07 cac phep bien doi ung suat va bien dang

7

Các phép bi n đ i
ng su t và bi n
d ng


N i dung
Gi i thi u
Tr ng thái ng su t ph ng
ng su t chính
ng su t ti p l n nh t
Ví d 7.01
Ví d 7.1
Vòng tròn Mohr cho tr ng thái ng su t ph ng
Ví d 7.02
Ví d 7.2
Tr ng thái ng su t t ng quát
ng d ng vòng tròn Mohr cho tr ng thái ng su t kh i
Các thuy t b n cho v t li u d o ch u ng su t ph ng
Các thuy t b n cho v t li u dòn ch u ng su t ph ng
ng su t trong các bình áp su t thành m ng
7-2


Gi i thi u
• Tr ng thái ng su t t i m t đi m trong tr ng
h p t ng quát đ c bi u di n b i 6 thành ph n:

 x ,  y ,  z øng suÊt ph¸p
 xy ,  yz ,  zx øng suÊt tiÕp

(L­u ý:  xy   yx ,  yz   zy ,  zx   xz )
• Khi ta xoay h tr c t a đ đi m t góc, thì s có
m t tr ng thái ng su t t ng t đ c bi u di n
b i m t t p h p các thành ph n ng su t khác.
• Ph n đ u c a ch ng s đ c p đ n vi c các
thành ph n ng su t bi n đ i nh th nào khi
các tr c t a đ b xoay đi. Ph n sau s đ a ra
m t phân tích t ng t cho các thành ph n
bi n d ng.

7-3


Gi i thi u
•

ng su t ph ng – là tr ng thái ng su t trong đó 2
m t c a phân t l p ph ng không có ng su t. V i
ví d minh h a bên, tr ng thái ng su t ph ng
đ c bi u di n b i:

 x ,  y ,  xy

vµ

 z   zx   zy  0.

• Tr ng thái ng su t ph ng xu t hi n trong t m
m ng ch u tác d ng c a t i tr ng n m trong m t
ph ng gi a c a t m.

• Tr ng thái ng su t ph ng còn xu t hi n trên b
m t t do c a các thanh k t c u ho c b ph n
máy… b t k đi m nào không có ngo i l c tác
d ng.
7-4


Tr ng thái ng su t ph ng
• Xét đi u ki n cân b ng c a m t phân t l ng tr
có các m t vuông góc v i các tr c x, y và x’.
 Fx  0   xA  x Acos  cos   xy Acos sin
  y Asin sin   xy Asin  cos

 F y  0   xyA  x Acos sin   xy Acos  cos
  y Asin  cos   xy Asin sin

• Các ph

 x 

ng trình trên đ

x  y
2

 xy  
• T



 x  y
2

 x  y
2

c vi t l i d

i d ng:

cos 2   xy sin 2
(1)

sin 2   xy cos 2

ng t :

 y 

 x  y  x  y
2



2

cos 2   xy sin 2
7-5

ng su t chính
• Là ng su t c c tr , đ

c xác đ nh b i:

2 xy
d x
 0  tan 2 p 
 x  y
d

(2)

L u ý: Bi u th c này xác đ nh 2 góc l ch
nhau 90°.
• Thay (2) vào (1) có:
 max,min 

x  y
2

   y 
2
  x
   xy
 2 
2

 xy  0



ng su t chính xu t hi n trên m t có ng su t ti p b ng không (m t chính),
 Pháp tuy n c a m t chính đ
 p đ

c g i là góc c a ph

 Luôn t n t i 2 ph

c g i là ph

ng chính

ng chính (so v i chi u d

ng tr c x)

ng chính h p v i nhau m t góc 90°
7-6


ng su t ti p l n nh t
•

c xác đ nh b i:
d xy
 x  y
 0  tan 2 s  

d
2 xy

(3)

L u ý: Bi u th c này xác đ nh 2 góc l ch
nhau 90° và h p v i p m t góc 45°.
• Thay (3) vào (1) có:
x  y
 
  tb
2
  x  y 
2

 


xy
2


2

 max


ng su t ti p l n nh t xu t hi n khi  x   tb
 s là góc h p b i pháp tuy n c a m t có ng su t ti p l n nh t v i tr c x
 Luôn t n t i 2 ph ng c a m t có ng su t ti p l n nh t và chúng h p

v i ph ng chính m t góc 45°.
7-7


Ví d

7.01
H

NG GI I:

• Xác đ nh các m t chính
tan 2 p 

2 xy

 x  y

• Xác đ nh ng su t chính
Cho tr ng thái ng su t ph ng
nh hình v , hưy xác đ nh:
(a) Các m t chính
(b) Các ng su t chính
(c) ng su t ti p c c đ i và ng
su t pháp t ng ng.

 max, min 

x  y
2

2

 x  y 
2
   xy
 
2



• Tính ng su t ti p c c đ i
2

 x   y 
2
   xy
 max  
2



 

x  y
2

7-8

Ví d

7.01
L I GI I:
• Xác đ nh các m t chính
tan 2 p 

2 xy

 x  y



2  40 
 1.333
50   10 

2 p  53.1 ; 233.1

 p  26.6 ; 116.6
 x  50 MPa  xy  40 MPa
 y  10 MPa

• Xác đ nh các ng su t chính
 max, min 

x  y
2

 20 

2

 x  y 
2
   xy
 
2



302  402

 max  70 MPa
 min  30 MPa
7-9


Ví d

7.01
• Tính ng su t ti p c c đ i
2

 x   y 
2
   xy
 max  
2





302  402

 max  50 MPa
 x  50 MPa

 xy  40 MPa

 s   p  45

 x  10 MPa

s  18.4 ; 71.6

•

ng su t pháp t ng ng
   50  10
    tb  x y 
2
2
   20 MPa

7 - 10


Bài t p ví d 7.1
H

NG GI I:

• Xác đ nh h l c-mô men t ng
đ ng t i tâm c a m t c t ngang đi
qua H.
• Tính ng su t pháp và ng su t ti p
t i H.

Thanh ABD ch u l c P = 150 lb tác d ng
t i đ u D nh hình v . Hưy xác đ nh:
(a) ng su t pháp và ti p trên phân t t i
đi m H có các m t song song v i tr c x
và y.
(b) M t chính và các ng su t chính t i
H.

• Xác đ nh m t chính và các ng su t
chính.

7 - 11


Bài t p ví d 7.1
L I GI I:

• Xác đ nh h l c-mô men t ng đ ng
t i tâm c a m t c t ngang đi qua H.
P  150 lb
T  150 lb 18 in   2.7 kip  in

M x  150 lb 10 in   1.5 kip  in

• Tính ng su t pháp và ti p t i H.
y 

1.5 kip  in 0.6 in 
Mc

1  0.6 in 4
I
4

 xy  

2.7 kip  in 0.6 in 
Tc

1  0.6 in 4
J
2

 x  0  y  8.84ksi  xy  7.96ksi
7 - 12


Bài t p ví d 7.1
• Xác đ nh m t chính và các ng su t
chính
2 xy
2  7.96 

tan 2 p 

 1.8
 x   y 0  8.84
2 p  61.0 ; 119

 p  30.5 ; 59.5
 max, min 

x  y
2

2

 x  y 
2
   xy
 
2


2

0  8.84
 0  8.84 
2

 
  7.96 
2

 2 

 max  13.52 ksi
 min  4.68 ksi

7 - 13


Vòng tròn Mo (Mohr) cho tr ng thái ng su t ph ng
Xây d ng vòng tròn:

• K t h p các ph ng trình trong (1) ta đ c
m t ph ng trình bi u di n đ ng tròn:
2
 x   tb    x2y  R2

Trong đó:
 tb 

x  y
2

   y 
2
& R  x
   xy
 2 
2

• V i tr ng thái ng su t ph ng đư cho

 x , y , xy , ta v các đi m X và Yvà d ng
đ ng tròn tâm C, bán kính R.

 Xác đ nh vòng tròn Mo duy nh t.
7 - 14


Công d ng c a vòng tròn Mo (Mohr)
 V i vòng tròn Mo, ta có th mô t đ c
tr ng thái ng su t theo h tr c khác:


i v i tr ng thái ng su t t i v trí h p v i
h tr c xy góc , xây d ng đ ng kính m i
X’Y’ t i v trí h p v i h tr c XY góc 2.



ng su t pháp và ti p đ t đ
X’Y’.

c t h tr c

 Xác đ nh ng su t pháp l n nh t:


ng su t t i A và B là các ng su t chính
 max,min   tb  R
tan 2 p 

2 xy

 x  y

 Chi u quay t tr c Ox t i tr c Oa t
nh chi u quay t CX t i CA.

ng t
7 - 15


Công d ng c a vòng tròn Mo (Mohr)
 Xác đ nh ng su t ti p l n nh t:


ng su t t i D và E là các ng su t ti p l n
nh t:
   y 
2
 R  x
   xy
2


2

 max

tan 2 s  

 x  y
2 xy

 Chi u quay t tr c Ox t i tr c Od t
nh chi u quay t CX t i CD.


ng su t pháp t
 

x  y
2

ng t

ng ng:
  tb

7 - 16


Vòng tròn Mo (Mohr) cho tr ng thái ng su t ph ng
• Vòng tròn Mo cho tr

x 

ng h p kéo – nén đúng tâm:

P
,  y   xy  0

A

• Vòng tròn Mo cho tr

 x   y  0  xy 

 x   y   xy 

P
2A

ng h p xo n thu n túy:

Tc
J

x y 

Tc
 xy  0
J
7 - 17


Ví d

7.02

Cho tr ng thái ng su t ph ng nh
hình v , yêu c u:

(a) Xây d ng vòng tròn Mo ng su t

H

(b) Xác đ nh ng su t chính

• D ng vòng tròn Mo ng su t

(c) Xác đ nh m t chính
(d) Xác đ nh ng su t ti p c c đ i
và ng su t pháp t ng ng.

NG GI I:

 tb 

x  y



 50    10   20MPa

2
2
CF  50  20  30 MPa FX  40MPa
R  CX 

 30    40 
2

2

 50MPa
7 - 18


Ví d 7.02
• M t chính và ng su t chính
 max  OA  OC  CA  20  50
 max  70 MPa

 min  OB  OC  BC  20  50
 min  30MPa
FX 40

CP 30
2 p  53.1

tan 2 p 

 p  26.6

7 - 19


Ví d

•

7.02

ng su t ti p c c đ i
 s   p  45

 max  R

 s  71.6

 max  50 MPa

    tb
   20 MPa
7 - 20


Bài t p ví d 7.2

Cho tr ng thái ng su t ph ng
nh hình v , xác đ nh:
(a) M t chính và
chính

ng su t

(b) Các thành ph n ng su t
có đ c khi xoay phân t m t
góc 30 thu n chi u kim đ ng
h .

L I GI I:

• Vòng tròn Mo ng su t:
 ave 
R

x  y
2



100  60
 80 MPa
2

CF 2  FX 2  202  482  52 MPa
7 - 21


Bài t p ví d 7.2

• M t chính và ng su t chính:
XF 48

 2.4
CF 20
2 p  67.4

tan 2 p 

 p  33.7 clockwise

 max  OA  OC  CA
 80  52

 max  132 MPa

 max  OA  OC  BC
 80  52

 min  28 MPa
7 - 22


Bài t p ví d 7.2

• Các thành ph n ng su t trên phân t
sau khi xoay đi 30o
Các đi m X’ và Y’ trên vòng tròn Mo
t ng ng v i các ng su t có đ c khi
xoay XY đi m t góc 2  60

  180  60  67.4  52.6
 x  OK  OC  KC  80  52 cos 52.6
 y  OL  OC  CL  80  52 cos 52.6
 xy  KX  52 sin 52.6
 x  48.4 MPa
 y  111.6 MPa
 xy  41.3 MPa
7 - 23

Tr ng thái ng su t t ng quát
• Xét tr ng thái ng su t 3D t ng quát t i m t đi m và
s thay đ i ng su t khi phân t đ c xoay đi.
• Tr ng thái ng su t t i Q đ
 x , y , z , xy, yz , zx

c đ nh ngh a b i:

• Xét kh i t di n v i m t vuông góc v i đ
QN có các cosin ch ph ng: x ,  y , z

ng th ng

• Vì  Fn  0 nên:
 n   x2x   y2y   z2z
 2 xyx y  2 yz yz  2 zxzx

• D ng c a công th c trên ph i đ m b o r ng đ nh
h ng c a phân t có d ng:
 n   a 2a   bb2   cc2

Chúng là các ph ng chính và m t chính và các
ng su t pháp là ng su t chính.
7 - 24


ng d ng vòng tròn Mo cho tr ng thái ng su t kh i

• S thay đ i ng su t khi phân t b • Ba vòng tròn trên bi u di n ng su t
xoay quanh m t tr c chính có th đ c

pháp và ti p khi phân t quay quanh
bi u di n b i vòng tròn Mo
m i tr c chính.
• Các đi m A, B và C bi u di n các ng
su t chính trên các m t chính (m t có
ng su t ti p b ng không)

• Bán kính c a vòng tròn l n nh t chính
là giá tr ng su t ti p c c đ i
1
2

 max   max   min
7 - 25