Ôn tập và bồi dưỡng toán 6 theo chuyên đề

Bồi dỡng toán 6
ễN TP TP HP V NHNG DNG TON LIấN QUAN

S phn t ca mt tp hp.Tp hp con
1.Mt tp hp cú th cú mt ,cú nhiu phn t, cú vụ s phn t,cng cú th
khụng cú phn t no.
2.Tp hp khụng cú phn t no gi l tp rng.tp rng kớ hiu l : ỉ.
3.Nu mi phn t ca tp hp A u thuc tp hp B thỡ tp hp A gi l tp
hp con ca tp hp B, kớ hiu l A B hay B A.
Nu A B v B A thỡ ta núi hai tp hp bng nhau,kớ hiu A=B.

*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A

c A

h A

Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}

a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi

1

-6


Bồi dỡng toán 6
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1
đến 256. Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:

Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
3
4

N

{1,2,3,4}

N

N*

N

7

N*



N*

0

N*

Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập
hợp đó
a. A = {1;3;5;7;............;49}
b. B = {11;22;33;44;........;99}
c. C = { 3;6;9;12;...............;99}
d. D = { 0;5;10;15;..............;100}
Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp

đó
a. A = {1;4;9;16;25;36;49}
b. B = {1;7;13;19;25;31;37}
A = { 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100}

B = { 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90}

Bài toán 5: Cho

a) A = { x N xM2; x M3; x < 100}

{

}

A = x N x = ab; a = 3.b

b) B = { x N x M6; x < 100}

B = { x N 20Mx} c) C = { x N x = 11.n + 3; n N ; x 300}

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A = { } b. B = { x N / x M2 ; 2 x 100} c. C = { x N / x + 1 = 0} d. D = { x N / x M3}
Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x

Bài 7. Cho A = {1 ; 2 ;3}
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = {1;2;3;4}
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. Viết các tập con của A có một phần tử
b. Viết các tập con của A có hai phần tử
c. Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi
-6
2


Bồi dỡng toán 6
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số
, C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận cùng
bằng 5 . Dùng kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Bài 12 . Cho tập hợp A = { 4;5;7} , hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm
tập hợp con chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A = { 9;5;3;1;7}
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 ngời học
tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao
nhiêu học sinh

Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích
bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và
bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học
sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và
toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp A = { a, b, c, d , e} .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.
a) A = { 1;3;5} ; B = { 1;3;7}
b) A = { x, y} ; B = { x, y, z}
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A B; A B. Hãy viết các tập con thực sự của
tập hợp B = { 1; 2;3}
B = { 3; 4;5}
Bài toán 4: Cho các tập hợp A = { 1; 2;3; 4} ;
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A = { 1;3;6;8;9;12} và B = { x N * / 2 x 12}
a)Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của
các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M = { 30; 4; 2005; 2;9} . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:

a) Có một chữ số
b) có hai chữ số
c) Là số chẵn.
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi
-6
3


Bồi dỡng toán 6

Bài toán 11: Cho A = { x N x M2; x M4; x < 100}
; B = { x N x M8; x < 100}
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: B A b) Viết tập hợp M sao cho B M , M A . Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy.
Bài toán 14: Cho A = { x N x = 7.q + 3; q N ; x 150} .
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho M = { 1;13; 21; 29;52} . Tìm x; y M biết 30 < x y < 40
Bài toán 10: Cho a) A = { 1; 2} ; B = { 1;3;5}
b) A = { x, y}
; B = { x, y , z , t }
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.

Các phép toán trong N
1. Tớnh cht giao hoỏn ca phộp cng v phộp nhõn.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi i ch cỏc s hng trong mt tng thỡ tng khụng i
Khi i chừ cỏc tha s trong mt tớch thỡ tớch khụng i.
2. Tớnh cht kt hp ca phộp cng v phộp nhõn:

(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
3. Tớnh cht phõn phi ca phộp nhõn i vi phộp cng.:
a(b+ c) = ab + ac

4. iu kin a chia ht cho b ( a,b N ; b 0) l cú s t nhiờn p sao cho a= b.p.
5. Trong phộp chia cú d
s b chia = s chia x thng + s d ( a = b.p + r)
s d bao gi cng khỏc 0 v nh hn s chia.

Nếu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
II. Bài tập

*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.

a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72

a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87

Bài 6 :Tính nhanh:

Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:

a) 25. 12

a/ 8 . 17 . 125

b/ 4 . 37 .25

e) 125.18

d) 55. 14

b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302
g)

123. 1001

Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:

Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí

a/ 997 + 86

nhất:

b/ 37. 38 + 62. 37

c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
, 998. 34

c/ 43. 11

d/ 67. 99;

a) 463 + 318 + 137 + 22

b) 189 + 424 +511 + 276 + 55

67. 101

c) (321 +27)+ 79

Bi 4: Tính nhanh các phép tính:

d) 185 +434 + 515 + 266 + 155

a/ 37581 9999

c/ 485321 99999

e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73

b/ 7345 1998

d/ 7593 1997

f) 347 + 418 + 123 + 12

Bài 5: Tính nhanh:
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi

4

-6


Bồi dỡng toán 6
Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:
a) 5. 125. 2. 41. 8

c) 8. 12. 125. 2

Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:

b) 25. 7. 10. 4

6. 38. 63 + 37. 38

d) 4. 36. 25. 50

b) 12.53 + 53. 172 53. 84

Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a.

c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45

(b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d)

d, 39.8 + 60.2 + 21.8

e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12

e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41

*Chỳ ý: Mun nhõn 1 s cú 2 ch s vi 11 ta

A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050

cng 2 ch s ú ri ghi kt qu vỏo gia 2 ch

b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100

s ú. Nu tng ln hn 9 thỡ ghi hng n v

s s hng l: (100-2):2+1 = 49

vỏo gia ri cng 1 vo ch s hng chc.

B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499

vd : 34 .11 =374

;

69.11 =759

c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301

*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 2 ch s vi

d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.

101 thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng

Bài 2: Tính các tổng:

cỏch vit ch s ú 2 ln khớt nhau

a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

vd: 84 .101 =8484

; 63 .101 =6363

;

b)

B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.

*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 3 ch s vi

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301

1001 thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng

D =8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.

cỏch vit ch s ú 2 ln khớt nhau

Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .

Ví dụ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến

a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.

dãy số, tập hợp

Gii: lu ý: s cui = (s s hng - 1) .

1:Dãy số cách đều:

khong cỏch - s u

VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49
Ta tính tổng S nh sau:

d)

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.

a. vy s th 100 = (100-1) .3 5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000

Bài 1:Tính tổng sau:

Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .

a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100

a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.

S s hng c dóy l: (100-1):1+1 = 100

b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.

Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ số của a.

Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi
5

-6


Bồi dỡng toán 6
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, .. ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .. .
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là 2k + 1 , k N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k , k N)
*Dạng 3: Tìm x
Bài 1:Tỡm x N bit
a) (x 15) .15 = 0

c) 315+(125-x)= 435
b) 32 (x 10 ) =

Bài 3:Tỡm x N bit :

32

a) x 105 :21 =15

Bài 2:Tỡm x N bit :

b) (x- 105) :21 =15

a ) (x 15 ) 75 = 0 b)575- (6x +70) =445
Bài 4: Tỡm s t nhiờn x bit
a( x 5)(x 7) = 0

b/ 541 + (218 x) = 735

c/ 96 3(x + 1) = 42 d/ ( x

47) 115 = 0 e/ (x 36):18 = 12
BTNC a) Tớnh tng ca cỏc sng t nhiờn t 1 n 999;
b) Vit liờn tip cỏc s t nhiờn t 1 n 999 thnh mt hang ngang ,ta c s 123.999.
tớnh tng cỏc ch s ca s ú.
1.Tỡm s cú hai ch s,bi rng nu viờt ch s 0 xen gia hai ch ca s ú thỡ c s cú ba ch
s gp 9 ln s cú hai ch s ban u.
2.a)Hóy vit liờn tip 20 ch s 5 thnh mt hng ngang,ri t du + xen gia cỏc ch s ú
c tng bng 1000.
b) Hóy vit liờn tip tỏm ch s 8 thnh mt hng ngang,ri t du + xen gia cỏc ch s ú
c tng bng 1000.
3.Chia cỏc s t nhiờn t 1 n 100 thnh hai lp : lp s chn v lp s l.hi lp no cú tng cỏc
ch s ln hn v ln hn bao nhiờu?
4. in cỏc ch s thớch hp vo cỏc ch c phộp tớnh ỳng : a) 1ab + 36 = ab1 ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5. Cho ba ch s a,b,c vi 0 < a < b < c ;
a) Vit tp hp A cỏc s cú ba ch s ,mi s gm c ba ch s a, b ,c:
b) Bit rng tng hai s nh nht trong tp hp A bng 488.tỡm tng cỏc ch
a + b + c.

4
1
0

2
8

5. Cho 1 bng vuụng gm 9 ụ vuụng nh hỡnh v.
hóy in vo cỏc ụ ca bng cỏc s t nhiờn t 1 n 10
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi
6

-6


Bồi dỡng toán 6
(mi s ch c vit mt ln) sao cho tng cỏc s
mi hang ,mi ct ,mi ng chộo bng nhau.
6. Kớ hiu n! l tớch ca cỏc s t nhiờn t 1 n n : n! = 1.2.3n.
Tớnh : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong mt t giy k ụ vuụng kớch thc 50.50 ụ vuụng .trong mi ụ ngi ta vit mt s t
nhiờn . bit rng bn ụ to thnh mt hỡnh nh hỡnh v thỡ tng cỏc s trong bn ụ ú u bng
4 .hóy chng t rng mi s ú u bng 1.
8.Mt s cú by ch s ,cng vi s c viets by ch s ú nhng theo th t ngc li thỡ
c tng l s cú by ch s.hóy chng t rng tng tỡm c cú ớt nht mt ch s chn.
9.Cho bng gm 16 ụ vuụng nh hỡnh v .hóy in vo cỏc
ụ bng ca bng cỏc s t nhiờn l t 1 n 31 (mi s ch
15
29
23

5
3
17
27
9
vit mt ln.) sao cho tng cỏc s trong cựng mt hng,
cựng mt ct , cựng mt ng chộo u bng nhau
10.Cho dóy s 1,2,3,5,8,13,21,34,.( dóy s phi bụ na xi) trong ú mi s (bt u t s th ba)
bng tng hai s ng lin trc nú.chn trong dóy s ú 8 s liờn tip tựy ý.chng minh rng
tng ca 8 s ny khụng phi l mt s ca dóy ó cho.
11. Mt s chn cú bn ch s, trong ú ch s hng trm v ch s hang chc lp thnh mt s
gp ba ln ch s hng nghỡn v gp hai ln ch s hang n v.tỡm s ú.
12.Tỡm cỏc s a,b,c,d trong php tớnh sau:
abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai ngi chi mt trũ chi ln lt bc nhng viờn bi t hai hp ra ngoi.mi ngi n lt
mỡnh bc mt s viờn bi tựy ý .ngi bc viờn bi cui cựng i vi cacr hai hp l ngi thng
cuc.bit rng hp th nht cú 190 viờn bi ,hp th hai cú 201 viờn bi.hóy tỡm thut chi m
bo ngi bc bi u tiờn l ngi thng cuc.
Bi tp củng cố
1.
Tớnh giỏ tr ca biu thc mt cỏch hp lớ:
A = 100 + 98 + 96 + .+ 2 - 97 95 - - 1 ;
B = 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 11 12 + - 299 330 + 301 + 302;
2. Tớnh nhanh
a) 53.39 +47.39 53.21 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 3.8.40; c) 5.7.77 7.60 + 49.25 15.42.
3.Tỡm x bit:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tng ca hai s bng 78293.s ln trong hai s ú co ch s hng dn v l 5 ,ch hng chc
1,ch s trm l 2.nu ta gch b cỏc ch s ú i thỡ ta c mt s bng s nh nht .tỡm hai s
ú.

5.Mt php chia cú thng l 6 d 3 .tng ca s b chia ,s chia v s d l 195.tỡm s b chia v
s chia.
6.Tng ca hai s cú a ch s l 836.ch s hng trm ca s th nht l 5 ,ca s th hai l 3 .nu
gch b cỏc ch s 5 v 3 thỡ s c hai s cú hai ch s m s ny gp 2 ln s kia.tỡm hai s ú.
7.Mt hc sinh khi gii bi toỏn ỏng l phi chia 1 s cho 2 v cng thng tỡm c vi 3 .nhng
do nhõm ln em ú ó nhõn s ú vi 2 v sau ú ly tớch tỡm c tr i 3 .mc dự vy kt qu vn
ỳng .hi s cn phi chia cho 2 l s no?
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi
-6
7


Bồi dỡng toán 6
8. Tỡm s cú ba ch s .bit rng ch s hng trm bng hiu ca ch s hng chc vi ch s
hng n v.chia ch s hng chc cho ch s hng n v thỡ c thng l 2 v d 2.tớch ca s
phi tỡm vi 7 l 1 s cú ch s tn cựng l 1.
9. Tỡm s t nhiờn a 200 .bit rng khi chia a cho s t nhiờn b thỡ c thng l 4 v d 35 .
10. Vit s A bt kỡ cú 3 ch s ,vit tip 3 ch s ú 1 ln na ta c s B cú 6 ch s.chia s B
cho 13 ta c s C. chia C cho 11 ta c s D.li chia s D cho 7.tỡm thng ca phộp chia ny.
11. Khi chia s M gm 6 ch s ging nhau cho s N gm 4 ch s ging nhau thỡ c thng
l 233 v s d l 1 s r no ú .sau khi b 1 ch s ca s M v 1 ch s ca s N thỡ thng
khụng i v s d gim i 1000.tỡm 2 s M v N?
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + n
b) 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2.n
c) 1 + 3 + 5 + ..... + (2.n + 1)
d) 1 + 4 + 7 + 10 + ...... + 2005
e) 2+5+8++2006
g) 1+5+9+.+2001

Giải; a)

(n+ )n
2

b)số số hạng (2n 2) : 2 + 1= n Tổng =

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + .... + n = 2004
c) Chứng minh rằng: [ (1 + 2 + 3 + .... + n) 7 ] không chia hết cho 10 n N
Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 1999.1999
c) Tính nhanh : C = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 48.49.50.
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3;8;15; 24;35;.....
b) 3; 24;63;120;195;.....
c) 1;3;6;10;15;......
d) 2;5;10;17; 26;.....
e) 6;14; 24;36;50;.....
g) 4; 28;;70;130;....
Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;.....
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho S1 = 1 + 2; S2 = 3 + 4 + 5; S3 = 6 + 7 + 8 + 9; S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14;.. . Tính S100 .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) A =

41.66 + 34.41
3 + 7 + 11 + ... + 79

b) B =

1 + 2 + 3 + .. + 200
6 + 8 + 10 + .. + 34

c) C =

1..5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54
1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45

Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết thành một tích của hai thừa số giống nhau :
11111111 2222
Bài 22. Tìm kết quả của phép nhân sau
{ {
{ {
a) A = 33....3.99...9
b) B = 33...3.33...3
2005 c. s 2005 c . s
2005 c . s 2005c . s
Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp

a. 111222

{ 123
b. 444222 c. A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2

Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A.
b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi
-6
8


Bồi dỡng toán 6
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 < a < b < c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659
là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho S = 7 + 10 + 13 + ...... + 100
a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính tổng S
{ 123 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ số
6. Hãy tính tích A.B
Các bài toán về số và chữ số
Bài1. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta đợc
một số mới mà khi chia cho số cũ thì đợc thơng là 2 d 21. Tìm số đó
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc
một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó

Bài 3 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải và một
chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần
Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số ta đợc một số
mới có 3 chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó
Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta đợc một số mới
có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó
Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số đó 1
đơn vị thì sẽ đợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó
Bài 7 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngợc lại nhân với số
phải tìm thì đợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị
của nó thì đợc thơng là 18 và d 4 . Tìm số đã cho
Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số đợc
viết theo thứ tự ngợc lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho
Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa hàng
nghìn và hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số phải tìm
Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đợc số gồm bốn chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm bốn chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm năm chữ số
ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9
lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0
đó thì số ấy giảm 9 lần
Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng
chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi

9

-6


Bồi dỡng toán 6
Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu
giữa số đó với số viết theo thứ tự ngợc lại bằng 297

Hoùc, Hoùc nửừa, Hoùc maừi

10

-6


Bµi 1. TÝnh nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765
5 +8
+11 +14 + ......+ 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25
13 . 8 . 250
c. ( 1999 + 313) – 1999
( 1435 +
213) – 13
d. 2023 - ( 34 + 1560)
1972 – ( 368 +
972)
e. 364 – ( 364 – 111)

249 –
( 75 – 51)
Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng sau
a. 1+2+3+4+5+....+n
e. 2+5+11+....
+47+65
b. 1+3+5+7+....+ ( 2n – 1) g.
3+12+48+...+3072+12288
c. 2+4+6+8+.....+2n h.
2+5+7+12+.....+81+131
d. 1+6+11+16+....+46+51
i. 4951+53-55+57-59+61-63+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36 499.12
601.42 199.41
b. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa sè
nµy, chia thõa sè kia cho cïng mét sè
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ
chia vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c
kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5
81000 : 125
d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh chÊt
(a ± b):c=a:c ± b:c
169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 : 12
Bµi 4 . T×m x
a. (158 - x) :7 = 20
b. 2x – 138 = 23 . 32
c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13
d. 10 + 2x = 45 : 43

a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)3 ]5 = 150
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);

b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30
b. [ ( x + 32) − 17] . 2 = 42
c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40
d. [ 61 + (53 − x)] .17 = 1785
e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 +
23
15.x + 364
= 17
x
x + 350
g. 92.4 – 27 =
+ 315
x

f. 697 :

Bµi 5. TÝnh nhanh

168.168 − 168.58
(456.11 + 912).37
110
13.74
864.48 − 432.96
45.16 − 17
b.
864.48.432
28 + 45.15
7256.4375 − 725
c.
3650 + 4375.7255
(315 + 372).3 + (372 + 315).7
26.13 + 74.14
1978.1979 + 1980.21 + 1958
d.
1980.1979 − 1978.1979
27.45 + 27.55
2 + 4 + 6 + ... + 14 + 16 + 18
26.108 − 26.12
1. e.
127 . 36
32 − 28 + 24 − 20 + 16 − 12 + 8 − 4

a.

+ 64. 127 – 27. 100

12 :
{390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}
2. 57 : 55 - 7 . 70
2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
3. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100
B = 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20
4. 24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]}
1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5. 56 : 53 + 3 . 32
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
6. 20 + 22 + 24 +....96 + 98
H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33
7. 35 + 38 + 41 +... + 92 + 95
A = { 46 – [( 16 + 71.4) : 15 ] }– 2
8. B = 24 . 5 – [ 131 – ( 13 – 4 )2 ]
222 + 224 + 226 + . . . . + 444
9. 33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
(5346 – 2808) : 54 + 51
10. 187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38)
23 .16 - 23 . 14
11. 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}


L thõa víi sè mò tù nhiªn
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
n
1. Đònh nghóa: a = a.a……….a
n thừa số
1

0
2. Quy ước: a = a ;
a = 1 ( a ≠ 0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:

a m .a n = a m + n
am : an = am − n

( n ∈ N*)

(m, n ∈ N *)
(m, n ∈ N *, m ≥ n, a ≠ 0)

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n
6. Lũy thừa tầng: a m = a ( m )
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương
. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
b) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;

b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên
bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh.
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)
Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c
(với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
n

n

a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =

c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 . 528 = (g,

b, a . a . a + b . b . b . b =

12n: 22n = h. 84. 165b. 540 . 1252 . . 6253


i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004
k. 410.230
b) 925.274.813

c) 2550.1255
d) 643.48.164
a) 5 x.5 x.5 x
b) x1.x 2 .....x 2006
c) x.x 4 .x 7 .....x100
d) x 2 .x5 .x8 .....x 2003
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức.
a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 2 . 32 c,
3

e.

2

72 x 54
108
4

10

g.

3

10

.11 + 3 .5
9

4

3 .2

10

h.

2

a) 38 : 36 ; ; 197 :193 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813
b) 106 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 324 ; 183 : 93
; 1253 : 254
a) 166 : 42 b) 278 : 94 c) 1255 : 253 d) 414.528
e) 12n : 22 n
g) 644.165 : 420
46.34.95
212.14.125
453.204.182
213 + 25
d,
e,
g,
612
3536
1805
210 + 22
10

.13 + 2 .65
8

2 .104

y. ( 1253 . 75 1755 : 5 ) : 20012002

k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16)
Bài 4. Cho A = 5. 415. 99 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 Tính A : B
C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 Tính C : D
a) (217 + 17 2 ).(915 315 ).(24 42 )
b) (71997 71995 ) : (71994.7)
c) (12 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 812 )

d) (28 + 83 ) : (25.23 ) a)

b) (1 + 2 ++ 100)(12 + 22 + + 102)(65 . 111 13 . 15 . 37)

210.13 + 210.65
2 8.104

310.11 + 310.5
210.13 + 210.65
49.36 + 644
723.542
B
=
C
=
D
=
b)

c)
d)
39.24
28.104
164.100
1084
11.322.37 915
46.34.95
213 + 25
212.14.125
453.204.182
I
=
e) E = 12
f) F = 10 2
g) G =
h) H =
i)
(2.314 ) 2
6
2 +2
355.6
1805

a) A =

Bài tập 5: Tìm x N biết

a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1
c, (2x + 1)3 = 125

d, (x 5)4 = (x - 5)6
d/

x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3
Bài 1: Tìm các số mũ n sao cho luỹ
thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết
a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243
49.7n = 2401
b. 9 < 3n < 81 25 5n 125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2x . 4 = 128
b. x15 = x
c. ( 2x + 1 )3 = 125
d. ( x 5 )4 = ( x 5 )6
e. x2006 = x2

Bài 4 : Tìm x N biết
a) 3x.3 = 243
b) x 20 = x
c) 2 x.162 = 1024
d) 64.4 x = 168
Bài 5 Tìm x N biết
g) 2 x 15 = 17
h) (7 x 11)3 = 25.52 + 200
i) 3x + 25 = 26.22 + 2.30
l) 49.7 x = 2041
m) 64.4 x = 45
n) 3x = 243
p) 34.3n = 37

Bài 6: Tìm n N biết:
a) 9 < 3n < 81
a) 50 < 2n < 100

b) 25 5n 125
b) 50<7n < 2500

Bài 7 Tìm x biết
a) ( x 1)3 = 125
c) (2 x + 1)3 = 343

b) 2 x + 2 2 x = 96


d) 720 : [ 41 (2 x 5) ] = 2 .5
a) 2x . 7 = 224
b) (3x +
2
5) = 289
c) x. (x2)3 = x5
d) 32x+1 . 11 = 2673
3

Bài 8: Tìm n N * biết
a) 32 < 2n < 128

b) 2.16 2n > 4

1
9

1
h) .27 n = 3n
9
k) 27.3n = 243

e) .34.3n = 37

d) (22 : 4).2n = 4

g)

1 n
.2 + 4.2n = 9.25
2
i) 64.4n = 45
Bài 9: Tìm x N biết
a) 16 x < 128
x x +1 x + 2
18
{ :2
b) 5 .5 .5 100...0
18 c / s 0

chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu m>n thì am>an (a>1).
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu a>b thì an>bn ( n>0).
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu

của phép nhân.
(aVí dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 3210 và 1615 về
luỹ thừa cùng cơ số 2.
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818.
b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n N* )
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n
23
22
13
16
Bài 2: a) 5 và 6.5
b) 7.2 và 2 c) 2115 và 275.498
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545
Bài 3: a) 19920 và 200315.

b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
b) 339 và 1121.
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
Hớng dẫn :
20
20
3
2 20
60
40
a) 199 < 200 = (2 .5 ) = 2 . 5 .
72 45-7244và 72 44-7243.
Hớng dẫn:


7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
7244-7244=7244(72-1)=7244.71.
Bài 5: 27 và 72
Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49
Vì 128 > 49 nên 27 > 72
Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300
a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
Vì 310 > 39nên 95 > 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
c, 3500 và 7300

d, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47

3500 = 35.100 = (35)100 = 243100

321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810

7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100

3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231

Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300

g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660

=> 85 < 3 . 47
e, 202303 và 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Ta so sánh 2023 và 3032
2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 < 2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012
vậy 303202 < 2002303
f, 321 và 231

371320 = (372)660 = 1369660
Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979
Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315
và B = (35)3 = 315

Vậy A = B

b/ A = 2 300 và B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100

và B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714
Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên
3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100
b) 333444 và 444333
c) 1340 và 2161
d) 5300 và 3453
Bài 2: So sánh các số sau
a) 5217 và 11972
b) 2100 và 10249
c) 912 và 277
d) 12580 và 25118
e) 540 và 62010
f) 2711 và 818
Bài 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124
b) 6255 và 1257

c) 32 n vµ 23n (n ∈ N * )
Bµi 4: So s¸nh c¸c sè sau
a) 7.213 vµ 216
c) 19920 vµ 200315
Bµi 5: So s¸nh c¸c sè sau
a) 7245 − 7244 vµ 7244 − 7243
d) 324680 vµ 237020
Bµi 6: So s¸nh c¸c sè sau
a) 3500 vµ 7300
d) 202303 vµ 303202
h) 1010 vµ 48.505
Bµi 7: So s¸nh c¸c sè sau
a) 10750 vµ 7375

d) 523 vµ 6.522
b) 2115 vµ 275.498
d) 339 vµ 1121
b) 2500 vµ 5200
e) 21050 vµ 5450

c) 3111 vµ 1714
g) 52 n vµ 25n ;(n ∈ N )

b) 85 vµ 3.47
e) 321 vµ 231
i) 199010 + 19909 vµ 199110
b) 291 vµ 535

c) 9920 vµ 999910
g) 111979 vµ 371320

c) 544 vµ 2112

Bµi 8: T×m xem 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n
Bµi gi¶i:
100
Muèn biÕt 2 cã bao nhiªu ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n ta so s¸nh 2100 víi 1030
vµ 1031.
* So s¸nh 2100 víi 1030
Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
V× 102410 > 100010
nªn 2100 > 1030 (*)
* So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Tõ (*),( **) ta cã:
1031 < 2100 < 1031
Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt
Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt
Nªn 2100 cã 31 ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n.
Bµi 10: So s¸nh A vµ B biÕt.
19 30 + 5
a) A = 31
;

B
19 + 5
218 − 3
2 20
b) 20
; B = 22
2 −3
2
2
9
1 + 5 + 5 + ... + 5
c) A =
;
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8

19 31 + 5
= 32
19 + 5
−3
−3
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 9
B =
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 8

Bµi gi¶i:


90
19.(19 30 + 5)
19 30 + 5

19 31 + 95
A = 31
Nªn 19A =
=
=
1
+
31
19 + 5
19 + 5
19 31 + 5
19 31 + 5
31
31
32
90
19.(19 + 5)
19 + 5
19 + 95
B = 32
nªn 19B =
= 32
= 1 + 32
32
19 + 5
19 + 5
19 + 5
19 + 5
90
90

V× 31
> 32
19 + 5
19 + 5
90
90
Suy ra 1 + 31
> 1 + 32
Hay 19A > 19B Nªn A > B
19 + 5
19 + 5
9
2 2 .(218 − 3)
218 − 3
2 20 − 12
2
b) A = 20
nªn 2 . A =
=
=
1
20
2 −3
2 20 − 3
2 −3
2 22 − 3
2
20
20
22

9
2 .(2 − 3)
2 −3
2 − 12
B = 22
nªn 22.B =
= 22
= 1- 22
22
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3
9
9
9
9
V× 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22
Hay 22 A < 22 B
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3

Nªn A < B
c) Ta cã:

1 + 5 + 5 2 + ... + 5 9 1 + (5 + 5 2 + ... + 5 9 ) 1 + 5(1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8 )
1
=
=
+ 5 > 5 (1)
=
2
8
2
8
2
8
2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5 8
1
+ 3 < 4 (2)
T¬ng tù B =
Tõ (1) vµ (2) Ta cã
2
1 + 3 + 3 + ... + 3 8
1
1
A=
+ 3 =B nªn A > B
2
8 + 5 > 5 > 4 >

2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 3 + 3 + .... + 3 8

A=

Bµi tËp 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
ViÕt A + 1 díi d¹ng mét lòy thõa
Bµi 4: T×m x ∈ N biÕt
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bµi gi¶i:
a) 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = (x +1)
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2
3

3

3

2

 99 − 1 
+ 1 = ( x - 2)2


 2


502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52

3

2


( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn
73 = x2 - y2
Ta thấy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biết.
A = 111....1
- 777 ...7
2 x chữ số 1
x chữ số 7

là số chính phơng
Bài giải:

+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111...1 - 777...7 = ......34 M 2
2x chữ số 1
x chữ số 7 mà ...34 M 4
Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2. 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35x + 9 M 5 vì ( 35x M 5 ; 9 M 5 )
Mà 2. 5y M 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y)
Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
2
100

A = 1 + 2 + 2 + ...+ 2
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) (1 +2 + 22+ ...+2100)
Vậy A = 2101 - 1


B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 + 22 ; 2 + 22 + 23 ; 2 + 22 + 23 + 24
b) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22004 chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 34 + 35 + 36 + 37
b) Chứng minh rằng: B = 1 + 3 + 32 + .... + 399 M40
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) S1 = 5 + 52 + 53 + ... + 52004 M6;31;156
b) S2 = 2 + 22 + 23 + .... + 2100 M31
c) s3 = 165 + 215 M33
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a) A = 20 + 21 + 22 + .... + 22006
b) B = 1 + 3 + 32 + .... + 3100
c) C = 4 + 42 + 43 + .... + 4n
d) D = 1 + 5 + 52 + .... + 52000
Bài 6 Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + .... + 2200 . Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho B = 3 + 32 + 33 + ..... + 32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho C = 4 + 22 + 23 + .... + 22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) 55 54 + 53 M7
b) 76 + 75 7 4 M11

c) 109 + 108 + 107 M222
e) 106 57 M59
g) 3n + 2 2n+ 2 + 3n 2n M10n N *
h) 817 279 913 M45
i) 810 89 88 M55
k) 109 + 108 + 107 M555
Bài 10 Tính nhanh
a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:
2
4
6
200
a) A = 1 + 5 + 5 + 5 + ...+ 5
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1
Vậy A = ( 5202 -1) : 24
7 304 + 1
b) Tơng tự B = 3
7 +1

Bài 3: Tính

1
1

1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5

A=

Bài giải:


1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7

7
1
1
1
7A = 1 + + 2 + ... + 99
7
7
7
1
1

=> 7A - A = 1 - 100
A = 1 100
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5
4
4
4
5B = -4 + + 3 +...+ 201
5
5

5
4
B+5B = -4 + 200
5
4

B = 4 + 200 : 6
5


A=


: 6


Bài 3: Tính

25 28 + 25 24 + 25 20 + ... + 25 4 + 1
A = 30
25 + 25 28 + 25 26 + ... + 25 2 + 1

Bài giải:

Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252)
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
Vậy A =

1
1 + 25 2

=

1
626

Bài tập 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a b c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd
(a + b + c + d)4 = abcd


A/. Mơc tiªu:

C¸c dÊu hiƯu chia hÕt

- Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiƯu chia hÕt vµo trong gi¶i bµi tËp.
- VËn dơng thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®ỉi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
- RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t duy l« gic ãc ph©n tÝch tỉng hỵp.
B/. Chn bÞ:
Néi dung chuyªn ®Ị, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sư dơng vµ c¸c bµi tËp tù lun.
C/. Néi dung chuyªn ®Ị.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1) Đònh nghóa: Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0 ).
a = b.q ⇔ a Mb ⇔ a là bội của b ⇔ b là ước của a.
2) Tính chất:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.

2/ Nếu a Mb và bMc ⇒ a Mc
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a M m và b M m thì a + bMm và a − bMm
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu a Mm, bMn ⇒ ab Mmn
n
n
Hệ Quả: Nếu a Mb ⇒ a M b
Nếu a Mm, a Mn , (m, n) = 1 ⇒ a Mmn
A/ LÝ THUYẾT:
Gọi A = an an −1 ...a2 a1a0 Tacó :
AM2 ⇔a0 M2, AM5 ⇔a0 M5
AM4 ⇔a1a0 M4, AM25 ⇔a1a0 M25
AM8 ⇔a2 a1a0 M8, AM125 ⇔a2 a1a0 M125
AM3 ⇔an +an −1 +... +a2 +a1 +a0 M3
AM9 ⇔an +an −1 +... +a2 +a1 +a0 M9

BÀI TẬP:


1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số 9 xy 4 chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: a/ 275x M 5 ⇔ x ∈ { 0;5} ; 275x M 25 ⇔ x ∈ { 0} ; 275x M 125 ⇔ x ∈ { 0}
b/ 9 xy 4M2 ⇔ x, y ∈ { 0;1; 2;...;9} ; 9 xy 4M4 ⇔ x ∈ { 0;1; 2;...;9} , y ∈ { 0, 2, 4, 6,8}

9 xy 4M8 ⇔ x ∈ { 0; 2; 4;6;8} ; y ∈ { 2;6} hoặc x ∈ { 1;3; 5;7;9} ; y ∈ { 0; 4;8} :
LUYỆN TẬP
1) Cho n ∈ N, chứng minh rằng:
a/ 5n – 1M 4
b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10n - 1 M 9
d/ 10n + 8 M 9
Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0M 4
+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 M 4.
+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 M 4
Vậy với n ∈ N, 5n – 1 M 4 .
b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2
+ n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.
c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 M 9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 M 9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) Chứng minh rằng:
a/ 1028 + 8 M 72
b/ 88 + 220 M 17
Giải: a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 M 9
(1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
28
Số 10 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72.
b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 M 17
vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Giải:

Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận
cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5.


Giải: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 M 5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Bµi 1:Chứng minh rằng:
a) ab + ba chia hết cho 11.
b) ab − ba Chia hết cho 9 với a > b.
a) Ta có ab + ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) M 11 Vậy ab + ba M 11.
b) Ta có : ab − ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) M 9
Chú ý : Nếu ab + cd M11 ⇒ abcd M11
Bµi 2 Cho abc − deg M7. Cmr abc deg M7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ
số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
3) Cho số abcM27 Chứng minh rằng số bca M27
Giải:
1)Ta có : abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg )
= 7.143abc − (abc − deg )

Mà : 7.143 abcM7 và abc − deg M7. Vậy abc deg M7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, a,b ∈ N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
abba = 1000a + 100b + 10b + a
= 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b M11
Vậy : abba M11

3) abcM27
⇒ abc0M27
⇒ 1000a + bc 0M27
⇒ 999a + a + bc0M27
⇒ 27.37a + bca M27
⇒ bca M27 ( Do 27.37a M27)

LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên
liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì
không chia hết cho 10.
3) Tìm n ∈ N để:
a) 27 – 5n M n
b) n + 6 M n + 2
c) 2n + 3 M n – 2
d) 3n + 1 M 11 – 2n
4) Cmr nếu ab + cd + eg M11 thì abc deg M11
5) Cho abc + deg M37. Cmr abc deg M37


6) Cho 10 k – 1 M 19 với k > 1 CMR: 102k – 1 M 19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu ab = 2cd ⇒ abcd M67
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M 3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 M 3

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7
không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên
tiếp thì không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) M 10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 M 10.
3) a) 27 – 5n M n ; 5n M n => 27 M n => n ∈ Ư(27) = { 1;3;9; 27} nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vậy n ∈ { 1;3}
b) n + 6 M n + 2 => n + 2 + 4 M n + 2, mà n +2 M n + 2 => 4 M n + 2 => n + 2 ∈ { 1; 2; 4} => n
∈ { 0; 2}

c) 2n + 3 M n – 2 => 2(n – 2) + 7 M n -2 => 7 M n - 2 => n – 2 ∈ { 1;7} => n ∈{ 3;9}
d*) 3n + 1 M 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) M 11 – 2n => 35 M 11 – 2n
=> 11 – 2n ∈ { 1;5;7;35} nhưng vì n < 6 nên n ∈ { 5;3; 2}
4) Ta có : abc deg = 10000ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + ( ab + cd + eg )
Do 9999M11; 99M11;(ab + cd + eg )M11

Vậy : abc deg M11
5) Tacó : abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg)
= 27.37 abc + (abc + deg)
Do 27.37abc M37; (abc + deg)M37; Vậy : abc deg M37

6) Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)
Do 10k - 1M 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) M 19
Vây 102k – 1 M 19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chẵn => n = 2k (k ∈ N).

Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ
=> n = 2k + 1 (k ∈ N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A
chia hết cho 2.
+ Trường hợp: n = 3k (k ∈ N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.
(1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3.
(2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3
nên A chia hết cho 3.
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có abcd = 100ab + cd
ab = 2cd
Mà:
Suy ra: abcd = 2cdcd = 200cd + cd = 201cd = 3.67cd M67
abcd M67
Vậy:
Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên
sau:
a) Số đó chia hết cho 5;

b) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho
5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2
và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4. Cho số 123x43 y . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số 123x43 y M 5 nên y = 0 hoặc y = 5.
•Với y = 0 , ta có số 123x 430 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 M 3
hay 12 + (x+ 1) M 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta có số 123x 435 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 M 3
hay 18 + x M 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435
Bài 5:
1. Điền chữ số vào dấu * để được số :
a) Chia hết cho 2 : 3 * 46 ; 199 * ; 20 *1 ;