Bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp Trần Đình Cư

TRẦN ĐÌNH CƯ

THỂ TÍCH KHỐI
CHÓP
QUÀ
TẶNG
GIÁNG

SINH

HUẾ, 24/12/2016


MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP...................................................... 2
DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY ............... 2
DẠNG 2. KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT
PHẲNG ĐÁY .............................................................................................. 17
DẠNG 3. KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY ....... 33
DẠNG 4. KHỐI CHÓP ĐỀU..................................................................... 45
DẠNG 5. TỈ LỆ THỂ TÍCH ........................................................................ 54

1


CHUYÊN ĐỀ 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1
Công thức chung: V  Bh
3

Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cap

DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
Một số chú ý khi giải toán


Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên
đó chính là đường cao.



Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy
thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy.

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)
bằng 300. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC .
A. V 

a 3 13
2

B. V 

a3
12

C. V 

3a 3 13
2

D. V 

5a 3 13
2

Hướng dẫn giải
Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt

S

phẳng (ABC) là SBA  30 .

S ABC

1 a 3
a2 3
 .
.a 
;
2 2
4

SA  tan SBA. AB 

a 3
3

C

A

a

1
a3
.
VS.ABC  S ABC .SA 
3
12
Vậy chọn đáp án A.

300

B

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy ABCD là
hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
a.
A.

21
a
15

B.

23
a
14

C.

21
a
14

D.

21
a
4

Hướng dẫn giải
2


Tam giác ABC đều cạnh a nên

S

3
4
 Diện tích đáy:
S ABC  a 2

SABCD  2.SABC  a 2

3
2

A

D

Thể tích khối chóp:
V  a2

3
a3 3
.a 
2
2

600

B

C

a

a 2
.
2
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB hợp với mặt
phẳng (ABCD) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC 

A.

a3 3
24

B.

3a 3 3
24

a3 3
8
Hướng dẫn giải

C.

D.

3a 3 3
8

S

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên
mặt phẳng  ABCD  nên

 SB,  ABCD  SBA  600 ;
SA   ABCD  SA là chiều cao của

A
600

D
a 2
2

khối chóp S.ABCD

B

C

a
a 3
a2
Tính được AB  ; SA 
; SABCD 
2
2
4
1
a3 3
(đvtt)
VS.ABCD  .SA.SABCD 
3
24

Vậy chọn đáp án A.
Câu 4. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC =
a 3 , (a > 0) và đường cao OA = a 3 . Tính thể tích khối tứ diện theo a.

A. V 

a3
2

B. V 

a3
3

C. V 

a3
6

D. V 

a3
12

Hướng dẫn giải
Ta có:
3


1
1
a2 3
SOBC  OB.OC  a(a 3) 
2
2

2
1
1 a2 3
a3
Thế tích khối tứ diện V  SOBC .OA  (
.
)(a 3) 
3
3 2
2
Vậy chọn đáp án A.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  600
cạnh SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD.
A. V 

a3
2

B. V 

a3
3

C. V 

2a 3
3

a3
9

D. V 

Hướng dẫn giải
Ta có ABC đều nên AC  a.

S

Có:

BD  AB2  AD2  2AB.AD.cos120
 BD  a 3

Suy ra SABCD

1
a2 3
 AC.BD 
2
2

A

D

a
600
600

B

a

C

1
a3
Mặt khác SA  AC.tan60  a 3. Vậy VS.ABCD  SA.S ABCD 
.
3
2
Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3
, BAD  1200 và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) và
đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V 

a3 3
4

B. V 

3.a 3 3
3.a 3
C. V 
4
4

Hướng dẫn giải

D. V 

3.a 3 3
5

4


Do dáy ABCD là hình thoi có

S

BAD  1200 nên các tam giác ABC,

ADC đều cạnh a 3 .
Gọi H là trung điểm của BC, ta có:
AH  BC, SA  BC  BC  SH
Do đó: 

A



 SBC  ;  ABCD    AH; SH 

H

 SHA  600

D

Tam giác SAH vuông tại A: SA  AH.tan 600 

Ta có: S ABCD  2S ABC

B
600

1200

a 3 
2
4

2

3



a 3

C

3a
2

3a 2 3

.
2

1
3a 3 3
Suy ra: VS.ABCD  SA.S ABCD 
. Vậy chọn đáp án B.
3
4
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,

AB  2a, BAC  60 0 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
SA  a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC .

A. V  2a 3

B. V  3a 3

C. V  a 3

D. V  4a 3

Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có:

S

BC  AB.tan600  2a 3  SABC  2a 2 3

1

 VSABC  S ABC .SA  2a 3
3
Chọn đáp án A

a 3

A

C

600
2a

B

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có góc
BAC  300 , , SA  a , SCA  450 và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối

chóp S.ABC là V. Tỉ số
A. 0,01

V
a3

B. 0,05

gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:
C. 0,08

D. 1

5


Hướng dẫn giải
Ta có SCA  450

S

 AC  SA.tanSCA  a
AB  AC.cosBAC  a.cos300 

3a
2

1
AB.ACsin BAC
2
1 a. 3.a 1 a 2 3
 .
. 
2
2
2
8

45

 S ABC 

A

C

30

B

1
1 a2 3
a3 3
Vậy VS.ABC  .SABC .SA 
.a 
3
3 8
24


V

 0,072  Chọn đáp án C
a3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB  2a,AD  a . Hai

mặt phẳng  SAB  và  SAD  c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt
phẳng  SAB  và  SBD  bằng 450. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số
V

gần nhất giá trị nào dưới đây:

a3
A. 0,25
B. 0,5

C. 0,75

D. 1,5

Hướng dẫn giải
Ta có: SABCD  AB.AD  2a 2

S

 SAB   ABCD và  SAD   ABCD
 SAB   SAD  SA  SA   ABCD

H

Ta có:

AD  AB,AD  SA  AD   SAB

 AD  SB . Kẻ AH  SB  SB   AHD
 SB  HD .

D

A

B

C

6


AH  SB,HD  SB

Ta có: 
  SAB  ,  SBD   AHD  450
SAB

SBD

SB






 AH  AD  a





Xét tam giác SAB vuông tại S có:
1
AH

2



1
SA

2



1
AB

2

 SA 

AB.AH
AB2  AH2



2a.a



4a 2  a 2

2a 3
3

V 4 3
1
1
2a 3 4a3 3
Vậy VS.ABCD  .S ABCD.SA  .2a2 .
 3 
 0,77 

9
3
3
3
9
a
Chọn đáp án C

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a,
AC = 2a, BAC  1200 . Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Tính thể
tích của khối chóp S.ABC.
A. V 

a 3 21
14

B. V 

a 3 21

13

C. V 

2a 3 21
13

D. V 

3.a 3 21
14

Hướng dẫn giải
Gọi F là hình chiếu vuông góc của A

S

lên BC.
Khi đó SF  BC , suy ra

 SBC ,  ABC  SFA  600
1
a2 3
S ABC  .AB.AC.sin BAC 
2
2
a 21
3a 7
BC=a 7 , AF 
, SA 

7
7

A
a

2a
120

C

0

F
B

1
1 a 2 3 3a 7 a 3 21
.
VSABC  .S ABC .SA  .
.

3
3 2
7
14
Vậy chọn đáp án A.

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD),
SB  a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD .

A.

a3 2
3

B.

a3 2
3

C.

a3 2
5

D.

a3 2
3

7


Hướng dẫn giải
Ta có: SA = SB2  AB2  3a 2  a 2  a 2 , SABCD = a2
3

1
a . 2

Chọn đáp án D.
V  SABCD .SA 
3
3
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a,
AD = 4a. SA  (ABCD) , SC tạo với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
A. V  20a 3

C. V  30a 3

B. V  20a 3 2

D. V  22a 3

Hướng dẫn giải
Do SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên đáy.

SC, ABCD  SCA  45 . Suy ra: SA  AC.tan 45
0

0

 5a

1
Suy ra: VS.ABCD  SA.SABCD  20a 3 . Vậy chọn đáp án A.
3

Câu 13. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  và AB

= 3a, BC = 4a, AC = 5a. AD = 6a. Thể tích khối tứ diện ABCD là:
A. 6a 3

B. 12a 3

C. 18a 3

D. 36a 3

Hướng dẫn giải
Tam giác ABC có: AB2  BC2   3a    4a   25a 2  AC2  ABC vuông
2

2

tại B
1
1
1
1
SABC  AB.BC  3a.4a  6a 2  VABCD  SABC AD  .6a 2 .6a  12a 3
2
2
3
3

 Chọn đáp án B
Câu 14. Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai
mặt phẳng

 SAB và  SBC  vuông

góc với nhau, SB  a 3 , BSC  45o ,

ASB  30o . Thể tích tứ diện SABC là V. Tỉ số

A.

8
3

B.

8 3
3

a3
là:
V

2 3
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

4
3

8


+ Ta có:

S

SA   ABC    SAB    ABC 

 SBC    SAB  ,  ABC    SAB 

 SBC    ABC   BC
 BC   SAB 

30

45

C

A

 ABC, SBC là các tam giác vuông tại

B
B

Xét SAB vuông tại A có :
AB  SB.sin ASB 

3a
a 3
, SA  SB.cos ASB 
Xét SBC vuông tại B có :
2
2

BC  SB.tan BSC  a 3

1
1 a 3
3a 2
 SABC  AB.BC  .
.a 3 
2
2 2
4
1
1 3a 2 3a 3a 3
a3 8
Vậy VS.ABC  .S ABC .SA  .
. 

  Chọn đáp án A
3
3 4 2
8
V 3

Tổng quát: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai
mặt phẳng  SAB  và  SBC  vuông góc với nhau, BSC   , ASB   . Thể tích
tứ diện SABC là: VS.ABC 

SB3 .sin 2.tan .
12

Thật vậy
Xét SAB vuông tại A có : AB  SB.sin  , SA  SB.cos
Xét SBC vuông tại B có :
1
1
BC  SB.tan   SABC  AB.BC  .SB2 .sin .tan 
2
2
1
1 1
SB3 .sin 2 .tan
Vậy VS.ABC  .SABC .SA  . .SB2 .sin .tan .SB.cos 
3
3 2
12
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D, cạnh bên SD vuông góc với đáy, cho AB  AD  a , CD  3a,SA  a 3 .
Thể tích khối chóp S.ABCD là:

9

A.

2a 3
3

+ S ABCD 

4a 3
a3 2
C.
3
3
Hướng dẫn giải

B.

 AB  CD .AD  a  3a  .a  2a2
2

D.

2a 3 2
3

S

2

+ SD  SA2  AD2  3a 2  a 2  a 2
Vậy

C

D

3

1
1
2a 2
VS.ABCD  .SABCD .SD  .2a 2 .a 2 
3
3
3

B

A

 Chọn đáp án D
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt
phẳng  SAB  và  SAD  c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng

 SBC  và  ABCD
A.

3
3

bằng 300. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số

B.

3

 SBC ,  ABCD  SBA  300

3
2
Hướng dẫn giải

C.

 SA  AB.tan SBA 

D.

3V
a3

là:

3
6

a 3
3

3V
3
1

1
a 3 a3 3
 3 
Vậy VS.ABCD  .S ABCD.SA  .a2 .

3
3
3
3
9
a
Chọn đáp án A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB  a, BC  3a . Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  c ng vuông góc với

đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. a 3

B. 2a 3

C.

3a 3

D. 2 3a 3

Hướng dẫn giải

10

Ta có: SABCD  AB.BC  a2 3

S

 SAB   ABCD và  SAD   ABCD
 SAB   SAD  SA  SA   ABCD
Xét tam giác SAC vuông tại S có:
SA  AC.tan SCA

A

D
60
C

B

 AB2  BC2 .tan 600  2 3a
1
1
Vậy VS.ABCD  .S ABCD .SA  a 2 3.2 3  2a 3
3
3
 Chọn đáp án B

Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B ,
AB  a , ACB  600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo

với mặt đáy một góc bằng 450 . Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

a3 3
6

B.

a3 3
18

C.

a3 3
9

D.

a3 3
12

Hướng dẫn giải
* ABC vuông tại B nên
BC  AB.cot ACB  a.cot 600 
 SABC 

S

a 3
3

1
1 a 3 a2 3
BA.BC  a.

2
2
3
6

* Ta có AB là hình chiếu vuông góc của

A

60

45

C

SB trên  ABC 

B



 



 SB,  ABC   SB,AB  SBA  45o

SAB vuông tại A nên SA  AB.tanSBA  AB.tan 45o  a

1
1 a2 . 3
a3 3
Vậy VS.ABC  SABC .SA 
.a 
3
3 6
18

Chọn đáp án B

11


Câu 19. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc

với mặt phẳng  ABC  , góc giữa BD và mặt phẳng  DAC  là 300. Thể tích
khối tứ diện ABCD là V. Tỉ số
A. 1

B. 3

a3 6
là:
V
C. 4

D. 12

Hướng dẫn giải
Ta có ABC là tam giác đều  S ABC 

a2 3
4

D

Gọi M là trung điểm AC
30

Ta có BM  AC,BM  DA  BM   DAC 





 BD,  DAC   BDM  300

M
A

C

Xét BMD vuông tại M có :
DM  BM.cot 300 

a 3
3a

. 3
2
2

B

Xét DAM vuông tại A có : DA2  DM2  AM2 

9a 2 a 2

a 2
4
4

1
1 a2 3
a3 6
a3 6
Vậy VABCD  .S ABC .DA  .
. 2a 

 12
3
3 4
12
V

Chọn đáp án D
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng 20cm, cạnh SA = 30cm và vuông góc với đáy . Gọi B’, D’ lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng  AB' D'  cắt SC tại C’.
Thể tích khối chóp S.AB'C' D' gần nhất giá trị nào dưới đây:
A. 1466cm3

B. 1500cm3

C. 1400cm3

D. 15400cm 3

Hướng dẫn giải

12


Do

S

1
VS.ABCD  SA.S ABCD
3
1
 .30.202  4000cm 3
3
2

C'

D'

B'

2

SC' SA
SA


2
2
SC SC
SA  AC2
30 2
9


2
2
2
17
30  20  20

D

A
C

B

SD' SA2
SA2
302
9




2
2
2
2
2
SD SD
13
SA  AD
30  20
Ta có:

VS.AB'C' D' 2VSAC' D' SA SC' SD' SC' SD'


.
.

.
VS.ABCD
2VSACD SA SC SD SC SD

VS.AB'C' D' 

9 9
81
324000
. VS.ABCD 
.4000 
 1466cm 3
17 13
221
221

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh

BC  a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên  SBC  tạo
với mặt đáy một góc bằng 450 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng V. Giá trị
6V
là:
a3
A. 1
B. 3
2
3 2
C.
D.
2
2
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm BC

S

1
a 2
 AM  BC 
2
2
1
1
a2
 SABC  AM.BC  BC2 
2
4
2

+

Ta

có

SA   ABC   SA  BC

và

A

C

45

BC  AM nên BC   SAM   BC  AM

M
B

AM  BC ( vì  ABC cân tại A)
13






  SBC  ,  ABC   (SM,AM)  SMA  45o
Ta có SAM vuông tại A  SA  AM.tan SMA  AM 

a 2
2

1
1 a2 a 2 a3 2
Vậy VS.ABC  .SABC .SA  . .

 Chọn đáp án C
3
3 2 2
12

Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB  900 , BSC  1200 ,
ASC  900 . Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

a3
2

B.

a3
6

a3 3
4
Hướng dẫn giải

C.

Ta có SA  AB,SA  AC

D.

a3 3
12

A

 SA   SBC 

1
S SBC  SB.SB.sin1200

2
1 2 3 a2 3
 a .

2
2
4

S

C

120

B

1
1 a2 3
a3 3
 VS.ABC  VA.SBC  S SBC .SA  .
.a 
 Đáp án D
3
3 4
12
Câu 22. Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều cạnh a , CA  a . Hai

mặt  ABC  và  ASC  cùng vuông góc với (SBC). Thể tích hình chóp là
A.

a3 3
12

B.

a3 3
2

C.

a3 3
4

D.

a3
12

Hướng dẫn giải

(ABC)  (SBC)
 AC  (SBC)


(ASC)  (SBC)

Do đó

1
1 a2 3

a3 3
V  SSBC .AC 
a
3
3 4
12
Vậy chọn đáp án A.

A

a_
B

C

/
/

\
S

14


Câu 23. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Thể
tích hình chóp là
A.

a3

24

B.

a3 6
24

C.

a3 6
12

D.

a3
12

Hướng dẫn giải
Ta có: SA  (ABC)  AB là hình chiếu

S

của SB trên (ABC).
Vậy góc [SB,(ABC)] = SAB  60o .

ABC vuông cân nên BA = BC =

a
;
2

60o

1
a2
BA.BC 
2
4
a 6
.
SA  AB.tan60o 
2
SABC 

Vậy V 

C

a

A

B

1
1 a2 a 6 a3 6
. Vậy chọn đáp án B
SABC .SA 

3

3 4 2
24

Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết

SA vuông góc với đáy ABC và  SBC  hợp với  ABC một góc 60o. Thể

tích hình chóp là
A.

a3
8

B.

a3 3
4

C.

a3 3
8

D.

3a 3 3
8

Hướng dẫn giải
M là trung điểm của BC, vì tam giác ABC đều nên AM  BC  SA  BC

(đl3  ) .
Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA  60o .
Ta có V =

S

1
1
B.h  SABC .SA
3
3

SAM  SA  AMtan60o 

3a
2

C

A
60 o
a

M
B

15


Vậy V =

1
1
a3 3
. Vậy chọn đáp án C.
B.h  SABC .SA 
3
3
8

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a

và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên  SCD  hợp với đáy một góc 60o.
Thể tích hình chóp S.ABCD là
A.

a3
8

B.

a3
3

C.

3a 3 3
8

D.

a3 3
3

Hướng dẫn giải
Ta có SA  (ABC) và

S

CD  AD  CD  SD (1)

H

Vậy góc
 SCD ,  ABCD  SDA  60o.



60

A

SAD vuông nên SA = AD.tan60 =
a 3

o
D

o

Vậy

B

a

C

1
1
a3 3
V  SABCD .SA  a 2a 3 
3
3
3
Vậy chọn đáp án D.

16


DẠNG 2. KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT
PHẲNG ĐÁY
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,
BC  a 3 , H là trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và

(SHD) c ng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một
góc 600. Tính thể tích của khối chóp a.
A. V 

a 3 13

2

B. V 

a 3 13
3a 3 13
C. V 
3
2
Hướng dẫn giải

(SHC)  (ABCD)

Ta có: (SHD)  (ABCD)
(SHC)  (SHD)  SH

 SH  (ABCD)

D. V 

5a 3 13
2

S

 SH là chiều cao của hình chóp
S.ABCD.

A

600

a

H
B

D

a 3

C

Ta có HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)



 



 SD,ABCD  SD,HD  SDH  600

 SH  HD.tan600 

a 39
2

1
a 39 a3 13

1
1

Vậy VS.ABCD  S ABCD.SH  AB.AD.SH  a.a 3.
. Vậy
3
3
3
2
2
chọn đáp án A.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)bằng 600 . Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABC .
A. V  a 3

B. V  a 3 3

C. V  2a 3

D. V  3.a 3 3

Hướng dẫn giải

17






Ta có: SC,  ABC   SCH  600
SH  CHtan 600 

S ABC

 2a 


2

3

4

S

2a 3
. 3  3a
2

 a2 3 .
600

2a

A

C

H
B

1
1
VS.ABC  SH.S ABC  .3a.a 2 3  a 3 3
3
3
Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 450, đáy ABC
là tam giác vuông tại A có AB  2a , góc ABC  600 và hình chiếu của S lên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A. V 

2.a 3 39
3

B. V 

a 3 39
3

C. V 

2.a 3 37
3

D. V 

4.a 3 39
3

Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A :

S

AC  2a 3
1
S ABC  AB.AC  2a 2 3
2

Tam giác AHC vuông tại H : HC  a 13





SCH  SC,  ABC   45 .
0

450

A
2a

H

60

C

0

B

Xét tam giác SHC vuông tại H : SH  HC  a 13 .
2a 3 39
. Vậy chọn đáp án A.
3
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 2a,
VS.ABC 

AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm H của đoạn AC. Góc giữa cạnh bên SA và mp(ABC) bằng 600. Tính thể
tích khối chóp S.ABC.

18


A. V  3a 3

B. V  a 3

D. V  3a 3 5

C. V  4a 3
Hướng dẫn giải

Ta có: SH  (ABC)

S

 góc giữa SA và (ABC) là SAH  600
 SH  AH.tan600  2a 3

BC  AC2  AB2  2a 3
1
 SABC  AB.AC  2a 2 3
2
1
Vậy VSABC  .SH.S ABC  4a 3
3
Chọn đáp án C.

600

2a

A
H

B

4a

C

Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a ,
a
, cạnh AC cắt MD tại H .
2
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a . Tính thể tích khối
chóp S. HCD.

AD = a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM 

A. V 

4a 3
5

B. V 

a3
15

C. V 

4a 3
15

D. V 

2a 3
15

Hướng dẫn giải

Hai tam giác vuông AMD và DAC
có

S

AM AD 1

 nên đồng dạng,
AD DC 2

Suy ra ADH  DCH , mà
ADH  HDC  900  DHC  900

 ADC vuông tại D:

A
a

AC  AD  DC  AC  a 5
2

2

2

D

M

B

H
2a

C

Hệ thức lượng  ADC: DH.AC = DA.DC

19


Suy ra: DH 

DC.DA 2a

AC
5

 DHC vuông tại H: HC  DC2  DH2 

4a
5.

1
4a 2
Do đó diện tích  HCD: SHCD  DH.HC 
2
5
1
4a3

Thể tích khối chóp S.HCD: VS.HCD  SH.SHCD 
.
3
15
Vậy chọn đáp án C.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3 ,
ACB  600 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm

tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE  a 3 . Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
A. V 

a 3 . 78
18

B. V 

5a 3 . 78
a 3 . 77
C. V 
18
18
Hướng dẫn giải

D. V 

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

7a 3 . 78

18

S

Theo giả thiết có SG   ABC 
Xét tam giác ABC vuông tại B
Có AC 

AB

a 3

 2a ,

sin ACB
AB
BE a
BC 
 a , GE 

3
3
tan BCA

E
A

2

Ta có SABC

C

600
a 3

G

1
a 3
 AB.BC 
2
2

Xét tam giác SGE vuông tại G có SG  SE2  GE2  3a 2 

N
B

a 2 a 26

9
3

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là
1
1 a 26 a 2 3 a 3 78
VS.ABC  SG.SABC  .
.


3
3 3
2
18
Chọn đáp án A.

20


Câu 7. Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AB. Qua
M dựng đường thẳng vuông góc  ABCD  và trên đó lấy điểm S sao cho

5
. Thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp
3
1
1
2
S.BCD lần lượt là x, y, z. Giá trị
 2  2  150 là:
2
x
y
z
SM 

A. 17,2

B. 247,6

C. 8,4

D. 5,2

Hướng dẫn giải
+ Ta có:

S ADCM 

S

 AM  CD .AD  3
2

4

1
 VS.ADCM  .SM.S ADCM
3
1 5 3
5
 .
. 
3 3 4 12
x

5
5
 x2 
12

144

S BCM 

D

A
M
B

C

BM.BC 1

2
4

1
1 5 1
5
5
5
 VS.BCM  .SM.S BCM  .
. 
y
 y2 
3
3 3 4 36
36
1296

+ S BCD 
z

Vậy

5
5
 y2 
36
324

1
x

BC.CD 1
1
1 5 1
5
  VS.BCD  .SM.S BCD  .
. 
2
2
3
3 3 2 18

2



1
y

2



2
z

2

 150 

42
 8,4  Chọn đáp án C
5

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3
, ACB  600 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  là trọng
tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc giữa SE và mặt phẳng đáy
là 300 . Thể tích khối chóp S.ABC là:

21


A.

a3
6

B.

a3
18

C.

a3
9

D.

a3
12

Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

S

 SG   ABC 

Xét tam giác ABC vuông tại B có

AC 

AB
sin ACB

 2a ,
30 E

 BC  AC  AB  a ,
2

 SABC 

G

2

1
a 3
AB.BC 
2
2

Do ABC vuông tại B nên: BE 

SE,  ABC   SEG  30
Vậy VS. ABC 

C

A

2

0

B

AC
BE a
 a  GE 

2
3
3

 SG  GE.tan SEG 

a
3a
tan 300 
3
9

1
1 a 3 a2 3 a3
SG.SABC  .
.

3
3 9
2
18

 Đáp án B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Thể tích

a3
khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số
gần nhất giá trị nào dưới đây:
V
B. 7

A. 5

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải
SABCD  a .
2

S

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và
CD.

A

Kẻ SH  MN

D

M

Ta có: CD  MN,CD  SN

N

H
B

C

22


 CD   SMN 
 CD  SH mà SH  MN  SH   ABCD

+ Ta có SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân tại S  SM 
SN 

a 3
,
2

CD a

2
2
2

 a 3   a 2
Tam giác SMN có: SM  SN  
 a2  MN2
 
 2   2 


2

2

SM.SN

 Tam giác SMN vuông tại S  SH 
MN

a 3 a
.
2 2 a 3
4
a2

1
1
a 3 a3 3
a3
VS.ABCD  .S ABCD.SH  .a2 .


 4 2  6,93 

3
3
4
12
V
Chọn đáp án B

Do

vậy

Câu 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
BAC  600 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với

trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng

 ABCD góc 45

0

A.

3
2

 SAC 

hợp với mặt phẳng

. Thể tích khối chóp S. ABCD bằng V. Giá trị

B.

1
6

C.

1
2

D.

6V
a3

là:

2
2

Hướng dẫn giải
Ta có BAC  600 nên tam giác ABC đều
 SABCD  2.SABC 

S

a2 3
2

Gọi O  AC  BD .

A

Ta có AC  BD,AC  SG  AC   SBD 

D

60
G O
B

C

 AC  SO . Mặt khác OB  AC

23






  SAC  ,  ABCD  SOB  450

Xét tam giác SOG vuông tại G:
1
a 3
SG  OG.tan SOB  OG.tan 450  BO 
3
6

1
1 a 3 a2 3 a3
Vậy VS.ABCD  SG.SABCD  .
.

 Đáp án C
3
3 6
2
12
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD =

a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của
AB. Cạnh SC tạo với đáy một góc bằng 300. Thể tích khối chóp S.ABCD là V
thì tỉ số

V
a3

gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:
B. 1

A. 0,5

D. 2

C. 1,5
Hướng dẫn giải

Ta có SABCD  AD.AD  2a 2

S

HC là hình chiếu vuông góc của SC
lên  ABCD 





 SC,  ABCD   SCH  300
A

Xét tam giác BHC vuông tại B có:
H

HC  BH2  BC2  a 2
B

D
30
C

-Xét tam giác SHC vuông tại H có : SH  HC.tan SCH  HC.tan 300 

a 6
2

1
1

a 6 a3 6
Vậy VSABCD  S ABCD.SH  .2a.

 0,82a3
3
3
2
3

 Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,
AB  a; AD  a 3. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với

trung điểm H của OA. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Thể
tích khối chóp S.ABCD là

24