Lịch Sử Toán Học Nhà Toán Học Gauss

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI

TIỂU LUẬN

CHUYÊN ĐỀ:

NHÀ TOÁN HỌC GAUSS

SVTH : Hồ Thị Kiều Trang
Nguyễn Thị Hồng Chiến
Lê Thanh Nhựt
Lớp
: Toán K35
Khoa : Tự Nhiên
Khóa : 2014-2017

Gia Lai, tháng 11năm 2016

LỜI CẢM ƠN


Qua những kiến thức tiếp thu ở trường do quý thầy cô truyền đạt và qua
những tìm hiểu bên ngoài, nay nhóm 9 đã hoàn thành đề tài“Nhà Toán Học
Gauss”.
Nhóm 9 xin chân thành cảm ơn:
Toàn thể quý thầy cô trường Cao Đẳng Sư Phạm Gia Lai. Đặc biệt là quý
thầy cô khoa Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, kinh
nghiệm quý báu cho nhóm 9 trong suốt thời gian qua.
Nhóm 9 xin chân thành biết ơn:
Thầy Nguyễn Trung Thiện đã dìu dắt, giúp đỡ tận tình nhóm 9 trong suốt

quá trình thực hiên tiểu luận này.
Tuy nhiên, do kiến thức và năng lực còn nhiều hạn chế nên không tránh
khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của quý thầy cô và sự đóng góp ý kiến
của các bạn để Tiểu Luận được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Gia Lai, tháng 11 năm 2016

ĐẶT VẤN ĐỀ


1. Tính cấp thiết của vấn đề
Năm 2015, là năm kỷ niệm Einstein như nhiều người biết. Ít được biết
hơn là năm 2015 cũng là năm kỷ niệm 160 năm ngày mất của Carl Friedrich
Gaus, ông hoàng của toán học (princeps mathematicorum) như các nhà toán
học đồng thời và các thế hệ sau tôn vinh. Laplace, nhà toán học Pháp nổi tiếng
thời đó, bảo rằng: "Nếu ai hỏi tôi ai là nhà toán học lớn nhất của Đức thì tôi
sẽ nói rằng đó là Johann Friedrich Pfaff; còn nếu hỏi tôi ai là nhà toán học lớn
nhất châu Âu thì đó chính là Carl Friedrich Gaus".
Xuất phát từ đó và được sự phân công và đồng ý của giáo viên ,nhóm 9 thực
hiện đề tài:“Nhà Bác Học Gauss”
2. Mục tiêu nghiên cứu
Cuộc đời, sự nghiệp và tầm ảnh hưởng của Gauss đến Khoa học nói
chung và Toán học thế giới.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Carl Friedrich Gauss.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Suốt cuộc đời của Carl Friedrich Gauss.

PHẦN I
CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CỦA GAUSS
I. Cuộc đời của Gauss.
- Carl Friedrich Gauss ( 30 tháng 4 năm 1777 – 23 tháng 2 năm 1855) là
một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều
đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi
phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học và quang học. Nổi
tiếng nhất là bài toán vẽ đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng thước kẻ và compa.Ông
được mệnh danh là "hoàng tử toán học",có ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát
triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard
Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của
lịch sử.Thiên tài của Gauss thể hiện từ lúc nhỏ. Người ta nói rằng lúc mới lên
3 tuổi, Gauss đã biết cha mình tính toán sai, và ông đã từng nói đùa rằng: “Tôi
học tính trước khi học nói”. Một hôm, ông giáo trường làng bắt học trò làm
phép tính cộng các số từ 1,2,3,… đến 100. Trong khi các bạn trong lớp loay
hoay làm tính cộng thì chỉ mấy giây đồng hồ, cậu bé Gauss đã có đáp số. Thầy
giáo ngạc nhiên, và cậu bé Gauss giải thích 1 +
100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … =50 + 51 nên kết quả
là 50.101 = 50500, lúc này Gauss mới 10 tuổi.
- Chính vì là một đứa bé có thiên tư đặc biệt
như vậy nên năm 15 tuổi đã nhận Quận công
vùng Brunswick cho học bổng ăn học ở trường
Trung học Collegium Carolinum là trường vừa
mới mở dành cho những học sinh có năng khiếu
đặc biệt. Trong ba năm học tại đây, Gaus vẫn
đam mê số học và cạnh đó cũng rất giỏi về cổ
ngữ và sinh ngữ. Thời gian này Gaus còn khám
phá ra qui luật Bode (tỉ lệ gần đúng khoảng
cách đến mặt trời của các hành tinh trong Thái

dương hệ) một cách độc lập và mở rộng định lý
nhị thức cho các số mũ hữu tỉ.
- Ba năm sau (1975) Gauss được vào Đại học Gottingen, tuy vẫn chưa dứt
khoát sẽ chuyên ngành về toán học hay ngữ văn. Năm sau, chưa đầy 19 tuổi,
Gauss đã khám phá ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa và từ đó quyết tâm theo đuổi toán học (cùng thiên văn và vật lý). và bắt
đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên.Năm 1798, Gauss trở về
Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra đời tác phẩm Disquisitiones
arithmetica


- Năm 1816 trở đi ông sống và làm việc luôn ở ngoại thành Gottingen . Gauss
đọc nhiều và học nhiều (Ông đọc thông viết thạo tiếng La tinh, tiếng Pháp,
tiếng Anh, đọc lưu loát nguyên bản của các nhà văn lớn như Charles Dickens
(Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ...),
những năm cuối cuộc đời ông còn học thêm thành thạo tiếng Nga.
- Sau khi Gauss mất, một người bạn ông là giáo sư sinh học Rudolph Wagner
được chấp thuận mổ óc ông để tìm hiểu bộ óc thiên tài này. Đến nay bộ óc của
Gauss vẫn còn được giữ nguyên vẹn ở trường đại học Gottingen.
II. Sự nghiệp của Gauss.
- Ông đã khám phá ra một số định lý toán học. Nổi tiếng nhất là bài toán vẽ đa
giác đều 17 cạnh chỉ bằng thước kẻ và compa, một bài toán làm đau đầu các
nhà
toán
học
trong
hơn
2.000
năm.
Ông là người đặt nền móng cho bộ môn Lý thuyết số với những công trình:
đồng dư, nghịch đảo toàn phương, định lý số nguyên tố, nghiệm của đa thức...

Ông đóng góp cho đại số các công trình Định lý cơ bản của đại số. Ông góp
phần phát triển số phức nhằm hoàn thiện dần môn đại số như ngày nay. Ông
cũng là người tuyên bố đã khám phá ra hình học phi Euclite.
- Những ngày đầu của thế kỷ XIX, các nhà Thiên văn đã phát hiện một hành
tinh nhỏ, đặt tên là Ceres. Hành tinh này ở giữa các quỹ đạo của Sao Hoả và
Sao Mộc. Nhưng sau đó thì các nhà Thiên Văn không tìm thấy Ceres nữa, dùng
kính viễn vọng cũng vô ích. Gauss bèn dùng một phương pháp Toán học mới,
dựa trên Lý thuyết các bình phương nhỏ nhất để xác định quỹ đạo của hành
tinh nhỏ Ceres. Cuối năm 1801 người ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ này đúng y
chỗ mà Gauss đã tính toán, ta thấy Gauss tài giỏi biết là dường nào. Bằng
thành tích này Gauss đã mở ra một con đường mới trong tính toán Thiên văn:
phương pháp tiếp cận bằng Toán học trong Thiên văn. Tên tuổi ông bắt đầu
vang dội. Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt và bị một cú sốc nặng vì
thất tình. Ông chán ghét nghề dạy học. Ông nghĩ một cách sai lầm rằng ông
không có gì để học tập các nhà Toán học khác và cho rằng những công trình
sáng tạo Toán học của ông như những ánh xạ bảo giác, độ cong của một
mặt không đáng giá gì so với những sáng tạo, tìm tòi của ông về Thiên vănTrắc địa, vì vậy ông nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn Gottingen
năm 1807. Năm 1809, một tai hoạ giáng xuống gia đình ông: vợ ông, bà
Johanna từ trần. Lần cưới vợ thứ hai là một gánh nặng đối với ông, ông trở
nên thô bạo với các con. Quay về với Trắc địa, ông bỏ rơi Toán học, chú ý đến


Thiên văn. Nhưng ông đã có bạn tâm giao mới là Wilhelm Weber đã mời
Gauss cùng nghiên cứu với mình đặt cơ sở cho Lý thuyết Từ học. Nhưng sự
hợp tác khoa học này không lâu vì năm 1837 Weber đã từ chối phục vụ chế độ
mới, thế là hai nhà Khoa học phải chia tay. Tuy vậy Gauss cũng đạt được
nhiều kết quả trong Vật lý như bài toán về mao dẫn, tinh thể học... Tuy không
trực tiếp giảng dạy nhiều ở Đại học, nhưng Gauss về cuối đời vẫn đào tạo
nhiều nhà Toán học giỏi như Eisenstein, Riemann và Dedekind.
PHẦN II

VAI TRÒ CỦA GAUSS ĐỐI VỚI LỊCH SỬ
I. Đối với toán học.
- Ông được mệnh danh là Ông hoàng của Toán học (Vua Toán học) hay Hoàng
tử Toán học. Tuy nói ông "bỏ rơi" Toán học nhưng hậu thế vẫn tôn vinh ông là
nhà Toán học lỗi lạc của thế kỷ, một trong những nhà Toán học vĩ đại của mọi
thời đại, và ở ngành Toán học nào cũng có dấu ấn đậm của ông. Người ta kể
lại rằng năm Gauss 18-19 tuổi chuẩn bị vào Đại học, đang phân vân không
biết chọn ngành Triết hay ngành Toán thì một sự kiện đã tạo nên bước ngoặc
trong đời của nhà Toán học vĩ đại tương lai này: với 80 trang giấy nháp,
Gauss đã giải quyết hết sức đẹp bài toán dựng đa giác đều 17 cạnh bằng
thước và compa. Từ thời cổ đại, bài toán này đã được đặt ra nhưng Gauss là
người đầu tiên đã giải quyết đẹp, trọn vẹn. Cơ sở lý luận của bài toán này đã
được Gauss trình bày trong Disquisitiones arithmetica. Ông nghiên cứu biểu
thức xp - 1 và p là một số nguyên tố. Ông chứng tỏ rằng những nghiệm của
biểu thức này được diễn tả từ một loạt phương trình có hệ số hữu tỷ mà bậc
là những ước nguyên tố của p - 1. Điều này báo trước những kết quả của
Galois, và Gauss đã chứng minh rằng một đa giác đều n cạnh dựng được nếu
và chỉ nếu n = 2m.p1...pk trong đó m là một số nguyên tự nhiên và p 1...pklà
những số Fermat. Vì vậy đa giác đều 257 cạnh hay đa giác dều 65537 cạnh
đều
dựng
được
bằng
thước
và
compa.
- Đầu đề của Luận án mà Gauss bảo vệ năm 1799 là một chứng minh của định
lý cơ bản của Đại số học: Mọi đa thức không phải là hằng, có hệ số thực, đều
có thể thừa số hóa thành tích của những đa thức bậc 1 hoặc bậc 2 với hệ số
thực (điều này có nghĩa là mọi đa thức không phải là hằng với hệ số thực đều

thừa nhận ít nhất một nghiệm trong trường số phức). Gauss cũng nhận xét
rằng những chứng minh D’alembert,Euler và Lagrange là chưa đầy đủ hoặc
sai. Trong chứng minh của mình năm 1799, Gauss đưa ra cách biểu diễn trong


mặt phẳng các số phức và đề nghị một cách tiến hành dựa vào hình học. Gauss
đưa ra hai cách chứng minh mới của định lý cơ bản của Đại số học, một cách
vào năm 1816 và một cách cuối cùng vào năm 1850. Để nghiên cứu tính chia
hết, Gauss đưa ra khái niệm hợp thức (đồng dư thức - congruence) mà
chúng ta đều đã biết: ta nói các số nguyên b và c là hợp thức suất a (hay b và c
đồng dư theo mod a) khi a chia hết cho (b - c), ta ký hiệu b ≡ c (mod a).
(ký hiệu ≡ là do ông đặt ra).
Ông còn tìm cách tổng quát hóa các quy tắc đại số áp dụng và đồng dư thức.
Ông cho ví dụ về điều kiện cần và đủ để giản ước hoặc chứng tỏ rằng xy ≡ 0
đưa đến x ≡ 0 hay y ≡ 0. Gauss còn giải phương trình ax + b ≡ 0. Ông còn cho
nhận xét rằng những tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong đẳng thức
vẫn còn giá trị trong đồng dư thức. Gauss còn tổng quát hoá luật về tính
nghịch đảo toàn phương đã dược Legendre chứng minh, ngày nay ta gọi đó là
những số nguyên Gauss. Gauss thích quay về một cách tiếp cận mới của Hình
học xem như áp dụng Giải tích và hình học, ngày nay ta gọi nó là Hình học vi
phân. Newton và Leibniz đã từng nghiên cứu các đường cong nhờ phép tính vi
phân mà hai ông vừa sáng tạo, Euler và Monge đã tổng quát đến không gian 3
chiều. Nhưng phải đợi đến Gauss thì vấn đề nghiên cứu các đường cong, các
mặt ở lân cận một điểm mới thật sự có hệ thống. Gauss còn tổng quát hoá
nghiên cứu của Huygens và Clairaut về độ cong của một đường cong phẳng
hay
ghềnh.
- Ông còn định nghĩa độ cong - ngày nay ta gọi là độ cong Gauss - của một mặt
và cho một biểu thức của độ cong ấy bằng phương trình đạo hàm riêng. Điều
này đưa tới việc nghiên cứu Trắc địa. Thiên tài của Gauss còn thể hiện ở

những lĩnh vực khác như Lý thuyết số, Lý thuyết các mặt.
II. Đối với khoa học.
- Gauss là người cẩn thận trong khoa học, tự trọng trong đời sống và là người
có sức làm việc phi thường. Ông chỉ cho đăng các công trình của mình sau khi
nó được hoàn thiện kỹ càng, qua phản biện và được khẳng định về tính đúng
đắn của khoa học.
- Chính vì điều này mà sau khi ông mất, người ta tìm thấy rất nhiều ghi chép
khoa học của ông chưa được công bố. Khẩu hiệu của ông là "ít nhưng chắc
chắn". Phải chăng đó là nguyên nhân mà ông không công bố công trình hình
học phi Euclite? Nhà viết sử Bell năm 1937 đã ước đoán rằng, nếu Gauss xuất
bản hết mọi công trình của ông từ lúc ông còn sống thì toán học đã có thể tiến


nhanh hơn 50 năm. Thật đáng kinh ngạc về đóng góp của cá nhân ông đối với
nhân
loại!
- Ông được nhận tước hiệu Công tước với mức lương cao. Vì nhiều lý do, trong
đó có việc ông đánh giá những đóng góp của mình cho toán học không xứng
được chu cấp nhiều như vậy, nên ông đã chuyển sang ngành thiên văn học.
Ông làm việc với chức danh Giám đốc Đài Thiên văn Đại học Gottingen từ
năm 1807 đến hết đời. Từ đó, ông tiếp tục đóng góp công sức của mình trong
lĩnh vực thiên văn học, quang học, từ học... Với toán học, ông tiếp tục khám
phá ra hình vi phân, sai số... ông cũng là người thầy của nhiều nhà khoa học
tài
năng.
- Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801 đã giúp
Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu
hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của ông
trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tênTheoria motus
corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết

về chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt
Trời). Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di
chuyển khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh
sáng Mặt Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh
sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó
không đủ chính xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ
liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo.
- Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải quyết
nó. Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào
tháng 12 năm 1801 – khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần
đầu – và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn
nửa độ. Các công trình của ông đã trở thành công cụ tính toán quan trọng cho
thiên văn học thời này. Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn
chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu
như một ngành khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo. Gauss đã chứng
minh chặt chẽ giả định về sai số theo phân bố Gauss (xem định lý GaussMarkov ).Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc
địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng
chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử
dụng khả năng tính toán phi thường của ông. Ông thường viết cho Heinrich
Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel,
nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề. Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss
đã phát minh máy heliotrope sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh
sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.
- Thành tựu khoa học vĩ đại của Gauss đã được nhân loại ghi nhận Tên ông
được đặt cho một hố trên bề Mặt Trăng, một hành tinh. Ảnh ông được in trên


mặt đồng tiền của Đức. Giải thưởng Gauss được thành lập năm 2006, dành
tặng cho những thành tựu toán học ứng dụng vào các ngành khác và cuộc
sống. Tại Canada, cuộc thi toán cho học sinh trung học mang tên ông.

PHẦN III
THÀNH TỰU TIỂU BIỂU
Gauss và tổng các dãy số
Có một huyền thoại kể về tài năng của một nhà toán học. ( cũng thật khó để biết
trong đó có bao nhiều phần sự thật) Đó là câu chuyện kể về nhà toán học Carl
Friedrich Gauss khi là một cậu học sinh 10 tuổi. Một lần, giáo viên toán của
Gauss muốn nghỉ ngơi một chút. Vì thế ông ta đã đưa ra một bài toán mà ông ta
nghĩ rằng có thể làm cho các học sinh trong lớp phải bận rộn khoảng 1h hoặc
hơn nữa. Bài toán đó là tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss gần
như là ngay lập tức viết ra đáp án chính xác (5050) và ngồi dưới với cánh tay
giơ cao bảng ghi đáp án. Chúng ta cũng chẳng cần bàn thêm về sự ngạc nhiên
của ông Thầy ( đơn giản vì ông ấy cũng chỉ nghĩ đến cách ngồi cộng 100 số ấy
lại). Và đây là cách mà cậu bé đã làm:
Gauss để ý rằng 100 số nguyên có thể được sắp xếp thành 50 cặp:
1

2

3

4

5

…

50

100

99

98

97

96

…

51

Mỗi cặp tổng là 101 và có 50 cặp như vậy, vì thể tổng sẽ là 101. 50=5050
Ý tưởng này cũng dễ dàng giúp ta tìm ra công thức tính tổng của các dãy số “
cách đều nhau” bất kì ( cấp số cộng).
Bài toán đặt ra khiến ta cứ đinh ninh rằng phải làm như thế ( phải cộng 100 số
trên lại chứ sao nữa, đề bài yêu cầu thế mà!) ấy vậy mà lại có những cách giải
chẳng hề làm như thế. Cách giải mới làm cho ta cảm thấy thú vị, sáng tạo quá.
Bài toán ngỡ khó khăn giông dài mà lời giải lại giản đơn lạ kì. Toán học là như
vậy, nó chính là tư duy… ở đấy ta thấy được những ý tưởng tinh tế, ý vị. Những
suy nghĩ sáng tạo mới mẻ mà lại cũng thật là gần gủi giản đơn. Một vẻ đẹp rất
riêng của toán học! Người ta thường nói nhiều đến niềm vui khi học toán, tuy
nhiên không nhất thiết bạn phải phát minh ra những ý tưởng độc đáo, chỉ cần
cảm nhận được một cách sâu sắc, chỉ cần thấy tâm trí như sáng bừng lên khi
hiểu được một ý tưởng thú vị… khi ấy bạn đã nhận được nhiều biết bao niềm
vui của toán học rồi.

BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU.
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường
hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp
trong dãy + 1
Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng
bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2
Trong quá trình BDHSG ta thấy các dạng bài liên quan đến bài toán
tính tổng của dãy số có quy luật cách đều rất đa dạng và phong phú,
đòi hỏi học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt 2 bước giải trên.
Sau đây tôi xin giới thiệu một vài ví dụ cho thấy sự vận dụng kiến
thức cơ bản của dạng toán một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ
thể.
Ví dụ : Tính giá trị của A biết:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.
Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy
luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ
bản ở trên.
Bài giải
Dãy số trên có số số hạng là:
(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)
Giá trị của A là:
(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105
Đáp số: 2029105