Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 định lý viét

ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chuyên đề:
ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
TÓM TĂT ĐỊNH LÝ VI-ET

1. Định lý thuận
Phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm thì :
b

S  x1  x2   a

 P  x .x  c
1 2

a

2. Định lí đảo
x  y  S
x, y : 
 x,y là nghiệm của X 2  SX  P  0
xy

P

(Với điều kiện S 2  4 P  0 )

II.VẤN ĐỀ 1:
Tính các biểu thức đối xứng của hai nghiệm(Phương pháp dùng định lí
Viét thuận):
Biểu thức f(x1;x2) gọi là đối xứng đói với x1, x2 nếu f(x1;x2) = f(x2;x1)
Tính chất : Mọi biểu thức đối xứng với hai biến đều có thể phân tích

được thành biểu thức mới chỉ chứa các hạng tử và nhân tử là tổng S hoặc
tích P của hai biến đó.
Phương pháp chung :
+ Xét đ/k có nghiệm của phương trình :   0
+ Tính S, P
+ Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P.
Ví dụ: Cho phương trình x 2  2 x  1  0 . Không tính nghiệm của phương
trình hãy tính giá trị của các biểu thức:
a) A  x17  x 27
b) B  x1  x 2
GIẢI: Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 vì ac  0
a) Ta có: A  x13  x 23 x14  x 24   x13 x 23 x1  x 2 
 x12  x 22  x1  x 2 2  2 x1 x 2  S 2  2 P
 x13  x 23  x1  x 2 x12  x1 x 2  x 22   x1  x 2 ( x1  x 2 ) 2  3 x1 x 2 
 S (S 2  3P)



 

2

 

x14  x 24  x12  2 x12 x 22  x 22
 ( S 2  2 P) 2  2 P 2

2



 2 x12 x 22  x12  x 22



2

 2 x12 x 22

 S = 2, P = -1.
Suy ra: x17  x 27  S ( S 2  3P)((S 2  2 P) 2  2 P 2 )  P 3 S
 2(4  3)((4  2) 2  2)  2  866

Giáo viên: Nguyễn Văn Tính

Trường phổ thông DTNT tỉnh


ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chuyên đề:
b) Ta có: B  x1  x 2  ( x1  x 2 ) 2
2
2
2
2
 x1  x 2   x1  2 x1 x 2  x 2  ( x1  x 2 )  4 x1 x 2

 S 2  4P  8
Suy ra B  8

Ví dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các nghiệm x1, x2 của
phương trình x2 + mx + 1 = 0 thỏa mãn :
x12 x22

7
x22 x12

Ví dụ 3 : Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình :
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm GTLN của biểu thức A  x1 x2  2 x1  2 x2
Ví dụ 4 : Tìm m để phương trình :
3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 4m + 1 = 0
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn :

1 1 1
  ( x1  x2 )
x1 x2 2

III. VẤN ĐỀ 2:
Tìm tham số biết hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức F(x1,x2)=0
Phương pháp (dùng định lí Viét ):
- Tìm đ/k để phương trình có nghiệm x1 , x2
- Lập hệ các điều kiện chứa nghiệm x1 , x2 và m:
b

 x1  x2   a

c

 x1 x2 

a

 F ( x1 , x2 )  0



(1)
(2)
(3)

- Tìm m từ hệ trên
- Thử lại điều kiện   0 để kết luận tham số
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2  2(m  4) x  m 2  8  0.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:
a) x 12  x 22  50
b) x12  x 22  x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm các nghiệm đó
GIẢI
Điều kiện: '  8m  4  0  m  3 (*)
 x1  x 2  2m  4
 x1  x 2  2m  4


2
2
a) Ta có:  x1 x 2  m  8   x1 x 2  m  8
 x 2  x 2  50
 x  x 2  2 x x  50
2
2

1 2
 1
 1

(1)
( 2)
(3)

Thay (1), (2) vào (3) ta nhận được m  1  m  15
Giáo viên: Nguyễn Văn Tính
Trường phổ thông DTNT tỉnh


ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chuyên đề:
- Với m = -1 phương trình trở thành x 2  6 x  7  0 có nghiệm

x1  1, x 2  7.
Với m  15, '  8m  24  0 ( m=-15 bị loại)

Vậy m = -1 thỏa mãn bài toán lúc đó phương trình có nghiệm
x1  1, x 2  7.
 x1  x 2  2m  4

b) Ta có  x1 x 2  m 2  8
 x 2  x 2  x  x min
2
1
2
 1

(1)
( 2)
(3)

Từ (1) và (2) : x12  x 22  x1  x 2  2 y với y  m 2  15m  36 (*)
Do (*) bài toán trở thành : Tìm min y với m  3 . Vì parabol y quay
lõm về phía trên có hoành độ đỉnh nhỏ hơn -3 nên:
Min y = y(-3) = 0, Vậy m = -3; GTNN = 0 x1  x2  1
Ví dụ 2: Cho phương trình 3 x 2  x  a  1. Tìm a để phương trình có
một nghiệm lớn hơn hai lần nghiệm kia một đơn vị.
GIẢI
Biến đổi phương trình thành 3 x 2  x  a  1  0
Giả sử x 1  2 x 2  1 ta có:

2 3
1

x


x

x

1
2
 1
3 3
3



a 1

1 3

  x2 
 x1 x 2 
2
3 3


x

2
x

1
1
2


30  3

a  27


Thử lại a 

30  3

30  3
thỏa bài toán
   0 vậy a 
27
27

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x + m cắt trục hoành tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho OA =3OB
Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình
x2 – (m + 2)x + m2 + 1 = 0
có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức : x12  x22  3x1 x2
IV.VẤN ĐỀ 3:
Tìm tham số để hai phương trình bậc hai tương đương
Tóm tắt: Cho hai phương trình bậc hai
a1 x 2  b1 x  c1  0
a 2 x 2  b2 x  c 2  0

(1)
(2)

 (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi hai tập nghiệm của chúng
trùng nhau ( kể cả bằng Ø);
Phương pháp: Xét 2 trường hợp:
Giáo viên: Nguyễn Văn Tính
Trường phổ thông DTNT tỉnh


ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chuyên đề:
 Trường hợp hai phương trình vô nghiệm:

  0

Giải hệ:  1
 2  0
 Trường hợp hai phương trình đều có nghiệm:
 1  0
  0
Giải hệ:  2
S 1  S 2
 P1  P2
 i , S i , Pi tương ứng với phương trình (i)

Ví dụ 1: Cho hai phương trình:
x 2  2x  m  0
2 x 2  mx  1  0

(1)
(2)

Định m để (1) và (2) tương đương
GIẢI
  0

 Trường hợp cả 2 phương trình vô nghiệm   1
 2  0
m  1
 2
  8  m  1
m  8

 Trường hợp cả 2 phương trình đều có nghiệm:
m  1

 1  0

  0
m   8  m  8

Điều kiện:  2
(vô nghiệm)
m4
S

S
1
2


1
m
 P1  P2

2

Kết luận: Với 8  m  1 hai phương trình tương đương

Ví dụ 2: Tìm các tham số a và b để hai phương trình sau tương
đương:
x 2  2(a  b) x  2a 2  b 2  0
x 2  2(a  b) x  a 2  2b 2  0

(1)
(2)

GIẢI
 Trường hợp (1) và (2) vô nghiệm:
  '  (a  b)2  (2a 2  b 2 )  0
a 2  2ab  2b 2  0
(*)
 1

 2
2
2
2
 '2  (a  b)  (a  2b )  0
b  2ab  0
Do b=0 không là nghiệm của (*)  b 2  0. Ta có:
 a  2
a
a
a
 1  3   1  3
   2  2  0


b
b
b
(*)   b 


1  2 a  0
a  1

 b 2
b

Giáo viên: Nguyễn Văn Tính

Trường phổ thông DTNT tỉnh


Chuyên đề:

ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

a
  1  3
b

 Trường hợp (1) và (2) có nghiệm
 a 2  2ab  2b 2  0

2
 b  2ab  0
Điều kiện: 
ab0
 2(a  b)  2(a  b)
2a 2  b 2  a 2  2b 2

a = b = 0 cả hai phương trình có nghiệm kép bằng 0
 Kết luận:

a
 1  3 hoặc a = b = 0, (1) và (2) tương đương
b

Vấn đề 4: Tìm tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm đã
cho x = a. Tìm nghiệm kia.
Ví dụ: Cho phương trinh bậc hai: (m 2  1) x 2  (m  1) x  m  3  0
Tìm m để phương trình có nghiệm x = -2. Tính nghiệm còn lại
GIẢI: Đặt f ( x )  (m 2  1) x 2  (m  1) x  m  3
 Phương trình bậc hai  m 2  1  0  m  1
 m = -2 là nghiệm của phương trình  f (2)  0





 m 2  1 (2) 2  m  1(2)  m  3  0
3
 m    m  1 (loại)
4
3
 Với m   , phương trình:  7 x 2  4 x  36  0
4
c
36

18

 Ta có:  x1 x 2  a   7 (định lý Viets)  x 2 
7

x1  2

Chú ý: Có thể tìm nghiệm còn lại như sau:
b

4
18
 x1  x2  
a  x2   (2) 

7
7
 x1  2

VI.VẤN ĐỀ 5:
Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm:   0
+ Tính S,P
+ Khử tham số giữa S và P để được một hệ thức chỉ còn S và P.
Thay S  x1  x2 , P  x1 x2 ta được một hệ thức độc lập với tham số
Ví dụ: Cho phương trình bậc 2

m  12 x 2  (m  1)(m  2) x  m  0
Khi phương trình có nghiệm hãy tìm hệ thức của nghiệm độc lập với
tham số
Giáo viên: Nguyễn Văn Tính

Trường phổ thông DTNT tỉnh


ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chuyên đề:
GIẢI
Ta có: m  12  0  m  1 (do phương trình bậc 2)
2

  m  1 (m 2  4)  0,
m  1
m2

(1)
S  m  1

m
(2)
P 

m  12

Từ (1): S 

(m  1)  3
S
1
S 1
1



m 1
m 1
m 1
3

Từ (2) và (3): P 

(3)

(m  1)  1
1
1
S 1  S 1





2
2
m  1 (m  1)
3
(m  1)
 3 

2

2

x  x 2  1  x1  x 2  1
x1 x 2  1

Hệ thức:
3
9
2
2
 x1  x 2  x1  x 2  7 x1 x 2  2  0

VII.VẤN ĐỀ 6:
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai
khi biết hai nghiệm của nó
Phương pháp: (Sử dụng định lí Viét)
1)
Tìm hai số x,y khi x + y = S và xy = P và x, y là nghiệm của
phương trình bậc hai: X 2  SX  P  0
2)
Lập phương trình khi biết hai nghiệm x1 , x 2 của nó:
+ Tính S, P.
+ Phương trình: X 2  SX  P  0
Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết hiệu và tích của chúng tương ứng bằng :
9, 90.
GIẢI
Gọi hai số phải tìm là x,y:
x  y  9
 x  ( y )  9


 xy  90

 x( y )  90
Đặt z   y ( y   z ) , bài toán trở thành: Tìm hai số x, z biết
x  z  9

 xz  90

x, z là nghiệm của phương trình: X 2  9 X  90  0
Giải phương trình này :   212  X 1  6, X 2  15
Ta có 2 cặp giá trị x = 15, x = -6  x = 15, y = 6
Hoặc x = -6 , z = 15  x = - 6, y = -15
Vậy hai số phải tìm là x = 15, y = 6 hoặc x = - 6, y = -15
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
Giáo viên: Nguyễn Văn Tính

Trường phổ thông DTNT tỉnh


Chuyên đề:

ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
4 x1 x2  5( x1  x2 )  4  0

(*)

1
( x1  1)( x2  1)  m  1 (m  1)

GIẢI
Ta tìm S  x1  x2 , P  x1 x2
4 x1 x 2  5( x1  x 2 )  4  0  4 P  5S  4  0


1
Hệ (*)  
1

 x1 x 2  ( x1  x 2 )  m  1
 P  S  m  1

(1)
(2)

Nhân 2 vế của (2) với -4 cộng vào (1) ta có:
4m  9
 m 2
S  4
P
m 1
 m 1 
m 2
4m  9
Phương trình cần lập: X 2  4
0
X 
m 1
 m 1 
(m  1)
Hay m  1X 2  4(m  2) X  4m  9  0

BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0.

1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m
2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều
kiện : x12  x22  10
Bài 2 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0.
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.



2

2



2) Đặt A  2 x1  x2  5 x1 x2
a) Chứng minh A = 8m2 – 18m + 9
b) Tìm m sao cho A = 27
3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm
kia
Bài 3 : Cho phương trình có ẩn số x : 2x2 + 2(m + 2)x + m2 +4m + 3 = 0.
1) A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
2

2

2) A  x1  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
3) Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc m
Bài 4 : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0.
1) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2.
2) Chứng minh rằng các nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức :

2

3m 2  10m  5 
2
  1 

2
2


2
Bài 5 : Cho phương trình có ẩn số x : x – mx + m – 1 = 0.
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Với giá trị nào của m, biểu thức
Giáo viên: Nguyễn Văn Tính
Trường phổ thông DTNT tỉnh


Chuyên đề:

R

ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2 x1 x2  3
x12  x22  2(1  x1 x2 )

đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 6 : Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m

2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn :

x22  x22  4( x1  x2 )
3) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn :
 y1  y2  x1  x2

y2
 y1
1  y  1  y  3

2
1
Bài 7 : Cho phương trình : (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0
1) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

x12  x22  x1  x2
2)Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc m.
3) Viết một phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm là :

y1 

x1  1
x2  1
và y2 
x1  1
x2  1

Bài 8 : Cho m là một số thực khác –1. Hãy lập một phương trình bậc hai có
hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức :
1

4x1x2 +4 = 5(x1 + x2)
và
(x1 – 1)(x2 – 1) =
m 1
=====================

Giáo viên: Nguyễn Văn Tính

Trường phổ thông DTNT tỉnh