Đề thi HK1 toán 11 năm học 2016 2017 trường Nguyễn Thị Minh Khai TP HCM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI
ðỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2016 – 2017 – THỜI GIAN: 90 PHÚT
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a/ cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x

b/

π

3 sin 2 x + cos 2 x − 2cos  − x 
3
 =0
sin x

Bài 2: Lớp 11A có 15 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Lớp 11B có 12 học sinh nam và 18 học sinh
nữ. Trường chọn ngẫu nhiên từ mỗi lớp ra 2 học sinh ñể tham gia vào ñội nhảy cổ ñộng. Gọi A là biến
cố “Trong 4 học sinh ñược chọn có 2 nam và 2 nữ”. Hãy tính xác suất của biến cố A?

Bài 3: Giải bất phương trình: Ax3 + 2Cxx − 2 ≤ 9 x
3n

1

Bài 4: Cho khai triển nhị thức Newton của P(x) =  3 x5 −  (với n ∈ N*) và biết rằng tổng các hệ số
x

của khai triển là 32768. Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển.

Bài 5: Một cấp số cộng (un) có 5 số hạng và có u1 < 0 và công sai là d ≠ 0. Hãy tìm các số hạng của cấp

1
1
1
1
 1
+
+
+
=

số cộng ñó, biết rằng:  u1u2 u2u3 u3u4 u4u5 2
u = 2u
1
 5
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung ñiểm của SC và
G là trọng tâm tam giác ABC.

a/ Tìm giao ñiểm I của AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh I là trọng tâm tam giác SBD.
b/ Chứng minh IG song song với mặt phẳng (SAB).
c/ Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại hai ñiểm E và F. Tìm thiết
diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.

d/ Gọi K là giao ñiểm của ME và CD, J là giao ñiểm của MF và CD. Chứng minh ba ñiểm K, A, J nằm
trên một ñường thẳng song song với EF. Tính tỉ số

EF
.
KJ

HẾT

1


ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM ðỀ 1
Bài

ðáp án

Câu

1
a/

Thang
ñiểm

Giải các phương trình sau:
cos 2 x − sin 2 x = sin 3x + cos 4 x
⇔ cos 2 x − cos 4 x − sin 3 x = 0

Σ=1.0
0.25 (CT
nhân ñôi)
0.25 (CT
biến ñổi)

⇔ 2sin 3 x.sin x − sin 3 x = 0 ⇔ sin 3 x ( 2sin x − 1) = 0
sin 3 x = 0 ⇔ x = k
sin x =

b/

π

0.25

3

1
π
5π
⇔ x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π
2
6
6

0.25

π

3 sin 2 x + cos 2 x − 2 cos  − x 
3
 =0
sin x
ðk: sinx ≠ 0
π
2π
2π


π

PT ⇔ cos  2 x −  = cos  − x  ⇔ x =
+k
∨ x = k 2π
3
9
3

3


Σ=1.0
0.25
0.25 + 0.25

2π
2π
+k
0.25
9
3
Lớp 11A có 15 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Lớp 11B có 12 học sinh
nam và 18 học sinh nữ. Trường chọn ngẫu nhiên từ mỗi lớp ra 2 học sinh
Σ=1.0
ñể tham gia vào ñội nhảy cổ ñộng. Gọi A là biến cố “Trong 4 học sinh
ñược chọn có 2 nam và 2 nữ”. Hãy tính xác suất của biến cố A?
|Ω| =
= 339300

0.25
TH1: Chọn 2 nam lớp 11A, 2 nữ lớp 11B: có
= 16065 cách
0.5 (ñúng 2
TH2: Chọn 2 nữ lớp 11A, 2 nam lớp 11B: có
= 19800 cách
trong 3 TH)
TH3: Mỗi lớp chọn 1 nam, 1 nữ: có 15.25.12.18 = 81000 cách
⇒ |ΩA| = 116865
2597
0.25
Vậy P(A) =
7540
Giải bất phương trình: Ax3 + 2Cxx − 2 ≤ 9 x
Σ=1.0
So với ñiều kiện, ta có nghiệm của PT là: x =

2

3

ðk: x ≥ 3 ∧ x ∈ Z
BPT ⇔

0.25

x!
x!
2
+2

≤ 9 x ⇔ ( x − 1) ≤ 9
( x − 3)! ( x − 2 )!2!

0.25 (CT)

⇔ –2 ≤ x ≤ 4
So với ñiều kiện, ta có nghiệm của BPT là: x ∈ {3 ; 4}

0.25
0.25
3n

4

1

Cho khai triển nhị thức Newton của P(x) =  3 x5 −  (với n ∈ N*) và
x

biết rằng tổng các hệ số của khai triển là 32768. Tìm hệ số của số hạng
chứa x9 trong khai triển.
Cho x = 1 ta có: 23n = 32768 ⇔ n = 5
15

P(x) =

∑ C15k 315−k ( −1)

k

Σ=1.0
0.25

x 75−6 k

0.25

k =0

2


Cho 75 – 6k = 9 ⇔ k = 11
Vậy hệ số cần tìm là: –110565

0.25
0.25

Một cấp số cộng (un) có 5 số hạng và có u1 < 0 và công sai là d ≠ 0. Hãy
tìm các số hạng của cấp số cộng ñó, biết rằng:
1
1
1
1
 1
+
+
+
=


 u1u2 u2u3 u3u4 u4u5 2
u = 2u
1
 5
1  1 1 1 1 1 1 1 1  1
u1u5 = 8
  − + − + − + − =
Hệ ⇔  d  u1 u2 u2 u3 u3 u4 u4 u5  2 ⇔ 
u5 = 2u1
u = 2u
1
 5

5

u = −2
u1 = −2 ( u1 < 0 )
 1
⇔
⇔
1
u5 = −4
 d = − 2

a/

0.25

0.25 (u1) +
0.25 (d)

5
7
; −3 ; – ; −4.
2
2
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là
trung ñiểm của SC và G là trọng tâm tam giác ABC.
Tìm giao ñiểm I của AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh I là trọng tâm tam
giác SBD.
Vậy cấp số cộng cần tìm là: –2 ; –

6

Σ=1

0.25

Σ=1

Trong (SAC) gọi I = SO ∩ AM
mà SO ⊂ (SBD)
(hoặc ghi I∈(SBD))
nên I = AM ∩ (SBD)

0.25
0.25
0.25

SI 2

= , mà SO là ñường trung tuyến
SO 3
của tam giác SBD nên I là trọng tâm tam giác SBD.

0.25

Ta có: I là trọng tâm tam giác SAC ⇒

3


b/

c/

Σ=1

Chứng minh IG song song với mặt phẳng (SAB).
OI 1 OG 1
Ta có:
= ,
=
OS 3 OB 3
OI OG
⇒
=
⇒ IG // SB
OS OB

0.25 + 0.25

0.25

(mà IG ⊄ (SAB)) nên IG // (SAB)

0.25

Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại hai
ñiểm E và F. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.

Σ=1

Ta có: I ∈ (SBD) ∩ (P), BD // (P)
⇒ (SBD) ∩ (P) = EF // BD và EF qua I
Ta có: (P) ∩ (SAB) = AE, (P) ∩ (SBC) = EM, (P) ∩ (SCD) = MF, (P) ∩ (SAD) =
FA
Vậy thiết diện là tứ giác AEMF.

0.25
(ñiểm I)
0.25
0.25
0.25

Gọi K là giao ñiểm ME và CD, J là giao ñiểm MF và CD. Chứng minh ba
d/

ñiểm K, A, J nằm trên một ñường thẳng song song với EF. Tính tỉ số

EF
.

KJ

Ta có: K, A, J cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt là (ABCD) và (P) ⇒ K, A, J thẳng

hàng
Ta có: (SBD) ∩ (P) = EF, (ABCD) ∩ (SBD) = BD, (ABCD) ∩ (P) = KJ, mà EF //
BD ⇒ KJ // EF
EF MI 1
Ta có:
=
=
KJ MA 3
HẾT

4

Σ=1
0.25
0.25
0.5