Bài tập toán cao cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ HUẾ
KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ
--------------------------------

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP
PHẦN GIẢI TÍCH

Người soạn: Trần Thị Khánh Linh
Bộ môn: Toán Kinh tế

Huế, 2015


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chương 1:
HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
x
1. Cho hàm số f ( x)  2 , g ( x)  x 2
Hãy tính f  g ( x) , g  f ( x) , f  f ( x), g  g ( x) ?
2. Cho hàm số f ( x) 

x
1  x2



Hãy tìm f f ... f ( x) ?
n lan

x

3. Cho f ( x)  a  a , chứng minh rằng: f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x) f ( y)
4. Tìm hàm số f(x) cho biết
1
1
4.1 f ( x  2)= x 2  5x  6
4.2 f ( x  )  x 2  2
x
x
1
4.3 f ( )  x  1  x 2 ,
( x  0)
x
5. Tìm miền xác định của hàm số:
1 x
x
5.1 y  ( x  2)
5.2 y 
1 x
sin  x
x
5.4 y  lg(lg x)
5.3 y  arc sin(lg )
10
§2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1. Tính các giới hạn:
x

x  x 2  ..  x m  m
(m, n  0)
1.1 lim
x 1 x  x 2  ..  x n  n
1.3. lim
x 0

1.5 lim

x 



1  x  x2  1
x
x2  2 x  x

sin

1.7 lim

x 

1.1

2

1.6 lim

x 



x2  2 x  x



cos mx - cos nx
x 0
x2

1.8 lim

x

m  m  1
n  n  1

1
2
1.5 1

1.3.

x 0

x

cos x  1
1.9 lim
x 0
x2

Đáp án:



tan x - sin x
x3
5x
1.4 lim 3
x 0 1  x  3 1  x

1.2 lim

n

1.10 lim
x 0

1.2

1  ax  1
(a  0, n  0)
x

1

2

15
2
1.6 

1.4

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1.8  n2  m2 
1.7 0
2

1.9 

1
4

1.10
v x 

2. a. Chứng minh lim u ( x)
x  x0

lim v  x   b

a
n

 ab với điều kiện là các giới hạn lim u  x   a,  a  0  ,
x  x0

x  x0

b. Cho biết : lim u ( x)  1, lim v( x)  , lim u( x)  1 v( x)  L . Ch / m : lim u ( x)

v( x)

x a

x a

x a

x a

 eL

Áp dụng:
1

2.1 lim(1  x )

2 cot 2 x

x 0

2.3 lim(1  sin  x)cot  x
x1

 x2  1 
2.5 lim  2

x  x  2



x2

1

2.7 lim  sin x  cot x
x

2

2.9 lim(1  tan x)cot x
x 0

Đáp án:
2.1 e
2.3 e 1
2.5 e3

 1  tan x  s inx

2.2 lim 

x 0 1  sinx


1
1 cot 1x
2.4 lim(sin  cos )
x 
x
x
 x2 1 
2.6 lim  2 
x 
 x 

x4

1

2.8 lim  cos x  x2
x 0

2.10 lim  sin 2 x 
x

tan 2 2 x

4

2.2 1
2.4 e
2.6 0
1
2

2.7 1

2.8 e

2.9 e

2.10 e



1
2

3. Tìm giới hạn
3.1 lim(sin 1  x  sin x )
x

arcsin(1  2 x)
1
4 x2  1
x

3.2 lim
2

1  cosx
x 0
x2

3.3 lim

3.4 lim x ln( x  1)  ln x 
x 

3.5 lim x cot 5 x
x 0

Đáp án

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.1 0
3.3

1
4

3.5

1
5

4. Xét sự liên tục của hàm số:
 x2  4
khi x  2

4.1 f ( x)   x  2
4
khi x  2


1

khi x  0
 x sin
4.3 f ( x)  
x
0
khi x  0
 x
khi x  1
cos
2
4.5 f ( x)  
 x  1 khi x  1


3.2

1
2

3.4 1

  x12

khi x  0
4.2 f ( x)  e
0
khi x  0
2

khi x  1
x
4.4 f ( x)  
2

2  x khi x  1

5. Tìm k để hàm số f(x) liên tục
 3x
khi x  0
sin
5.1 f ( x)  
liên tục trên
x
k
khi x  0

e x
khi x  0
5.2 f ( x)  
liên tục trên R
 x  k khi x  0
4.3x
khi x  0
5.3 f ( x)  
liên tục trên R
2k  x khi x  0
1

 x sin khi x  0
5.4 f ( x)  
liên tục tại x0  0
x
k
khi x  0
 x 1
khi x  1

5.5 f ( x)   x3  1
liên tục tại x0  1
k
khi x  1
§3. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI VÀ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ
1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một năm, hãy cho biết:
a, Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm.
b, Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm.
ĐA: a, B  3.0817(tr )

b, A  4,8239(tr )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu 6000$ và sẽ mang lại 10.000$ sau 5 năm. Trong điều
kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV
của dự án đó?
ĐA: NPV  499,3$
3. Tính giá trị của khoản tiền 1000$ sau 3 năm nếu lãi suất được tính gộp liên tục với mức lãi
suất 10% một năm.
ĐA: B  1331$
4. Một công ti đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên tiếp
trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền vào chỗ
khác với lãi suất 9% một năm?
ĐA: Có thể chấp nhận đầu tư.
5. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ mang lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu
sau 2 năm, 30 triệu sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành
là 10% một năm?
ĐA: Có thể chấp nhận đầu tư .
6. Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ mang lại cho bạn
2000$ mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều
kiện lãi suất 12% một năm. Có nên thực hiện dự án đó hay không?
ĐA: Không nên chấp nhận đầu tư .
7. Một chủ đầu tư định mua là căn nhà trị giá 4 tỉ đồng và cho thuê trong vòng 10 năm với
mức thuê là 60tr/ năm. Sau 10 năm trị giá căn nhà ước tính khoảng 2,5 tỉ đồng. Với mức lãi
suất hiện nay là 9%, hỏi chủ đầu tư có nên mua nhà không?

ĐA: Không nên chấp nhận đầu tư ( NPV  2,885 tỷ) .
8. Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như
sau:
- Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr
- Trả ngay sau khi mua 4tr , các năm sau trả đều 5tr vào đầu mỗi năm liên tục trong 4 năm
Lựa chọn phương thức bán hàng có lợi nhất cho công ty biết lãi suất tiên gửi NH ổn định
9%/năm.
ĐA: Chọn phương án 2: vì PV 2  20,19  PV1  19,4
9. Một công ty tài chính đưa ra 2 phương án thanh toán như sau:
PA1: trả ngay 1,2 tỷ đồng
PA2: Trả ngay 330 triệu, 2 năm sau trả 200 triệu trong vòng 5 năm
PA3: Trả mỗi năm 210 triệu trong vòng 7 năm vào cuối mỗi năm
Hãy lựa chọn phương án thanh toán có lợi nhất biết lãi suất 10%/ năm.
10. Một công ty định vay vốn ngân hàng để đầu tư xây dựng một phân xưởng sản xuất mới với
chi phí đầu tư là 4 tỷ đồng. Phân xưởng dự kiến vận hành trong vòng 10 năm và thu nhập mỗi
năm khoảng 900tr đồng,. Đến hết 5 nam phân xưởng tiến hành sửa chữa với giá trị 250 triệu
đồng. Hỏi dự án trên có nên đầu tư hay không biết lãi suất 10%năm?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.2 y  (1  3x  5x 2 )4
1.1 y  3 2e x  2 x  1  ln 5 x
1.3 y  arcsin 1-x 2

1.5 y  arctan x  arcsin x
1.7 y  a  bx
3

1.9 y  ln

(1  x 2 )arctanx - x
1.8 y 
2

3

1  sinx
1  cosx

1.11 y  esin

2

1.10 y  ln(1  1  x 2 )
1.12 y  ln sin( x3  1) 

x

1  x2
1  x2
1  2x
1.15 y  ln
1  2x
1.17 y  ln ln x

1.13 y  arcsin





1.19 y  (arctanx)x
2. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
2.1 y  (1  x2 )arctanx
2.3 y  tan x
2.5 y  arcsin

1 x
1 x
1.6 y  ln x lg x  ln a log a x
1.4 y 

1.14 y  a x x 4
1.16 y  arctan

x sin 
1- x cos 

1.18 y  xs inx
1.20 y  x x
2.2 y  e x

2

2

2.4 y  1  x 2
x
2

2.7 y  xe x
2.9 y  x arcsin x
3. Tính đạo hàm cấp 3 của các hàm số sau:
3.1 y  xe x
3.3 y  x 2 sin x
3.5 y  x 2 sin 2 x

1
x
2
2.8 y  2 x sin 2 x

2.6 y  arctan
2.10 y  xe x

3.2 y  e x cos x
3.4 y  x3 2x
3.6 y  f  x3 

4. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:

1
x 1

4.1 y  ln  ax  b 

4.2 y 

4.3 y  xe x

4.4 y  23 x

4.5 y   2 x  1

n

5. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau:
1 x
x
5.1 y  ln
5.2 y  arcsin
1 x
a
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.4 y 

5.3 f ( x)  x 2  1



5.5 y  ln sin x



2
x

5.6 y  arctan

1
x

5.8 y  x3 5x
5.10 y  xe2x

5.7 y  sin3 4 x
5.9 y  e x sin x

§5. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1. Định lí Fermat:
Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng X và nhận giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)
tại một điểm c bên trong khoảng X ( c không trùng với các đầu mút của khoảng X). Khi đó, nếu
tại điểm c hàm số f(x) có đạo hàm thì f / (c)  0 .
2. Định lí Rolle:
Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện:
a, Xác định và liên tục trên  a, b .
b, Khả vi trong khoảng (a,b).
c, f(a) = f(b).
Khi đó tồn tại c  (a, b) saocho: f / (c)  0 .

3. Định lí Lagrange:
Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện:
a, Xác định và liên tục trên  a, b.
b, Khả vi trong khoảng (a,b).
f (b)  f (a)
Khi đó tồn tại c  (a, b) saocho : f / (c) 
ba
1. Áp dụng công thức Lagrange, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.1 sin a  sin b  a  b
1.2 arctan a - arctan b  a  b

ba
b ba
 ln 
b
a
a
2. Tính giới hạn vô định sau:
x 2  1  ln x
2.1 lim
x 1
ex  e
xm
2.3 lim x (a  1)
x  a
1.3

2.5 lim

x 1

ln(1  x)
cot  x

2.7 lim(1  x) tan
x 1

x
2

1  cosax
x 0
xsinx
ax
e  e ax
(a  0)
2.4 lim
x 0 ln(1  x)
  2arctan x
2.6 lim
x 
1
ln(1  )
x
1

2.8 lim  cot x  
x 0
x


2.2 lim

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.9 lim( x tan x 
x



2



2cos x

2.11 lim tan 2 x.tan(
x



4


4

)

 x)

2.13 lim ln x.ln(1  x)
x 1

x 
 1
2.10 lim 

x 1 ln x
ln x 

1

2.12 lim 1  x 2  ex 1 x
x 0
2.14 lim(1  x)

cos x
2

x 1

 sin x 
2.15 lim 

x 0
 x 

2.17 lim(e  x)
x

1
x2

2.16 lim(e  x)
x

1
x

x 0

1
x

x 

e2 x  1
x 0 sin x

2.19 lim

2

2.18 lim  arctanx 
x  



2.20 lim
x 0

x

1  cos ax
1  cos bx

Đáp án

a2
2
2.4 1
2.6 2

2.1 2a

2.2

2.3 0
2.5 0
2
2.7

2.8 0



2.10

2.9 -1

1
2
2.13 0
2.11

2.15 e

1
2

2.12 2
2.14 1
1
6

2.16 e 2

2.17 e

2.18 e

2.19 2

2.20


2

a2
b2

3. Xác định khoảng tăng, giảm của hàm số:
3.1 y  x( x  1)2 ( x  2)3

2 23
x 6x  7
3
3.5 y  x ln x 2
4. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3.3 y 

ex
x
ln x
3.4 lim
x 0 ln sin x
3.2 y 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ln x
x
1

x

x 1
4.3 y   arctanx
4.4 y  ( x 2  1)arctan x  x 2 
2
2
8
2
2
1
1
1
x
4.5 y  ( x 2  )arcsin x  x 1  x 2 
2
2
4
12
5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1-x
5.1 y  x2 ln x,
1 x  e
5.2 y  arctan
, 0  x 1
1+x
5.3 y  2 x  arcsinx
5.4 y  2 x  x 2
4.1 y  sin x - x

5.5 y 

4.2 y 

x2  x  1 1
, x2
2
x

6. Xác định các khoảng lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:
x3
6.1 y  2
6.2 y  3 x  2
x 2
6.4 y  1  x 2  e x
6.3 y  3 4 x3  12 x
6.5 y  earctanx
7. Khai triển Taylor các hàm sau:
7.1 y  sinx tại x=0

7.2 y  e x tại x=1
1
7.3 y  cos x tại x  
7.4 y  tại x  x0
x
1
7.5 y   x  5 e x tại x=0
7.6 y 
tại x=0
3x  4

8. Tìm hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên, cho hàm tổng chi phí:
8.2 TC  35  5Q  2Q2  2Q3
8.1 TC  3Q2  7Q  12
9. Tìm hàm doanh thu bình quân và hàm doanh thu cận biên cho biết hàm tổng doanh
thu: TR  12Q  Q2 .
10. Tìm hàm lợi nhuận bình quân, hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi nhuận:
  Q2  13Q  78
11. Tìm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu: Q  36  2 p
46
12. Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân: AC  1,5Q  4 
Q
3
2
13. Cho biết hàm tổng chi phí: TC  Q  5Q  60Q . Hãy xác định mức sản lượng Q để
chi phí bình quân nhỏ nhất.
14. Cho biết hàm tổng chi phí TC và hàm tổng doanh thu TR, hãy xác định mức sản
lượng cho lợi nhuận tối đa:
14.1 TC  Q3  6Q2  140Q  750; TR  1400Q  7,5Q2
14.2 TC  Q3  5,5Q2  150Q  675; TR  4350Q  13Q2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15. Cho hàm cầu: Q  20  5 p , hãy tính hệ số co dãn ở các mức giá p  2, p  3

5Q 2
.

Q3
16.1 Tìm hàm chi phí cận biên MC.
16.2 Tính chi phí trung bình AC tại Q=100.
16.3 Tính hệ số co dãn của TC theo Q tại Q= 17.
17. Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng chi phí: TC  Q3  Q2  700Q  30
Hàm doanh thu trung bình: AR  2000  Q
17.1 Hãy xác định Q sao cho hàm chi phí bình quân nhỏ nhất.
17.2 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
18. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p  490  2Q và hàm tổng chi phí:
TC  1,5Q2 . Trong đó, Q là sản lượng.
18.1 Xác định hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên của doanh nghiệp.
18.2 Xác định sản lượng và giá bán để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
1
19. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với Qd  656  p . Hàm tổng chi
2
3
2
phí: TC  Q  77Q  1000Q  100 . Tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất.
20. Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh
doanh loại hàng nào đó là: Qd  300  p . Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là:
16. Cho hàm tổng chi phí TC  5000 

TC  Q3  19Q2  333Q  10 . Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.
21. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của
loại hàng đó trên thị trường là: Qd  2340  p . Hàm chi phí TC  Q2  1000Q  100 .
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại.
1
5

22. Một xí nghiệp độc quyền có hàm cầu thị trường đối với sản phẩm là: p   Q  800 .

1
5

Với hàm tổng chi phí TC  Q 2  200Q  200000 .
a. Tìm hàm doanh thu cận biên, chi phí cận biên.
b. Xác đinh mức sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận?
23. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược:
p  1400  7,5Q
a. Tính hệ số co dãn của hàm cầu theo giá ở mỗi mức giá p.
b. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đã, cho biết hàm chi phí cận biên:
MC  3Q2  12Q  140 .
24. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá $20. Cho biết
3

hàm sản xuất Q  12 L2 và giá thuê lao động là $40. Hãy xác định mức sử dụng lao động
cho lợi nhuận tối đa.
25. Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm trên thị trường với hàm cầu:
D  p   750  p . Cho biết hàm sản xuất Q  6 L và giá thuê lao động là $14. Hãy xác
định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§6. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Tính tích phân
x 1
1.1 

dx,  x  0 
x

1  x 

3

dx,  x  0 
x3 x
3.2 x  2.3x
1.5 
dx
2x
x2
1.7 
dx
1  x2
1.9  cot 2 xdx,  x  k , k  Z 
1.3



2

, x 
5
2  5x 

xdx
2 3

1.13 
,  x 

2
3 
2  3x 
dx
1.15  3
x 1  ln x
sin2xdx 


1.17 
,
x

 k , k  Z 

2
cos 2 x 
2

dx



1.11

e

1.19

sin x

cos xdx

1.2
1.4



1 
x x dx,  x  0 
2 


 1  x

 2

x

 3x  dx
2

2 x 1  5x 1
1.6 
dx
10 x
x2  3

1.8  2
dx,  x  1
x 1



1.10  tan 2 xdx,  x   k , k  Z 
2


dx
1.12 
2  3x 2
1.14

x

1.16

dx
 1  cosx ,  x  k 2 , k  Z 

1.18

 cos x

dx
1  tan x

1.20

2x
e

dx

1  x3 dx,

23

2

2

 ln x

2. Tính tích phân (Sử dụng phương pháp biến đổi biến)
dx
dx
2.1 
2.2  2
,  x  0
,  x  2 
3
x3 x
1 x 1
ex 1
2.4  e x  1dx, ( x  0)
dx
2.3  x

e 1
dx
dx
,  x   1,1 \ 0
2.6 
2.5 
x x2  1
x 1  x2
x5
2.7  16  x 2 dx,  x   4, 4
2.8 
dx,  x   1,1 
1  x2
2.10  sin 3 x cos 2 xdx
2.9 x 2 4  x 2 dx,  x   2, 2



3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân:
3.1  x 2cos2 xdx
3.2  x sin 2 xdx
3.3

 xe

2 x

dx

3.4

x e

2 3x

dx

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

xdx

 sin x ,  x  k 
3.7  x tan xdx
3.9  x ln( x  1)dx,  x  1
3.5

2

2

3.6
3.8

xcosxdx

 sin x ,  x  k 
 ln xdx,  x  0
3

2

2

4. Tích phân các phân thức hữu tỉ, lượng giác :
2x2  x  1
1

4.2
4.1 
dx,  x  
2x 1
2

2x  1
4.3  2
dx,  x  2, x  3
4.4
x  5x  6
2 x3
4.6
dx
4.5  4
2
x  x 1
4.7  sin 5 xdx

4.8

sin 3 x



4.9 
dx,  x   k , k  Z 
cos x
2



arcsin x



3.10

1 x

dx,

 x  1

dx
 x2  x  1

2x2  x  1
 x2  2 x  5 dx

 sin 3x.cos xdx

 sin

3

x cos 4 xdx
dx

 5  3cos x

4.10

§7. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Tính các tích phân xác định sau:


1

1
1.1 
dx
1

2
x
0
1

1.3

2

1.2

2
3
 x 1  3x  dx
10

1.4

 x  2
3 3  3  x  2  dx



1.6

x
ln 5

e  1dx
x

x 2  9dx

3

0

1.8

0


0

ex ex 1
dx
ex  3



13

1
1.9 
dx
3
1

2
x

1
0
a 7



1.11

0

x3
a2  x2

2

1.10

x

dx

 2 cos x  3
0

5

dx

1.12


0

xdx
3x  1

a

a

0

x

 1  x dx
4

3

ln 2

1.13

xdx

0

29

1.7

3

0

1

0

1.5

 sin 2 x cos

a 2  x 2 dx

1.14

x

2

a 2  x 2 dx

0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



x

0 x sin 2 dx

50.15

1.16

e

 x ln 1  x  dx

1.18

0

  x ln x 

e

x

1.20

dx

1
e

2
2

3

 x arctan xdx
0

 x arcsin xdx

3

1

1.22

0

x
1.23  arcsin
dx
1

x
0
1

x2ex

  x  2

1.25

dx

 ln x dx

0

1.21

2

1
e

1

1.19

2

0

1

1.17

 x cos2xdx

2

1.24

xe x

  x  1

2

dx

0

dx

0

2. Cho hàm số f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a, a  .Hãy chứng minh:
a

a, Nếu f ( x) là hàm số chẵn thì :



-a

a

f ( x)dx  2 f ( x)dx
0

a

b, Nếu f ( x) là hàm số lẽ thì :

 f ( x)dx  0

-a

3. Cho f ( x) là hàm liên tục trên R và là hàm tuần hoàn với chu kì T, chứng minh với
a+T

mọi số a ta luôn có:


a

T

f ( x)dx   f ( x)dx
0

4. Cho f ( x) là hàm liên tục  0,1 .Hãy chứng minh :

2

4.1


0



2

f  s inx  dx   f  cosx  dx
0



4.2



2

0

0

 f  s inx  dx  2  f sinx  dx

5. Tính tích phân suy rộng


5.1

 xe

x



dx

5.2

0



5.3

2

2

dx

 x ln
a

x

2

x

 a  0

dx
 x2

0

5.4

 xe

2x

dx



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

dx

 1  x  4  x 

5.5

2





 xe

5.7

 x2

2



x

5.6

a



dx

6



5.11

x3dx



4  x2

0


x2
dx
x3  1



5.13

0

x2  1

0

dx
5.9  2
x  4x  9


xdx
 2x2  1
dx

x

5.8

0

2

4

5.10

dx



2 3

4  x

2

1

5.12  x ln 2 xdx
0
e

5.14 
1

dx
x ln x

Đáp án:

2
ln 2
3
1
5.4
4
1
5.6
2  a 2  1
5.2

5.1 1
5.3

1
ln a


6
1
5.7
2
 5
5.9
5

16
5.11
3
5.5

5.8


6

5.10 6 3 2

1
4
5.14 phân kì
5.12

5.13 phân kì
6. Tính các tích phân 2 lớp sau đây:

6.2
6.1

3



2

x 2 ydxdy

0 1

  x  2 y  dxdy

trong đó D là miền

D

phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng
y  2x2 ; y  1  x2

1

6.3
6.5

0

x

5

5 x

 dx 
0

6.7

2x

 dx   x  y  1 dy

  x
D

4  x  ydy

6.4
6.6

 y  dxdy với 1  x  2, 0  y  1

y

2

0

 dy 

y3
dx
x2  y 2

  x  y  dxdy với 2  x  3, 1  y  2
2

D

0

2

4

6.8

  x

2

 y 2  dxdy với 0  x  1, 0  y  1

D

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6.10  xydxdy trong đó D là miền phẳng
6.9  xe xy dxdy với 1  x  2,  1  y  0
D

giới hạn bởi y  0, y  x, x  1

D

6.11

 xydxdy

trong đó D là miền

6.13

D

giới hạn bởi xy  6, x  y  7  0
6.15

D

  x  2 y  dxdy

trong đó D là miền

D

phẳng giới hạn bởi y  2  x2 , y  2 x  1
Đáp án:
27
2

phẳng giới hạn bởi y  x, y  2 x, x  2, x  3
32
15
6.4 6

5
6.6 4
6

6.2

6.3 1/3
6.5 506/15
6.7 2

trong đó D là miền phẳng

D

phẳng giới hạn bởi y  x2 , x  y2
6.14   x  y  dxdy trong đó D là miền

6.1

 xdxdy

5
6

6.8 2/3

6.9 1/e

6.10 1/8

6.11 1/12

6.12 20

6.13 4

5
6
1
6.14 25
3

4
15

§8. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
3
5

1. Cho biết hàm đầu tư: I  40t và quỹ vốn tại thời điểm t=0 là 75. Hãy cho biết hàm
quỹ vốn đầu tư?
1

2. Cho biết hàm đầu tư I  60t 3 và quỹ vốn tại thời điểm t = 1 là 85. Hãy cho biết hàm
quỹ vốn đầu tư?
3. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: MC  32  18Q  12Q2 và chi phí cố
định FC  43 . Hãy tính hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biên.
4. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: MC  12e0,5Q và chi phí cố định
FC  36 . Hãy tính hàm tổng chi phí.
5. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q MC  16e0,4Q và chi phí cố định

FC  100 . Hãy tính hàm tổng chi phí.
6. Cho biết hàm doanh thu cận biên MR  84  4Q  Q2 . Hãy cho biết hàm tổng doanh thu
TR(Q) và hàm cầu?
7. Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC  0,8 ở mọi mức thu nhập Y là C  40 khi
Y  0 . Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y)?
8. Cho biết hàm cầu: p  42  5Q  Q2 . Giả sử giá cân bằng là p0  6 . Hãy tính thặng dư
của người tiêu dùng.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2
3
9. Cho biết hàm cầu và hàm cung: Qd  113  p , Qs  p  1 . Hãy tính thặng dư của nhà
sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng
2
2
ĐA: CS  228 ; PS  277
3
3
10. Cho biết hàm cầu và hàm cung: Qd  33  2 p , Qs  p  3 . Hãy tính thặng dư của
nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng?
ĐA: CS  82

Chương 2

HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Cho hàm số: f  x, y  

x  y2
. Hãy tính f  2, 3 , f 1, 0 
xy
2

2. Cho hàm số f  x, y   x 4  y 4  2 x 2  4 xy  2 y 2 . Hãy tính f  0, 0  , f

3. Cho hàm số f  x, y   xy 





2,  2 .

y
.Hãy tìm biểu thức các hàm số sau: f  y, x  , f   x,  y  ,
x

 y
f 1, t  , f 1,  .
 x

2 xy
, hãy chứng minh: f  x, y  là hàm thuần nhất cấp 0?
x  y2
5. Tìm miền xác định của hàm số:

5.2 f  x, y   ln  4  4 y  x 2 
5.1 f  x, y   y 2  x 2
4. Cho hàm số: f  x, y  

2

5.3 f  x, y   x 2  y 2  1  ln  4  x 2  y 2 

x
5.4 f  x, y   arcsin    xy
 y

5.5 f  x, y  

1
a  x2  y 2
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC
x y
1. Cho hàm số f  x, y  
. Tìm các giới hạn lim lim f  x, y  , lim lim f  x, y  .
x 0 y 0

y 0 x 0
x y
x2 y 2
2.
Cho
hàm
số:
.
Chứng
minh
rằng
f  x, y   2 2
2
x y   x  y

 













lim lim f  x, y   lim lim f  x, y  nhưng không tồn tại lim f  x, y  .

x 0

y 0

y 0

x 0



 

x 0
y 0

3. Tìm các giới hạn lặp lim lim f  x, y  , lim lim f  x, y 
x a

y b

y b

x2  y 2
, a  , b  
3.1 f  x, y   4
x  y4
3.3 f  x, y   sin
3.5 f  x, y  

x

2x  y

, a  , b  

x a



xy
, a  , b  0 
3.2 f  x, y  
1 xy
 2 xy 
1
3.4 f  x, y   tan 
 , a  0, b  
xy
1

xy



x  y cos y
, a  0, b  0
2x  y

4. Tìm các giới hạn
4.1 lim
x 0

y 0

sin xy
x y
2

 xy 
4.3 lim  2

x  x  y 2

y  
4.5 lim
x 0
y 0




4.2 lim 1 
x 

2

y 3

x

2

1

x

x2
x y

sin xy
x 0
xy
y 0

4.4 lim

xy
xy  1  1

 xy
khi x 2  y 2  0
 2
5. Cho hàm số: f ( x, y )   x  y 2
. Chứng minh hàm số f  x, y  liên tục

khi x 2  y 2  0
0
tại  0, 0  .
 xy
khi x 2  y 2  0
 2
2

6. Chứng minh rằng hàm số f ( x, y )   x  y
liên tục theo từng biến
0
khi x  y  0

riêng lẻ, nhưng không liên tục theo cả 2 biến tại điểm  0, 0  .

§3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN
1. Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:
y
y

1.1 f  x, y   ln  tan 
1.2 f  x, y   arctan
x
x

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



1.3 f  x, y   ln x 2  xy  y 2
1.5 w 



1
x2  y 2  x



1.7 w  ln x3  2 y 3  z 3



1.4 f  x, y   e

x
1.6 w   
 y

 y
sin  
x

z

1.8 w  arctan  x - y 

z

yz
1.10 w  ln  x 2  y 2  z 2 
x
2. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:

x y
y
2.2 w 
2.1 w  arctan
x y
x
3
1
2.3 w 
x2  y 2 
2.4 w  e x sin y

3
2.5 w  x ln  xy 
1.9 w  arctan

3. Tính vi phân toàn phần của hàm số:
3.1 w  x 2 y  y 2 x  3

3.2 w   x 2  y 2 

3.3 w  ln tan xy

3.4 w  e x sin y

3

3.5 w  ln  x 2  y 

4. Tính giá trị gần đúng của các hàm số sau:

4.1 f  x; y   xy tại M 1,1; 2,03
4.2 f  x; y    x 2  y 2  tại M  2,1;  1;03
4.3 f  x; y  

1
tại M  2,04; 1, 2 
xy

4.5 f  x; y   ln  x 2  y 2  M  2,1;1, 2 

4.4 f  x; y   x 2 y tại M  3,1; 2,1
4.6 f  x; y   x y tại M 1,01; 2,04 

§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tìm cực trị của hàm số:
1.1 z  x3  3xy 2  15x  12 y

1.2 z  1  x 4  y 4  2 x 2  4 xy  2 y 2

 2x

 y2 

1.3 z  1  6 x  x 2  xy  y 2

1.4 z  e x

1.5 z  x 4  y 4  x2  2 xy  y 2

1.6 z  x4  y 4  2 x2  4 xy  2 y 2

1.7 z  x 2  xy  y 2  2 x  3 y

1.8 z  2 x4  y 4  x2  2 y 2
50 20
1.10 z  xy  
x
y

1.9 z  x 2  xy  y 2  2 x  y

2

 y2

2

1.10 w  6 x2 y  24 xy  6 x2  24 x  4 y3 15 y 2  36 y  1
1.11 w  x 4  y 4   x  y 

2

2. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  160Q1  3Q12  2Q1Q2  2Q2  120Q2  18 . Hãy tìm Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa.
2

ĐA: (20,20)
3. Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm
đó như sau:
Q1  25  0,5 p1 , Q2  30  p2 . Với hàm chi phí kết hợp:

C  Q12  2Q1Q2  Q22  20 , hãy cho biết mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa.
ĐA: (7,4)
4. Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm
đó như sau: Q1  50  0,5 p1 , Q2  76  p2 .
Với hàm chi phí kết hợp: C  3Q12  2Q1Q2  2Q22  55 , hãy cho biết mức sản lượng Q1 , Q2
để đạt lợi nhuận tối đa.
ĐA: (8,10)
5. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền và kinh doanh hàng hóa trên 2 thị trường tách
biệt với hàm cầu: Q1  840  2 p1; Q2  1230  3 p2 .
Hàm chi phí: TC  20  150Q  Q2 với Q  Q1  Q2 . Tìm lượng hàng phân phối trên từng
thị trường để lợi nhuận cực đại.
ĐA: (50,60)
5.
Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với
giá p1  60; p2  75 . Hàm chi phí: C  Q12  Q1Q2  Q22 . Tìm các mức sản lượng Q1 , Q2 để
đạt lợi nhuận tối đa.
ĐA: (15,30)
7. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của 2 loại trên là:
Q1  400  2 p1  p2 ; Q2  480  p1  p2 .
Hàm chi phí: TC  160Q1  240Q2  150 . Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường
để lợi nhuận cực đại.
ĐA: (160,200)

8.
Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với
giá p1  450; p2  630 . Hàm chi phí: TC  Q12  Q1Q2  Q22  210Q1  360Q2  100 . Tìm các
mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa.
ĐA: (70,100)
9. Một hãng độc quyền sản xuất 1 loại sản phẩm, tiêu thụ trên 2 thị trường tách biệt.
Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm đó như sau:
Q1  Qd1  310  p1 , Q2  Qd2  350  p2 .
Với hàm chi phí kết hợp: C  200  30Q  Q2 ,  Q  Q1  Q2  , hãy cho biết mức sản lượng
Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa (trong trường hợp được phân biệt giá).
ĐA: (40,60)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§5. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC
1. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange:
1.1 f  x, y   xy với điều kiện: x  y  1
1.2 f  x, y   x  2 y với điều kiện x 2  y 2  5
1.3 f  x, y   x 2  y 2 với điều kiện

x y
 1
2 3

1.4 f  x, y   cos2 x  cos2 y với điều kiện y  x 



4
1.5 f  x, y   x  y  xy  5x  4 y  10 với điều kiện x  y  4
2. Cho hàm lợi ích tiêu dùng: U  x1 x2  x1  x2 . Gỉa sử giá của các mặt hàng tương ứng
là: p1  2, p2  5 và thu nhập cho tiêu dùng là M= 53. Hãy xác định lương cầu đối với mỗi
mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
ĐA: (14,5)
0,6 0,25
3. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U  x1 x2 . Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là:
2

2

p1  8$, p2  5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là: M  680$ . Hãy xác định lượng cầu
đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu ùng tối đa hóa lợi ích của mình.
ĐA: (40,60)
0,3 0,5
4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q  K L
a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?
b, Giả sử giá thuê tư bản là 6$, giá thuê lao động là 2$ và doanh nghiệp tiến hành sản
xuất với ngân sách cố định 384$. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị
tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
ĐA: (24,120)
0,7 0,1
5. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q  10K L
a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?
b, Giả sử giá thuê tư bản là 28$, giá thuê lao động là 10$ và doanh nghiệp tiến hành
sản xuất với ngân sách cố định 4000$. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu

đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
ĐA: (125,50)
0,8 0,5
6. Một công ti có hàm sản xuất: Q  K L
a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?
b, Giả sử giá thuê tư bản là wK  5 , giá thuê lao động là wL  6 . Hãy tính mức sử dụng
K, L để sản xuất sản lượng Q  Q0  100 có chi phí nhỏ nhất.
ĐA: (44,4;23,12)
7. Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hóa A, B có dạng: U  40 X A0,25 X B0,5 .
Trong đó X A , X B là mức tiêu dùng hàng hóa A, B. Giá hàng hóa như sau:
pA  4, pB  10 .
Tìm mức tiêu thụ hai hàng hóa A, B để hộ gia đình đạt lợi ích cao nhất nếu phần
thu nhập chi tiêu hai loại hàng hóa này của hộ gia đình là 600.
ĐA: (50,40)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của 2 loại trên là:
Q1  400  2 p1  p2 ; Q2  480  p1  p2 .
Hàm chi phí: TC  160Q1  240Q2  150 . Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường
để điều kiện hạn chế về chi phí là 41750$.
ĐA: (80,120)
0,75 0,25
9. Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hóa 1, 2 có dạng: U  x1 x2 . Trong
đó x1 , x2 là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2. Giá hàng hóa như sau: p1  10, p2  6 .
Tìm mức tiêu thụ hai hàng hóa A, B để hộ gia đình đạt lợi ích cao nhất nếu phần

thu nhập chi tiêu hai loại hàng hóa này của hộ gia đình là 480.
ĐA: (36,20)
10. Một doanh nghiệp sử dụng hai đầu vào X và Y để sản xuất đồ chơi. Hàm sản xuất
1

1

được cho như sau: Q  X 2Y 2 . Với tổng chi phí là 100, giá của đầu vào X là PX  5 , giá
của đầu vào Y: PY  10 , doanh nghiệp sẽ cần bao nhiêu X và Y để sản xuất ra khối sản
lượng sản phẩm là lớn nhất?
ĐA: (5,10)
11. Một người tiêu dùng có hàm lợi ích khi tiêu thụ hai loại hàng hóa x,y có dạng:
U   x  2  y  1 . Giả sử giá các loại hàng hóa px  4; py  6 và thu nhập tiêu dùng để chi
cho 2 mặt hàng trên là 130. Tìm x,y để hàm lợi ích của người tiêu dùng đạt tối đa.
ĐA: (16,11)
12. Một người tiêu dùng có hàm lợi ích khi tiêu thụ hai loại hàng hóa x,y có dạng:
U   x  2  y  1 . Giả sử giá các loại hàng hóa px  p y  2 và thu nhập tiêu dùng để chi
cho 2 mặt hàng trên là 810. Tìm x,y để hàm lợi ích của người tiêu dùng đạt tối đa.
ĐA: (202,203)
13. Cho hàm lợi ích U   x1  3 x2 trong đó x1 , x2 tương ứng là lượng hàng hó A,B. Hãy
chọn túi hàng lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là 5$, giá hàng hóa B là 20$,
ngân sách cho tiêu dùng là 185$.
14. Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó cho hai
loại khách hàng. Cho biết hàm chi phí: TC  90  20Q . Nếu nhà sản xuất đưa Q1 sản phẩm
ra bán cho khách hàng thứ nhất thì khách hàng này bằng lòng trả giá: p1  50  5Q1 USD
cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa Q2 sản phẩm ra bán cho khách hàng thứ hai thì
khách hàng này bằng lòng trả giá: p2  100  10Q2 USD cho mỗi sản phẩm. Hãy cho biết
lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng.
15. Cho hàm sản lượng Q  120K 0.7 L0.4 , giá thuê một đơn vị lao vốn, một đơn vị lao động lần
lược là 16 và 14. Tính mức sử dụng K, L để sản lượng Q  Q0  4000 với chi phí thấp nhất?

16. Cho hàm sản lượng Q  270K 0.4 L0.3 , giá thuê một đơn vị lao vốn, một đơn vị lao động lần
lược là 12 và 5. Tính mức sử dụng K, L để sản lượng Q  Q0  5400 với chi phí thấp nhất?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------21


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chương 3:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1. CÁC KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1
 C1 x5  C2 x là nghiệm của phương trình:
12 x
1
x 2 y //  5 xy /  5 y 
x
1 

2. Chứng minh rằng hàm số y   C1  C2 x  x3  e2 x là nghiệm của phương trình:
6 

//
/
2x
y  4 y  4 y  xe .
1. Chứng minh rằng hàm số: y 

§2. PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LI
2. Giải các phương trình sau:
2.1 xydx   x  1 dy  0
2.3  x 2  1 y /  2 xy 2  0 với y  0   1

2.2 4 y 2  1dx  xydy
2.4 y / cot x  y  2 với y  0   1

2.5 2 x 2 yy /  y 2  2
 dx 
2.7 e x 1    1
 dt 
dx
2.9 x  t  0
dt

2.6 y /  xy 2  2 xy

2.11 y /  e x y

2.12 y / 

2.8 y /  e x  y
2.10 x 1  y 2  dx  y 1  x 2  dy  0
y 1
x 1

Đáp án:
2.1 y  C  x  1 e x ,  C  R 





2.3 y ln x 2  1  1  1
1
x

2.2 ln x 

1 2
y 1  C
4

2.4 y  2  3cos x

2Ce x

2

2.9 x 2  t 2  C,  C  R 

, C  R 
2
1  Ce x
 1 
2.8 y  ln  x
 , C  R 
e C 

2.10 x 1  y 2  dx  y 1  x 2  dy  0

2.11 e x  e y  C ,  C  R 

2.12 y  C  x  1  1,  C  R 

2.5 y 2  2  Ce ,  C  R 
2.7 e x  1  Cet ,  C  R 

2.6 y 

§3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHÂN LI BIẾN SỐ
1 . Giải các phương trình sau:
1.1 y /  cos  y - x 
1.3 y  4 x  2 y  1

1.2 y /  y  2 x  3
1.4

 x  y  dx   x  y  dy  0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.5 y 2  x 2 y /  xyy /
1.7

x

1.6

 y
1.8 xy /  y  xtg  
x

 y 2  y /  2 xy

2

1.9 xy  y  xe
/

 x  2 y  dx  xdy  0

 x y
1.10 xy /  y   x  y  ln 

 x 

y
x

 y
1.11 xy /  y cos ln  
x
1.13 xy /  x 2  y 2  y

x  2 y 1
1.15 y / 
2x  4 y  3

1.12

y

1.14

 2x  4 y  6 dx   x  y  3 dy  0



xy dx  xdy

1.16 y /  8x  2 y  1

2

Đáp án:
yx

 C, C  R 
 x  cot
2
1.1 
 x  y  k 2 ,  k  R 


1.2 y  Ce x  2 x  1,  C  R 

1.3 4 x  2 y  1  2ln 4 x  2 y  1  2  x  C ,  C  R 



 y
1.4 2arctan    ln x 2  y 2  C , C  R
x



1.5 y  Ce x ,  C  R 

1.6 y  Cx 2  x,  C  R 

1.7 y  C  x 2  y 2  ,  C  R 

 y
1.8 sin    Cx,  C  R 
x

y

1.9

e



y
x

 ln x  C ,  C  R 

 y 
1.11 cot  ln   ln x  ln C ,  C  R 
 2x 
 y
1.13 arcsin    ln x  C ,  C  R 
x
1.15 4 x  8 y  ln 4 x  8 y  5  C

1.10 y  x  eCx  1 ,  C  R 
1.12 2 xy  x  ln x  C  ,  C  R  , y  0
1.14

 y  x  1

2

 C  y  2x  , C  R 
3

1.16 8x  2 y  1  2 tan 4 x  C

§4. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1 . Giải các phương trình sau:
1.1 xy /  2 y  2 x 4
1.3 x  y /  y   e x

1.5 y  x  y /  x cos x 
1.7

 xy

/

 1 ln x  2 y

1.2

 2 x  1 y /  4 x  2 y

1.4 x 2 y /  xy  1  0
1.6 y /  2 x  x 2  y 
1.8

 x  y  dx  ydx
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.9 xy /   x  1 y  3x 2 e x
1.11

sin

2

1.10

y  x cot y  y /  1







 

CR

1.7 y    ln x  C  ln x ,



C  R 

1.9







y   x3  C  e  x   x 2  C  e  x ,
x
x
1

1

 x y/  1

1.2 y   2 x  1  ln 2 x  1  C   1,  C  R 

C  R 

1.5 y  sin x  C x,

y

1.12 y /  x  y

Đáp án:
1.1 y  Cx2  x4 , (C R)
1.3 y  ln x  C e x ,

 2e

1.11 x   cosy  C  sin y,

 

C  R 
CR



1.4 y   ln x  C

 1x , C  R 

1.6
y   x 2e x  e x  C e x  Ce x  1  x 2 ,



2

2

1.8 x   y  C  y,



2

2

C  R 

1.10 x   e2 y  C  e y  e y  Ce y ,

C  R 

C  R 

1.12 y  Ce x  x  1

2. Giải phương trình Bernoulli:
Ghi chú:
Phương trình Bernoulli có dạng: y /  p  x  y  y q  x 
Để giải PT: đặt : y  1  z đưa về phương trình tuyến tính

dy y
   xy 2
dx x
2.3 3xdy  y 1  x sin x  3 y 2 sin x  dx
2.1

2.5

 2xy

2

 y  dx  xdy  0

2.2 2 xy

dy
 y2  x  0
dx

2.4 y /  2 xy  y3
2.6 y /  2 xy  3x3 y 2

Đáp án:
2.1

1
 Cx  x 2
y

2.3 y3  3  Cecos x   x
C



2.5 1  y   x  ,  C  R 
x


2.2 y 2  Cx  x ln x,  C  R 
2.4





2
2
1

 C  2 e2 x dx e2 x ,
2
y

2.6 y 

C  R 

1
Ce x  1  x 2
2

§5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
Ghi chú:
Phương trình có dạng:
M  x, y  dx  N  x, y  dy  0
(1)
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của phương trình là vi
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24


Toán cao cấp 2 – Giải tích
Trần Thị Khánh Linh
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

phân toàn phần của một hàm   x, y  nào đó, có nghĩa là:

M  x, y  dx  N  x, y  dy  d   x, y 
Lúc đó nghiệm của phương trình (1) có dạng:
x

y

x0

y0

  x, y    M  t , y  dt   N  x0 , t  dt
x

y

x0

y0

Hay :   x, y    M  t , y0  dt   N  x, t  dt
Trong đó  x0 , y0  được chọn sao cho đoạn  x0 , x ,  y0 , y  thuộc trong miền

xác định D  R 2 của hàm số M  x, y  , N  x, y 
1 . Giải các phương trình sau:
1.1  x  y  dx   x  2 y  dy  0

1.2

x

2

 y 2  2 x  dx  2 xydy  0

1.3  x3  3xy 2  2  dx   3x 2 y  y 2  dy  0

1.4 xdx  ydy 

2x
y 2  3x 2
dy  0
1.5 3 dx 
y
y4

1.6

1.7

1
x
dx  2 dy  0
y
y

xdy  ydx
x2  y 2

 2 x  y  1 dx   2 y  x 1 dy  0

1.8 2 xydx   x 2  y 2  dy  0

Đáp án:

1.1 x 2  2 xy  2 y 2  C,  C1 , C  R 

1.2 x3  3xy 2  3x 2  C,  C1 , C  R 

1.3 3x4  18x 2 y 2  24 x  4 y 3  C
1.5 x 2  y 2  Cy,  C  R 

1.4 x4  2 x 2 y 2  4 xy  y 4  C
1.6  2 x  y  1 dx   2 y  x  1 dy  0

1.7 x  Cy

1.8 x 2 y 

y3
C
3

Phương pháp thừa số tích phân:
+ Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến x được xác định như sau:
M N

y x
  x 
, (biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến x)
N
  x  dx
Lúc đó thừa số tích phân: p  x   e 
+ Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến y được xác định:
M N


y x
  x 
(biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến y)
M
  y  dy
Lúc đó thừa số tích phân theo y: p  y   e 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25