PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM CHỨC NĂNG (FGM) CHỊU UỐN VỚI CHUYỂN VỊ LỚN BẰNG PHẦN TỬ MISQ20_KS. Đoàn Thị Hải Yến, TS. Nguyễn Văn Hiếu, TS. Châu Đình Thành

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM CHỨC NĂNG (FGM) CHỊU UỐN
VỚI CHUYỂN VỊ LỚN BẰNG PHẦN TỬ MISQ20
ANALYSIS OF FUNCTIONALY GRADED MATERIAL (FGM) PLATES UNDER LARGE BENDING
DEFLECTIONS BY THE MISQ20 ELEMENT
KS. Đoàn Thị Hải Yến, TS. Nguyễn Văn Hiếu, TS. Châu Đình Thành
TÓM TẮT

1. Giới thiệu

Bài báo này phát triển một mô hình tính toán phần tử hữu
hạn cho kết cấu tấm FGM chịu uốn bằng phần tử tứ giác 4 nút
được làm trơn MISQ20 với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
(HSDT). Trong đó, lý thuyết HSDT sẽ được sử dụng kết hợp
với phần tử bậc thấp có hàm xấp xỉ liên tục C0 để tiết kiệm chi
phí tính toán. Việc xây dựng phương trình phi tuyến hình học
được dựa theo cách tiếp cận Total Lagrangian trong đó chuyển
vị tại thời điểm hiện tại so với trạng thái ban đầu được xem là
lớn. Lý thuyết biến dạng nhỏ-chuyển vị lớn von Kármán sẽ
được sử dụng trong thiết lập công thức phi tuyến của phần tử tứ
giác trơn. Nghiệm xấp xỉ của phương trình cân bằng phi tuyến
hình học sẽ đạt được thông qua phương pháp giải lặp NewtonRapshon với tiêu chuẩn hội tụ thích hợp. Các kết quả số mô
phỏng tính toán trong bài báo được so sánh với những kết quả
đã công bố trước đây đồng thời đưa ra những đánh giá giúp
người thiết kế hiểu rõ hơn các dạng ứng xử của các dạng kết
cấu này khi chịu chuyển vị lớn.

Sau khi được đề xuất bởi các nhà khoa học ở viện Sendai
của Nhật Bản vào năm 1984, vật liệu FGM ngày càng được
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Đây là một loại vật liệu
composite đặc biệt được cấu tạo có các đặc trưng vật liệu thay
đổi liên tục và trơn theo suốt chiều dày tấm từ bề mặt giàu

ceramic đến mặt giàu kim loại. Do vậy, tấm FGM không xuất
hiện hiện tượng bong tách lớp như vật liệu composite thông
thường và vẫn ổn định trong môi trường có nhiệt độ cao.

ABSTRACT
This paper develops a computational finite element model
for FGM bending plates using a smoothed four-node
quadrilateral element MISQ20 and the higher order shear
deformation theory (HSDT). In particular, the HSDT will be
used in combination with the low-order element using C0
continuity to reduce computational cost. The construction of
the nonlinear geometric equations is based on Total Lagrangian
approach in which motion at the present state compared with
the initial state is considered large. Smain-strain largedisplacement theory of von Kármán will be used in nonlinear
formulations of the smoothed quadrilateral element MISQ20.
The solution of the nonlinear equilibrium equations is obtained
by the iterative method of Newton-Rapshon with the proper
convergence criteria. The results of the numerical simulations
in the paper are compared with the previously numerical results
in the literature and these numerical investigations can also
help designers to have a better understanding of the behaviors
of these structures under large deflections.
KS. Đoàn Thị Hải Yến
Học viên cao học, Khoa Xây dựng, Đại Học Kiến Trúc
Tp.HCM
Email:
Điện thoại: 0987632093
TS. Nguyễn Văn Hiếu
Khoa Xây Dựng, Đại Học Kiến Trúc Tp.HCM
Email:

Điện thoại: 0938123299
TS. Châu Đình Thành
Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng, Đại Học Sư Phạm Kỹ
Thuật Tp.HCM
Email:
Điện thoại: 0903092979

Một số lời giải giải tích về tấm FGM cũng đã được công bố
gần đây như: Reddy [1] phân tích ứng xử tĩnh của tấm FGM
với lời giải giải tích theo lý thuyết chuyển vị bậc nhất và bậc
cao; Chi và Chung [2] xây dựng lời giải giải tích cho tấm chữ
nhật FGM bốn biên tựa khớp chịu uốn dưới tác dụng của tải
trọng ngang phân bố đều dựa vào lý thuyết tấm bậc nhất; Woo
và Megrid [3] sử dụng lý thuyết von Kármán cho biến dạng lớn
để tìm lời giải giải tích cho tấm và vỏ chịu tác dụng của tải
trọng cơ học và nhiệt độ. Tuy nhiên khối lượng công việc để
thực hiện những lời giải giải tích này là rất lớn, phức tạp và chỉ
giới hạn bởi một số mô hình đơn giản do đó nhu cầu phát triển
mô hình tính toán phần tử một cách đơn giản và hiệu quả là
mục tiêu của nhiều nhà nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, đã có một vài mô hình phân tích
ứng xử tấm FGM bằng phương pháp phần tử hữu hạn được
công bố. Đầu tiên phải kể đến những nghiên cứu như: [4] sử
dụng dụng lý thuyết cổ điển cho tấm Reissner – Mindlin với
phần tử có 3 bậc tự do tại mỗi nút hay phần tử MISQ20 của
Nguyen Van Hieu [5] có 5 bậc tự do tại mỗi nút được làm trơn
và áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Nghiệm
cho ra của những nghiên cứu này khi tham chiếu với Reddy [1]
hay Zienkiewicz và Taylor [6] vẫn có những sai lệch nhất định.
Phần tử CS-DSG3 trên C0-HSDT của Phung-Van P. và các

cộng sự [7] khi phân tích bài toán tấm chịu uốn cho thấy kết
quả phân tích tốt hơn do xét đến hai bậc tự do xoắn thêm vào ở
mỗi nút. Tuy nhiên, nhược điểm của phần tử này là khối lượng
tính toán lớn, hội tụ chậm hơn phần tử tứ giác do đó cần thiết
xây dựng mô hình phần tử bốn nút. Vì vậy, nghiên cứu này tập
trung phát triển mở rộng phần tử hữu hạn trơn MISQ20 dùng
xấp xỉ chuyển vị đã được đề xuất bởi Nguyễn Văn Hiếu và các
cộng sự [8] kết hợp với cơ sở HSDT cho phân tích ứng xử tĩnh
của tấm FGM chịu chuyển vị lớn.
2. Cơ sở lý thuyết
2.1 Tấm FGM và các đặc trưng vật liệu
Sự thay đổi liên tục và trơn của các đặc trưng vật liệu theo
chiều dày tấm được thể hiện qua hàm vật liệu P(z) với giả định
hàm phân phối vật liệu ceramic V c như sau:
P( z ) =
( Pc − Pm ) Vc + Pm

−h
1 z 
≤z≤
Vc =  +   n ≥ 0,
2
2 h 
n

h

(1)



2

trong đó Pc , Pm lần lượt là đặc trưng vật liệu lớp trên gốm và
lớp dưới kim loại, z là biến theo chiều dày tấm dao động từ h/2 đến h/2, n là số mũ phân phối. Đồ thị thể hiện sự thay đổi
Trang 1


Thành phần biến dạng phi tuyến trong mặt cắt

của Vc theo chiều dày tấm với các giá trị khác nhau của số mũ
phân phối n được thể hiện trong hình 1.

T
4
ε p =ε xx ε yyγ xy  =ε 0 + zκ1 − 2 z 3κ 2
3h

Biến dạng màng

(5)

ε=
ε 0L + ε 0NL
0

trong đó
Vc

 ∂u


 ∂w
0


 0
∂x


 ∂x
 ∂v

1


0
 0
,
=
ε 0L =
ε
 0NL
2
∂y



 ∂u
∂v 
 ∂w 0

 0 + 0

∂ x 
 ∂ y
 ∂y


0 
  ∂w 0 


∂w 0   ∂ x 

∂ y   ∂w 0 


∂w 0   ∂ x 
∂ x 

(6)

Biến dạng uốn:
 β y,x 


β y,x + φx,x
1
1



κ1=
− β x,y  , κ 2=
− β x,y + φy,y



2
2




 β y,y − β x,x 
( β y,y − β x,x ) + (φx,y + φy,x ) 

z/h
Hình 1. Hàm phân phối V c theo chiều dày.
Dưới sự tác dụng của cùng một môi trường nhiệt độ, nhiệt
độ được giả định là không đổi trong mặt phẳng của tấm và thay
đổi theo suốt bề dày tấm. Sự phân bố nhiệt độ trên chiều dày
được xác định thông qua lời giải phương trình truyền nhiệt ổn
định một chiều
−

d 

λ (z)

dt 

dT 
0
=
dz 

(2)

với những điều kiện biên về nhiệt độ
T = Tt tại z =

h
h
và T = Tb tại z = −
2
2

Phương trình (2) được viết lại

T ( z=
) Tt −

Tt − Tb
h/2

∫ ( dz / λ ( z ) )

h/2

dξ

∫ λ (ξ )
z

(3)

Thành phần biến dạng cắt tuyến tính của mặt phẳng giữa
T

γ= γ xz γ yz  = ε s + z 2 κ s

 w ,x + β y 
4 φx + β y 
εs = 
(9)
 , κ s = − 2 φ − β 
w
−
β
h  y
x
x
 ,y
Theo định luật Hooke, thành phần ứng suất pháp theo chiều
dày tấm
4


σ= Q  ε0L + zκ1 − 2 z 3 κ 2 − εth 
(10)
3h



Thành phần ứng suất tiếp tại mặt trung bình tấm
=
τ H εs + z 2 κs
(11)

(

2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho tấm FGM


4z3 
4z3
u( x , y , z ) = u 0 +  z − 2  β y − 2 φx
3h 
3h

(4)

tương ứng và φx ,φ y là góc xoắn theo trục x, y như trên hình 2.
Đây là công thức chuyển đổi từ lý thuyết cắt bậc cao của
Reddy [9] nhờ việc thay đổi 5 bậc tự do trong trường xấp xỉ
liên tục C1 sang C0 với 7 bậc tự do u =  u 0 v 0 w 0 β x β yφxφy  .

)

Các ma trận vật liệu được tính



1 ν
0 

E ( z ) 1 0 
E (z) 
0  H=
ν 1
Q=
2 
2 (1 + ν ) 0 1 
1 −ν 

1
−
ν
(
)
0 0


2 
Các ma trận hằng số vật liệu được tính toán như sau

Với hai bậc tự do xoắn Φ x , Φ y thêm vào, các thành phần
chuyển vị được tính như sau

trong đó, t là chiều dày của tấm, u0 ,v0 ,w0 là các chuyển vị tại
điểm giữa của tấm, β x , β y là các góc xoay quanh trục x, y

(8)

trong đó:

−h/ 2


4z3 
4z3
v( x , y , z ) = v0 −  z − 2  β x − 2 φy
3h 
3h

w( x , y ,0 ) = w0

(7)

Dmb

với

B c1E 
A
 As

D c1F  , Ds =  s
= B
c2B
c1E c1F c12 H 
h/2

( A,B, D,E,F, H ) = ∫

(12)

c2B s 

c22 Ds 

(13)

(1, z, z , z , z , z )Qdz
2

3

4

6

(14)

−h/ 2
h/2

( A , B , D ) = ∫ (1, z , z )Gdz
s

s

2

s

4

(15)

−h/ 2

và

c1 = −

4
3h 2

c2 = −

4
h2

(16)

2.3 Công thức phần tử hữu hạn trơn cho tấm FGM
Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn, miền Ω e
của một phần tử tứ giác sẽ được chia nhỏ ra thành nc các phần
tử con như hình 3. Bằng việc trung bình hóa theo hàm làm
trơn, trường biến dạng gốc trên mỗi miền phần tử con, trường
biến dạng tổng quát sẽ được tính toán như sau

Hình 2. Quy ước dấu của tấm chịu uốn [7].

ε 0 L =

∫

1
ε0 L ( x ) d Ω
Ac Ωc

Trang 2


∫
∫
1
=
κ (x) dΩ
A ∫Ω
1
=
ε (x) dΩ
A ∫Ω
1
=
κ (x) dΩ
A ∫Ω

1
ε 0 NL ( x ) d Ω

Ac Ωc
1
κ1 =
κ1 ( x ) d Ω
Ac Ωc

ε 0 NL =

κ 2
ε s

c

(17)

c

c

(23)

∫

∑ B

(24)

0 0 0


=
B 1bi

s

c

∑ B d

c

1
Ac

4 

∑  0
m =1 

=
κ s
4

∑ B

m
i di

1
B im =

Ac

( )n



4

i =1

∑ 
m =1

0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 l

0 0 0 0 0 


0

x

( )
N (x )n

N i xG
m ny

0


Ni  xG
m  nx



0

0


Ni  xG
m  ny




Ni  xG
m  ny



( )

 N xG n
 i m y

i

G
m

x

và

Tương tự, biến dạng màng trơn phi tuyến

∫

1
1
n (x)u (x) dΓ
=
Ac Γ c
2

4

∑ B

mNL
di
i

∫

∫

4

 0 0 Ni ( xGg )nx

G

g =1  0 0 N i ( x g )n y
4

∑

Các biến dạng uốn được làm trơn lại như sau

C
0 N i xG
m nxlm


G
C

m =1 0 0 Ni x m n y lm


∑
4

∑  0

m =1

0
0 0 0
0 0 − shi

shi
0

0

shi

− shi

0

0 0 

0 0


(29)

0 

shi 

shi
0

(30)

(31)

Ma trận độ cứng tuyến tính, ma trận độ cứng phi tuyến và
ma trận độ cứng hình học của phần tử sau khi làm trơn có dạng
T bm
T s
 e
=
K
∫Ω Bi D B j d Ω +Ω∫ Si D S j d Ω
(32)
e

1

∫  2 B

T
Li

e

1

D*B Lj + BTNLi D*B Lj + BTNLi D*B NLj  d Ω
2


∫ G

T
i

 dΩ
NG
j

(33)

(34)

Ωe

trong đó
(21)

∑ ( )

0 0 0 0 c
l
g
0 0 0 0 

i =1

( )
( )

4 0

 eg
=
K

với w i là độ võng tại nút thứ i của phần tử
 = 1
G
i
Ac

(28)

s
1i i

 ( d ) =+



K
K
L K NL ( d ) + K g

Ωe

∑ ( )

∑ ( )

∑ B d

Từ đó, ma trận độ cứng tổng thể được làm trơn như sau

 mNL = HG
 
B
i
i

∑

(27)

i =1

1
=
n (x)u (x) dΓ
Ac Γ c

1
B 1si =
Ac

e
=
K

NL

trong đó ma trận tính biến dạng màng phi tuyến làm trơn

∑ ( )

s
0i d i

L

(20)

i =1

4


 1

Ni xGj nxl cj wi
0
 Ac

j =1



4 
4

1

G
c 
 =
H
x
0
N
n
l
w
i
j
y
j
i


Ac
i 1=
j 1




4
4
1
 1

G
c
G
c 
Ni x j n y l j wi
Ni x j nxl j wi 
A
Ac
 c j 1=

=
j 1






C
G


Ni  x m  n y lm

 
 
Ni  xG
m  nx 

 

0

với sh i là hàm dạng được xấp xỉ trong hệ tọa độ tự nhiên của
phần tử.

với n x , n y là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị n
vuông góc với đường biên d Γ , xGm và lmC là các điểm giữa
(điểm Gauss) và chiều dài cạnh biên d Γ

ε 0 NL
=

(25)

4

∑ B

1
B 0s i =
Ac

(19)

( )

N i xG
m ny

Trong đó các ma trận tính biến dạng cắt được tính

(18)

trong đó ma trận tính biến dạng màng trơn tuyến tính
 N xG
 i m

0

(26)
Đặc biệt các biến dạng cắt của phần tử Ωe được làm trơn
một phần và xấp xỉ dùng hệ hệ tọa độ tự nhiên theo [9].

bình và A c là diện tích các miền con Ω c

∫

0 0 

C
0 0 lm


0 0



Ni  xG
m  nx




1
=
ε1 =
n (x)u (x) dΓ
với ε0L , ε0NL , κ1 , κ 2 , εs , κ s là các biến dạng trơn trung
Ac Γ c

1
=
n (x)u (x) dΓ
Ac Γ c

i =1

( )

( )
N i ( xG
m ) nx

∑

=
ε 0 L

b
2i d i

N i xG
m nx

0


0
0 0 0
4 
1

 G
B b2i
=
 0 0 0 − Ni  x m  n y
Ac

m =1 
 G
 0 0 0 Ni  x m  nx


Biến dạng màng trơn tuyến tính

i =1
4

0 0 − N i xG
m ny

0 0 0


Hình 3. Làm trơn phần tử bằng cách chia nhỏ thành nc
phần tử con.

b
1i i

Các ma trận tính biến dạng uốn được làm trơn của phần tử
được viết lại là

s

κ s

∫

1
=
n (x)u (x) dΓ
Ac Γ c

=
κ 2

2

c

4

1
=
n (x)u (x) dΓ
Ac Γ c

=
κ1

(22)

Bi = ( Bim )T


(B ) (B )
b
1i

T

b
2i

T

S = ( B s )T ( B s )T 
i
1i
 0i


B Li = Bi Si 


B NLi = BimNL 0 






(35)
(36)
(37)
(38)

Theo phương pháp Lagrange toàn cục, công thức phần tử
hữu hạn được viết lại như sau
tK
 ∆d t +∆t P − t F
=
T

(39)

Trang 3


trong đó t +∆t P là ngoại lực của phần tử tại thời điểm t + ∆t ;
t F là nội lực phần tử tại thời điểm t; ∆d là chênh lệch chuyển

vị phần tử giữa thời điểm t + ∆t và t; t K T : là ma trận độ cứng
tiếp tuyến của phần tử tại thời điểm t.

Bảng 3. Kết quả phân tích tấm FGM Al/ZrO 2 -1 với các giá trị
n=0, n=0.2, n=0.5, n=1, n=2

0

0.1502

0.4279

3. Các ví dụ số
Trong quá trình phân tích ứng xử kết cấu, tải trọng được
tăng theo từng cấp tải và sử dụng quy trình tính lặp NewtonRaphson với kỹ thuật điều khiển tải trọng để giải quyết các bài
toán sau đây. Tiêu chuẩn hội tụ của chuyển vị được lấy với giá
trị 0.001 là đạt được độ chính xác của lời giải phi tuyến.

0.2

0.1742

0.4975

0.204

0.5846

1

0.2383

0.6844

2

0.2721

0.7791

Ví dụ này sẽ phân tích ứng xử tuyến tính tấm Al/ZrO 2 -1
với các thông số vật liệu cho trong Bảng 3.1 chịu tải trọng phân
bố đều q 0 =106 Pa với các thông số hình học của tấm là chiều
dày tấm h=0,02m và bề rộng tấm a=0,2m. Hai trường hợp điều
kiện biên được xét là tấm ngàm bốn cạnh và tấm gối bốn cạnh.
Tỷ lệ bề rộng tấm và chiều dày tấm a/h được chọn là 10. Kết
quả tính toán được chuẩn hóa không thứ nguyên với giá trị
chuyển vị được chuẩn hóa

12x12

Loại liên
kết
Bốn cạnh
gối

Bốn cạnh
ngàm

Ezr h3

100wD0
với
D
=
0
12(1 − ν zr 2 )
q0 a 4

Bảng 1. Thuộc tính vật liệu Al/ ZrO 2 -1

Modul đàn hồi

Aluminum
(Al)
70 GPa

Zirconia
(ZrO 2 -1)
200 GPa

Hệ số Poisson

0,3

0,3

Thuộc tính vật liệu

0.5

Liên kết ngàm 4 cạnh

Liên kết gối 4 cạnh

Bảng 4. Bảng so sánh w* với phần tử MISQ20 sử dụng FSDT

3.1 Khảo sát tuyến tính tấm FGM vuông

w* =

Lưới
chia

n

Kết quả phân tích Bảng 2 cho thấy chuyển vị w* tại điểm
giữa tấm với n=0 và lưới phần tử được chia 12x12 so với
nghiệm chính xác theo báo cáo của Zienkiewicz và Taylor [6]
có sai số là rất nhỏ (Bảng 2). Với các giá trị n ≠ 0, chuyển vị w*
cho thấy với vật liệu càng nhiều khối lượng Ceramic thì chuyển
vị càng giảm do modul đàn hồi vật liêu tăng lên làm độ cứng
kết cấu tăng (Bảng 3). Sai số khi phân tích bằng phần tử tứ giác
và lý thuyết HSDT với hệ lưới 12x12 trong bài toán liên kết
khớp là 0.02% và bài toán liên kết ngàm là 1,5%. Kết quả so
sánh phần tử này với phần tử MISQ20 [5] được thể hiện trong
Bảng 3.4 cho thấy việc sử dụng lý thuyết HSDT cho phân tích
bài toán tấm đem lại kết quả tốt hơn.
Ngoài ra Bảng 2 cũng cho thấy với việc chia lưới càng
mịn, mức độ chính xác càng tăng dần. Tuy nhiên, với lưới 4x4
kết quả cho ra sai số cũng chỉ 0.51% là sai số rất bé có thể chấp

nhận được trong thực hành tính toán kết cấu, người thiết kế lại
giảm được khối lượng tính toán đáng kể so với lưới 12x12.
Điều này cho thấy mức độ hội tụ của phần tử này là rất nhanh.

Kết
quả

Mô hình
MISQ20 sử
dụng FSDT
MISQ20 sử
dụng HSDT
MISQ20 sử
dụng FSDT
MISQ20 sử
dụng HSDT

Nghiệm
giải
tích

0.4276

Sai số
%
0.09

0.4280
0.4279

0.02

0.1507

1.82
0.1480

0.1503

1.55

3.2 Khảo sát phi tuyến hình học tấm FGM vuông
Đầu tiên, xét tấm vuông với các điều kiện biên là gối bốn
cạnh có kích thước hình học h = 0.01 m, a = 0.2 m và sử dụng
vật liệu Al/ZrO 2 -2 có các đặc trưng vật liệu theo Bảng 5. Vì
đây là bài toán đối xứng nên chỉ ¼ tấm được tính toán để giảm
bớt khối lượng tính toán (Hình 4).
Bảng 5. Thuộc tính vật liệu Al/ ZrO2-2

Modul đàn hồi

Aluminum
(Al)
70 GPa

Zirconia
(ZrO 2 -2)
151 GPa

Hệ số Poisson

0,3

0,3

Thuộc tính vật liệu

Bảng 2. Kết quả phân tích tấm FGM Al/ZrO 2 -1 với n=0
Loại liên kết
Bốn cạnh
gối

Mô hình
MISQ20 sử
dụng HSDT

Lưới chia

n=0

4x4

0.4302

8x8

0.4283

12 x 12

0.4279

Zienkiewicz and Taylor [6]
Bốn cạnh
ngàm

MISQ20 sử
dụng HSDT

0.4280

4x4

0.1506

8x8

0.1502

12 x 12

0.1502

Zienkiewicz and Taylor [6]

Hình 4. Sơ đồ tính toán tấm vuông liên kết gối bốn cạnh.
Qua hình 5 có thể thấy kết quả phân tích bằng phần tử tứ
giác trơn sử dụng lý thuyết HSDT trong giai đoạn tuyến tính
cho kết quả phân tích gần như trùng khớp với nghiệm giải tích.
Trong giai đoạn phi tuyến, sai số này lớn hơn nhưng xem xét

về tổng thể thì sai số này vẫn rất nhỏ. Với vật liều nhiều
ceramic hơn, tức là có n nhỏ hơn, tấm trở nên cứng hơn do đó
chuyển vị bé và độ sai lệch ít hơn. Ngoài ra với độ cong của
đường cong phi tuyến nhỏ hơn mà các vật liệu có n nhỏ hơn có
sai số ít hơn khi tải trọng lớn.

0.1480

Trang 4


z/h

P

w*
Hình 5. Quan hệ tải trọng - chuyển vị giữa tấm theo các
giá trị n khác nhau (n=0.2, n=1).
Để nhận thấy rõ sự chênh lệch của chuyển vị trong bài toán
tuyến tính và phi tuyến ta xét tấm có a/h= 40 và n= 20. Hình 6
cho thấy sự khác biệt về nghiệm chuyển vị trong bài toán tuyến
tính và phi tuyến. Với cùng một giá trị tải trọng thì chuyển vị
trong bài toán có xét đến phi tuyến hình học nhỏ hơn bài toán
tuyến tính. Nguyên nhân là do trong kết cấu tấm khi chịu tải có
xuất hiện thêm thành phần lực màng ngăn cản sự võng xuống
của kết cấu. Và ảnh hưởng của tính chất này lên tấm là rất lớn
khi tấm chịu tải trọng lớn, vì vậy lời giải phi tuyến mô tả sát
với ứng xử thật của kết cấu hơn là lời giải tuyến tính.

σ*

Hình 7. Biểu đồ phân bố ứng suất chuẩn hóa theo chiều
dày tấm.
Bài toán tấm vuông với bốn cạnh biên liên kết ngàm được
giải và so sánh với tấm vuông tựa đơn cho trong Bảng 6. Lưu ý
là chênh lệch chuyển vị trong Bảng 6 được hiểu là sai khác của
chuyển vị bài toán biên là gối với ngàm trên chuyển vị của biên
ngàm.
Bảng 6. So sánh quan hệ chuyển vị - tải trọng bài toán phi
tuyến tấm FGM vuông có biên liên kết ngàm và gối

n

Tải
trọng
P

Chuyển vị w*
biên bốn cạnh
ngàm

Chuyển vị w*
biên bốn cạnh
gối

Chênh lệch
chuyển vị
%

20

36.57

0.45

1.3762

206%

w*

2

Việc phân bố ứng suất theo chiều dày tấm qua hình 7 cho
thấy ứng suất trên vùng giàu ceramic có giá trị lớn hơn vùng
kim loại. Điều này là hợp lý khi modul đàn hồi của vật liệu
ceramic lớn hơn của kim loại. Với giá trị n= 0, tức tấm chỉ gồm
vật liệu ceramic đồng nhất, đường phân bố ứng suất là tuyến
tính. Khi giá trị n lớn, đường phân phối ứng suất trở nên cong
hơn nhưng tại điểm giữa tấm ứng suất σ x* = 0 với mọi giá trị n.
Các kết quả này có mức độ tin cậy cao khi so sánh với nghiệm
thực nghiệm của Reddy [1]. Ứng suất được chuẩn hóa là
σ h2
σ x* = x 2

1.3075

3.4265

162%

2.0681

4.8174

133%

36.57

0.3677

1.1175

204%

109.71

1.0745

2.8221

163%

182.86

1.714

4.0051

134%

Kết quả từ hình 8 cho thấy chuyển vị tại điểm giữa của tấm
có liên kết ngàm nhỏ hơn so với liên kết gối do điều kiện ràng
buộc biên ngàm nhiều bậc tự do hơn biên gối. Mặt khác dưới
tác dụng của tải trọng càng lớn, chênh lệch về chuyển vị của
hai bài toán nhỏ dần cho thấy độ cong phi tuyến của bài toán
liên kết gối phải lớn hơn bài toán liên kết ngàm. Từ đó cho
thấy mức độ ảnh hưởng của phi tuyến lên bài toán có cạnh biên
liên kết gối nhiều hơn.

w*

P
Hình 6. Quan hệ tải trọng-chuyển vị tấm FGM tựa đơn theo
bài toán tuyến tính và bài toán phi tuyến hình học.

109.71
182.86

qa

P
Hình 8. Quan hệ tải trọng – chuyển vị của tấm FGM có biên
liên kết ngàm và gối.
Trang 5


3.3 Khảo sát phi tuyến hình học tấm FGM hình bình
hành

Hình 9. Sơ đồ hình học tấm hình bình hành.

w*

Đầu tiên ta sẽ đi khảo sát bài toán phi tuyến hình học với
tấm FGM hình bình hành có a=b, b/h=40, các đặc trưng vật
liệu như ví dụ 3.2, n=20 và chịu tải phân bố đều với các góc α
khác nhau biến thiên từ 00 đến 450. Kết quả được thể hiện dưới
dạng đồ thị trên hình 10 và hình 11.

w*

P
Hình 10. Quan hệ chuyển vị-tải trọng tấm FGM bình hành
liên kết ngàm có b/h=40, α=00,300,450 bằng lời giải phi tuyến

4. Kết luận
Với việc sử dụng lý thuyết HSDT, phần tử MISQ20 cho ra
kết quả phân tích có độ chính xác cao hơn khi sử dụng lý
thuyết FSDT để phân tích bài toán tấm FGM chịu uốn. Điều
này cho thấy cần thiết phải xét đến ảnh hưởng của hai bậc tự do
xoắn Φ x , Φ y trong quá trình phân tích bài toán. So với các
phần tử hữu hạn bốn nút thông thường, phần tử MISQ20 làm
giảm thời gian tính toán do ma trận độ cứng phần tử được xấp
xỉ một phần trên biên nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cao.
Đây là ưu điểm nổi bật của phần tử này so với phần tử hữu hạn
truyền thống khác. Ngoài ra, kết quả khảo sát số cho thấy ứng
xử tuyến tính và phi tuyến hình học của kết cấu tấm FGM có
sự khác biệt khá lớn. Do đó việc phân tích ứng xử của kết cấu
tấm FGM có xét đến phi tuyến hình học là hết sức cần thiết để
phản ánh đúng sự làm việc thực tế của tấm khi chịu chuyển vị

lớn, đặc biệt đối với bài toán tấm có điều kiện biên tựa đơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. J. N. Reddy, Mechanics Of Laminated Composites Plates:
Theory And Analysis, CRC Press, 2009
2. Shyang-Ho Chi, Yen-Ling Chung, Mechanical Behavior Of
Functionally Graded Material Plates Under Transverse
Load – Part I: Analysis, International Journal of Solids and
Structures, 43: 3657-3674, 2006.
3. J. Woo, S.A. Megrid, Nonlinear Analysis Of Functionally
Graded Material Plates And Shallow Shells, International
Journal of Solids and Structures, 38: 7409-7421, 2001
4. K.D Kim, G.R Lomboy, S.C. Han, Geometrically NonLinear Analysis Of Functionally Gradel Material (FGM)
Plates Anh Shells Using A Four-Node Quasi- Conforming
Shell Element, Journal of Composite Materials, 42: 485511, 2008.
5. Nguyen-Van, H., Development And Application Of
Assumed Strain Smoothing Finite Element Technique For
Composite Plate/Shell Structures. Ph.D Thesis, University
of Southern Queensland, Australia, 2009.
6. O.C Zienkiewicz, R.L Taylor, The Finite Element Method
Vol.2 : Solid Mechanics , 5th Edition, Butterworth
Heinemann-Oxford, 2000.
7. P. Phung Van, T. Nguyen Thoi, H. Luong-Van , Q. LieuXuan., Geometrically Nonlinear Analysis Of Functionally
Graded Plates Using A Cell-Based Smoothed Three-Node
Plate Element (CS-DSG3) Based On C0-HSDT, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 270: 1536, 2014.
8. Nguyễn Văn Hiếu, Nguyễn Hoài Nam, Trần Đồng Kiếm
Lam, Lê Văn Thông, Mô Hình Và Phân Tích Phi Tuyến
Hình Học Kết Cấu Tấm/Vỏ Composite Sử Dụng Phần Tử
Tứ Giác Trơn. Báo cáo hội ngị khoa học toàn quốc cơ học
vật rắn biến dạng lần thứ XI, Tập 1: Trang 469-486, 2014

9. J.N.Reddy, Anlysis Of Functionally Gradel Plates,
International Journal for Numerical Method in Engineering
47: 663-684, 2000.

P
Hình 11. Quan hệ chuyển vị- tải trọng tấm FGM bình hành
liên kết gối có b/h=40, α=00,300,450 bằng lời giải phi tuyến
Hình 11 cho thấy trong bài toán phi tuyến hình học tấm
hình bình hành thì góc α ảnh hưởng rất lớn đến chuyển vị. Cụ
thể với cùng một loại vật liệu và kích thước hình học, tấm hình
bình hành FGM có góc α càng lớn thì sẽ có độ võng càng nhỏ.
Trang 6