OnTapChuong3 10

ÔN TẬP CHƢƠNG 3
ĐẠI SỐ 10
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. ĐẠI CƢƠNG VỀ PHƢƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

1
thì cần điều kiện P(x)  0.
P ( x)

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

P( x) thì cần điều kiện P(x)  0.

Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
Và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
(1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
(1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2.
3. Phép biến đổi tương đương
Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta
được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
Khi bình phƣơng hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả.
Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.


II. PHƢƠNG TRÌNH ax + b = 0
ax + b = 0

(1)
Kết luận

Hệ số
a0

(1) có nghiệm duy nhất x  
b0
b=0

a=0

b
a

(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

Chú ý: Khi a  0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn.

III. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a  0)
2. Cách giải

ax2 + bx + c = 0
  b  4ac
2

(a  0)
(1)
Kết luận

>0

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 

=0

(1) có nghiệm kép x  

<0

(1) vô nghiệm

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

b  
2a

b
2a

c

.
a

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = 

c
.
a

b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b  .
2

3. Định lí Vi–et
Hai số x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2  bx  c  0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các
hệ thức S  x1  x2  

b
c
và P  x1 x2  .
a
a

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phƣơng trình ax2  bx  c  0
Để giải và biện luận phương trình ax2  bx  c  0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx  c  0 .
– Nếu a  0 thì mới xét các trường hợp của  như trên.


VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phƣơng trình ax2  bx  c  0 (a  0) (1)

(1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0
  0
(1) có hai nghiệm cùng dấu  
P  0
  0

(1) có hai nghiệm dương   P  0
S  0

  0

(1) có hai nghiệm âm   P  0
S  0


Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0.
VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
b
c
Ta sử dụng công thức S  x1  x2   ; P  x1 x2  để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các
a
a
nghiệm x1, x2 theo S và P.

Ví dụ:

x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  S 2  2P

x13  x23  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3x1 x2   S (S 2  3P)

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b
S  x1  x2   ;
a

P  x1 x2 

c
a

(S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

x2  Sx  P  0 ,

trong đó S = u + v, P = uv.

IV. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa và tính chất
A
 A 
 A

khi A  0
khi A  0

 A  0, A
2

 A.B  A . B

 A  A2

 A  B  A  B  A.B  0

 A  B  A  B  A.B  0

 A  B  A  B  A.B  0

 A  B  A  B  A.B  0


2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.

Dạng 1:

  f ( x)  0
 g ( x)  0

C1
 f ( x)  g ( x) C2 


f ( x)  g ( x) 
   f ( x)  g ( x)
  f ( x)  0
  f ( x)   g ( x)


  f ( x)  g ( x)
C1

Dạng 2: f ( x)  g ( x)   f ( x)   g ( x)
2

2

C2 f ( x)  g ( x)


 f ( x)   g ( x)

Dạng 3: a f ( x)  b g ( x)  h( x)
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.

V. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
Dạng 1:

 f ( x)   g ( x)2

f ( x )  g ( x)  
 g ( x)  0

Dạng 2:

 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0 (hay g ( x)  0)

t  f ( x), t  0
Dạng 3: af ( x)  b f ( x)  c  0  
2
at  bt  c  0

Dạng 4:
 Đặt u 

f ( x)  g ( x)  h( x)
f ( x), v  g ( x) với u, v  0.

 Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5:

f ( x)  g ( x) 

f ( x).g ( x)  h( x)

Đặt t 

f ( x)  g ( x), t  0 .

VI. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương
trình (mẫu thức khác 0).

VIII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN


1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a1 x  b1 y  c1
(a12  b12  0, a22  b22  0)

a2 x  b2 y  c2
Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
Xét D
D0
D=0

Dx  0 hoặc Dy  0
Dx = Dy = 0

D

a1
a2

b1
,

b2

Dx 

c1
c2

b1
,
b2

Dy 

a1
a2

c1
c2

Kết quả
Dy 

D
Hệ có nghiệm duy nhất  x  x ; y 

D
D 

Hệ vô nghiệm
Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp
thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình
hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại
số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) m2 x  4m  3  x  m2
b) (a  b)2 x  2a2  2a(a  b)  (a 2  b2 ) x
c) a2 x  2ab  b2 x  a 2  b2

d) a(ax  b)  4ax  b2  5

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
2x  m x  m  1
m2 x
a)
b)
 m x  2m  1

1
x 1
x 1
x

Bài 2.

c)

2mx  1
x 1

 2 x 1 

m 1
x 1

d) x  1  2 x  3  m

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) 2 x2  12 x  15m  0
b) x2  2(m  1) x  m2  0
b) x2  mx  m  1  0

d) x2  2(m  2) x  m(m  3)  0

Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:
3
a) x 2  mx  m  1  0; x0  
b) 2 x2  3m2 x  m  0; x0  1 .
2

Bài 4.

Bài 5.

Trong các phương trình sau, tìm m để:

i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả: x13  x23  0 ; x12  x22  3


a) x2  2(m  2) x  m(m  3)  0

b) x2  2(m  1) x  m2  0

c) x2  2(m  1) x  m2  2  0

d) (m  2) x2  2(m  1) x  m  2  0

e) (m  1) x2  2(m  4) x  m  1  0 f) x2  4 x  m  1  0
Bài 6.

Trong các phương trình sau, hãy:
i) Giải và biện luận phương trình.
ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.

a) x2  (m  1) x  m  0

b) x2  2(m  2) x  m(m  3)  0

c) (m  2) x2  2(m  1) x  m  2  0 d) x2  2(m  1) x  m2  2  0
Giải các phương trình sau:

Bài 7.

a) x  x 2  6  12

b) x 2  x 2  11  31

c) 16 x  17  8x  23

d)

2

3x 2  9 x  1  x  2  0

e)

g) ( x  3) x 2  4  x 2  9

x2  2 x  8  3( x  4)

f)

51  2 x  x2  1  x

h)

x  3  1  3x  1

b)

x  5  x  3  2x  4

Giải các phương trình sau:

Bài 8.
a)

4  3 10  3x  x  2

c)

3x  4  2 x  1  x  3

d)

x 2  3x  3  x 2  3x  6  3

e)

x  2  2 x  3  3x  5

f)

3x  3  5  x  2 x  4

g) 2 x  2  2 x  1  x  1  4

x  1 1  x  x  8

Giải các phương trình sau:

Bài 9.

x  2 x  1  x  2 x  1  2 b)

a)

c)

h)

4

x  2 x 1  x  2 x 1 

x3
2

x  x 2  1  x  x 2  1  2 d) x2  x  x2  x  13  7

e) x2  2 x2  3x  1  3x  4

f) 2 x2  3 2 x 2  x  1  9  x

g) x2  x2  2 x  4  2 x  2

h) 2 x2  5 x2  3x  5  23  6 x

Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
mx  2 y  m  1

a) 
2 x  my  2a  1

mx  y  3m
b) 
 x  my  2m  1


x  2 y  4  m
c) 
2 x  y  3m  3

2 x  y  5
d) 
2 y  x  10m  5

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:
2
2

 x 2 y  y 2 x  30
 x  xy  y  1
x  y  5
a)  2
b)
c)
 4
 3
2
2 2

4
3
 x y  y x  6

 x  y  35
 x  x y  y  13
3
3

x  y  1
d)  5
5
2
2

x  y  x  y

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:
1

( x  y )(1  xy )  5

a) 
( x 2  y 2 )(1  1 )  49

x2 y 2
1 1

x  y  x  y  4


c) 
 x2  y 2  1  1  4

x2 y 2
2 x 2 y  y 2 x  2 y  x  6 xy

e) 
1 y x
 xy  xy  x  y  4


2
2

 x  y  xy  7
e)  4
f)
4
2 2

 x  y  x y  21

 y ( x 2  1)  2 x( y 2  1)

b)  2
1 
2 
 x  y 1  2 2   24
x y 








y
2
 x
 x2  1  y 2  1  3

d) 
( x  y )(1  1 )  6

xy
1

 xy  xy  4

f) 
( x  y )  1  1   5



xy 


Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:
2


 x3  2 x  y
 x  3x  2 y
a)  2
b)  3

 y  2 y  x
 y  3y  2x
 2 1
2 x  y  y
d) 
2 y 2  1  x

x

 x  y  xy  11
 2
2
 x  y  3( x  y )  28


2 x  y 
e) 
2 y  x 


3
x2
3
y2

 x3  3x  8 y
c)  3
 y  3 y  8 x

y2  2
3 y 
x2

f) 
2
3 x  x  2

y2


Trường học Trực tuyến Sài Gòn (iss.edu.vn) có hơn 800 bài giảng trực tuyến thể hiện đầy đủ nội dung
chương trình THPT do Bộ Giáo dục - Đào tạo qui định cho 8 môn học Toán - Lý - Hóa - Sinh -Văn Sử - Địa -Tiếng Anh của ba lớp 10 - 11 - 12.
Các bài giảng chuẩn kiến thức được trình bày sinh động sẽ là những lĩnh vực kiến thức mới mẻ và đầy
màu sắc cuốn hút sự tìm tòi, khám phá của học sinh.
Bên cạnh đó, mức học phí thấp: 50.000VND/1 môn/học kì, dễ dàng truy cập sẽ tạo điều kiện tốt nhất để
các em đến với bài giảng của Trường.
Trƣờng học Trực tuyến Sài Gòn - "Học dễ hơn, hiểu bài hơn"!