tổng hợp kiến thức toán học lớp 12

Hình học 12
5
TỌA
ĐỘ
TRONG
KHƠNG
GIAN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hoctoancapba.com
CÁC DẠNG TỐN

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )
2. AB  AB 



 x B  x A  2   y B  y A 2   z B  z A  2



3. a  b  a1  b1 , a 2  b2 , a3  b3 
4. k.a  ka1 , ka2 , ka3 
5. a  a12  a 22  a32







A,B,C là ba đỉnh tam giác  [ AB, AC ] ≠ 0

1 
SABC =
[AB, AC]
2



Đường cao AH =



Shbh = [AB, AC]



2.S ABC
BC



Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng

 a1  b1

6. a  b  a 2  b2

a  b
3
 3



ABCD là hbh 

AB  DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3



a1 a 2 a3


b1 b2 b3

8. a // b  a  k .b  a  b  0 



 







12. a, b, c khơng đồng phẳng  a  b .c  0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x kxB y A kyB z A kzB 
M A
,
,

1 k
1 k 
 1 k
14. M là trung điểm AB
 x  xB y A  y B z A  z B 
M A
,
,

2
2 
 2
15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x B  xC y A  y B  y C z A  z B  z C 
G A
,
,
,
3
3

3


16. Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1
1
a12  a 22  a32
19. S ABC  AB  AC 
2
2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ).AD
6
21. V ABCD. A/ B / C / D /  ( AB  AD).AA /





Đường cao AH của tứ diện ABCD
1
V  S BCD . AH  AH  3V
3
S BCD

9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  0
 a a3 a3 a1 a1 a 2 


10. a  b   2
,
,

b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2


11. a, b, c đồng phẳng  a  b .c  0



[ AB, AC ]. AD ≠ 0


1 
Vtd =
[AB, AC] . AD
6

Thể tích hình hộp :





V ABCD. A/ B / C / D /  AB; AD . AA /
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

Viết phương trình mp qua M và vuông góc
với (d): ta có n  a d


Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp

Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)

H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM/

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MẶT PHẲNG

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mp :
 

n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của   n  
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp :
 
 
a // b là cặp vtcp của   a , b cùng // 
  
 

3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :



qua A ( hay B hay C )

°



° Cặp vtcp: AB , AC

 

vtpt n  [ AB , AC ]

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
° 

qua M trung điể m AB


vtpt n  AB

Dạng 3: Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;

C(0,0,c) :

x y z
  1
a b c

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d trong đó
(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

8. Vò trí tương đối của hai mp (1) và (2) :
°  cắt   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
A
B
C
D
°  //   1  1  1  1
A2 B2 C2
D2
A
B
C
D
°    1  1  1  1
A2 B2 C2
D2

ª     A1 A2  B1 B2  C1C2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
d(M, ) 

Ax o  By o  Cz o  D
A 2  B2  C2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

 
n1 . n 2
cos( ,  )   
n1 . n 2

qua M

° 

 
Vì   (d) nên vtpt n  a ....(AB)
d

Dạng 4: Mp qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0
° 

qua M


Vì  //  nê n vtpt n




n



Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
a d  a
 Mp chứa (d) nên
Mp song song (d/) nên a d /  b
■



Vtpt n  a d , a d /



Dạng 6 Mp qua M,N và   :
■

Mp qua M,N nên MN  a

■

Mp  mp nên

n  b

qua M (hay N)

°

 

vtpt n  [ MN , n ]



Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua
■

Mp chứa d nên a d  a

■

Mp đi qua M  (d ) và A nên AM  b
qua A

°


(Cách 2: sử dụng chùm mp)

vtpt n  [ a , AM]
d

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hình học 12
7
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
CÁC DẠNG TOÁN

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
(hayB)
quaA
(d )
ad  AB
 Vtcp

x  x o  a 1t

(d) : y  y o  a 2 t ; t  R
z  z  a t
o
3


Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ()

qua A

2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x  xo
a



y  yo

1

a2



z-z

0

a3

(d )
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

qua A

(d )

A x  B1 y  C1z  D1  0
(d) :  1
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0

 B1
Véctơ chỉ phương a  
 B2

C1 C1
,
C2 C2

A1 A1
,
A2 A2

B1
B2








(d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /


 d chéo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng)


 d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ]. MN = 0






/
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / và M  ( d ) }

 d,d’ trùng nhau  { a d // a d / và M  ( d / ) }


Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /
Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) 

Kc giữa 2 đường thẳng :


n
d


d (d ; d / ) 

 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

quaM  (d )

(  )  (d )  a  a
d

 
       n  b
  n   [a d ; n ]


ª (d

/

( )
)
(  )

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d1),(d2)

(d )

qua A


vtcp a  [ a

d1


,a

d2

]

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :


+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)

[a d ; AM ]



d=

ad

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d =   

[a d ; a d / ].MN

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = 1  2
với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

[a d ; a d / ]



Vì (d)  ( ) nê n vtcp a



 d,d’ cắt nhau  [ a d , a d / ]  0 và [ a d , a d / ]. MN =0

5.Khoảng cách :



Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên  : d/ =   

4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :



d


a

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 1 và 2




Vì (d) // () nê n vtcp a



6.Góc : (d) có vtcp a d ; ’ có vtcp a d / ; ( ) có vtpt n

a d .a d /
Góc giữa 2 đường thẳng : cos(d,d' ) 

ad . ad /
 
ad . n
Góc giữa đường và mặt : sin(d, )  

ad . n

Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB
với mp qua A,  d1 ; B = d2  
Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =   
với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
8
MẶT
CẦU

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CÁC DẠNG TOÁN

TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R
S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R
2

2

2

2

(1)

S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

( với a  b  c  d  0 )
2



2

2

2
2

2
Tâm I(a ; b ; c) và R  a  b  c  d

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2
và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mp :
 d > R : (S)   = 
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, :
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt
(S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2

 : Ax  By  Cz  D  0

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r  R2  d2 ( I ,  )
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
x  x o  a1t

d : y  y o  a 2 t (1) và

z  z o  a 3 t


(S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2

2

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª

S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R 2 (1)
2

2

2

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp
Pt mặ t cầ u tâ m I

(S )

R  d(I, ) 

A.x  B. y  C . z  D
I
I
I
A2  B 2  C 2

Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ()

(S )

tâ m I
R  d(I, )

Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A




Tiếp diện  của mc(S) tại A :  qua A, vtpt n  IA

Dạng 8: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) và  
+ Viết pt mp vuông góc  : n  a   ( A, B, C )
+ Mp : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I ,  ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :

 
n  [ a ,b ]



pt : Ax  By  Cz  D  0
từ d(I,  )  R  D

2

Dạng 10: Mp chứa  và tiếp xúc mc(S) :
thuộ c chù m mp chứ a 



R  d(I, )  m, n

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
9
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------