ĐẠI SỐ SƠ CẤP: PHÉP CHIA ĐA THỨC

PHÉP CHIA ĐA THỨC
I.

Phép chia có dư.
1. Định lý: ,
2.

với .
Định nghĩa: , .
Nếu có để
Với thì

3.

Ví dụ:
VD1: Cho 2 đa thức . Ta thực hiện phép chia cho như sau:

Vậy =. Phép chia trong trường hợp này dược gọi là phép chia có dư, 1 gọi là
dư.
VD2: Cho 2 đa thức và . Ta thực hiện phép chia cho như sau:

Vậy . Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư, gọi là
dư.
II.
1.

Phép chia hết.
Định nghĩa: ,
Nếu có sao cho thì
Ta có:

Khi đó: là bội của hay là ước của .
2.

Tính chất:
TC1:
TC2:với
TC3: =>
TC4: =>

3.

Ví dụ:
VD1: Cho 2 đa thức:
Tính chia cho
Ta thực hiện phép chia cho như sau:

Phép chia trong trường hợp này có dư bằng 0, ta được thương là . Khi đó ta có:

Khi đó, phép chia có dư bằng 0 là phép chia hết.
III.

Định lí BơDu (Bezout):

Trong phép chia đa thức thì trường hợp đơn giản nhất xong quan trọng nhất và
nhiều ứng dụng nhất là trường hợp chia hết cho đa thức , với . Định lí sau đây
sẽ cho ta biết ngay cách tìm dư trong phép chia đó.
1.

Định lí BơDu:

Dư của phép chia đa thức cho là giá trị .
Chứng minh: Theo định lí về phép chia có dư, ta có:
Trong đó: hoặc (Vì bậc của là 1), nghĩa là là 1 hằng số thuộc trường P. Mặt
khác ta có:


2.
3.

IV.

Mà là đa-thức-hằng, có giá trị tại c bằng nên hay số dư là hằng số .
Hệ quả: chia cho ) khi và chỉ khi , nghĩa là c là nghiệm của .
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia đa thức cho
Giải:
Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia cho đúng bằng .
Có
Vậy số dư của phép chia đa thức cho bằng .
Sơ đồ Hoocne (Horner):

Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức
bất kì cho
Giả sử:
Chia cho ,ta được thươngcó bậc
Và dư là hằng số nghĩa là:
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có

……………

Từ đó suy ra

…………..

…………...

………….

Dãy đẳng thức truy hồi đó được trình bày trong sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne:

…

c

…

…

…

Quy tắc: Mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng ngay trước nó
cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên.


Cách nhớ : Nhân ngang cộng chéo.
Ví dụ 1: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức
cho mà không cần thực hiện phép chia.
Giải: Sử dụng sơ đồ Hoocne , ta có:

Vậy đa thức thương là và dư là 0.
Ví dụ 2: Tìm đa thức thương và dư của phép chia đa thức

cho mà không cần sử dụng phép chia.
Sử dụng sơ đồ Hoocne ta có:

Vậy đa thức thương là và dư .

*Tổng quát:

V. Bài tập
1.

Tìm những đa thức còn thiếu trong bảng sau. Trong phép chia với là
thương, là số dư.


2.

3.

4.

5.

Thực hiện các phép chia dưới đây.
a. ;
b. ;
Cho 2 đa thức sau:
Tìm giá trị của để .
Dùng sơ đồ Hoocne tìm thương và số dư của các phép chia sau.
a.
b. (

Tìm số dư sau của phép chia sau mà không cần thực hiện phép chia.
a.
b.
c. (