Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi toán 9 bài tập chứa căn

TRAO ĐỔI VỀ BỒI DƯỠNG TDST CHO HS
THÔNG QUA DẠY BIỂU THỨC CHỨA CĂN

1. Một chút về TDST
a) Khái niệm: TDST là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và
có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
- Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới,
tạo ra kết quả mới.
- Tính độc đáo thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.
b) Ba thành phần cơ bản của TDST: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc
đáo.
- Ba đặc trưng rõ nét nhất của tính mềm dẻo là:
1) Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; vận
dụng linh hoạt các hoạt động: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,
khái quát hoá, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận: quy nạp, suy diễn; dễ
dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hướng
suy nghĩ khi gặp trở ngại.
2) Không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kiến thức, kinh
nghiệm, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới có những yếu tố đã thay đổi; có khả
năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của kinh nghiệm, phương pháp, cách nghĩ
từ trước.
3) Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của đối tượng quen biết.
- Hai đặc trương rõ nét nhất của tính nhuần nhuyễn là:
1) Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, từ đó tìm ra được cách tối ưu.
2) Có khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau.
- Ba khả năng đặc trưng rõ nét cho tính độc đáo là:
1) Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.


2) Khả năng tìm ra mối liên hệ trong những sự kiện tưởng như không có liên hệ

với nhau.
3) Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
5 cấp độ của TDST:
1) Nhận ra cần có sự sáng tạo mới giải quyết được vấn đề
2) Tìm cách thay đổi cách tiếp cận hiện đang sử dụng
3) Đưa ra một số giải pháp tiếp cận mới
4) Lựa chọn được giải pháp (trong số các giải pháp trên) giải quyết vấn đề
5) Nuôi dưỡng, phát triển sự sáng tạo (sáng tạo của sáng tạo)
2. Một số biện pháp bồi dưỡng TDST cho HS thông qua dạy học Biểu thức
chứa căn và các nội dung liên quan
2.1. Giúp HS thường xuyên giữ vững mối liên hệ giữa các nội dung lí thuyết
1) Giúp HS sử dụng thành thạo hệ thống lý thuyết (dĩ bất biết - ứng vạn biến)
- Rất chú trọng TXĐ: Tìm (x,y) ∈R2 thỏa hệ
 1 − x 2 + x 2 − 3 x + 2 + 4 − y 2 + x + 1 − y = 0

x − 1 − x 2 − 6x + 5 + y 2 − 1 − 3 = 0


⇒x=1

Ví dj 1:
- Không nhất thiết là giải bằng được TXĐ

Ví dụ 2:

1 − x x 2 + 2x
= 2
x
x +1

1
2

⇒x=

1
2

;0
1
2

;


2) Dự đoán những sai sót mà HS có thể gặp (Cho HS gặp bẫy)
Ví dụ 3: Giải phương trình:

x − 2( x 2 − x − 6) = 0

Sai lầm có thể gặp:

PT

x = 2
 x−2 =0
⇔ 2
⇔  x = −2

 x − x + 6 = 0
 x = 3


x−2

Sai vì: với x = -2 thì

Lời giải đúng: (2)

Chú ý:

vô nghĩa.

x = 2

 x−2 =0
  x = −2
x = 2
 2
⇔ 
⇔
⇔ x − x + 6 = 0
 x = 3
x = 3


 x−2≥0

  x ≥ 2

f(x).g(x)=0

 f ( x) = 0
⇔
 g ( x) = 0

với x thuộc tập xác định của phương

trình f(x).g(x)=0.
x2 + x − 2 = 2 x + 2

Bài tâp: Giải phương trình (x+1)
Ví dụ 4:

x 2 − 3x + 2 + x2 − x + 1 = 4 x − 3

Sai lầm thường gặp:
2
2
⇔ ( x − 3 x + 2)

PT
⇔

⇔

2

(x

−3 x + 2

+ (
2

) - (x

4x-3=(4x-3)(

−x +1

x2 − x + 1

2

) =(4x-3)(

x 2 − 3x + 2 − x 2 − x + 1

x 2 − 3x + 2 − x 2 − x + 1

)=(4x-3)(

x 2 − 3x + 2 − x 2 − x + 1

)

)

 4 x − 3 = 0
3

x=
 2

4
⇔  x − 3x + 2 ≥ 0
⇔
2
 2
2
 x − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 1(*)
 x − 3x + 2 − x − x + 1 = 1 

Pt(*)

⇔ x 2 − 3 x + 2 = ( x 2 − x + 1 + 1) 2

⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 2 x 2 − x + 1 + 1
− x ≥ 0
x ≤ 0
⇔ x2 − x + 1 = −x ⇔  2
⇔
(vn)

2
x = 1
 x − x + 1 = (− x)

Vậy phương trình có nghiệm:
Nguyên nhân sai lầm:

x=

3
4

)


Thử lại : x =

3
4

không thỏa mãn phương trình
⇔

Lời giải dúng: Pt
⇔
⇔

4x − 3
x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1

( x 2 − 3x + 2) − ( x 2 − x + 1)
x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1

=1

=1

( x 2 − 3x + 2) 2 − ( x 2 − x + 1) 2
x 2 − 3x + 2 + x2 − x + 1

=1

⇔ x 2 − 3x + 2 − x 2 − x + 1 = 1
⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 1
⇔ x 2 − 3x + 2 = ( x 2 − x + 1 + 1) 2
⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 2 x 2 − x + 1 + 1
− x ≥ 0
x ≤ 0
⇔ x2 − x + 1 = − x ⇔  2
⇔
(vn)
2
x = 1
 x − x + 1 = (− x )

Vậy pt vô nghiệm

Chú ý:

 f ( x).h( x) = g ( x).h( x )
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 h( x ) ≠ 0

Bài tập: Giải phương trình:

a)

( x + 1 + 1)( x + 10 − 4) = x

Ví dụ 5: Giải phương trình

b)

( x + 1 + 1)( x + 1 + x 2 + x − 7) = x

( x + 1)( x 2 − x − 2) = x + 1
⇔ ( x + 1)[(x+1)(x+2)] = x + 1

Sai lầm thường gặp:

PT
⇔ ( x + 1) 2 ( x − 2) = x + 1
⇔ x +1 x − 2 = x +1
 x + 1 = 0

 x − 2 ≥ 0
⇔

  x − 2 = 1
  x + 1 > 0

 x − 2 = 1
⇔
⇔ x=3
 x > −1

Nguyên nhân sai lầm: x = -1 là nghiệm của phương trình.
Lời giải đúng:
⇔ ( x + 1)[(x+1)(x+2)] = x + 1

Pt
⇔ ( x + 1) 2 ( x − 2) = x + 1
x +1 = 0

⇔   x + 1 x − 2 = x + 1
 x + 1 ≠ 0
 
 x = −1
 x = −1

⇔   x − 2 = 1 ⇔ 
x = 3
  x > −1


x 2 − 9 = ( x + 5)

Ví dụ 6: Giải phương trình: 2

x+3
x−3

Sai lầm thường gặp:
⇔ 2 ( x − 3)( x + 3) = ( x + 5)

PT
⇔ 2 x − 3 x + 3 = ( x + 5)

⇔ x + 3(2 x − 3 −

⇔

x+3
x −3

x+3
x −3

x+5
)=0
x −3

x +3
(2( x −3) −( x +5) =0
x −3

x +3
( x −11) =0
x −3
x −3 >0
x >3


⇔x −11 =0 ⇔x =11 ⇔x =11

x +3 =0
x =−3


⇔

Nguyên nhân sai lầm: x = -3 là nghiệm của pt cách giải trên đã làm mất
nghiệm x = -3


2 ( x − 3)( x + 3) = ( x + 5)

Lời giải đúng:

x +3
( x − 3) 2 = ( x + 5)
x −3

⇔2
⇔

PT ⇔

x +3
x −3

x +3
x +3
⇔2
. x − 3 = ( x + 5)

x −3
x −3

x +3
x −3

x +3
(2 x − 3 − ( x + 5)) = 0
x −3

2( x − 3) − ( x + 5) = 0; x − 3 ≥ 0
2 x − 3 − ( x + 5) = 0



2(3 − x ) − ( x + 5) = 0; x − 3 ≤ 0
 x + 3 ≥ 0

⇔ 
⇔  x > 3
 x −3




 x ≤ −3
 x +3 = 0


 x −3

x + 3 = 0

   x − 11 = 0; x ≥ 3

 1 − 3 x = 0; x ≤ 3
 x = 11

⇔  x > 3
⇔
 
 x = −3
   x ≤ −3

 x = −3

Chú ý:



 A. BnêuA, B ≥ 0
A 
A.B = 
;
=
 − A. − BnêuA, B ≤ 0 B 



A
nêuA ≥ 0, B > 0

B
−A
nêuA ≤ 0, B < 0
−B

Bài tập:
Giải các phương trình sau:
3 x 2 − 25 = (2 x − 1)

a)
c)

x −5
x+5

(3x − 1)(3 x 2 − 4 x + 1) = x − 1

Ví dụ 7:

Giải phương trình sau:

2 x 2 − x − 6 = ( x + 5)

b)
d)

(2 x − 3)(2 x 2 − x − 3) = x + 1

2 x3 − 3x = x 2 − 2 x

Sai lầm thường gặp:
Pt

x+2
x−3

⇔ x(2 x 2 − 3) = x( x − 2) ⇔ x 2 x 2 − 3 = x x − 2


⇔ x ( 2 x 2 − 3 − x − 2) = 0
 x =0
x = 0
⇔
⇔
2
 2 x 2 − 3 − x − 2 = 0
 2 x − 3 = x − 2
x = 0
⇔
2
 2 x − 3 = x − 2
x = 0
x = 0


⇔  x ≥ 2
⇔  x ≥ 2
 2 x 2 − 3 = x − 2
 2 x 2 − x − 3 = 0



x = 0

 x ≥ 2
⇔    x = 1 ⇔ x = 0

 x = − 1
  
2

Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi phương trình sau không phải là phép
biến đổi tương đương
Lời giải đúng: pt

x(2 x 2 − 3) = x( x − 2) ⇔ x 2 x 2 − 3 = x x − 2

⇔
x(2 x 2 − 3) = x( x − 2)

x = 0
x = 0

x = 0
2 x 2 − x − 1 = 0


2
⇔  2 x − 3 = x − 2 ⇔  
⇔
x = − 1

 x ≥ 2
  x( x − 2) ≥ 0


2

   x ≤ 0

Chú ý:
A = 0

A.B = A.C ⇔   B = C
  A ≠ 0; A.B ≥ 0
 g ( x) ≠ 0
f ( x) a
≥ ⇔
g ( x) b
b. f ( x ) ≥ a.g ( x )

 f ( x) ≠ 0; g ( x) ≠ 0
1
1
≥
⇔
f ( x) g ( x)
 f ( x) ≤ g ( x)
;

?

Ví dụ 8: Giải bất trình

( x 2 − 3 x) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

Sai lầm thường gặp:

Bpt

 x ≥ 2

1
x ≥ 3
2
2 x − 3 x − 2 ≥ 0
  x ≤ −
⇔ 2
⇔ 
2⇔
x ≤ − 1
 x − 3 x ≥ 0
 x ≥ 3

2

  x ≤ 0

Nguyên nhân sai lầm: x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình

Lời giải đúng:Bpt


 2
 2 x − 3x − 2 = 0
 2
2
2
( x − 3 x) 2 x − 3x − 2 = 0
 x − 3x = 0
⇔
⇔  2
 2 x − 3x − 2 > 0
( x 2 − 3 x) 2 x 2 − 3x − 2 > 0

 2 x 2 − 3 x − 2 > 0
 2

 x − 3x > 0
 x = 2


 x = − 1
x = 2

2

⇔ x = 3
⇔  x ≥ −3



 x > 3
1
x ≤ −


2
 x < − 1
 
2


f ( x) g ( x) ≥ 0 ⇔ 


Chú ý:


 f ( x) = 0; x ∈ D
g ( x)


f ( x) g ( x ) = 0
 g ( x) = 0
⇔ 
  f ( x) ≥ 0
f ( x) g ( x ) > 0

  f ( x) > 0
  g ( x) > 0

Bài tập: Giải bất phương trình:

(2 x − 5) 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0


x − x−4+ 4− x ≤
2

Ví dụ 9:

x2

2

Giải bất phương trình sau:

2 − 4 − x2

Sai lầm thường gặp:
⇔ x2 − x − 4 + 4 − x2 ≤

Bpt

x 2 (2 + 4 − x 2 )
x2

 x ≠ 0
⇔ 2
2
2

 x − x − 4 + 4 − x ≤ 2 + 4 − x
x ≠ 0
x ≠ 0
⇔ 2
⇔
 −2 ≤ x ≤ 3
x − x − 6 ≤ 0

Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi

x2 − x − 4 + 4 − x2 ≤ 2 + 4 − x2

thành

x2 − x − 6 ≤ 0

là không tương

đương.
Lời giải đúng: ĐKXĐ:

{ x ≠ 0; −2 < x < 2}

⇔ x2 − x − 4 + 4 − x2 ≤

Bpt

x 2 (2 + 4 − x 2 )
x2

 x ≠ 0
⇔ 2
2
2
 x − x − 4 + 4 − x ≤ 2 + 4 − x
x ≠ 0
x ≠ 0
x ≠ 0


2
⇔ 4 − x ≥ 0
⇔ −2 ≤ x ≤ 2 ⇔ 
 −2 ≤ x ≤ 2
 x2 − x − 6 ≤ 0
 −2 ≤ x ≤ 3



Chú ý:
định của

f ( x ) ≥ g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) ≥ g ( x) + h( x)
f ( x) ≥ g ( x)

f ( x) + h( x) ≥ g ( x) + h( x) ⇔ f ( x) ≥ g ( x)
f ( x ) + h ( x ) ≥ g ( x ) + h( x )

Bài tập:

∈

;h(x) D với D là tập xác

; với x thuộc tập xác định của


1) Giải bất phương trình:
3x − 2 x + 1 − 25 − x ≥
2

2) Sai ở đâu:

Điều kiện:

x2

2

5 + 25 − x 2

− x 3 + 3x − 2 + x + 1 = 2

 x 3 − 3x + 2 ≤ 0

 x +1≥ 0

⇔

( x − 1) 2 ( x + 2 ≤ 0

x +1 ≥ 0


⇔

( x + 2 ≤ 0
⇔ VN

 x +1 ≥ 0

x2 −1 − x +1 = x +1

3) Có thể sai ở đâu:

x+

4) Có thể sai ở đâu: Tìm GTNN của hàm số f(x) =

1
x +3

1.3. Chú ý phát hiện đặc điểm của bài toán đã được ngụy trang
x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11

Ví dụ 1: Tìm các số thực x thỏa:
Ví dụ 2: Đà Nẵng 10-11 (HSG.9)

x+ y−z + z−x =

Tìm các số thực x, y, z sao cho

1
( y + 3)
2

x − 2 x −1 + x + 2 x −1 =

Ví dụ 3: Tìm các số thực x thỏa:
Ví dụ 4: Tìm các số thực x thỏa:
4

3

Ví dụ 5: Giải PT 16x – 1 =
1
1
16( x 3 − ) = 4 x − − 1
8
2

⇔

x−

x+3
2

x − 2 − 2x − 5 + x + 2 + 3 2x − 5 = 2 2

1
1
16( x 3 − ) = 4 x − − 1
8
2

1
2

⇔


 x = 3 12 z 2 − 48z + 64

3
2
 y = 12 x − 48x + 64
 z = 3 12 y 2 − 48 y + 64


Ví dụ 6: Giải hệ

Ví dụ 7: Đà Nẵng 10-11 (HSG.9)
a +1
a

Cho M =

+

a a −1
a− a

+

a) Chứng minh M > 4

a2 − a a + a −1
a −a a

; với 0 < a ≠ 1

b) Tìm a để N =

6
M

nguyên

2.2 Tăng cường tuyển chọn, giới thiệu các bài toán hay (có nhiều cách giải)
1) Tìm để có nghiệm duy nhất:

1 − x 2 + 23 1 − x 2

=m

3 + x + 6 − x − (3 + x )( 6 − x )

2) Cho

= m (1).

a) Giải khi m = 3.
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất
3) Cho

1+ x

8− x

+

+

(1 + x )(8 − x )

= a.

a) Giải khi a = 3.
b) Tìm a để PT có nghiệm.
c) Tìm a để PT có nghiệm duy nhất.
x+7

3

4)
3

5)
3

6)

-

x

=1

24 + x + 12 − x

=6

2 − x = 1− x −1

2.3. Chủ động khai thác bài toán đã có, chế tạo bài toán mới theo kĩ thuật
1) Instead: Thay thế


Ví dụ 1: Từ bài toán: Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz.
x
y

Tính A = (1 +

)(1 +

y
z

)(1 +

z
x

), xyz ≠ 0

( x + y )( y + z )( z + x)
xyz

Bước 1: A =

Bước 2: Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz ⇔ x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
Ta có: x3 + y3 + z3 - 3xyz = x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 - 3xy(x + y) – 3xyz
= (x + y)3 + z3 - 3xy(x + y) - 3xyz
= (x + y)3 + z3 – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xyz]
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz –zx) = 0 ⇔ x + y + z = 0 hay x = y = z
Bước 3: Vậy A = 8
Bài mới:
a

Cho a

+b

b

+c
a

b

Tính: P = (1 +

c

abc = 0

-3
b
c

)(1 +

)(1 +

c
a

)

2) Combinet: Kết hợp
3) Apply: Áp dụng cho trường hợp đặc biệt
4

Cho:

a + b + c = 3 abc
3

4

3

4

3

4

4

. Đặt P = (1 +

a
b

4

)(1 +

Chứng minh P2 là lập phương của một số tự nhiên
4) Reverse: Đảo ngược
x+

Cho:

y + z + t =0

b

c

4

)(1 +

c
a

)


x x + y y + z z + t t = 3( x +

y )( zt − xy )

CMR:

2.4. Sử dụng hợp lý Computer và các phần mềm ứng dụng
Phương trình, hệ phương trình có nghiệm hữu tỉ nào chăng
Phương trình, hệ phương trình vô nghiệm chăng
2.5. Kết hợp bồi dưỡng TDST với TDLG và các hoạt động trí tuệ khác
Sai TDLG của HS (mời các bạn tự điềm các ô tróng.
Nguyên nhân
Không hiểu khái niệm, định lý

Ví dụ
(

Nhớ sai công thức

Xét thiếu trường hợp
Hiểu sai đề bài
Sai loogic (tuyển hệ, tương đương,
…)
Tính toán nhầm
Thiếu điều kiện
Diễn đạt kém

y)

x
+

2

( x)
=

Đề phòng – Sửa
2

( y)
+

2