Giải tích toán học tập 1

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH
NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC
TËP 1

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


▼ô❝ ❧ô❝
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

❈❤➢➡♥❣ ✶

✶✳✶

✶✳✷

✶✳✸

●✐í✐ ❤➵♥ ✈➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝

✼

❙è t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò sè ❤÷✉ tØ✱ sè ✈➠ tØ✱ sè t❤ù❝ ✳ ✳ ✳

✶✳✶✳✷

❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✈➭ tÝ♥❤ t❤ø tù tr➟♥ t❐♣ sè t❤ù❝

●✐í✐ ❤➵♥ ❞➲② sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✷✳✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② sè ❤é✐ tô

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✷✳✷

❉➲② ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❞➲② ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❞➲② ❝♦♥✱ ❣✐í✐ ❤➵♥ r✐➟♥❣ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✷✳✸

❈➳❝ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ✈➭ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ❤é✐ tô

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✷✳✹

❙è ❡✱ ▲♦❣❛r✐t tù ♥❤✐➟♥✱ ❝➳❝ ❣✐í✐ ❤➵♥ ✈➠ ❝ï♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

●✐í✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✸✳✶

▼ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❤➭♠ sè ✈í✐ ❜✐Õ♥ sè t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✸✳✷

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❤➭♠ sè ✳

✸✵

●✐í✐ ❤➵♥ ✈➠ ❝ï♥❣✱ ❝➳❝ ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ✈➠ ❝ï♥❣ ❧í♥✱ ✈➠ ❝ï♥❣ ❜Ð ✸✺
●✐í✐ ❤➵♥ ♠ét ♣❤Ý❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

❍➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✶✳✹✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✶✳✹✳✷

❚Ý♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ♠ét ➤♦➵♥✱ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥
tô❝ ➤Ò✉✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛♥t♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ■

❈❤➢➡♥❣ ✷

✷✳✶

✼
✶✵

✶✳✸✳✹

✶✳✺

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✸✳✸

✶✳✹

✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

P❤Ð♣ tÝ♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ♠ét ❜✐Õ♥ sè

➜➵♦ ❤➭♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸

✹✻
✺✵

✺✼

✺✼


✹

●✐➯✐ tÝ❝❤ t♦➳♥ ❤ä❝

✷✳✷

✷✳✶✳✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✶✳✷

❈➳❝ q✉② t➽❝ tÝ♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠✳ ➜➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ❤î♣✱
➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ♥❣➢î❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

❱✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✸

✷✳✷✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ❤➭♠ sè ❦❤➯ ✈✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✸

✷✳✷✳✷

❈➳❝ q✉② t➽❝ ❧✃② ✈✐ ♣❤➞♥✱ tÝ♥❤ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❝ñ❛ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶

✻✹

✷✳✷✳✸

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✺

✷✳✷✳✹

➜➵♦ ❤➭♠ ✈➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ❝❛♦✱ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ◆❡✇t♦♥ ✲ ▲❡✐❜✲

✷✳✷✳✺
✷✳✸

✸✳✷

♥✐t③✱ ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ❚❛②❧♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✾

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ■■

❈❤➢➡♥❣ ✸

✸✳✶

P❤Ð♣ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ♠ét ❜✐Õ♥ sè

✽✺

✸✳✶✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❣✉②➟♥ ❤➭♠ ✈➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✳ ✳

✽✺

✸✳✶✳✷

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✳ ✳ ✳

✽✻

✸✳✶✳✸

❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✽

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✺

✸✳✷✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤✐Þ♥❤✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❦❤➯ tÝ❝❤

✾✺

✸✳✷✳✷

❈➳❝ ❧í♣ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✾✻

✸✳✷✳✸

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ t❤❡♦ ❝❐♥ tr➟♥✱ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ◆❡✇t♦♥ ✲ ▲❡✐❜♥✐t③

✸✳✷✳✹

❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤✳ ❚Ý♥❤ ❣➬♥ ➤ó♥❣

✸✳✷✳✺

✸✳✹

✽✺

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤

✸✳✸

✺✼

✳ ✳ ✳

✳ ✶✵✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸

ø♥❣ ❞ô♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸
✸✳✸✳✶

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✭❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❝❐♥ ✈➠ ❤➵♥✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸

✸✳✸✳✷

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❧♦➵✐ ✷

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ■■■

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✹


ờ ó
ộ trì tí ọ ồ t ợ s ở t
tể t P rì s ễ s ễ
ọ ự t trì tí ọ ợ ộ
ồ ộ ủ ộ ụ t t ị ù trờ
ọ ứ t ợ ệ q t s

trờ ệ ĩ tt ọ
ộ trì ợ s t ị ớ ọ ọ
ù ợ ớ tờ t ứ ọ ù ợ ớ ố
tợ s ệ ĩ tt t ột rõ ét ệ
ụ ết q ý tết ồ tờ ột tốt t tí
ọ ủ ệ tố ế tứ tr trì
ủ ộ trì ệ tố ế tứ ủ é tí
é tí tí ủ số ột ế số ợ ớ tệ tr

ớ số tụ
Pé tí ủ số ột ế số
Pé tí tí ủ số ột ế số
t rt ố ợ sự ó ý qý ủ ồ
ệ ọ ể ộ s ợ tệ t
ớ tệ ộ s tớ ọ


✻

●✐➯✐ tÝ❝❤ ❚♦➳♥ ❤ä❝



ớ số tụ


ố tự

ệ ề số ữ tỉ số tỉ số tự

ợ
ợ tử ủ t ợ ữ ệ ủ
ọ ợ ị ĩ ợ t tr
trì ở trờ ổ t í ụ t số tự N t
số Z t ể ủ t
ó ế t ợ t tờ q t ế q ệ
tộ s

P tử a tộ t ợ A ý ệ a A
P tử b tộ t ợ A ý ệ b A
b A
ể t ột t ợ ờ t tờ ù ột tr
s

ệt tt tử ủ t ợ ó
ỉ rõ tí t tr ủ tt tử
tộ t ợ ó
í ụ A = {1, 2, 3, ã ã ã , 10}, B = {x|x N, x ết 2}




ớ số tụ


t ợ A B ế ỗ tử ủ t ợ A ề
tộ t ợ B tì t ó t A t ủ t B ý ệ
A B ế A B tồ t tử a B a A tì t ó

A t tự sự ủ B
rỗ t ó tử ý ệ q ớ
t rỗ t ủ ọ t ợ
í ệ
ừ ệ ề s r ệ ề
ệ ề t ớ ệ ề

ý ệ C(t) = {x A|x ó tí t t} ó
ế C(t) = A tì ọ tử ủ t A ề ó
tí t t ó r ớ ọ x A, x ó tí t t ết
x A, t(x)
ế C(t) = tì ó ít t ột tử ủ A ó
tí t t ó r ồ t tử x A, x ó tí t t
ết x A, t(x)
é t tr t ợ
ủ t ợ A B = {x|x A x B}
ợ ủ t ợ A B = {x|x A x B}
P ù ủ t B tr t A CA B = {x|x
A x B}
í ủ t ợ A B t ợ

A ì B = {(a, b)|a A, b B}.
ệ ủ ột trì ột t trì
t tt trị ủ ế trì t
trì ó trở t ệ ề ú

t ợ E, F ột f từ t E ế t ợ F ý
ệ f : E F ột q t t ứ ỗ tử tộ


✶✳✶

✾

❙è t❤ù❝

t❐♣ E ✈í✐ ♠ét ✈➭ ❝❤Ø ♠ét ♣❤➬♥ tö t❤✉é❝ t❐♣ F ✳
❚❐♣ E ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ♥❣✉å♥✱ F ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ➤Ý❝❤✳ P❤➬♥ tö y ∈ F
ø♥❣ ✈í✐ ♣❤➬♥ tö x ∈ E ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ x q✉❛ f ✈➭ ✈✐Õt y = f (x)✳
➳♥❤

①➵ f ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➳♥❤ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ F ✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

y = f (x) ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ x ∈ E ✳
➳♥❤

①➵ f ❣ä✐ ❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ F ✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

y = f (x) ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ x ∈ E ✳
➳♥❤

①➵ f ❣ä✐ ❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ F ✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

y = f (x) ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ x ∈ E ✭f ➤å♥❣ t❤ê✐ ❧➭ ➤➡♥ ➳♥❤
✈➭ t♦➭♥ ➳♥❤✮✳
❱Ý ❞ô✳

❛✮ ➳♥❤ ①➵ f : N −→ N

n −→ 2n ❧➭ ♠ét ➤➡♥ ➳♥❤
❜✮ ➳♥❤ ①➵ f : {−3, −2, −1, 0, 1, 2} −→ {0, 1, 4, 9}

n −→ n2 ❧➭ ♠ét t♦➭♥ ➳♥❤
❛✮ ➳♥❤ ①➵ f : N −→ N∗

n −→ n + 1 ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤✳
❍❛✐ t❐♣ A ✈➭ B ❣ä✐ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤ tõ

A ➤Õ♥ B ✳
▼ä✐ t❐♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ t❐♣ M = {1, 2, 3, · · · , n} ✈í✐ n ①➳❝ ➤Þ♥❤
❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ♠ä✐ t❐♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ t❐♣ sè tù ♥❤✐➟♥ N ❣ä✐
❧➭ t❐♣ ✈➠ ❤➵♥ ➤Õ♠ ➤➢î❝✳

❡✮ ❙è ❤÷✉ tØ✳ ❚❛ ➤➲ ❜✐Õt t❐♣ sè tù ♥❤✐➟♥ N ✈➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ tr➟♥ ♥ã✳
❚r➟♥ t❐♣ sè tù ♥❤✐➟♥✱ ①Ðt ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x + 6 = 9 ✈➭ x + 9 = 6✳
❉Ô t❤✃② ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ x = 3 ❝ß♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
t❤ø ❤❛✐ ✈➠ ♥❣❤✐Ö♠✳
➜Ó ➤➯♠ ❜➯♦ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x + n = 0, n ∈ N✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❜æ
s✉♥❣ t❤➟♠ ✈➭♦ N ➤Ó ➤➢î❝ t❐♣ sè ♥❣✉②➟♥ Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · · , }✳
❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ ✈õ❛ ①Ðt ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ x = −3 tr➟♥ Z✳ ❚✉②
♥❤✐➟♥✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 3x + 2 = 0 tr➟♥ Z ❧➵✐ ✈➠ ♥❣❤✐Ö♠✳ ❉♦ ➤ã✱ ➤Ó
➤➯♠ ❜➯♦ ♣❤Ð♣ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❐❝ ♥❤✃t ❞➵♥❣ ax + b = 0 ♥❣➢ê✐ t❛


✶✵

●✐í✐ ❤➵♥ ✈➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝

♠ë ré♥❣ Z ❧➟♥ t❤➭♥❤ t❐♣ sè ❤÷✉ tØ

Q = {x|x =

m
, m, n ∈ Z, n = 0, U CLN (m, n) = 1}.
n

❈❤ó ý✳ ❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② N ⊂ Z ⊂ Q✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➲ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ➤➢î❝ r➺♥❣ ❜❛ t❐♣ ❤î♣ tr➟♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ❤❛② t❐♣ sè
♥❣✉②➟♥ ✈➭ t❐♣ sè ❤÷✉ tØ ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ✈➠ ❤➵♥ ➤Õ♠ ➤➢î❝✳
√
❢✮ ❙è ✈➠ tØ✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x2 = 2✳ ❚❛ ❝ã x = 2✳ ❚❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ❧➭
√
2 ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ❤÷✉ tØ✳
√
√
m
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐✱ 2 ∈ Q✳ ❑❤✐ ➤ã ❝ã t❤Ó ✈✐Õt 2 =
n
tr♦♥❣ ➤ã m, n ∈ N, n = 0, ❯❈▲◆(m, n) = 1✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ m2 = 2n2
✳
✳
❤❛② m ✳✳ 2✳ ➜➷t m = 2p, p ∈ N t❛ ➤➢î❝ nu = 2p2 ❤❛② n ✳✳ 2✳ ❑❤✐ ➤ã
√
❯❈▲◆(m, n) = 1✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá 2 ∈ Q✳
p
◆❤❐♥ ①Ðt✳ ◆Õ✉ m ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ➤➢î❝ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ✈í✐ p, q ∈
q

Z, q = 0 t❤× m ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ❤÷✉ tØ✳ ❚❛ ❣ä✐ ❝❤ó♥❣ ❧➭ ❝➳❝ sè ✈➠
tØ✳
❣✮ ❚❐♣ sè t❤ù❝✳ ❚❐♣ ❤î♣ ❣å♠ ❝➳❝ sè ❤÷✉ tØ ✈➭ ❝➳❝ sè ✈➠ tØ ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ t❐♣ sè t❤ù❝ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ R✳

✶✳✶✳✷

❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✈➭ tÝ♥❤ t❤ø tù tr➟♥ t❐♣ sè t❤ù❝

❛✮ ❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ tr➟♥ t❐♣ sè t❤ù❝✳
❚r➟♥ R t❛ ➤➢❛ ✈➭♦ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣ (+) ✈➭ ♥❤➞♥ (×)
✰✮ P❤Ð♣ ❝é♥❣✿
+ : R × R −→ R
(a, b) −→ a + b
✰✮ P❤Ð♣ ♥❤➞♥✿
× : R × R −→ R
(a, b) −→ a × b = a.b
❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✳
❱í✐ ∀a, b, c ∈ R✱ t❛ ❝ã
✭✶✮ P❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥
a+b=b+a
a.b = b.a✳


✶✳✶

✶✶

❙è t❤ù❝

✭✷✮ P❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦Õt ❤î♣

(a + b) + c = a + (b + c)
(a.b).c = a.(b.c)✳
✭✸✮ P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣

a.(b + c) = a.b + a.c
(a + b).c = a.c + b.c✳
✭✹✮ P❤Ð♣ ❝é♥❣ ❝ã ♣❤➬♥ tö tr✉♥❣ ❤ß❛ ✵✱ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝ã ♣❤➬♥ tö
tr✉♥❣ ❤ß❛ ✶

a+0=0+a=a
a.1 = 1.a = a✳
✭✺✮ ▼ä✐ ♣❤➬♥ tö a ∈ R ➤Ò✉ ❝ã ♣❤➬♥ tö ➤è✐ −a ✈➭ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tö

a ∈ R, a = 0 ➤Ò✉ ❝ã ♣❤➬♥ tö ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ a−1
a + (−a) = (−a) + a = 0
a.a−1 = a−1 .a = 1✳
◆❤❐♥ ①Ðt✳ ❚õ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr➟♥ ❝ã t❤Ó t❤✃② R ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤Ð♣
t♦➳♥ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ ❧❐♣ t❤➭♥❤ ♠ét tr➢ê♥❣✳
❜✮ ◗✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù tr➟♥ t❐♣ sè t❤ù❝✳
❚r♦♥❣ R t❛ ①➞② ❞ù♥❣ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù ✧≤✧ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t
s❛✉✿
✰✮ P❤➯♥ ①➵✿ a ≤ a, ∀a ∈ R✳
✰✮ P❤➯♥ ➤è✐ ①ø♥❣✿ a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b, ∀a, b ∈ R✳
✰✮ ❇➽❝ ❝➬✉✿ a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c, ∀a, b, c ∈ R✳
❑❤✐ ➤ã✱ ❝ã t❤Ó t❤✃② ✈í✐ ∀a, b ∈ R✱ ❧✉➠♥ ①➯② r❛ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐
tr➢ê♥❣ ❤î♣ a ≤ b ❤♦➷❝ b ≤ a ❤❛② q✉❛♥ ❤Ö tr➟♥ ❧➭ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù
t♦➭♥ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ R✳ ❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ ❝ã tÝ♥❤ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤
✈í✐ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù ➤❛♥❣ ①Ðt✳

✰✮ a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c, ∀a, b, c ∈ R
✰✮ a ≤ b ⇔ a.c ≤ b.c, ∀a, b, c ∈ R, c > 0
✰✮ a ≤ b ⇔ a.c ≤ b.c, ∀a, b, c ∈ R, c < 0✳

❈❤ó ý✳ ◗✉❛♥ ❤Ö a ≤ b ❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt b ≥ a✳ ❚r➢ê♥❣ sè t❤ù❝ R ✈í✐
q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù tr➟♥ ❧❐♣ t❤➭♥❤ ♠ét tr➢ê♥❣ s➽♣ t❤ø tù✳
❝✮ ●✐➳ trÞ t✉②Öt ➤è✐✳ ❈❤♦ a ∈ R✳ ●✐➳ trÞ t✉②Öt ➤è✐ ❝ñ❛ a✱ ❦ý ❤✐Ö✉ |a|




ớ số tụ

ột số tự tỏ





a ế a > 0
a = 0 ế a = 0



a ế a < 0
ừ ị ĩ tr ó tể ễ s r tí t s
|x| a a x a
|x| a x a x a
|a.b| = |a|.|b|
a

|a|

=
b
|b|
|a + b| |a| + |b|
|a b| |a| |b|.


ể ể ễ ì ọ t số tự R t ét trụ Ox ớ ố O
ỗ ể M tr Ox t t ứ ớ số tự x s OM = x
ó t ó ột s ữ R trụ Ox ọ trụ Ox
ờ t tự trụ số tự r t số tự ổ s
ý ệ +, ọ t số tự ở rộ R ó

R = R {+, }.
r R t ét t ủ ó s
(a, b) = {x R|a < x < b} ớ a, b R ọ
ở ớ út a, b ế a, b ữ t ọ tr
ữ
[a, b] = {x R|a x b} ớ a, b R ọ ó
ớ út a, b r ò ột số ý ệ s

(a, b] = {x R|a < x b}
[a, b) = {x R|a x < b}
(, a) = {x R|x < a}
(, a] = {x R|x a}
(a, +) = {x R|x > a}

✶✳✶

✶✸

❙è t❤ù❝

[a, +∞) = {x ∈ R|x ≥ a}
(−∞, +∞) = R✳
❡✮ ▲➞♥ ❝❐♥✳
❈❤♦ x, y ∈ R✳ ❑❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ x ✈➭ y ✱ ❦ý ❤✐Ö✉ d(x, y) ➤➢î❝ ①➳❝
➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉

d(x, y) = |x − y|.
❑❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tr➟♥ R t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✳

d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R, d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(x, y) = d(y, x)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
●✐➯ sö a ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ ❜✃t ❦ú ✈➭ r ❧➭ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❣ä✐ r−
❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ a ❧➭ t❐♣ B(a, r) = {x ∈ R|d(x, a) = |x − a| < r}.

❢✮ ❈❐♥ tr➟♥ ➤ó♥❣ ✈➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ➤ó♥❣✳
✰✮ ❈❐♥ tr➟♥✳ ❙è t❤ù❝ x ❣ä✐ ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ t❐♣ A ⊂ R ♥Õ✉

a ≤ x, ∀a ∈ A✳ ❑❤✐ ➤ã A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥✳
✰✮ ❈❐♥ ❞➢í✐✳ ❙è t❤ù❝ x ❣ä✐ ❧➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❝ñ❛ t❐♣ A ⊂ R ♥Õ✉

a ≥ x, ∀a ∈ A✳ ❑❤✐ ➤ã A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐✳
❚❐♣ A ❣ä✐ ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥ ♥Õ✉ ♥ã ✈õ❛ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥✱ ✈õ❛ ❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐✳
❈❐♥ tr➟♥ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ A ❣ä✐ ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ ➤ó♥❣ ❝ñ❛ A ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉

❧➭ sup A✳
❈❐♥ ❞➢í✐ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ A ❣ä✐ ❧➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ➤ó♥❣ ❝ñ❛ A ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉
❧➭ inf A✳
◆Õ✉ sup A ∈ A t❤× sup A = max A✱ ♥Õ✉ inf A ∈ A t❤× inf A = min A✳

❈❤ó ý✳ ❚❐♣ sè t❤ù❝ R t❤á❛ ♠➲♥ t✐➟♥ ➤Ò ✈Ò ❝❐♥ tr➟♥ ➤ó♥❣ ✈➭ ❝❐♥
❞➢í✐ ➤ó♥❣ ♥❤➢ s❛✉✿
✧▼ä✐ t❐♣ ❦❤➠♥❣ rç♥❣✱ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ✭❤♦➷❝ ❞➢í✐✮ ➤Ò✉ ❝ã ❝❐♥ tr➟♥
➤ó♥❣ ✭❤♦➷❝ ❝❐♥ ❞➢í✐ ➤ó♥❣✮ t❤✉é❝ R✧
❱Ý ❞ô✳
✭✶✮ A = {1, 2, 4, 5, 6}✳ ❚❛ ❝ã max A = sup A = 6, min A = inf A = 1✳
✭✷✮ B = (2, 4)✳ ❚❛ ❝ã sup B = 4, inf B = 2✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭②
❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ min B ✈➭ max B ✳




ớ số tụ

1 1
1
C = {1, , , ã ã ã , , ã ã ã }. ó sup C = max C = 1, inf C = 0
2 3
n
min C tồ t

ớ số

ệ tí t ủ số ộ tụ

ị ĩ ột số tự số ột từ t

N {0}

R t ứ ỗ số n N {0} ớ số xn = x(n) R
ể ỉ số ờ t tờ ù ý ệ {xn }, n = 1, 2, 3, ã ã ã
1
1
1
í ụ số { }; x1 = 1, x2 = , ã ã ã , xn = , ã ã ã .
n
2
n


{xn } ọ ộ tụ ế tồ t số tự a s
ớ > 0, tồ t N N {0} s ớ n > N t ó |x a| <
ó số {xn } ọ ộ tụ ế a a ớ ủ
số {xn } ý ệ xn a n lim xn = a
ị ĩ số

n

số ộ tụ ợ ọ ỳ

ét số {xn } ộ tụ ế a ế ọ ủ a ề

ứ ọ tử ủ {xn } trừ ột số ữ tử
t
số tr í ụ ở tr ộ tụ ế
tí t ủ số ộ tụ

{xn } ộ tụ tì ớ ủ ó t
ế số {xn } ộ tụ tì ó ớ ộ ị

ị í ế số

ứ

sử tồ t số tự

lim xn = b ứ a = b
N1 , N2 > 0 s

n
số

a, b

s

t ớ ọ số


|xn a| < ,
2

|xn b| < ,
2

ớ

n > N1

ớ

n > N2



lim xn = a
n
> 0 tù ý tồ t




ớ số

t

N = max{N1 , N2 } ó ớ n > N t ó
|a b| |xn a| + |xn b| <

tù ý |a b| = 0 a = b
sử lim xn = a ọ = 1
n
> 0 s


+ = .
2 2

t ị ĩ ộ tụ tồ t số tự

|xn a| < 1 ớ n > N
ó ớ n > N, a 1 < xn < a + 1 t



N

M = max{x1 , x2 , ã ã ã , xN , a 1, a + 1},
m = min{x1 , x2 , ã ã ã , xN , a 1, a + 1}
ễ t

m xn M, n số {xn } ị

ị í số ộ tụ

{xn }, {yn } lim xn = x, lim yn = y
n

n

ó



lim (xn + yn ) = x + y
lim xn yn = xy

n
n

lim Cxn = Cx, lim (C + xn ) = C + x
n
xn
1
1
x
lim
= lim
= ớ y = 0
n yn
y n yn
y


n

ứ

tồ t

ừ tết

lim xn = x, lim yn = y ớ > 0 trớ

n

n

N1 , N2 > 0 s


|xn x| < ,
2

|yn y| < ,
2
ó ớ n > max{N1 , N2 } t ó

ớ

n > N1

ớ

n > N2

|(xn + yn ) (x + y)| |xn x| + |yn y| <

lim (xn + yn ) = x + y
n
số {xn }, {yn } ộ tụ ú ớ ộ ĩ tồ t

M
|x| M
số tự

tỏ

|xn | < M, |yn | < M, n

rớ ết t ứ


✶✻

●✐í✐ ❤➵♥ ✈➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝

∀r > 0✱ tå♥ t➵✐ N > 0 s❛♦ ❝❤♦
|x| − |xn | < r, ∀n > N ❤❛② |x| < M + r✳ ❉♦

❚❤❐t ✈❐②✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤é✐ tô✱ ✈í✐

|xn − x| < r, ∀n > N. ❉♦ ➤ã
r tï② ý ♥➟♥ |x| ≤ M ✳
❇➞② ❣✐ê ①Ðt sè ε > 0 ❜✃t ❦ú✱ tõ ❣✐➯ t❤✐Õt s✉② r❛ tå♥ t➵✐
∀n > N ✱ t❛ ❝ã
ε
ε

✈➭ |yn − y| <
|xn − x| <
2M
2M
❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ∀n > N t❛ ❝ã

sè

N

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐

|xn yn − xy| = |(xn − x)yn + x(yn − y)|
≤ |xn − x|.|yn | + |x|.|yn − y|
ε
ε
≤
.M + M.
2M
2M
= ε
lim xn yn = xy ✳
n→∞
✭✸✮ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ♥➭② ➤➢î❝ s✉② trù❝ t✐Õ♣ tõ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tr➟♥ ❦❤✐ ❝❤ä♥ ❞➲②

❚õ ➤ã s✉② r❛

{yn } ❧➭ ❞➲② ❤➺♥❣ sè✱ yn = C, ∀n✳
✭✹✮ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
♥➭♦ ➤ã ➤ñ ❧í♥✳

yn ≥

|y|
, ∀n > N
2

✈í✐

N

❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥

|y|
y = 0 ♥➟♥ ➤➷t r =
> 0✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤é✐ tô✱ tå♥
2
t➵✐ N > 0 s❛♦ ❝❤♦ |yn − y| < r, ∀n > N ✳ ❚õ ➤ã |yn | − |y| > −r ❤❛②
|y|
|yn | > |y| − r =
> 0, ∀n > N ✳
2
|y|
❑❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tæ♥❣ q✉➳t t❛ ❝ã t❤Ó ❝♦✐ yn ≥
, ∀n✳ ▲✃② ε > 0 tï② ý✱ ❞♦
2
εy 2
yn → y ♥➟♥ tå♥ t➵✐ N1 > 0 s❛♦ ❝❤♦ |yn − y| <
✳
2

❚❤❐t ✈❐②✱ ❞♦

❚❛ ❝ã

1
1
|yn − y|
2|yn − y|
−
=
≤
< ε, ∀n > N1 .
yn y
|yn |.|y|
|y|2
1
1
= ✳ ❑❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ ❤Ö q✉➯ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ✭✷✮ ✈➭ ❦Õt
❉♦ ➤ã lim
n→∞ yn
y
q✉➯ ✈õ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

{xn }, {yn } ❧➭ ❤❛✐ ❞➲② sè t❤á❛ ♠➲♥ xn ≥ yn , ∀n ✈➭
lim xn = x, lim yn = y t❤× x ≥ y ✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✺✳ ✭✶✮ ●✐➯ sö

n→∞

n→∞


✶✼

✶✳✷ ●✐í✐ ❤➵♥ ❞➲② sè

{xn }, {yn }, {zn } t❤á❛
lim xn = lim zn = x t❤× lim yn = x✳
✭✷✮ ❈❤♦ ✸ ❞➲② sè

n→∞

n→∞

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

♠➲♥

xn ≤ yn ≤ zn , ∀n✳

●✐➯ sö

n→∞

✭✶✮ ●✐➯ sö ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣✱

x < y ✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ sè t❤ù❝ r s❛♦ ❝❤♦

x < r < y✳

❉♦ xn → x < r ♥➟♥ ❝❤ä♥ ε1 = r − x > 0✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤é✐ tô✱
tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ N1 > 0 s❛♦ ❝❤♦ ∀n > N1 , |xn − x| < ε1 ✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛
xn < x + ε1 = x + r − x ❤❛② xn < r, ∀n > N1 ✳
❚➢➡♥❣ tù✱ ❞♦ yn → y > r ♥➟♥ ❝❤ä♥ ε2 = y − r > 0✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤é✐
tô✱ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ N2 > 0 s❛♦ ❝❤♦ ∀n > N2 , |yn − y| < ε2 ✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛
yn > y − ε2 = y − (y − r) ❤❛② yn > r, ∀n > N2 ✳
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ∀n > max{N1 , N2 } t❛ ❝ã xn < r < yn ✱ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯
t❤✐Õt xn ≥ yn , ∀n.
✭✷✮ ▲✃② ε > 0 t✉ú ý✳ ❉♦ xn → x ✈➭ zn → x ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❤❛✐ sè tù ♥❤✐➟♥
N1 , N2 > 0 s❛♦ ❝❤♦
x − ε < xn < x + ε, ∀n > N1
x − ε < zn < x + ε, ∀n > N2
❑❤✐ ➤ã ✈í✐

∀n > max{N1 , N2 } t❛ ❝ã
x − ε < xn < yn < zn < x + ε

❤❛②

|yn − x| < ε✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ lim yn = x✳
n→∞

✶✳✷✳✷
❛✮❉➲②

❉➲② ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❞➲② ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❞➲② ❝♦♥✱ ❣✐í✐ ❤➵♥ r✐➟♥❣

➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❞➲② ❜Þ ❝❤➷♥✳

{xn } ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ✭❤♦➷❝ ❣✐➯♠✮ ♥Õ✉ xn ≤

xn+1 (❤♦➷❝ xn ≥ xn+1 ), ∀n ≥ 1✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✻✳ ❉➲② sè

❉➲② t➝♥❣ ❤❛② ❣✐➯♠ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ❞➲② ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳

{xn } ❣ä✐ ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ✭❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè t❤ù❝ c s❛♦
❝❤♦ xn ≤ c (xn ≥ c) ✈í✐ ∀n ≥ 1✳ ❉➲② sè ✈õ❛ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥✱ ✈õ❛ ❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐
❉➲② sè




ớ số tụ

ọ ớ ộ ị

í ụ {xn } ớ xn =
ị tr ở 1

1
ị ớ ở 0
2n

{xn } ớ xn = n(1)n ệ ị
tr ị ớ
{xn } ớ xn = en t ị ớ ở 1
ị tr ị
1
{xn } ớ xn = (1 + )n t ị ớ ở 2

n
ị tr ở 3 t t ó tể ứ số tr
ệ t s
ử ụ t tứ n + 1 số ồ n số
1
(1 + ) 1
n
1
n(1 + ) + 1
1
n+1
n

(1 + )n
n+1
n
xn+1 xn .
ữ sử ụ trể ị tứ t t ó

1
1
1
+ Cn2 .1n2 .( )2 + ã ã ã + Cnn .( )n
n
n
n
1
1
= 2 + Cn2 .1n2 .( )2 + ã ã ã + Cnn .( )n
n

n

xn = Cn0 .1n + Cn1 .1n1 .

ó xn 2, n 1 ể ứ {xn } ị tr ở 3
trớ ết t ỉ r

1
1
k1 , k 2
k
n
2
t ế tr ủ t tứ tr ợ ế ổ s
Cnk .

Cnk .

1
nk

n!
k!(n k)!nk
nk+1nk+2
n1 n
=
ããã
2n
3n
kn 1.n

11
1

ã ã ã .1
22
2
1
= k1 .
2
=




ớ số

ó sử ụ trể ị tứ t tr t ợ

1
1
xn = 2 + Cn2 .1n2 .( )2 + ã ã ã + Cnn .( )n
n
n
1
1
1
2 + + 2 + ã ã ã + n1
2 2
2
< 3.

ị í



ế



{xn }

t



ị



tr

tì

ó

ộ

tụ

lim xn = sup xn

n

n

ế

ứ

{xn } ị ớ tì ó ộ tụ lim xn = inf xn
n



n

{xn } ị tr tồ t L = sup xn ị ĩ
n

> 0 tồ t N s L < xN L
xn t ị tr ở L ớ n > N t ó L < xn L
|xn L| < ề ứ tỏ lim xn = L
tr ỏ t sr ớ

n
tự {xn } tồ t

l = inf xn ị ĩ
n

ớ ớ t ớ > 0 tồ t N s l + > xN l
xn ị ớ ở l ớ n > N t ó l + > xN l
|xn l| < ĩ lim xn = l
n
1
í ụ {xn } ớ xn = n ị ớ
2
ộ tụ ộ tụ ề
1
xn = (1 + )n t ị tr ộ tụ ộ
n
tụ ề số e
{an } {bn } tỏ
ớ n 1, an bn [an+1 , bn+1 ] [an , bn ]
lim (bn an ) = 0

ị í ổ ề tr số

n

ó tồ t t ột số tự

ứ

c tr tt [an , bn ]

ọ ột số

n ố ị t ó

a1 a2 a3 ã ã ã ak ã ã ã b n
ó

{an } t ị tr ĩ ó ộ tụ




ớ số tụ

t

c = lim an = sup an t ó
n

n

an c, n 1 c tr ủ {an }
c bn , n 1 bn tr ủ {an }

ò

c

tr

ỏ t

c [an , bn ], n 1 ứ c t
t sử tồ t d [an , bn ], n 1 ó |cd| bn an , n

1 lim (bn an ) = 0 c = d ị ý ợ ứ

ừ ó

n

ị ĩ

[an , bn ]

tỏ ề ệ

ở ị ý tr ọ ồ tt tt


ị ĩ

{xn } ừ tr trí r ột số {xnk }

xn1 , xn2 , ã ã ã , xnk ã ã ã
ó

{xnk }

ọ ủ

{xn }

ớ ế ó ủ

ợ ọ ột ớ r ủ

xn = (1)n
{x2k } ừ {1, 1, ã ã ã , 1, ã ã ã } ộ tụ
í ụ

ét

{xn }

ớ

ộ tụ ó ột

ị í ị ý rstrss ừ ọ ớ ộ ề ó
tể trí r ột ộ tụ

{xn } ột ớ ộ ó tồ t
s a0 xn b0 , n 1
a0 + b 0
[a0 , b0 ] t
ể
2

ứ

sử

[a0 ,

số

a0 , b0

a0 + b 0
a0 + b 0
] [
, b0 ].
2
2

{xn } ý ệ
b 0 a0
ó [a1 , b1 ] rõ r [a1 , b1 ] [a0 , b0 ] b1 a1 =

2
a1 + b 1
[a1 , b1 ] t ở ể
tì
2
a1 + b 1
a1 + b 1
ột tr [a1 ,
] [
, b1 ] ứ số
2
2
ột tr ó ứ số tử ủ

ớ số

{xn } ý
b 0 a0
b 2 a2 =

4

tử ủ

ệ ó

[a2 , b2 ]

t ó

[a2 , b2 ] [a1 , b1 ]



ế tụ t ợ tt

[a0 , b0 ] [a1 , b1 ] ã ã ã [ak , bk ] ã ã ã



(b0 a0 )
=0

k
k
2k
ổ ề tr tồ t t số tự c [ak , bk ], k 1
r [a1 , b1 ] ột tử t ỳ ủ {xn } ý ệ xn1
r [a2 , b2 ] ột tử ủ {xn } ý ệ xn2 tỏ
xn2 = xn1
ứ tr ỗ [ak , bk ] ột tử ủ {xn } ý
ệ xnk tỏ xnk {xn1 , xn2 , ã ã ã , xnk1 }
Pé ọ tr tự ệ ợ ì tr ỗ [ak , bk ] ề ứ
số tử ủ {xn } ó ễ t {xnk } ột
ủ {xn } sẽ ứ lim xnk = c
lim (bk ak ) = lim

t

c xnk

k
ề tr

|xnk c| bk ak =
ừ ó s r



[ak , bk ]

(b0 a0 )
0 k ,

2k

lim xnk = c ị ý ợ ứ

k

t ệ ộ tụ

ị ĩ

> 0 trớ
|xm xn | <

{xn }

ọ ế ớ

tồ t số tự

N >0

s ớ

m, n > N

t ó

ổ ề ột ớ ộ

{xn } ó = 1 tồ t số tự

N > 0 s ớ m, n > N t ó |xm xn | < 1 m = n0 t ó
|xn0 xn | < 1 ớ n > N
ứ

sử




ớ số tụ

t
t

|xn xn0 | |xn | |xn0 | |xn | |xn0 | + 1 ớ n > N

M = max{|x1 |, |x2 |, ã ã ã , |xN 1 |, |xN | + 1} ó
|xn | M, n 1.

t tứ tr ứ tỏ

{xn } ớ ộ

ị í ề ệ ủ ể

{xn }

ộ

tụ ó ột

ứ

ề ệ sử {xn } ộ tụ lim xn = l.
n

ó ớ ọ > 0, N N {0} s


|xn l| < , n N
2
ó ớ m, n > N

|xm xn | |xm l| + |l xn | <


+ =
2 2

{xn }

ề ệ ủ sử {xn } ổ ề tr
{xn } ớ ộ ử ụ ị ý rstrss t ó
tể trí r ột ộ tụ {xnk } sử lim xnk = l t sẽ ỉ
k

r r lim xn = l
n

t > 0 t ỳ ó |xn l| |xn xnk |+|xnk l|

lim xnk = l tồ t N1 > 0 s ớ nk > N1 |xnk l| < .
k
2
t {xn } tồ t N2 s |xn

xnk | < ớ n, nk N2 t N = max{N1 , N2 } t ó
2

|xn l| |xn xnk | + |xnk l| <
lim xn = l
n


+ = , n > N.
2 2




ớ số



ố rt tự ớ ù

1 n
) í ụ s ị
n
ĩ {an } ệ t ị tr ó ó ó

ớ ý ệ lim an = e ờ t ứ ợ e
ố ét {an } ớ an = (a +

số tỉ e

n

2, 7182818284...

rt ớ số ợ ọ rt tự ý ệ

loge x = ln x
ớ ù {xn }
ế ớ ọ M > 0 ớ tù ý tồ t N > 0 s xn > M,

n > N tì {xn } ó ớ + ý ệ lim xn = +
n

ế ớ ọ M > 0 ớ tù ý tồ t N > 0 s

xn < M, n > N tì {xn } ó ớ ý ệ
lim xn =

n

ù é ù ớ
{xn } ọ ột ù é ế lim xn = 0
n

{xn } ọ ột ù ớ ế lim xn = .

n

ừ ị ĩ ù ớ ù é ờ t ị
0
ớ , , , 0., 1 , 00 , 0 ọ ú
0
ị ể tì ớ ó ử ợ ị
ột số é ế ổ số é ế ổ ớ
s ệt
ì ớ s

2
lim ( n + n n). ó
ột số í ụ

n



( n2 + n n)( n2 + n + n)

lim
n
n2 + n + n
n
= lim
2
n
n +n+n
1

1
= lim
= .
n
2
1
1+ +1
n


lim ( n2 + n n) =

n


✷✹

●✐í✐ ❤➵♥ ✈➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝

1
1
1
+
+ ··· +
1.2 2.3
n.(n + 1)

✭✷✮ lim

n→∞

❉Ô t❤✃②

1
1
1
= −
n.(n + 1)
n n+1
❉♦ ➤ã

1
1
1
+
+ ··· +
n→∞ 1.2
2.3
n.(n + 1)
1 1 1 1
1
1
= lim
− + − + ··· + −
n→∞ 1
2 2 3
n n+1
1
= 1.
= lim 1 −

n→∞
n+1
√ √ √
√
n
✭✸✮ lim ( 2. 4 2. 8 2 · · · . 2 2)
lim

n→∞

❚❛ ❝ã

√ √
√
√
4
8
2n
lim ( 2. 2. 2 · · · . 2)

n→∞

=
=

1

1

1

1

lim 2 2 + 4 + 8 +···+ 2n

n→∞

1

lim 21− 2n = 2.

n→∞

nk
, (a > 1)✳
n→∞ an
●✐➯ sö m ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ✈➭ m ≥ k ✳ ❑❤✐ ➤ã

✭✹✮ lim

0<

nm
nk
≤
=
an
an

❚❛ ❧➵✐ ❝ã

0<
=

<

n
√
m
an

m

=

n
bn

m

,

(b =

√
m

a > 1)

n

n
=
n
b
(1 + (b − 1))n

n
n(n − 1)
1 + n(b − 1) +
(b − 1)2 + · · · + (b − 1)n
2

2n
2
=
→ 0, ❦❤✐ n → ∞
2
n(n − 1)(b − 1)
(n − 1)(b − 1)2


✷✺

✶✳✷ ●✐í✐ ❤➵♥ ❞➲② sè

➳♣

❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ❣✐í✐ ❤➵♥ tr♦♥❣ ♠ét tÝ❝❤ t❛ ➤➢î❝

n → ∞✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

√
✭✺✮ lim n a, (a > 0)✳

n
bn

m

→ 0 ❦❤✐

n→∞

√
➜➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ❦❤✐ a = 1✳ ●✐➯ sö a > 1✳ ❑❤✐ ➤ã n a > 1 ✈➭
√
√
√
√
a = [1 + ( n a − 1)]n = 1 + n( n a − 1) + · · · + ( n a − 1)n > n( n a − 1).
√
√
a
❚õ ➤ã s✉② r❛ 0 < n a − 1 < ✳ ❉♦ ➤ã n a → 1 ❦❤✐ n → ∞✳
n
1
1
◆Õ✉ 0 < a < 1 t❤× > 1 ✈➭ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥✱ n
→ 1 ❦❤✐
a
a

n → ∞✳ ❉♦ ➤ã
√
1
1
lim n a = lim
=
=1
n→∞
n→∞
n 1
n 1
lim
n→∞
a
a
1
✭✻✮ lim √
= 0✳
n
n→∞
n!
n n
❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ n! >
.
3
❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐ n = 1 ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣✳ ●✐➯ sö ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

➤ó♥❣ ✈í✐ n t❤× ✈í✐ n + 1 t❛ ❝ã

(n + 1)! = n!(n + 1) >

=

n+1
3

n+1

.

3

n
3
>

n

(n + 1)
n+1
3

n+1

1 n
)
n
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ♥➭② ➤ó♥❣ ✈×
1 n
1+
=

n
n n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − n + 1) 1
= 1+ +
. 2 + ··· +
. n
n
2!
n
n!
n
1
1
1
1
2
n−1
= 1 + 1 + (1 − ) + · · · + (1 − )(1 − ) · · · (1 −
)
2!
n
n!
n
n
n
1
1
1
1
< 1 + 1 + + · · · + n−1

< 1 + 1 + + ··· +
2!
n!
2
2
1
1
1
< 1 + 1 + + · · · + n−1 + · · · = 1 +
= 3.
1
2
2
1−
2
(1 +


✷✻

●✐í✐ ❤➵♥ ✈➭ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝

✭✼✮ ❳Ðt tÝ♥❤ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ❝➳❝ ❞➲② sè {xn }n=1 s❛✉
1
1
1
❛✮ xn = 1 + 2 + 2 + · · · + 2 ❀
2
3
n

1
1 1
❜✮ xn = 1 + + + · · · + ❀
2 3
n
1 1
1
❝✮ xn = 1 + + + · · · + − ln n✳
2 3
n
❚❛ sÏ sö ❞ô♥❣ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ❈❛✉❝❤② ➤Ó ①Ðt tÝ♥❤ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ❤❛✐ ❞➲②
sè ➤➬✉ t✐➟♥ ♥❤➢ s❛✉
❛✮ ❱í✐ ∀m, n tï② ý✱ m ≥ n t❛ ❝ã

|xm − xn | =
=
≤
=
=

1
1
1
1
1
1
+ 2 + ··· + 2 − 1 + 2 + 2 + ··· + 2
2
2
3

m
2
3
n
1
1
1
+
+ ··· + 2
(n + 1)2 (n + 2)2
m
1
1
1
+
+ ··· +
n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
(m − 1)m
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ···
−
n n+1

n+1 n+2
m−1 m
1
1
1
1
−
< < ε ❦❤✐ n > n0 =
.
n m
n
ε
1+

❚❤❡♦ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛✉❝❤②✱ ❞➲② sè tr➟♥ ❤é✐ tô
❜✱ ❳Ðt m, n ∈ N, m = 2n t❛ ❝ã

1
1 1
1
1 1
+ + ··· +
− 1 + + + ··· +
2 3
2n
2 3
n
1
1
1

=
+
+ ··· +
n+1 n+2
2n
1
1
1
+
+ ···
≥
2n 2n
2n
1
=
.
2

|x2n − xn | = 1 +

❉➲② sè tr➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛✉❝❤② ♥➟♥ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❤é✐
tô ✭♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ❞➲② ➤➲ ❝❤♦ ♣❤➞♥ ❦ú✳✮
❝✱ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ♥❤❐♥ t❤✃② ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ N∗ ✱ 1+
♥➟♥

n ln 1 +

1
1
≤ ln e ≤ (n + 1) 1 +

n
n

❤❛②

1
n

n

≤ e ≤ 1+

1
n

n+1

1
1
1
≤ ln(1 + ) ≤
n+1
n
n