ĐÁNH GIÁ ĐỘ TIN CẬY CHỊU UỐN CỦA DẦM SUPERT_PGS. TS. Lê Thị Bích Thủy, Ths. Võ Thành Nam

ĐÁNH GIÁ ĐỘ TIN CẬY CHỊU UỐN CỦA DẦM SUPER-T
FLEXURAL RELIABILITY EVALUATION OF SUPER-T GIRDER
PGS. TS. Lê Thị Bích Thủy, Ths. Võ Thành Nam
TÓM TẮT
Bài báo giới thiệu một phương pháp đánh giá xác suất phá
hoại của kết cấu công trình theo lý thuyết độ tin cậy. Xác suất
phá hoại có thể hiểu theo cách khác là chỉ số độ tin cậy β, được
xem như là quãng an toàn dự trữ của công trình. Chỉ số này
được tính toán từ hàm trạng thái giới hạn và các tham số thông
kê của các biến ngẫu nhiên như tải trọng tác dụng, tính chất của
vật liệu, kích thước của mặt cắt ngang. Bài báo cũng đã sử
dụng phương pháp này để áp dụng tính toán chỉ số độ tin cậy β
cho một kết cấu nhịp cầu dầm Super-T, loại dầm hiện đang
được sử dụng nhiều ở Việt Nam. Kết quả tính toán cho thấy
khá phù hợp với chỉ số độ tin cậy mục tiêu được quy định trong
tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN 272-05 (AASHTO 1998).
ABSTRACT
The paper introduces a method to evaluate failure
probability of structure basing on reliability theory. Failure
probability can be understood in different ways as reliability
index β, safety margin of structure. Reliability indices are
canculated from limit state function and statistical parameters
of ramdom variables such as loads, materials, sectional
dimensions. The paper also uses this method to calculate
reliability indices of super-T girder bridge which is being used
widely in Vietnam. The results are appropriate to target
reliability index set forth in 22TCN 272-05 specifications
(AASHTO 1998).

Do đó, bài báo chọn phân tích đánh giá độ tin cậy của loại
dầm này nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu nâng cao tính an

toàn cũng như tính kinh tế của nó.
2. Lý thuyết độ tin cậy đánh giá an toàn kết cấu
2.1 Xác suất phá hoại
Gọi khoảng cách chênh lệch giữa sức kháng của kết cấu
công trình R và hiệu ứng tải gây ra Q là lượng dự trữ an toàn
(Safety Margin) xác định theo biểu thức
g(R, Q) = R – Q
(1)
Trong đó g(R, Q) được gọi là hàm trạng thái giới hạn.
Nếu g ≥ 0 thì kết cấu an toàn, ngược lại g < 0 thì kết cấu không
an toàn. Chú ý rằng các giá trị này là giá trị danh nghĩa. R và Q
là những đại lượng ngẫu nhiên có thể mô tả thông qua hàm mật
độ xác suất (Probability Density Function) tương ứng là f(Q)
và f(R). Xác suất phá hoại của kết cấu công trình có thể xác
định theo biểu thức
(2a)
P f = P (R ≤ Q)
hoặc
P f = P (G ≤ 0)
(2b)
Các hàm mật độ xác suất f(Q) và f(R) được mô tả ở
hình 1. Trong đó, miền giao nhau của hàm mật độ xác suất nói
trên là miền có thể xảy ra phá hoại.
f R, f Q
Q
R-Q

PGS. TS. Lê Thị Bích Thủy
Giảng viên, Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng , Trường Đại Học Bách
Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp.HCM

Email:
Điện thoại: 0913 869 414
Ths. Võ Thành Nam
Nghiên cứu sinh, Khoa kỹ thuật Xây dựng , Trường Đại Học
Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp.HCM
Giảng viên, Khoa Kỹ Thuật Công Trình, Trường Đại Học Tôn
Đức Thắng.
Email:
Điện thoại: 0982 697 028
1. Giới thiệu
Một kết cấu công trình khi đưa vào sử dụng thì yêu cầu
quan trọng nhất là độ an toàn. Theo các tiêu chuẩn thiết kế, để
đảm bảo “an toàn”, công trình phải thỏa mãn một số điều kiện
dưới dạng toán học (chịu uốn, chịu cắt, độ võng,…) [5]. Nhưng
không có nghĩa là khi những điều kiện này thỏa mãn thì kết cấu
công trình đảm bảo sẽ an toàn tuyệt đối, và nếu nó không thỏa
mãn thì khi sử dụng kết cấu sẽ bị phá hoại trong mọi trường
hợp. Để đánh giá độ an toàn, phải xét đến yếu tố ngẫu nhiên
của sức kháng của công trình và tải trọng tác dụng lên nó. Lý
thuyết độ tin cậy là một công cụ hữu dụng có thể giải quyết
được vấn đề này.
Mặt khác, trong thời gian gần đây dầm Super-T đã và đang
được sử dụng rất nhiều trong các công trình cầu ở nước ta.
Dầm Super-T có các ưu điểm về tính kinh tế, tính mỹ quan và
khả năng thi công nhanh [6].

R

0

R, Q

Hình 1. Hàm mật độ xác suất của tải trọng và sức kháng
2.2 Chỉ số độ tin cậy β.
Xác suất có thể được tính phá hoại bằng cách tích phân
hàm mật độ xác suất trong miền phá hoại. Nhìn chung, rất khó
xác định tích phân nói trên đặc biệt khi g là hàm phi tuyến. Vì
vậy, thường xác định xác suất phá hoại gián tiếp thông qua chỉ
số độ tin cậy, ký hiệu là β. Giá trị β cho biết giá trị trung bình
của lượng dự trữ an toàn µ G nằm cách xa ranh giới an toàn bao
nhiêu lần độ lệch chuẩn σ G của nó [5].

β=

µg
σg

(3)

fg

0

βσg

µg

g

Hình 2. Định nghĩa chỉ số độ an toàn.

Trang 1


Nếu R và Q là phân phối chuẩn thì có thể tính chỉ số β
theo công thức:

β=

µ R − µQ

(4)

σ R2 + σ Q2

Việc phân tích sẽ thuận tiện hơn khi biến đổi các biến
ngẫu nhiên dưới dạng chuẩn hóa, nghĩa là các biến không thứ
nguyên. Khi đó biến cơ bản R và Q được biểu diễn dưới dạng
sau:
R − µR
(5a)
ZR =
σR
ZQ =

R − µQ

{ z , z ,..., z }
*
1

*
2

µ R − µQ

(8)

σ R2 + σ Q2

không biết trước nên phải dùng cách tính lặp để tìm ra giá trị β.

Z2

0

−

αi =



∂g
∑  ∂Z ( Z
n

∑ (α i )
µR -µQ
σQ

β

k


, Z 2* ,..., Z n* ) 


(11b)

2

zi* = βα i*

ZR

=1

g ( z1* , z2* ,..., zn* ) = 0

Hình 3. Định nghĩa chỉ số β theo biến suy giảm.
Như vậy, chỉ số độ tin cậy β cũng có thể được định
nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ của các biến suy giảm đến
đường g(Z R , Z Q )=0
Xét hàm trạng thái giới hạn có dạng G(X 1 ,X 2 ,…,X n )
trong đó X i là các biến ngẫu nhiên độc lập. Các biến này cũng
được viết lại dưới dạng chuẩn hóa

X i − µ Xi

(9)

i

Nếu hàm trạng thái giới hạn G là tuyến tính có dạng
G(X 1 ,X 2 ,…,X n )=a 0 +a 1 X 1 +…+a n X n =a 0 +Σa i X i
Khi đó chỉ số độ tin cậy β được xác định như sau:
n

a0 + ∑ ai µ X i
i =1

∑(a σ )
n

i =1



*
1

(11a)
2

(11c)

i =1

µR -µ
- σ Q

R

β=

∂g
( Z1* , Z 2* ,..., Z n* )
∂Z i

∂g
∂g ∂X i ∂g
.
σX
= =
∂Z i ∂X i ∂Z i ∂X i i

0

Z1

Hình 4. Điểm thiết kế và chỉ số β với hàm phi tuyến.
Phương pháp lặp yêu cầu phải giải đồng thời (2n+1)
phương trình với (2n+1) ẩn: β, α 1 , α 2 ,…, α n , z 1 *, z 2 *,…, z n *
[5]. Trong đó:

n

σX

β

z*1

z*2

k =1

ZQ

Zi =

như hình 4. Vì điểm thiết kế này thường

*
n

(5b)

σQ

Biến Z R và Z Q được gọi là các biến suy giảm (reduced
variables). Khi đó, R và Q có thể biểu diễn dưới dạng sau:
(6a)
R = µR + ZRσR
(6b)
Q = µQ + ZRσQ
Hàm trạng thái giới hạn cũng được biểu diễn dưới dạng
biến suy giảm như công thức 7.
= µR + ZRσR - µQ - ZR σQ
g(Z R , Z Q )
(7)

= (µ R - µ Q ) + Z R σ R - Z R σ Q
Sử dụng quan hệ hình học như hình 3, có thể khoảng
cách từ gốc tọa độ của các biến suy giảm đến đường g(Z R ,
Z Q )=0 là:

β=

nhau của hàm trạng thái giới hạn [5]. Khắc phục nhược điểm
này, Hasofer và Lind đã đề xuất cách tính giá trị β là khoảng
cách gần nhất từ gốc tọa độ tới đường cong tại điểm thiết kế

i

(10)

2

Xi

Trong trường hợp G là hàm phi tuyến, hàm G sẽ được
tuyến tính hóa bằng cách khai triển Taylor quanh điểm trung
bình của G. Tuy phương pháp này có ưu điểm là đơn giản,
nhưng sẽ tính toán ra chỉ số β khác nhau với các dạng khác

(12)
(13)

Các bước của phương pháp lặp được tiến hành như sau:
Bước 1: Tính toán hàm trạng thái giới hạn theo tất cả
các biến ngẫu nhiên có liên quan.

Bước 2: Biểu diễn hàm trạng thái giới hạn dưới dạng
biến suy giảm Z i .
Bước 3: Sử dụng phương trình 12 để biểu diễn hàm
trạng thái giới hạn dưới dạng β và α i .
Bước 4: Tính toán n giá trị α i . Sử dụng phương trình 12
để biểu diễn mỗi giá trị α i là một hàm của tất cả các giá trị α i
và β.
Bước 5: Tiến hành vòng lặp đầu tiên, giả sử giá trị của
α i và β. Chú ý rằng α i phải thỏa phương trình 11c.
Bước 6: Thay thế giá trị α i và β giả sử vào về phải của
phương trình lập được ở bước 3 và 4.
Bước 7: Giải (n+1) phương trình ở bước 6 để tính β và
αi.
Bước 8: Lặp lại bước 6 cho đến khi nào các giá trị α i và
β hội tụ.
3. Hàm trạng thái giới hạn của tiết diện Super-T chịu uốn
Đánh giá khả năng chịu uốn của tiết diện ở trạng thái giới
hạn cường độ thì sức kháng R chính là sức kháng uốn M n của
tiết diện và hiệu ứng Q chính và các giá trị mômen nội lực
Trang 2


cũng tại tiết diện đó do tĩnh tải bản thân M DC , do lớp phủ M DW
và do hoạt tải M LL gây ra. Lúc này, g có thể được viết dưới
dạng sau:
g = M n – M DC – M DW – M LL

(14)

Các giá trị mômen nội lực được tính toán bằng phương

pháp cơ học kết cấu thông thường. Sức kháng uốn M n được
tính toán theo quy định trong phần 5 của Tiêu chuẩn 22TCN
272-05 [3]. Để đơn giản, cốt thép thường không được xem xét
đến. Ngoài ra, công thức tính M n gồm nhiều biến số phụ thuộc
lẫn nhau. Để M n chỉ còn các biến độc lập, công thức M n được
biến đổi thành hàm số của 7 biến {A ps , f pu , f’ c , h f , b, b w , d p }
như sau:

Hình 5. ½ Mặt cắt ngang cầu tại giữa nhịp.
Bê tông dầm chủ có cường độ chịu nén danh định là 45MPa và
của bản mặt cầu là 32 MPa. Mặt cắt ngang dầm chủ tại giữa
nhịp gồm 36 tao cáp cường độ cao đường kính 15,2mm bố trí
như hình 6.

Mn =
A ps f pu ( d p − 0,5X1 ) ( 0,85X 2 + 1)
 f'
 h

+ 0,85f 'c h f ( b − b w )  c − 1, 05   f − X 3 
140
2





(15)

Với:


 f c'

 17f c'

− 1, 05   A ps f pu + f c' h f 
− 0,8925  ( b − b w ) 

 140

 2800


X1 =
'
f pu

'  fc
0,85b w f c 
− 1, 05  − 0, 28A ps
dp
 140


 17f

A ps f pu + f c' h f 
− 0,8925  ( b − b w )
2800



'
f

'  fc
0,85b w f c 
− 1, 05  − 0, 28A ps pu
140
dp



Hình 6. Bố trí cáp dự ứng lực cho dầm chủ.
(16)

'
c

1
X=
×
2
dp

(17)

 17f c'

A ps f pu + f c' h f 
− 0,8925  ( b − b w ) (18)

2800
 f



X 3 =
− 0,525  ×
'
 280
 0,85b f '  f c − 1, 05  − 0, 28A f pu

w c
ps
dp
 140

'
c

Trong đó:
b

= chiều rộng bản cánh;

bw

= chiều rộng sườn dầm;

hf

= chiều cao bản cánh;

dp
= khoảng cách từ thớ chịu nén ngoài cùng đến trọng
tâm cáp dự ứng lực;
A ps

= diện tích cáp dự ứng lực;

f’ c

= cường độ chịu nén của bê tông;

f pu

= cường độ kéo đứt của cáp dự ứng lực.

4. Bài toán áp dụng
4.1 Sơ đồ cầu tính toán
Sử dụng phương pháp trên để đánh giá độ tin cậy của một
kết cấu nhịp dầm Super-T có mặt cắt ngang như hình 5.

Quy đổi tiết diện thành hình chữ T và tính toán được
sức kháng uốn danh định là M n =12981 kNm.
4.2 Mô hình sức kháng
Sức kháng của tiết diện chủ yếu phụ thuộc vào tính chất
của vật liệu, kích thước tiết diện.
Những biến này có tính chất ngẫu nhiên. Các thông số
thống kê của nó được rút ra từ dữ liệu thí nghiệm. Theo nhiều
nghiên cứu trên thế giới thì phân bố xác suất của các biến như

cường độ chịu nén của bê tông, cường độ kéo đứt của thép gần
như có dạng quy luật. Các trị số danh nghĩa (thiết kế), trung
bình, hệ số độ lệch λ (tỉ số giữa giá trị trung bình và thiết kế),
hệ số biến sai V (tỉ số giữa độ lệch chuẩn và giá trị trung bình)
được trình bày trong bảng 1 [1], [2], [4].
Ngoài ra, đối với các biến kích thước, hệ số độ lệch là
1,0 còn hệ số biến sai trong hầu như các công trình đều rất nhỏ,
chỉ khoảng 0,01÷0,02 [7]. Với loại dầm Super-T đúc sẵn tại
nhà máy trong các bộ ván khuôn chuẩn, có thể xem kích thước
hình học là hằng số. Với bài toán cụ thể này thì có b=1956mm,
b w =200mm, h f =150mm, d p =1388,6 mm.
Bảng 1. Các thông số thống kê của các biến sức kháng.
Hệ số
Hệ số độ
Giá trị
Giá trị
biến
sai
lệch
danh
trung
Biến
σ
µ
định X
bình µ X
V= X
λ= X
µX
(MPa)

X
f pu (MPa)
1860
1878
1,04
0,05
f’ c (MPa)
45
45
1,00
0,15
A ps
5040
5040
1,00
0,0125
(mm2)
4.3 Mô hình tải trọng
Tải trọng gồm các thành phần chính là tĩnh tải và hoạt
tải. Theo các tài liệu nghiên cứu nhằm ban hành tiêu chuẩn
AASHTO, tĩnh tải của cấu kiện đúc sẵn, cấu kiện thi công
ngoài công trường, lớp phủ mặt cầu đều đã được thu thập số
liệu và xử lý thống kê đầy đủ. Ngoài ra, hoạt tải theo tiêu chuẩn
AASHTO chỉ là giá trị danh định, các giá trị nội lực tính toán
do tải trọng xe thực tế gây ra lên kết cấu. Hệ số độ lệch của nội
lực được xác định từ lưu lượng xe dự đoán sau thời gian 75
năm [4]. Các thông số thống kê cụ thể của tải trọng được trình
bày trong bảng 2.
Bảng 2. Các thông số thống kê của các biến tải trọng.
Hệ số độ

Hệ số
Biến
lệch
biến sai

Trang 3


λ=
DC
DW
LL

µX
X

1,03
1,0
1,2

V=

- Với trường hợp chiều dài dầm chủ là L=36,3m:
mômen uốn tính toán (M u = 1,25M DC + 1,5M DW + 1,75M LL =
12975 kNm) và sức kháng uốn tính toán (ϕM n = 12981 kNm)
là khá sát nhau. Khi đó độ tin cậy tính toán được là β=3,4887.
Điều này phù hợp với việc lựa chọn hệ số tải trọng dựa vào chỉ
số độ tin cậy mục tiêu β T =3,5.

σX

µX

0,08
0,25
0,12

4.4. Kết quả tính toán chỉ số độ tin cậy chịu uốn
Độ tin cậy của dầm Super-T được khảo sát bằng cách
thay đổi chiều dài dầm từ 32,3m đến 38,3m. Chọn trọng lượng
riêng của bê tông là 2450kg/m3 và của lớp phủ là 2400 kg/m3.
Hoạt tải HL-93 gồm tổ hợp xe tải, xe 2 trục và tải trọng làn. Hệ
số phân bố tải trọng cho dầm trong và dầm biên được xác định
như trong tiêu chuẩn 22TCN 272-05. Mômen lớn nhất xuất
hiện tại mặt cắt ngang giữa nhịp của dầm trong. Kết quả cụ thể
được trình bày ở bảng 3.
Bảng 3. Mômen thiết kế tại giữa nhịp dầm giữa.
Chiều
Mômen do
Mômen do
Mômen do
dài dầm
tải trọng bản
tải trọng lớp
hoạt tải M LL
chủ (m)
thân M DC
phủ M DW
(kNm)
(kNm)
(kNm)

32,3
3147
504
3383
33,3
3355
540
3564
34,3
3530
570
3714
35,3
3729
604
3884
36,3
3934
639
4057
37,3
4187
683
4267
38,3
4360
713
4410
Sử dụng phương pháp Hasofer-Lind tiến hành tính toán
chỉ số độ tin cậy chịu uốn của dầm, kết quả được trình bày ở

hình 7.
5
4.5
4
3.5
3
2.5
β 2
1.5
1
0.5
0
31.3

5. Kết luận
Bài báo đã sử dụng phương pháp tính chỉ số độ tin cậy của
Hasofer-Lind kết hợp với hàm trạng thái giới hạn chịu uốn của
tiết diện để tính toán độ tin cậy của dầm Super-T. Ví dụ minh
họa đã cho kết quả là phù hợp với tiêu chuẩn thiết kế hiện
hành.
Bài toán minh họa sử dụng thông số thống kê của các công
trình nghiên cứu ở Hoa Kỳ. Nếu có thể tiến hành các chương
trình thu thập dữ liệu và tính toán được các thông số thống kê
cho các biến sức kháng và tải trọng tại Việt Nam thì có thể
đánh giá chính xác hơn độ tin cậy của công trình. Làm được
điều này sẽ góp phần cải thiện được tính an toàn và tính kinh tế
của công trình.
Tài liệu tham khảo
1.

2.

3.
4.

5.
6.
32.3

33.3

34.3

35.3

36.3

37.3

38.3

39.3

Chiều dài dầm chủ L (m)

Hình 7. Chỉ số độ tin cậy chịu uốn của dầm chủ.
Từ kết quả phân tích, có thể nhận xét như sau:
- Khi chiều dài dầm chủ tăng, độ tin cậy chịu uốn của
tiết diện dầm super-T giảm.

7.

Akgul, F. and Frangopol D.M. (2004), Lifetime
Performance Analysis of Existing Prestressed Concrete
Bridge Superstructures , Journal of Structural Engineering,
Vol. 130, No. 12, pp. 1889-1903.
Andrzej S. Nowak and Young Kyun Hong (1991), Bridge
Live Load Models, Journal of Structural Engineering, Vol.
117, No. 9, pp. 2757-2767.
Bộ Giao thông vận tải (2005), Tiêu chuẩn thiết kế cầu
22TCN 272-05, NXB Giao thông vận tải, Hà Nội.
Nowak, A.S. (1995), Calibration of LRFD Bridge Code,
Journal of Structural Engineering, Vol. 121, No. 8, pp.
1245-1251.
Nowak, A.S. (2000), Reliability of Structures, McGrawHill, New York.
Nguyễn Viết Trung và Nguyễn Trọng Nghĩa (2010), Thiết
Kế Kết Cấu Nhịp Cầu Dầm SUPER-T Theo Tiêu Chuẩn
22TCN 272-05, NXB Xây dựng, Hà Nội.
Sami W. Tabsh and Andrzej S. Nowak (1991), Reliability
of Highway Girder Bridges, Journal of Structural
Engineering, Vol. 117, No. 8, pp. 2372-2388.

Trang 4