Bài giảng toán a1 chương 2 a1 2016

 Chương 2. Hàm nhiều biến số

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Các định nghĩa
a) Miền phẳng
• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các
đường cong kín được gọi là miền phẳng.
Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là
biên của D , ký hiệu D hay .
Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với
biên ở vô cùng.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

• Miền phẳng D kể cả biên D được gọi là miền đóng,
miền phẳng D không kể biên D là miền mở.
• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1
đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .
Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

b) Lân cận của một điểm
• Khoảng cách giữa 2 điểm M1(x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là:
d M1, M 2

M1M 2

x1

x2

2

y1

y2

2

.

• Hình tròn S (M , ) mở có tâm

0 được
M (x, y ), bán kính
gọi là một lân cận của điểm M .

•

M

Nghĩa là:

M 0 (x 0 , y0 )

S (M , )

(x

x 0 )2

(y

y0 )2

.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

c) Hàm số hai biến số
2
• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D
.
Tương ứng f : D
cho tương ứng mỗi (x, y )
với một giá trị z

f (x , y )

D

duy nhất được gọi là

hàm số hai biến số x, y .
2

• Tập D
được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm
số f (x, y ), ký hiệu là Df .

Miền giá trị của hàm số f (x, y ) là:
G

z

f (x , y )

(x , y )

Df .


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

Chú ý
• Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
2
M (x , y )
sao cho f (x , y ) có nghĩa.

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

VD 1.
• Hàm số f (x , y )

2

3x y
2

cos xy có Df

2

.

2

4 x
y có MXĐ là hình tròn đóng
• Hàm số z
tâm O(0; 0), bán kính R 2 .
2

2

• Hàm số z ln(4 x
y ) có MXĐ là hình tròn mở
tâm O(0; 0), bán kính R 2 .
• Hàm số z f (x, y ) ln(2x y 3) có MXĐ là nửa
mp mở có biên d : 2x y 3 0 , không chứa O .

 Chương 2. Hàm nhiều biến số

1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số
a) Điểm tụ
• Trong mpOxy cho dãy điểm Mn (xn , yn ), n

1, 2,...

Điểm M 0 (x 0 , y0 ) được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu
mọi lân cận của M 0 đều chứa vô số phần tử của dãy.
• Điểm M 0 (x 0 , y0 ) được gọi là điểm tụ của tập D

2

nếu mọi lân cận của điểm M 0 đều chứa vô số điểm
thuộc D .


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội)
• Điểm M 0 (x 0 , y0 ) được gọi là giới hạn của dãy điểm

Mn (xn , yn ), n

1, 2,... nếu M 0 (x 0 , y0 ) là điểm tụ duy

nhất của dãy.

0, N

Nghĩa là

M 0M n

xn

Ký hiệu: lim M n
n

0 thì:

x0

2

yn

M 0 hay M n

y0

2

n

, n
M0.

N.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

• Hàm số f (x , y ) có giới hạn là L
dần đến M 0 nếu lim f (xn , yn )
n

{

} khi M n

L.

Ký hiệu là:

lim f (x , y )

x
y

x0
y0

VD 2.

lim

(x ,y ) (1, 1)

lim

(x ,y ) (x 0 ,y 0 )

2x 2y
xy

f (x , y )

3x
2

3

1

lim f (M )

M

3
.
2

M0

L.

 Chương 2. Hàm nhiều biến số

VD 3. Tìm

Giải. 0

lim

(x ,y ) (0,0)

f (x , y ), với f (x , y )
xy

f (x , y )
x

Vậy

lim

(x ,y ) (0,0)

xy

2

f (x , y )

xy
y

2

0.

y

2

x2
x

y2
x
y

0
0

.

0.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

Nhận xét
Nếu đặt x

x0

r cos , y

(x , y )

VD 4. Tìm

x

(x ,y ) (0,0)

Giải. Đặt x
lim

2

2

x

0.

y )
2

.

r sin , ta có:

sin(x 2

2

r

thì:

2

y

r cos , y

(x ,y ) (0,0)

r sin

(x 0, y0 )
sin(x

lim

y0

y2)
y

2

lim

r

0

sin r 2
r

2

1.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

2xy

VD 5. Cho hàm số f (x , y )
Chứng tỏ rằng
Giải. Đặt x

lim

x 2 y2
lim f (x , y ) không tồn tại.

(x ,y ) (0,0)

r cos , y

(x ,y ) (0,0)

.

f (x , y )

r sin , ta có:
lim

r

0

r 2 sin 2
r2

sin 2 .

Do giới hạn phụ thuộc vào nên không duy nhất.
Vậy lim f (x , y ) không tồn tại.
(x ,y ) (0,0)


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

§2 TÍNH LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM RIÊNG
2.1. Hàm số liên tục
• Hàm số f (x , y ) liên tục tại M 0 (x 0 , y0 )
lim

(x ,y ) (x 0 ,y0 )

f (x , y )

D

2

nếu

f (x 0, y 0 ).

• Hàm số f (x , y ) liên tục trên tập D

2

nếu nó liên tục

tại mọi điểm thuộc D .
Chú ý

Hàm số f (x , y ) liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó
đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D .


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

2.2. Đạo hàm riêng
a) Đạo hàm riêng cấp 1
Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D

2

chứa

điểm M 0 (x 0 , y0 ).

Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y0 ) có đạo hàm tại x 0 thì ta
gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm
số f (x , y ) tại (x 0 , y0 ).

Ký hiệu là:
f
(x 0 , y 0 ).
fx (x 0, y 0 ) hay fx (x 0, y 0 ) hay
x


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

Vậy fx (x 0, y0 )

lim

x

f (x, y0 )

x0

f (x 0, y0 )

x

x0

.

• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y0 ) là:

fy (x 0, y0 )

lim

y

y0

f (x 0, y )
y

f (x 0, y0 )
y0

.

Chú ý
• Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx

f
x

df
.
dx

• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
4
3 2
3
f (x , y ) x
3x y
2y
3xy tại ( 1; 2).

Giải

fx/ (x, y )
/
fx (

fy/ (x , y )

4x 3

1; 2)

6x 3y

9x 2y 2

3y

46.
6y 2

3x

fy/ ( 1; 2)

39 .


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z

x

Giải. Ta có: z x

2

x2

1
y2

1

.

x

ln
2

2xy 2
(x

zy

x
x2

2

2

1)(x

1
y2

1

.

y

x

2

2

y

y
x2

2

2

x2

y
x2

x

x2

1)

2

y2

1

.

1
1

,

2y

1
1

1

x2

y2

1

.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z

x
cos tại ( ; 4).
y

Giải

zx

zy

x
y
x
y

x

x
sin
y

x
sin
y
y

1
x
sin

y
y
x

x
sin
2
y
y

z x ( ; 4)

zy ( ; 4)

2
,
8
2
.
32


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x, y, z )

Giải.

fx/
/

fy
/
fz

/ x 2y
(x y )x e sin z
2 / x 2y
(x y )y e sin z
2

e

x 2y

cos z .

2xye

x 2y

2 x 2y

xe

sin z

sin z

e

x 2y

sin z .


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx (x, y ), fy (x, y )
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ).
Ký hiệu: f 2
x

fy 2
fxy

fyx

fxx

fyy
fxy

fyx

fx

fy
fx

fy

x

y

y

x

x

f
x

y

f
y

y

x

f
x

f
y

2

f

x2
2
f

y

2

,
,

2

f
,
y x
2

f

x y

.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
2 có định nghĩa tương tự.

VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
f (x , y ) x 3ey x 2y 3 y 4 tại ( 1; 1).

Giải. Ta có

/
fx
/
fy

2 y

3x e
3 y

xe

2xy

3

2 2

3x y

4y

3


 Chương 2. Hàm nhiều biến số
//
f2
x
//
fxy
//
f2
y

//
f2(
x
fxy// (
f //
(
2
y

6xey
2 y

2y 3

3x e

6xy

x 3e y

6x 2y

1;1)

6e

1;1)

3e

1;1)

e

2

//
fyx
2

12y

2
6
6.

 Chương 2. Hàm nhiều biến số

x5

VD 6. Cho hàm số f (x, y )

y4

x 4y 5 .

Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5)
(1; 1) là:
3 2
x y

A.
C.

(5)
f 3 2 (1;
x y
f (5)
(1;
3 2
x y

Giải. fx/
///
f3

x

(5)
f32
x y

5x

1)

480 ;

B.

1)

120 ;

D.

4

60x

f //
2

3 5

4x y

2

24xy

480xy

3

x

5

(5)
f 3 2 (1;
x y
f (5)
(1;
3 2
x y

20x 3

(4)
f3
x y

(5)
f 3 2 (1;
x y

1)

480 ;

1)

120 .

12x 2y 5

120xy
1)

480

4

A.


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

• Định lý Schwarz
Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy và fyx
liên tục trong miền mở D

2

thì fxy

fyx .


 Chương 2. Hàm nhiều biến số

2.3. VI PHÂN

2.3.1. Vi phân cấp 1
a) Số gia của hàm số
Cho hàm số f (x , y ) xác định trong lân cận S (M 0 , )
của điểm M 0 (x 0 , y0 ).
Cho x một số gia x và y một số gia
f (x , y ) có tương ứng số gia:

f

f (x 0

x, y0

y)

y , khi đó hàm

f (x 0, y0 ).