó b

,b

NL∆1
m

∆1
b

∆1

, b , s và b

∆1
G

được tính toán tương tự như

ma trận B , B , Bb , S và BG của DSG3 nhưng với hai điều

L
m

NL
m

chỉnh: (1) tọa độ của=
ba nút xi

xi yi ] , i
[=
T

1, 2, 3 được

thay thế tương ứng với x 0 , x1 và x 2 ; (2) diện tích Ae được thay
thế bằng diện tích A∆1 của tam giác con ∆1 .
Tương tự, dùng phép hoán vị, ta dễ dàng tính được biến
L∆
L∆
dạng màng tuyến tính ε m 2 , ε m 3 , biến dạng màng phi tuyến
ε mNL∆2 , ε mNL∆3 , biến dạng uốn κ b∆2 , κ b∆3 , biến dạng cắt γ ∆s 2 , γ ∆s 3 và
∆2
∆3
biến dạng hình học ε g , ε g lần lượt cho tam giác thứ hai ∆ 2 và
tam giác thứ ba còn lại ∆ 3 .
Áp dụng kỹ thuật làm trơn biến dạng trong CS-FEM lần lượt
cho các biến dạng trong ba tam giác con ∆ 1 , ∆ 2 và ∆ 3 ta được
Le
biến dạng màng tuyến tính được làm trơn ε m , biến dạng màng

e
NLe
phi tuyến được làm trơn ε m , biến dạng uốn được làm trơn κ b ,
e
biến dạng cắt được làm trơn γ s và biến dạng hình học được trơn

ε eg cho phần tử tam giác Ωe như sau:
L
NL
 e B b d e ;
 NLe B=
=
ε mLe B =
mde ; ε m
m de ; κ b
=
=
γ e Sd
; ε e B d
s

e

g

G

(20)

e

1 3
1 3
=
A∆i B mL∆i ; B mNL
∑
∑ A∆ B mNL∆i ;
Ae i 1 =
Ae i 1 i
=

trong đó: B mL
=
B b

1 3
1 3
1 3
=
A∆i Bb∆i ; S
=
A∆i S ∆i ; B G
∑
∑
∑ A∆ BG∆i (21)
Ae i 1 =
Ae i 1 =
Ae i 1 i

Sau cùng ma trận tiếp tuyến trơn K T được hiệu chỉnh như sau:

 =K
 +K
 +K
 ,
(22)
K
T
L
NL
g
trong đó
3

 = B T D* B A ,
K
∑ Li Li i
L

∫

L

Ω

NL

với giá trị ứng suất sau bước lặp thứ i được tính bởi công thức
(28)
σ*i +1= t σ*i + t ∆σ*
và ứng suất gia tăng được tính bởi công thức

t
 +B
 ) ∆q
(29)
∆σ* = D* ∆ε* = D* ( B
L
NL

trong đó mối quan hệ giữa các thành phần nội lực, mô-men và
biến dạng trong tấm được biểu diễn theo định luật Hooke:
(30)
σ* = D*ε*
m
(18)
D
0
0
N
ε m 


 
 
*
*
*
b
=
M  , ε κ=
D  0 D

0 .
với σ =
b ,
Q 
γ 
 0
0 Ds 
 
 s


 d e1 
1 ∆1
1 ∆1   
 1 ∆1
∆1
∆1
+
+
ε ∆g1 =
b
b
b
b
b
BG∆1 d e (19)
G2
G1
G3
G1   d e 2  =

 3 G1
3
3


  d e 3 
L∆1
m

Nội lực tại thời điểm t trong phương trình phân tích phi
tuyến được tính từ trạng thái ứng suất của kết cấu như sau:
t 
 +B
 ) t σ * dΩ
(27)
F = (B

(23)

và N = { N x

Ny

N xy } là các thành phần nội lực trong mặt

phẳng tấm, M = {M x

trong tấm, Q = {Qx

M xy } là các thành phần mô-men

My

Qy } là các thành phần lực cắt ngoài mặt

phẳng tấm. Các ma trận Dm , Db , Ds là các ma trận hằng số vật
liệu ứng với các trạng thái kéo nén, uốn và cắt của tấm.
Theo cách tiếp cận Total Lagrangian, biểu thức phần tử hữu
hạn cho phân tích phi tuyến được diễn tả:
t 
(31)
K T ∆=
u t + ∆t P − t F
trong đó tF là véctơ nội lực tổng thể tại thời điểm t, t+∆tP là
véctơ ngoại lực của phần tử tại thời điểm t+∆t, tK T là ma trận
độ cứng tiếp tuyến của phần tử tại thời điểm t và ∆u là gia số
chuyển vị của phần tử.
3. Các ví dụ số
Các bài toán được trình bày sau đây có các điều kiện biên khác
nhau và giải quyết cho cả trường hợp lưới chia méo và chia đều.
Nghiệm phi tuyến của mô hình tính toán được thực hiện bằng
thuật toán lặp dây cung (Arc-Length) [6] nhằm thể hiện đường
cong quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị. Tiêu chuẩn hội tụ của
chuyển vị được lấy với giá trị 0.001.
3.1 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của tấm hình
vuông liên kết ngàm chịu tải phân bố đều
Xét tấm hình vuông liên kết ngàm chịu tác dụng của lực
phân bố đều q . Tấm có bề dày h = 1 , chiều dài cạnh L = 100
với mô-đun đàn hồi =
E 2.1× 106 và hệ số Poisson v = 0.316 .

Do tính chất đối xứng hình học, chỉ 1/4 tấm được khảo sát với
mức chia lưới 5×5 trong cả trường hợp lưới chia đều và chia
méo như Hình 3.
L/2

L/2

ε mNL∆1

 d e1 
1 NL∆1
1 NL∆1   
 1 NL∆1
NL∆1
NL∆1
b m1 + b m 3
b m1  d e 2  =
B mNL∆1 d e
=
 3 b m1 + b m 2
3
3


  d e 3 
B NL∆1

i =1
3

 = B T D* B A ,
K
∑ NLi NLi i
NL

(24)

i =1

3

ˆ  A,
 = G
K
∑  Ti NG
g
Li i

(25)

a)
b)
Hình 3: Hệ lưới 1/4 tấm vuông: a) lưới đều, b) lưới méo

i =1

B 
  

=

B L =
Bb  , B NL
B 
 s
L
m

B mNL 


 0 


 0 

(26)

Hình 4 biểu diễn đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị
được chuẩn hóa wC / h tại điểm trọng tâm của tấm và tải trọng
phân bố đều trên bề mặt tấm. Kết quả từ phần tử CS-DSG3
được so sánh với kết quả từ phần tử DSG3, phần tử “nonconforming” của Zhang và Cheung [7], phần tử MISQ20 của
H.Nguyen-Van [8], phương pháp giải tích của Chia [9]. Với cả
Trang 3


lưới đều và lưới méo, mặc dù chỉ sử dụng phần tử bậc thấp
nhưng phương pháp CS-DSG3 vẫn cho kết quả phù hợp với
nghiệm tham khảo có được từ phương pháp giải tích hay những
phần tử bậc cao. Bên cạnh đó, kỹ thuật làm trơn CS-FEM cũng
cho thấy hiệu quả rõ rệt khi cải thiện đáng kể độ chính xác của

phương pháp gốc DSG3.
3

Tải trọng, q

2.5

2

1.5

DSG3
CS-DSG3
CS-DSG3 (chia méo)
MISQ20
Zhang & Cheung
Analytic

1

0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tích của Schoop [10] và các phần tử áp dụng lý thuyết của
Kirchhoff như phần tử NRT15 [11], phần tử DKT [12], phần tử
RNEM [13].
Ta thấy kết quả của phần tử CS-DSG3 được cải thiện rất nhiều
so với kết quả phân tích từ phần tử DSG3. Đồng thời, dạng
đường cong phi tuyến có được từ phần tử CS-DSG3 rất phù hợp
với các lời giải tham khảo khác. Ngoài ra, kết quả có được trong
ví dụ này còn cho thấy tính hữu dụng của phần tử CS-DSG3
trong việc phân tích kết cấu tấm mỏng khi kết quả có được từ
phần tử này tương đồng với những phần tử được xây dựng dựa
trên lý thuyết tấm mỏng như NRT15, DKT và RNEM.
3.3 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của vỏ trụ liên kết
ngàm chịu tải phân bố đều
Xét một vỏ trụ liên kết ngàm trên tất cả các cạnh, chịu tác
dụng của tải phân bố đều như Hình 7 a. Các thông số hình học
được cho như sau: L = 20, R = 100, h = 0.125 , ϕ = 0.1 . Thông
số vật liệu gồm E = 4.5 × 105 và v = 0. Do tính chất đối xứng
hình học nên chỉ 1/4 kết cấu được khảo sát trong cả trường hợp
lưới đều (Hình 7 b) và lưới méo (Hình 7 c) với mức lưới 6 × 6 .
b)

1.4

Chuyển vị chuẩn hóa tại trọng tâm, wc/h

Hình 4: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm tấm vuông
ngàm chịu tải phân bố đều.
3.2 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của tấm hình tròn
liên kết ngàm chịu tải phân bố đều
Trong ví dụ này, kết cấu tấm tròn, ngàm xung quanh, chịu
tải phân bố đều q được khảo sát. Bán kính tấm R = 100 , bề

c)

dày h = 2 , mô-đun đàn hồi E = 107 , hệ số Poisson v = 0.3 . Do
tính chất đối xứng hình học, 1/4 tấm với 54 phần tử được xem
xét trong cả hai trường hợp chia lưới như Hình 5.

a)

R

Hình 7: Vỏ trụ tựa ngàm tải trọng phân bố đều tại tâm vỏ: a) sơ
đồ tính, b) mô hình lưới 6x6 đều, c) mô hình lưới 6x6 méo.

a)
b)
Hình 5: Hai dạng chia lưới (54 phần tử) của 1/4 tấm hình tròn:
a)lưới chuẩn; b)lưới méo

DSG3
CS-DSG3

CS-DSG3 (chia méo)
NRT15
DKT
RNEM
Analytic

10

0.45
0.4
0.35
0.3

Tải trọng, q

Tải trọng chuẩn hóa, qR4/(Eh4)

15

Hình 8 biểu diễn đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị
được chuẩn hóa wC / h tại điểm trọng tâm C và tải trọng phân
bố đều trên bề mặt vỏ. Kết quả từ phần tử CS-DSG3 được so
sánh với kết quả có được từ các nghiên cứu Palazotto và
Dennis [14], Reddy [15] và H.Nguyen-Van [8]. Có thể thấy
rằng, phần tử hiện tại cho các kết quả phù hợp với các nghiên
cứu kể trên trong cả hai trường hợp chia lưới. Đặc biệt độ sai
lệch so với phần tử tứ giác bậc cao được làm trơn MISQ20 là
không nhiều. Mặt khác, phần tử CS-DSG3 cũng đã thể hiện
được ứng xử phi tuyến hình học đặc thù trong bài toán này, đó
là đường cong bậc ba với giai đoạn đầu là “softening” (mềm) và

giai đoạn sau là “hardening” (cứng).

5

0.25
0.2
CS-DSG3
CS-DSG3(chia méo)
MISQ20
Palazoto & Demis
Reddy

0.15

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Chuyển vị chuẩn hóa tại trọng tâm, wc/h

Hình 6: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm tấm tròn
ngàm chịu tải phân bố đều.
Hình 6 biểu diễn đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị
được chuẩn hóa wC / h tại điểm trọng tâm của tấm và tải trọng
phân bố đều trên bề mặt tấm. Kết quả từ phần tử CS-DSG3
được so sánh với kết quả từ phần tử DSG3 cùng với kết quả giải

0.1
0.05
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Chuyển vị chuẩn hóa tại trọng tâm, wc/h

Hình 8: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm vỏ trụ ngàm
chịu tải phân bố đều.

Trang 4


3.4 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học của vỏ trụ liên kết
khớp chịu tải trọng tập trung
Kết cấu vỏ trụ chịu tác dụng của tải tập trung đặt tại trọng
tâm C. Điều kiện biên bao gồm: hai biên cạnh thẳng của vỏ trụ
chịu liên kết khớp, hai biên cong tự do. Các thông số kích thước
hình học được cho bởi: chiều dài vỏ trụ L = 508 mm , bán kính
R = 2540 mm và góc mở ϕ = 0.1 ; thông số vật liệu gồm:

E = 3.10275 kN/mm 2 và v = 0.3 . Chiều dày vỏ được khảo sát
với các giá trị h = 12.7mm như Hình 9a. Như ví dụ trên, việc
phân tích được tiến hành trên 1/4 vỏ với hai loại lưới chia đều
và chia ngẫu nhiên như Hình 9b,c.
b)

c)
a)
Hình 9: Vỏ trụ tựa đơn tải trọng tập trung tại tâm vỏ: a) sơ đồ
tính, b) mô hình lưới 6x6 đều, c) mô hình lưới 6x6 méo.
Hình 10 mô tả chuyển vị phi tuyến của vỏ trụ tại điểm C với
bề dày h = 12.7 mm dùng phần tử CS-DSG3 và các kết quả
tham khảo từ phần tử MISQ20 [8] và nghiên cứu của Crisfield

[16], Sabir và Lock [17], Sze [18]. Qua đồ thị này, ta nhận thấy
rằng, các điểm cực trị của các đường cong gần như trùng nhau
và sự chênh lệch giữa các đường cong không đáng kể. Dạng
đường cong này thể hiện ứng xử theo dạng Snap-through và qua
đó cho thấy phần tử CS-DSG3 giải quyết tốt dạng ứng xử phức
tạp này ngày cả với lưới méo.
4
CS-DSG3
CS-DSG3(chia méo)
MISQ20
Crisfield
Sabir and Lock
Sze et al.

3.5

Tải trọng, P (kN)

3
2.5
2
1.5
1
0.5
0

0

5

10

15

20

25

30

Chuyển vị tại điểm C, wC (mm)

Hình 10: Quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị tại tâm vỏ trụ
tựa đơn chịu tải tập trung.
4. Kết luận
Trong bài báo này, phần tử CS-DSG3 đã được sử dụng cho
phân tích ứng xử phi tuyến tĩnh hình học các kết cấu tấm, vỏ
chịu uốn dựa trên thuyết biến dạng nhỏ, chuyển vị lớn của von
Kármán và cách tiếp cận Total Lagrangian. Các kết quả đạt
được trong phần ví dụ số cho thấy phần tử CS-DSG3 phù hợp
với các kết quả tham khảo cho cả kết cấu tấm, vỏ mỏng đến dày
tương đối. Phần tử này đã giải quyết được một số dạng ứng xử
phức tạp của các kết cấu vỏ. Kết quả số cũng cho thấy kỹ thuật
làm trơn biến dạng trên phần tử đã cho hiệu quả rõ rệt khi cải
thiện rất nhiều kết quả của phần tử DSG3 và khắc phục hiện
tượng trội cắt. Đồng thời, với dạng chia lưới méo ngẫu nhiên kỹ
thuật này cho kết quả nghiệm số gần như trùng khớp với việc
chia lưới đều. Sau cùng, một đặc điểm được nhấn mạnh của

phần tử tam giác ba nút này là khả năng rời rạc, chia lưới cho

kết cấu dễ dàng và tự động.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Crisfield, M.A., Non-Linear Finite Element Analysis of
Solids and Structures. Vol. 1: New York : John Wiley &
Sons, 1991.
2. Gal, E. and R. Levy, Geometrically nonlinear analysis of
shell structures using a flat triangular shell finite element.
Archives of Computational Methods in Engineering, 13(3):
331-388, 2006.
3. Nguyen-Thoi, T., P. Phung-Van, H. Nguyen-Xuan, and C.
Thai-Hoang, A cell-based smoothed discrete shear gap
method using triangular elements for static and free
vibration analyses of Reissner–Mindlin plates. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(7): 705741, 2012.
4. Liu, G.R., Nguyen, T. T., Dai, K. Y., Lam, K. Y.,
Theoretical aspects of the smoothed finite element method
(SFEM). International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 71(8): 902-930, 2007.
5. Bletzinger, K.-U., M. Bischoff, and E. Ramm, A unified
approach for shear-locking-free triangular and rectangular
shell finite elements. Computers & Structures, 75(3): 321334, 2000.
6. Thạch, N.Đ., Phân tích phi tuyến hình học tấm, vỏ dùng
phần tử CS-DSG3. Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật xây dựng. Đại
học Kiến trúc TP.HCM, 2015.
7. Zhang, Y.X. and Y.K. Cheung, A refined non-linear nonconforming triangular plate/shell element. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 56(15):
2387-2408, 2003.
8. Nguyen-Van, H., N. Nguyen-Hoai, T. Chau-Dinh, and T.
Tran-Cong, Large deflection analysis of plates and
cylindrical shells by an efficient four-node flat element with

mesh distortions. Acta Mechanica: 1-21, 2015.
9. Chia, C.Y., Nonlinear Analysis of Plates. McGraw-Hill,
NewYork, 1980.
10. Schoop, H., A simple nonlinear flat element for large
displacement structures. Computers & Structures, 32(2):
379-385, 1989.
11. Zhang, Y.X. and Y.K. Cheung, Geometric nonlinear
analysis of thin plates by a refined nonlinear nonconforming triangular plate element. Thin-Walled
Structures, 41(5): 403-418, 2003.
12. Gunderson, R., W.E. Haisler, J.A. Stricklin, and P.R.
Tisdale, A rapidly converging triangular plate element.
AIAA Journal, 7(1): 180-181, 1969.
13. Zhang, Y.X. and K.S. Kim, Linear and Geometrically
nonlinear analysis of plates and shells by a new refined nonconforming triangular plate/shell element. Computational
Mechanics, 36(5): 331-342, 2005.
14. Palazotto, S.T.D.A.N., Nonlinear Analysis of Shell
Structures. American Institute of Aeronautics and
Astronautics, 1992.
15. Reddy, J.N., An Introduction to Nonlinear Finite Element
Analysis. Oxford University Press, 2004.
16. Crisfield, M.A., A faster modified newton-raphson iteration.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,
20(3): 267-278, 1979.
17. Sabir, A.B., Lock, A.C., The application of finite elements to
large deflection geometrically nonlinear behaviour of
cylindrical shells. Variational Methods in Engineering,
Southampton University Press, Southampton, Brebbia, C.A.,
Tottenham, H. (eds.) 1973.
18. Sze, K.Y., X.H. Liu, and S.H. Lo, Popular benchmark
problems for geometric nonlinear analysis of shells. Finite

Elements in Analysis and Design, 40(11): 1551-1569, 2004.
Trang 5