KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (670.96 KB, 32 trang )
Phụ lục
Trang
A. Mục đích, sự cần thiết
2
B. Phạm vi triển khai thực hiện
2
C. Nội dung
2
2.1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
3
2.1.1.Một số bất đẳng thức thông dụng
3
2.2. KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
4
2.2.1. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số :
2.2.3. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số :
2.2.4.Dạng 3 sử dụng phép nhóm abel
2.2.5.Dạng 4 Làm mạnh bất đẳng thức Cauchy
Tài liệu tham khảo
4
6
8
23
30
1
KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 10
Tác giả: Hán Văn Sơn
Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn
A. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
- Sự cần thiết của việc thực hiện sáng kiến:
+ “Bất đẳng thức Cauchy” là phần kiến thức đƣợc đề cập trong chƣơng IV: Bất
đẳng thức.Bất phƣơng trình - Phần Đại số lớp 10 môn Toán. Các dạng bài toán về bất
đẳng thức Cauchy là một trong những chuẩn kiến thức, kĩ năng cần đạt đƣợc trong
chƣơng trình Toán lớp 10, thƣờng xuyên đƣợc đề cập đến trong các bài kiểm tra định
kì, thi THPT quốc gia và thi chọn học sinh giỏi các cấp.
+ Tâm lí đa số học sinh cho rằng học bất đẳng thức là khó nên rất ngại học, khi
gặp những bài toán có yêu cầu khác biệt so với chƣơng trình sách giáo khoa thì học
sinh thƣờng lúng túng, không có khả năng tƣởng tƣợng, không định hƣớng đƣợc dẫn
đến không có phƣơng pháp tƣ duy để giải bài toán. Hơn nữa trong chƣơng trình sách
giáo khoa cơ bản viết theo yêu cầu giảm tải dẫn đến thiếu một số công cụ giải toán, số
lƣợng bài tập về bất đẳng thức Cauchy không nhiều và chỉ có dạng cơ bản nên học
sinh không nhận diện đƣợc tất cả các dạng toán và chƣa đƣợc hƣớng dẫn một cách hệ
thống các phƣơng pháp để giải quyết các bài toán đó. …Bởi vậy việc giải một số bài
toán gặp nhiều khó khăn.
- Mục đích thực hiện sáng kiến:
+ Với việc nghiên cứu đề tài này, bản thân tôi đã đƣợc nâng cao hơn về trình độ
chuyên môn, nghiệp vụ.
+ Với mong muốn giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng và tƣ duy giải quyết
các bài toán liên quan đến bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cauchy nói riêng,
đặc biệt các dạng toán thƣờng xuất hiện trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh và quốc
gia.
B. Phạm vi triển khai thực hiện:
- Kiến thức: Bất đẳng thức Cauchy trong chƣơng trình toán 10.
- Học sinh: Khối 10 trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, đặc biệt đối với học
sinh lớp chuyên toán 10.
2
1.Tình trạng giải pháp đã biết
-Bất đẳng thức Cauchy khá là quen thuộc với thầy cô và các em học sinh. Nội
dung bất đẳng thức Cauchy đƣợc phát biểu bằng lời rất đơn giản:” trung bình cộng
luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân”.
- Đã hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng Cauchy thức nhƣng chƣa đầy
đủ, chƣa bổ sung đƣợc phần đơn vị kiến thức nâng cao.
- Chỉ đƣa ra một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức cơ bản. Với một số
dạng bài toán phƣơng pháp giải chƣa “tự nhiên” làm cho các em học sinh cảm thấy
lung túng khi học toán, chƣa phân tích đƣợc cho học sinh nhận thấy phƣơng pháp tối
ƣu nhất để giải quyết bài toán.
- Hệ thống các bài tập rèn luyện kĩ năng cho học sinh chƣa nhiều.
2.Nội dung giải pháp
2.1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2.1.1.Một số bất đẳng thức thông dụng
* Bất đẳng thức Cauchy cho hai số
Cho 2 số thực không âm a,b khi đó:
ab
ab
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b
* Bất đẳng thức Cauchy ba số:
Cho 3 số thực không âm a,b,c khi đó:
abc
3. 3 abc
3
Dấu = xảy ra khi a=b=c
* Bất đẳng thức Cauchy tổng quát:
Cho n số thực không âm a1 , a2 , a3 ,..., an khi đó:
a1 a2 a3 an n
a1.a2 .a3 ...an
n
Dấu = xảy ra khi a1 a2 an
*Các bất đẳng thức cơ bản liên quan hay dùng:
1). a2 + b2 2ab ; Dấu = xảy ra khi a=b
2
2). a b
2
a b
2
2
; Dấu = xảy ra khi a=b
a 2 b2
3). ab
; Dấu = xảy ra khi a=b
2
a 2 b2
4). ab
; Dấu = xảy ra khi a=-b
2
5). Nếu a,b 0 thì a b 2 ab ; Dấu = xảy ra khi a b
3
a b
2 ; Dấu = xảy ra khi a b
b a
b2
7). Nếu a,b>0 thì a
2b ; Dấu = xảy ra khi a b
a
a2
8). Nếu a,b>0 thì b
2a ; Dấu = xảy ra khi
b
6). Nếu a,b>0 thì
1
a
1
b
9). Nếu a,b > 0.thì: (a + b)( ) 4.Dấu „=‟ xảy ra khi a b
1 1
4
; Dấu = xảy ra khi a b
a b ab
1
4
11). Nếu a,b>0 thì
; Dấu = xảy ra khi a=b>0 a b
ab a b 2
10).Nếu a,b>0 thì
12). a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .Dấu „=‟ xảy ra khi a b c
1
3
13). a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 ab + ac + bc .
Dấu „=‟ xảy ra khi a b c .
1
a
14). Nếu a,b,c > 0. thì: (a + b + c)(
1 1
) 9.
b c
Dấu „=‟ xảy ra khi a b c
1
a
15). Nếu a,b,c > 0. thì:
1 1
9
. Dấu „=‟ xảy ra khi a b c .
b c a b c
2.2. KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
2.2.1. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số :
a, b 0 :
a+b
2
ab ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
1 1 1
+ + = 4.
a
b c
1
1
1
+
+
1
Chứng minh rằng :
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
Ví dụ 1 : Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa :
(TSĐH - Khối A - Năm 2005)
Ta có với
1
x+y
1
1 1
1
+
x+y
4xy
x+y
4 x
y
Dấu (=) xảy ra x y
0 x, y : ( x y)2 4 xy
Áp dụng kết quả trên, ta có :
1
1 1
1
1 1
1 1 1 1 1
1
1
+
+ + = +
+
2a + b + c
4 2a
b + c
4 2a
4 b c 8 a
2b 2c
(1)
Tƣơng tự :
1
1 1
1
1
+ +
a + 2b + c
8 2a
b 2c
(2)
4
1
1 1
1
1
+
+ (3)
a + b + 2c
8 2a
2b c
1
1
1
11 1 1
+
+
+ + =1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
4 a
b c
a = b = c
3
Dấu (=) xảy ra 1
a=b=c=
1 1
4
a + b + c = 1
3
Nhận xét: Dấu “=” sảy ra khi a = b = c =
4
Bài toán không còn tính đối xứng thì giải quyết như thế nào?
Ví dụ 2 : Cho x, y, z là các số dƣơng thỏa :
1
4 9
+ + = 1 . Tìm GTNN của
x
y z
biểu thức :
P=x+y+z.
1
4 9
+ +
y z
x
z 9y 4z
9x
+
+ +
+
z
x
z
y
9y 4z
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36
.
z y
Ta có :P = x + y + z = (x + y + z).
4x
y
+
x
y
4x y
9x z
14 + 2
. +2
. +2
y x
z x
= 14 +
4 9
1
+
+ =1
x = 6
x
y
z
Dấu (=) xảy ra
y = 12
z = 18
4x = y , 9x = z , 9y = 4z
y
x z
x z
y
Vậy : Pmin = 36 khi x = 6, y = 12, z = 18 .
Nhận xét: Dấu “=” sảy ra khi x 6; y 12; z 18
Bài toán không còn tính đối xứng đã được giải quyết.
Bài toán giải quyết đượcliên quan chặt chẽ tới dấu “=” của đẳng thức
Bài tập tương tự :
1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
4a
9b
16c
+
+
26
b+c-a
c+a-b a+b-c
2. Cho x, y, z > 0 và thỏa : xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
P=
yz
zx
xy
+ 2
+ 2
2
2
x y+x z
y z+y x
z x + z2y
2
*Hƣớng dẫn:
1. Đặt : x b c a; y c a b; z a b c( x, y, z 0)
a=
Khi đó :
y+z
z+x
x+y
,b=
,c=
2
2
2
5
VT
4(y + z) 9(z + x) 16(x + y) 4y 9x 4z 16x 9z 16y
+
+
=
+
+
+
+
+
x
y
z
y x
z y
z
x
Áp dụng bđt Cauchy , . . . (đpcm)
2. Đặt : a yz; b zx; c xy( x, y, z 0; abc 1)
a2
b2
c2
P=
+
+
b+c c+a a+b
Áp dụng bđt Cauchy , ta có :
a2
b+c
a2 b + c
+
2
=a,
b+c
4
b+c 4
b2
c+a
tƣơng tự :
+
b ,
c+a
4
Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra : P . . .
c2
a+b
+
c
a+b
4
3
2
. Kết luận : MinP =
3
x
2
=y=z=1
2.2.3. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số :
a, b, c 0 :
a+b+c
3
3
abc ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :a = b = c
Ví dụ 3 : Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa : abc = 1.
1 + a 3 + b3
+
ab
Chứng minh rằng :
1 + b 3 + c3
1 + c3 + a 3
+
bc
ca
3 3
(TSĐH - Khối D - Năm 2005)
Tacó
:
1 + a + b 3 1.a .b = 3ab
3
3
Tƣơng tự :
3
3
3
1 + b 3 + c3
bc
3
bc
1+a +b
3
,
3. ab
3
1 + c3 + a 3
ca
1 + a 3 + b3
ab
3
ca
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế , ta có :
1 + a 3 + b3
+
ab
Lại có :
1
+
ab
1
1
1
3
+
+
bc
ca
ab
1
3
= 3
= 3 vì abc = 1
abc
(abc)2
1 + b 3 + c3
1 + c3 + a 3
+
bc
ca
1
1
+
33
bc
ca
Từ (1) và (2) suy ra : (đpcm) . Dấu (=) xảy ra a = b = c = 1
Ví dụ 4 : Cho x, y, z là các số dƣơng thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức :
x
z
1
1
1
y
P = x +
+ z +
+ y +
yz
2 zx
2
2 xy
6
3
ab
x2
y2
z2
x 2 + y2 + z 2
Ta có : P =
+
+
+
2
2
2
xyz
x2
y2
z2
xy + yz + zx x 2
1 y2
1 z2
1
≥
=
+
+
+
+ +
+ +
+
2
2
2
xyz
x 2
y 2
z
2
x2
1
x2
1
1
x2 1 1
3
3
Ngoài ra :
+ =
+
+
3
. .
=
2
x
2
2x
2x
2 2x 2x
2
2
2
y
1
3
z
1
3
Tƣơng tự :
+
;
+
2
y
2
2
z
2
9
. Dấu (=) xảy ra x = y = z = 1
2
9
Vậy : Pmin =
khi x = y = z = 1
2
Suy ra : P ≥
Nhận xét: Dấu “=” sảy ra khi các số hạng bằng nhau
Bài toán có tính đối xứng việc chọn dấu bằng sảy ra rất đơn giản.
*Bài tập tương tự :
1. Cho a, b, c > 0 và thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
1
1
1
1
+
+
+
30
2
2
a +b +c
ab bc ca
2
2. Cho x, y, z > 0 và thỏa : x + y + z ≥ 6. Tìm GTNN của biểu thức :
P=
x3
y3
z3
+
+
y+z z+x
x+y
Hướng dẫn :
1. Ta có : (VT) =
1
1
1
1
1
3
+
+
+
+
3
a 2 + b2 + c2
ab bc ca
a 2 + b2 + c2
ab.bc.ca
1
9
=
2
+
2
2
a +b +c
ab + bc + ca
1
1
1
7
= 2
+
+
+
2
2
ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
a +b +c
9
21
+
(a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)
3(ab + bc + ca)
9
21
30
+
30
(a + b + c)2
(a + b + c) 2 (a + b + c) 2
x3
y+z
+
+ 2 3x ,
2. Áp dụng bđt Cauchy , ta có :
y+z
2
2
2
2
7
y3
z+x
z3
x+y
+
+ 2 3y ,
+
+ 2 3z
z+x
2
x+y
2
Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra : P 2(x + y + z) - 6 2.6 - 6 = 6 .
Kết luận : MinP = 6 x y z 2
2.2.4.Dạng 3 sử dụng phép nhóm abel
Khi chứng minh những bất đẳng thức của một hay nhiều dãy số có thứ tự ngƣời
ta thƣờng sử dụng phép nhóm abel để sử dụng dễ dàng các điều kiện thứ tự đó. Phép
nhóm Abel đƣợc cho bởi đẳng thức mà chúng ta sẽ chứng minh dƣới đây.
Cho hai dãy số thực a1, a2, ..., an và b1, b2 ,..., bn . Kí hiệu sk
n 1
s , k 1, n ta có
i 1
i
đẳng thức
n 1
n
a b s b b s b
i 1
i i
i 1
i
i 1
i
n n
Chứng minh
Kí hiệu s0 0 ta có
n
n
a b s s b
i 1
i i
i 1
n
i
i 1
i
n
s i bi si 1bi
i 1
n
i 1
n 1
i 1
i 1
sibi sibi 1
n 1
si bi bi 1 snbn .
i 1
Để có đƣợc phƣơng pháp giải bất đẳng thức sử dụng nhóm Abel trong trƣờng hợp cụ
thể chúng ta xây dựng bài toán tổng quát. Sử dụng phƣơng pháp giải của bài toán tổng
quát ta giải đƣợc các bài toán khó trong những trƣờng hợp riêng.
Ví dụ 1: Với 0, a , ab , abc . Chứng minh rằng
a b c
Giải
Ta có
a b c
a b
a
a b c
abc
ab
a
3 3
2
Áp dụng các điêu kiện đã cho của bài toán ta thu đƣợc
8
a b c 3 2 ( đpcm)
Áp dụng kết quả trên ta giải dễ dàng các bài tập sau:
Ví dụ 2: Với 3, ab 6, abc 6 . Chứng minh rằng
a bc 6.
Giải
Ta có
a b
a b a
a b c c
3 2
3 2 3
abc
ab a
2
3 2 1 6
6
6 3
Ví dụ 3: Với 0 a b c 3, bc 6, abc 6, chứng minh rằng
abc6
33
Giải
Ta có
3
1 2 3
2 3
6 1 2 3 a b a c b
c
a b c
b c
Suy ra
6 3a 3
6
6
3
2b a
c b .
abc
bc
c
6 3a 2 b a c b a b c (đpcm)
Nhận xét
Từ những ví dụ cụ thể ta xây dựng phương pháp giải cho những bất đẳng thức dạng
này.
Bước 1. Xác định khi nào dấu bất đẳng thức xảy ra bằng cách chuyển các điều kiện đã
cho thành đẳng thức
Bước 2. Viết lại đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đối xứng 2 vế
Bước 3. Áp dụng phép nhóm Abel cho một vế của bất đẳng thức theo điều kiện thứ tự
Chúng ta trình bày bài giải mẫu sau:
Ví dụ 4: với a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiên
a b 1, a 3, ab 6c chứng minh rằng
abc 4
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc viết dƣới dạng
a b 1 3 2 c
Ta có
9
3
3 2 c
3 2
3 2 c b 1 a b
2
a b 1
a b
Suy ra
6c
6
3
2 b 1
a b
ab
ab
a
3 2 c 3 2 b 1 a b
3 2 c 33
Suy ra
3 2 c a b 1
Đối với một số dạng hệ quả của bất đẳng thức Cosi chúng ta cũng dễ dàng xây
dựng đƣợc những bất đẳng thức tƣơng tự trong trƣờng hợp tổng quát và đặc biệt
Ví dụ 5. Với 0; a, b, c 0; c ;
b
c
2;
a
b
c
3
Chứng minh rằng
1 1 1 1 1 1
a b c
Giải
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1
a b c a b c b c c
Sử dụng các điều kiện của bài toán ta thu đƣợc
a
Tƣơng tự
b
b
c
c
1
a
1
b
1
c
9
a
b c
3
2
Suy ra
1 1 1 1
1 1 1
1
3. 2
a b c
1
1
1
(đpcm)
b
a b
c 2 , c 3 , c 1 Chứng minh rằng
2
3 2
1 1 1 11
.
a b c 6
Ví dụ 6. với a, b, c 0,
Giải
Ta có
10
1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1
1 .
a b c 3 a b c 2 3 b c 2 c
1
9
1 1 4
1 1
1
3 a b c 2 3 b c 2 c
3 2
2
1
1 1
1
3 2 1
3
2 3
2
11
6
2 1
3 2 1
Ví dụ 7: Với a b c 1, 2, 3 , chứng minh rằng
b c
a b c
1 1 1 11
a b c 6
Giải
Ta có:
11
1 1 1a b
1 1 b
1 1
1 c c c
6
2 3 a 3 2
b a 2
c b
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 a 3 2 1 b a 2 1 b c 1
c
a b c
b c
Suy ra
11 1
9
1 1 4
1 1 1
6 a 3 2 1 b a 2 1 c b 1
a b c
b c
c
1
1 1 1 1 1 1 1
3 2
a
b a c b a b c
(đpcm)
Ví dụ 8: Với
a b 1 c 0,
2
3 2
c 2, c 3 chứng minh rằng
b
a b
1 1 1
1
.
a b c
6
Giải
Bất dẳng thức đã cho tƣơng đƣơng với
1 1
1 1 1
1
a b
3 2 c
Ta có
11
1 1 1 1 a b 1 1 1 b 1 1 1
1
3 2 c a 3 2 c b a 2 c b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
a 3 2 c b a 2 c b c
a b
b
1
9
1 1 4
1 1
1
a 3 2 1 b a 2 c b c
a b c
b
1
1 1 1 1 1
3 2 1 1
a
b a b a b
(dpcm)
Ví dụ 9: với 0 ; a,b,c là những số thực dƣơng thỏa mãn các điều kiện
a
b
c
3,
b
c
2,
c
1,
Chứng minh rằng
a b c
Giải
Ta có
a
b
c
a b c
b
c
Suy ra
Xây dựng bất đẳng thức trong các trƣờng hợp cụ thể của , , ta thu đƣợc
Ví dụ 10 với a, b, c 0 thỏa mãn các điều kiện
b c
b c
3, 2, c 9,
4 9
4 9
a b c 6
a
Chứng minh rằng
Giải
b
b
c
c
c
a b c a
2 1
3 2
4
9
9
9
4
b c
b c
4
9
4
9 3 2 c
3
2 2 1
3
2
9
3+2+1=6
a
(Đpcm)
12
c
1 4 9
4 9
9
3, , 1 chứng minh rằng
a b c
b c
c
a b c 6.
Ví dụ 11: với 0 a b c,
Giải
Ta có
1
4
9
6 1 4 9 a .
a
b
c
4
9
b a
b
c
c b
Suy ra
1 4 9
a
b c 2
63 a
3
3 a 2
4 9
b
c
b a .
2
9
c
c b
b a
c b a b c
(đpcm)
Ví dụ 12 với 0 a b c, a+
b c
b 9
9
3, 2, 1, chứng minh rằng
4 9
4 c
c
a b c 0.
Giải
Bất đẳng thức đã cho tƣơng đƣơng với
a b 9 1 4 c
Ta có:
b
9 b
9
a b 9 1 a
4
c
4
c
3
a
b 9
b 9
4 c 2 4 c
3
2
c 2
c 2
9
c
9
c
3+2+ c 2 3 c.
Suy ra:
a b c 0 đpcm
Ví dụ 13: với 0 ; a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện
a
b
c
3,
b
c
2,
c
1,
Chứng minh rằng
a 2 b2 c 2 2 2 2 .
13
9
c
Giải
Ta có
2
a 2 b 2 c 2
b 2 c 2
2
2
2
2 c
a b c
2
2
2
2
Suy ra:
2
2
a b c
b c
2
2
2
2
2
2
2
2
2 c
a b c 3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 2 . (đpcm)
Với , , cụ thể ta thu đƣợc
Ví dụ 14: Với a, b, c 0 thỏa mãn điều kiện
b c
b c
3, 2, c 3,
2 3
2 3
Chứng minh rằng a 2 b2 c2 14 .
a
Gải
Ta có:
2
2 b 2 c 2
b 2 c 2
2
2
2
2 c
a b c a 2 1 3 2
2 3
2 3
3
2
2
2
Suy ra:
2
2
b c
b c
2
a
23
2
2
2
2
2 c
2
3
a b c 3
2 3
3 2
3
2
3
3+2 3+32 22 14.
Ví dụ 15: với 0 a b c thỏa mãn điều kiện
1 2 3
2 3
3
3, 2, 1,
a b c
b c
c
2
2
2
Chứng minh rằng a b c 14 .
Giải
Ta có:
4 9
9
1
4 9
14 12 22 32 a 2 2 2 2 b2 a 2 2 2 c 2 b2 2
c
a b c
b c
Suy ra
14
2
2
1 2 3
2 3
bc
9
2 a
2
2
2
2
b
c
14 3a
2b a
c b 2
3
c
2
14 3a 2 2 b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2
(đpcm)
Ví dụ 16: với a, b, c 0 thỏa mãn điều kiện
b 3
b 3
3
c 2, a+ 3, 2, 1,
2 c
2 c
c
Chứng minh rằng
c 2 a 2 b2 4
Giải
Bất đẳng thức đã cho tƣơng đƣơng với
a2 b2 9 12 22 c2
Ta có:
2
2 b 2 3 2
b 2 3 2
2 3
2
2
2
a b 3 a 2 1 c 2
2 c
2 c
c
2
2
2
Suy ra
2
2
b 3
b 3
2
a
2c
3
2
2
2
2
2
2
c
a b 3 3
2 3
c 2
3
2
c
3+6+ c 2 22 c 2 a 2 b 2 4
Nhận xét:
Ví dụ số 1,9,13 là các ví dụ tiêu biểu và tổng quát cho các bài toán còn lại.
Các ví dụ trên không còn tính đối xứng.
Thay các hằng số , , khác nhau ta thu được các bất đẳng thức đa dạng
BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN
1.Với
xi R i 1, n ; 0
n
Chứng minh rằng:
n
xi yi
i 1
i 1
n
*Hƣỡng dẫn :
n
n
xi
x
x
xi y1. y 2 y1 i ... yn yn1 n
yn
i 1
i 1 yi
i 2 yi
Suy ra
15
1
1
n xi n
n xi n1
xi ny1 n 1 y2 yi ... yn yn1
i 1
i 1 yi
i 2 yi
n
n
n
i 1
i 1
xi ny1 n 1 y2 y1 n 2 y3 y2 ...... yn yn1 yi (đpcm)
2. Với a, b, c 0 thỏa mãn các điều kiện
a
b
c
3;
b
c
2;
c
1; 0<
Chứng minh rằng n N* thì
a n bn c n n n n .
*Hƣớng Dẫn:
n
a n b n c n
b n c n
n
n
n
n c
a b c
n
n
n
n
Suy ra
n
n
a b c
b c
n
n
n
n
n
n
n
n
n c
a b c 3 .
2
3
3
3 n 2 n n n n n n n .
3.Với a, b, c 0 thỏa mãn các điều kiện
b c
b c
c
a 3; 3; 3
2 3
2 3
3
3
3
3
Chứng minh rằng a b c 36 .
*Hƣớng dẫn
Ứng dụng kết quả của bài tập 2 với 1, =2; =3
4. Với 0 a b c là các số thực dƣơng thỏa mãn các điều kiện
1 2 3
2 3
3
3; 2; 1
a b c
b c
c
Chứng minh rằng a3 b3 c3 36
16
Hƣớng dẫn ứng dụng kết quả của bài tập 2 với
a 1, b = 2; c = 3, 1; = 2; = 3 .
5. Với 0 và a, b, c 0 thỏa mãn các điều kiện:
a
b
c
3;
b
c
2;
c
1
Chứng minh rằng
P n anbnc n n n
*Hƣớng dẫn
Ta có
a
b
c
p n n n n
n
b
n n
n
c
c
n
n
n
c
Suy ra
a
p 3n
n
b
c
3
b
2
n
n
n
c
2
n
n
n
f(đpcm)
6.Với 0 và a, b, c 0 thỏa mãn điều kiện
a
b
c
3;
b
c
2,
c
1
Chứng minh rằng
p
1
1
1
1
1
1
n n n
a
b
c
n n
n
*Hƣớng dẫn
Ta có
1 1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
P n
n
n a
b
c n
b
c n n c
n
n
n
n
n
Suy ra
P3n
1
n
a
n
1
b
3
1
1
2
n
n
c
n
1
n
b
n
c
1
n
1
n
2
17
P3n
1
1
1
2
n
n
a b c
1
n
1
b
n
3
c
1
n
1
n
2
1
1
1
1
1
1
1;
2;
3
c
b c
a b c
1 1 1
Chứng minh rằng a b c .
7.Với 0; a,b,c>0;
*Hƣớng dẫn
Ta có:
1
1 1
1
b c c
1 1 1
9
9
3
Ta có a b c 1 1 1 1
1
1
3
a
b
c
a b c
1
a b c a b c
b c
1
1
b
1
1
c
1
b
4
4
2
c1 2
Suy ra
1 1 1 1 1 1 1
2 (đpcm)
Những bài tập sau là các trƣờng hợp đăc biệt với , , cụ thể
1 1
1
1 1
8. Với a, b, c 0; c 1;
2;
3.
2b c
3a 2b c
a b c 3
1
Chứng minh rằng
abc
11
6
*Hƣớng dẫn
a b c 3a 2b c
1 1
1
2b c 1 c
2 3
2
1
1 1
9
9
3,
Ta có: 3a 2b c
1
1 1 1
1 1 3
3a 2b c 3a 2b c
1 1
4
4
2b c
2
1 1 1 1 2
2b c 2b c
1
3
Suy ra
18
1
11
1 1
1 1 1
a b c 3 2 1 1
3
6
2 3
2 3 2
1 1
1
1 1
9. Với a, b, c 0 thỏa mãn c 1;
2;
3 . Chứng minh rằng
2b c
3a 2b c
1 1 1
6
a b c
*Hƣớng dẫn
6 3 2 1
1
1 1
1 1
3a 2b c 2b c c
a
b a
c b
Ta có
1
1 1
9
9
3,
1
1 1 1
1 1 3
3a 2b c 3a 2b c
1 1
4
4
2b c
2
1 1 1 1 2
2b c 2b c
3a 2b c
Thu đƣợc
3
1 1 1 1 1 1 1
2 (đpcm)
a
b a c b a b c
1 1
1
1 1
10 với a, b, c 0 thỏa mãn c 1;
2;
3.
2b c
3a 2b c
6
Chứng minh rằng
1 1
7
b .
a c
2
*Hƣớng dẫn
1
1 1
1 1
3a b c 2b c c
a
2 a
c 2
1
1 1 1 1 1 1 1
3 b 1 3 2
a
2 a c 2 a 2 c
1 1
7
b (đpcm)
a c
2
1
1
1
1;
2;
11. Với 0 ; a,b,c>0;
c
b c
1
1
1
3 . Chứng minh rằng
a b c
1
1
1
a
b
c
Ta có 3 b 1
Hƣớng dẫn
19
1
1
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
1
b
1
c
1
c
1
1
1
1
1
1
a b c
3
3
3
a
b
c
Ta có
1
1
1
1
b c
2
2
2
b
c
Suy ra
1
1
1
3 2
a
b
c
Những bài tập sau là các trƣờng hợp đặc biệt khi , , cho các gía trị cụ thể
1
1
1
1 1
1
1;
2;
3 . Chứng minh rằng
9c
4b 9c
a 4b 9c
1
1
1
6
a
b
c
12. với a, b, c 0;
*Hƣớng dẫn
Ta có:
1
1
1 1
1
1
1
1
1
2 1
3 2
a
b
c a
4b
9c
9c
9c
4b
Ta có
1 1
1
1
1
1
3 a 4b 9c 3,
3
a
4b
9c
1
1
1
1
2 4b 9c 2
2
4b
9c
Suy ra
1
1
1
3 2 2 1 1 6 (đpcm)
a
b
c
1
1
1
1
1 1
1;
2;
3 chứng minh rằng
13. Với a b c 0;
9a
4b 9a
9a 4b c
20
a b c
11
6
*Hƣớng dẫn
11 1
1
1
1
1
1
c
b c
6 1
4
9
4b
9a
c
1
a b
3 c 2 b c a b a
9a
14.Với 0 ; a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện
1
1
1
1
1
1
3;
2;
1
a b c
b c
c
1
1
4b
9a
b c
Chứng minh rằng
1 1 1
2 2 2 2 2
2
a b c
Hƣớng dẫn
Ta có
1
1
1 1
1
1
2
a 2 b 2 c 2
a 2 b2 c2
1
1
1
2
2
2
b 2 c 2
c
2
1
1
1
a b c
1
1
1
3
Ta có
3
2
2
2
3
a b c
2
2
2
1
b
2
1
c
2
1
1
b c
2
2
2
Thu đƣợc
1 1 1
2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (đpcm)
2
a b c
1 1
1
1
1
1
3;
2;
1 chứng minh rằng
15. Với a, b, c 0;
a 2b 3c
2b 3c
3c
1 1 1
14
a 2 b2 c 2
*Hƣớng dẫn
Ta có
21
1
1
1 1
1
1
2
1
2
2
2
a
a 2 b2 c2
2b 3c
1
1
1
22 12
32 22
2
2
2
2b 3c
3
c
Ta có
2
1
1 1
1
1
1
3 a 2b 3c 3,
2
2
2
a 2b 3c
3
2
1
1
2b 3c
1
1
2
2.
2
2
2
2b 3c
Suy ra
1 1 1
3 3 2 5 14 (đpcm)
a 2 b2 c 2
1 1
1
1
1
1
16. Với 0 a b c;
3;
2;
1
a 2b 3c
2b 3c
3c
Chứng minh rằng
a 2 b 2 c 2
49
36
*Hƣớng dẫn
Ta có:
1
49 2 1 1
1
1
1 2 2 a2 2
a 2b 2 3c 2
36
2 3
1
1
1
2
2
b2 a 2
c
b
2
2b 2 3c 2
3c
Ta có
22
2
1
1 1
3 a 2b 3c 3
3
1
1
1
2
2
2
a
2b 3c
2
1
2b
2
1
3c
2
1
1
2b 3c
2
2
3
Suy ra
49
3a 2 2 b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2
(đpcm)
36
17 .Với a 3, a+b 5, a+b+c 6 . Chứng minh rằng
a 2 b2 c2 14 .
*Hƣớng dẫn
Ta có: c 2 c 1 1 c 1 2 c 1 11,
2
2
b 2 b 2 2 b 2 4 b 2 22
2
2
a 2 a 3 3 a 3 6 a 3 32
2
2
Suy ra
a 2 b2 c 2 c 1 b 2 a 3
2
2
2
2 a b c 6 2 a b 5 2 a 3 11 22 32
Suy ra
a2 b2 c2 12 22 32 14 .
2.2.5.Dạng 4 Làm mạnh bất đẳng thức Cauchy
Xuất phát từ ý tƣởng rất đơn giản: Nếu có A B thì ta thu đƣợc bất đẳng thức
A B 0 1 mạnh hơn tùy thuộc vào độ gần 1 của . Chúng ta xây dựng một
số bất đẳng thức mạnh hơn nhờ việc đƣa tham số vào bất đẳng thức và các trƣờng hợp
đặc biệt của nó
Ví dụ 1: Với 0 , , 1 chứng minh rằng
1, a 2 b2 2ab a b ,
2
2, a 2 b2 c 2 ab bc ca
2
a b
2
2
b c
2
2
c a . 2.7.2
2
Giải
Ta có 2.7.1 1 a b 0
2
23
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức
a 2 b 2 2ab a b ,
2
b 2 c 2 2bc b c ,
2
c 2 a 2 2ca c a ,
2
Ta thu đƣợc 2.7.2 .
Ví dụ 2: Với a, b, c 0; 0 , , 1, chứng minh rằng
a 2 b2 c 2
2
2
2
a b c a b b c c a 2.7.3
b
c a
b
c
c
Giải
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức
a2
a
2
b 2a a b ,
b
b
2
b
2
c 2b b c ,
c
c
2
c
2
a 2c c a ,
a
a
Ta thu đƣợc 2.7.3
Ví dụ 3: Với m,n là các số tự nhiên, a, b, c 0 chứng minh rằng
a m n b m n
Trong đó 0 1
1 m
a bm a n bn a m bm a n bn 2.7.4
2
2
Giải
Ta có 2.7.4 1 a m bm
a
n
bn 0 hiển nhiên đúng
Ví dụ 4 Với a, b 0; m, n là các số tự nhiên, chứng minh rằng
a m n b mn a b
2
2
m n
a
4
m
bm a n bn . 2.7.5
Giải
Ta có
a m n b m n
1 m
a bm a n bn a m bm a n bn
2
2
24
Suy ra
m n
a m n b m n a b
m m n n
a b a b (đpcm)
2
4
2
Ví dụ 5: Với a, b 0; 0< <1 , chứng minh rằng
2 2
a3 b3 ab a b
a b2 a b
3
Giải
Ta có
a 3 b3 a b 2
2
a b a b
2
2 4
3
4 a 3 b3 a 3 b3 3ab a b 2
a 3 b3 ab a b
2 2
a b2 a b
3
Ví dụ 6: Với a, b, c 0; 0< , , 1 chứng minh rằng
a 3 b3 c 3
2 2
ab bc ca
a b2 a b
b c a
3b
2 2 2
2
b c b c c2 a2 c a
3c
3a
Ta có
a3
2 2
b2 a 2 ab
a b2 a b (áp dụng ví dụ 5)
b
3b
b3
2 2 2
c 2 b 2 bc
b c b c
c
3c
c3
2
a 2 c 2 ca c 2 a 2 c a
a
3a
Cộng các bất đẳng thức trên ta thu đƣợc bất đẳng thức (2.7.6)
Ví dụ 7 :Với a, b, c 0; 0< , , <1; m, n là các số tự nhiên chứng minh rằng
a m n b m n c m n
a
3
m
1 m
a b m c m a n b n c n a m b m a n b n
3
3
c m a n c n
b
3
m
c m b n c n 2.7.7
Giải
25
