Các phương pháp xác định nguyên hàm Lê Bá Bảo

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:
1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm
số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K .
b. Định lí:
1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x 
trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số.
Do đó F  x   C , C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K .
Ký hiệu

 f  x  dx  F  x   C

.

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

  f  x  dx   f  x  và  f '  x dx  f  x  C

 kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
Tính chất 2:

Chú ý:

  f  x  .g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx;

f  x

 g  x

dx 

 f  x  dx .
 g  x  dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm
số hợp u  u  x 
u  ax  b; a  0 
sơ cấp



 0dx  C

 0du  C

 dx  x  C

 du  u  C

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

1



CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

x



dx 

1  1
x C
 1

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

  ax  b 



  1

  1
1

 1
1 1
dx  .
ax  b   C

a  1

1

1

 ax  b dx  a ln ax  b  C

 e dx  e

e

x

C



ax  b

1

1
dx  e axb  C
a

 e du  e
u

u

C

u
 a du 

 a  0, a  1

 a  0, a  1

 a  0, a  1

 sin xdx   cos x  C

 sin  ax  b  dx  

 cos xdx  sin x  C

 cos  ax  b  dx 

1
 cos2 x dx  tan x  C

 cos  ax  b  dx 

1
 sin2 x dx   cot x  C

cot  ax  b 
1
d
x


C
 sin2  ax  b 
a

ax
C
ln a

C

 u du  ln u  C

1 Aax b
ax  b
A
d
x


.
C

a ln A

x
 a dx 

 1

  1

 x dx  ln x  C
x

1

 u du    1 u

cos  ax  b 
a

sin  ax  b 
a

1

2

a

 sin udu   cos u  C

C

 cos udu  sin u  C

C

tan  ax  b 

au
C
ln a

1

 cos

C

2

u

1

 sin

2

u

du  tan u  C

du   cot u  C

II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu

 f u du  F  u  C và u  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì
 f u  x  u '  x  dx  F u  x   C

Hệ quả: Nếu u  ax  b  a  0  thì ta có

 f  ax  b  dx  a F  ax  b   C
1

2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì

 u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   u '  x  v  x  dx
Vì v '  x  dx  dv, u '  x  dx  dv nên đẳng thức còn được viết dưới dạng:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

2

 udv  uv   vdu

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
Nhóm kỹ năng:

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Xác định:
a)

  x  1  2x  1 dx.
2

b)

x4  3x2  4 x  2
dx.

x

c)

 4

3



x  3 4 x dx.  x  0  .

Lời giải:
a) Ta có:

  x  1  2x  1 dx    x
2

2







 2 x  1  2 x  1 dx   2 x3  3x2  1 dx 

x4
 x 3  x  C.
2

x 4  3x 2  4 x  2
 3
2
x 4 3x 2
b) Ta có: 

dx    x  3x  4   dx  
 4 x  2 ln x  C.
x
x
4
2

c) Ta có, với x  0 :



4

5

1
 1

4 x 3 3x 4
12
4 3 x  3 4 x dx    4 x 3  3x 4  dx 

 3 x 3 x  x 4 x  C.
4
5
5


3
4



Ví dụ 2: Xác định:
a)  4

2 x 1



b)  e 2  e
x

dx.

x



2

e2x  2  e4x
dx.
c) 
ex

dx.

Lời giải:
a) Ta có:  42 x 1 dx 

4 2 x 1
 C.
2 ln 4

4 2 x  1 4 2 x 1 4 2 x
1
1 4x



.16 x 
.2 (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm).
Nhận xét:
2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2
ln 2



b) Ta có:  e x 2  e x
c) Ta có:



2









dx   e x 4  4e x  e 2 x dx   4e x  4e 2 x  e 3 x dx  4e x  2e 2 x 

e3x
 C.
3

e2x  2  e4x
e3x
e5x
3x
x
5x
x
d
x

e

2
e

e
d
x



2
e

 C.
 ex

3
5





Ví dụ 3: Xác định:
a)

  2 sin 4x  3cos 5x  1 dx.

c)  2 sin 4 3xdx.

b)

  4 sin

d)

  sin

4

2



2 x  6 cos2 x dx.



2x  cos4 2 x dx.

Lời giải:
a) Ta có:

  2 sin 4x  3cos 5x  1 dx  

cos 4 x 3sin 5x

 x  C.
2
5

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
b) Ta có:



  4 sin

2

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG



2x  6 cos2 x dx   2 1  cos 4 x   3 1  cos 2 x  dx    3cos 2 x  2 cos 4 x  5  dx

3sin 2 x sin 4 x

 5 x  C.
2
2



c) Ta có: 2 sin 3x  2 sin 3x
4

2



2

2

 1  cos 6 x 
1
 2
 1  2 cos 6 x  cos 2 6 x

2
2







1
1  cos12 x  3
cos12 x
  1  2 cos 6 x 
  2 cos 6 x 
.

2
2
4
 4
3
cos12 x 
3x sin 6 x sin12 x
Vậy  2 sin 4 3xdx     2 cos 6 x 

dx 


 C.

4 
4
3
48
4
1
1 1  cos 8 x 3 cos 8 x
d) Ta có: sin 4 2 x  cos4 2 x  1  sin 2 4 x  1  .
 
.
2
2
2
4
4

Vậy

  sin

4

 3 cos 8 x 
3
sin 8 x

2 x  cos4 2 x dx    
dx  x 
 C.

4 
4
32
4



Ví dụ 4: Xác định:
a)  2 sin 3x cos 2xdx.

b)  6 sin 4x sin 2xdx.

c)  cos 5x cos 2xdx.

d)  8 sin 3x cos 2x sin 6 xdx.

Lời giải:
a) Ta có:  2 sin 3x cos 2 xdx    sin x  sin 5x  dx   cos x 
b) Ta có:  6 sin 4 x sin 2 xdx  3  cos 2 x  cos 6 x  dx 
c) Ta có:  cos 5x cos 2 xdx 

cos 5x
 C.
5

3sin 2 x sin 6 x


 C.
2
2

1
sin 3x sin 7 x
cos 3x  cos7 x  dx 

 C.


2
6
14

d) Ta có: 8 sin 3x cos 2x sin 6 x  4  sin x  sin 5x  sin 6 x  4 sin x sin 6 x  4 sin 5 x sin 6x

 2  cos 5x  cos7 x   2  cos x  cos11x   2 cos x  2 cos 5x  2 cos7 x  2 cos11x .
Vậy  8 sin 3x cos 2x sin 6 xdx    2 cos x  2 cos 5x  2 cos7 x  2 cos11x  dx

 2 sin x 

2 sin 5x 2 sin 7 x 2 sin11x


 C.
5
7
11

Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau:
1)

  3x  1  2x  1 dx.
2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

x4  7 x2  2x  5
dx.
2) 
x2
4

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
3)

 4

3



x  5 x dx.  x  0  .



5)  e 2 x 3  e  x
7)

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG



2

4)  92 x1 dx.

dx.

  3sin 2x  2 cos7 x  1 dx.

6)

e2x  2  e4x
dx.

ex

8)

  2 sin
  sin



2

2 x  4 cos2 4 x dx.

4

x  cos4 x dx.



9)  6 sin 4 2 xdx.

10)

11)  8 sin 3x cos 6 xdx.

12)  10 sin 2x sin 8xdx.

13)  4 cos 5x cos 3xdx.

14)  16 sin 2 x cos 3x sin 6 xdx.

Nhóm kỹ năng:

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC

Nội dung:
Để tìm nguyên hàm của hàm số

P( x )

, trong đó P( x), Q( x) là các đa thức, ta thực hiện như
Q( x)

sau:
- Nếu bậc của P( x) không nhỏ hơn bậc của Q( x) , thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu
biễn:

P ( x)
P ( x)
P( x)
 M( x)  1
, trong đó M( x) là đa thức, và 1
là phân thức có bậc của
Q( x)
Q( x)
Q( x)

P1 ( x) nhỏ hơn bậc của Q( x) .
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc
nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm:

Q( x)  ( x  a)m ...( x2  px  q)n

  p2  4q  0

- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản:
P( x)

 x  a  x
m

2

 px  q

A1



  x  a
n



x

2



Am
A2
 ... 
 ...
m 1
x

a



 x  a

B1 x  C1
2

 px  q

B2 x  C2



 x
n

2

 px  q



n 1

... 

Bn x  Cn

x

2

 px  q



- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A1 , A2 ,..., Am , B1 ,..., Bn .
Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa
thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản.
LUYỆN TẬP:
Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

5

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

a) I1  

3x  1
dx
x4

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

b) I 2  

x4  4x  2

dx
2x  1

Lời giải
a) Ta có: I1  
b) Biểu diễn:

3x  1
3( x  4)  13
1
dx  
dx   3dx  13
dx  3x  13ln x  4  C
x4
x4
x4

x4  4 x  2 x3 x2 x 47 1
1
   
 .
2x  1
2 6 12 24 24 2 x  1

Lúc đó:
I2  

 x3 x2 x 31 63 1 
x4  4x  2
x 4 x 3 x 2 31x 63

dx        .
d
x

  
 ln 2 x  1  C.

2x  1
2
4
8
16
16
2
x

1
8
12
16
16
32



Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau:
a) I1  

3
dx

x 4
2

b) I 2  

1
dx
x  5x  6
2

c) I 3  

1
dx
2 x  3x  1
2

Lời giải
a) Ta có:

I1  

3
1
3 ( x  2)  ( x  2)
3  1
1 
3 x2
dx  3
dx  

dx   

dx  ln
C

( x  2)( x  2)
4 ( x  2)( x  2)
4  x2 x2
4 x2
x 4
2

b) Tương tự:

I2  

1
1
( x  2)  ( x  3)
 1
1 
x3
dx  
dx  
dx   

dx  ln
C

( x  2)( x  3)

( x  2)( x  3)
x2
x  5x  6
 x3 x2
2

c) Phân tích:

1

2 x  3x  1
2

1

1
2  x  1  x  
2




1
  x  2    x  1 
1
1

dx
Hướng 1: I 3   2
dx  

dx    


1

1 
2 x  3x  1
2  x  1  x  
  x  1  x  2  
2


 




 1
1 
x 1
2x  2
 

 C  ln
C
 dx  ln
1
2x  1
 x  1 x  1 
x


2
2
Hướng 2: I 3  

1
1
(2 x  1)  2( x  1)
dx  
dx  
dx
2 x  3x  1
 x  1 2x  1
 x  1 2x  1
2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

 1
2 
x 1

 

dx  ln x  1  ln 2 x  1  C  ln
C

2x  1
 x  1 2x  1 
Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:

a)

2x  1
 x2  5x  4dx

b)

x2  x
 x2  5x  6dx

c)

2 x3  x
 x2  3x  2dx

Lời giải

2x  1
2x  1
A

B



x  5x  4  x  1 x  4  x  1 x  4

a) Phân tích:

2



Cách 1: (*) 

2x  1
A( x  4)  B( x  1)

(*)
 x  1 x  4   x  1 x  4 

 A  B x   4 A  B
2x  1

 x  1 x  4 
 x  1 x  4 

A  B  2
 A  1
 2 x  1   A  B  x   4 A  B   


4 A  B  1 B  3

Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x  1  A( x  4)  B( x  1) (**)
Thay x  1 vào (**): 3  3 A  A  1.
Thay x  4 vào (**): 9  3B  B  3.
Lúc đó:

2x  1
1
3



x  5x  4 x  1 x  4
2

Cách 3:

x

2

x

2

2x  1
1
1
dx   

dx  3
dx   ln x  1  3ln x  4  C
x 1
x4
 5x  4

 2

2  x  1  3
2x  1
2x  1
3

dx  
dx  
dx   
dx.
 x  4  x  1 x  4  
 5x  4
 x  1 x  4 
 x  1 x  4 



Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:
a) I1  

x2  x  4
dx

x 3  3x 2  2 x

b) I 2  

x2  1

dx

 x  1  x  3
2

c) I 3  

x2

 x  1

5

dx

Lời giải
a) Phân tích:

x2  x  4
x2  x  4
x2  x  4


x( x  1)( x  2)

x 3  3x 2  2 x x x 2  3x  2



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…



7

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

x2  x  4
A
B
C
Sử dụng đồng nhất thức:
 

x( x  1)( x  2) x x  1 x  2

x 

x2  x  4
A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1)


x
x( x  1)( x  2)
x( x  1)( x  2)



 x2  x  4  A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1) x (*)
Thay x  0 vào (*), ta được: 4  2 A  A  2
Thay x  1 vào (*), ta được: 4  B  B  4
Thay x  2 vào (*), ta được:  6  2C  C  3 .
Lúc đó: I1  
b) Phân tích:

x2  x  4
 2 4
3 
dx    

dx  2 ln x  4 ln x  1  3ln x  2  C
3
2
x  3x  2 x
 x x 1 x  2 
x2  1

 x  1  x  3
2





A
B
C


2
x  1 ( x  1) x  3

x2  1

 x  1  x  3 
2





 x 

A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C( x  1)2

 x  1  x  3 

 x 

2

x 2  1  A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C( x  1)2

x 

(*)

1
Thay x  1 vào (*) ta được: 2  4 B  B  .
2
5
Thay x  3 vào (*) ta được: 10  16C  C  .
8

Thay x  0 vào (*) ta được: 1  3 A  3B  C  A 

3B  C  1 3
 .
3
8

 3
5 
1
3
1 1
5
8
2

dx  


 8 dx  ln x  1  .
 ln x  3  C
Lúc đó: I 2  
2
2


8
2 x 1 8
 x  1 ( x  1) x  3 
 x  1  x  3 


x2  1

c) Phân tích:

x2

 x  1

5



A
B
C
D

E




2
3
4
x  1 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)5

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1)

2
 4x2  9dx

2)

2x  1
 x2  5x  4dx

3)

2x3  x
 x2  3x  2dx

4)

2x  6
  x  2  3x  1dx

5)

x2  2 x  6
  x  1 x  2  x  4 dx

6)

 x  x  3 dx

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

8

x2

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
x3  x
7)  2
dx
x  6x  5
10)



8)

x3  2x

x



1

2

dx
2



11)





1
x2  2 x



NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

2

5x3  17 x2  18 x  5
9) 
dx
3
 x  1  x  2 

dx

x2  1

dx

12)

 x  1  x  3
2

Nhóm kỹ năng:

x5  1
 x4  8x2  16dx

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
I   f ( x)

DẠNG 1:

sin x

cosx

dx , trong đó f ( x) : đa thức.


 du  f / ( x)dx
u  f ( x)
Phương pháp: Đặt 
dv  sinxdx chän: v   sin xdx



Ví dụ 1: Xác định:
a)

  x  1 sin 2xdx.

b)

x

2



 x cos xdx.

Lời giải

u  x  1  du  dx


a) Đặt 
cos 2 x
sin 2 xdx  dv  chän v  


2
Ta có:

  x  1 sin 2xdx  

 x  1 cos 2x 
2



 x  1 cos 2x  sin 2x  C.
cos 2 x
dx  
2
2
4

2

u  x  x  du   2 x  1 dx
Đặt 
. Ta có:

cos xdx  dv  chän v  sin x

Xét

 x

2







 x cos xdx  x2  x sin x    2x  1 sin xdx.

u  2 x  1  du  2dx

  2x  1 sin xdx. Đặt sin xdx  dv

 chän v   cos x

  2x  1 sin xdx    2x  1 cos x   2 cos xdx    2x  1 cos x  2 sin x  C .
Vậy   x  x  cos xdx   x  x  sin x   2x  1 cos x  2 sin x  C '.

Ta có:

2

2

I   f ( x).e x dx , trong đó f ( x) : đa thức.

DẠNG 2:

u  f ( x)
 du  f / ( x)dx

Phương pháp: Đặt 
dv  e x dx chän: v   e x dx



Ví dụ 2: Xác định:
a)

  x  1 e

2x

dx.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

b)

9

x

2



 4 x e x dx.

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Lời giải
u  x  1  du  dx

a) Đặt  2 x
e 2 x . Ta có:
e
d
x

d
v

chän
v



2

2x
  x  1 e dx 

2

u  x  4 x  du   2 x  4  dx
b) Đặt  x
. Ta có:
x

e dx  dv  chän v  e

Xét

 x

2

 x  1 e



2x

2







 x  1 e
e2x
dx 
2
2

2x



e2x
 C.
4

 4x e x dx  x2  4x e x    2x  4  e x dx


u  2 x  4  du  2dx
.
x
x


chän
v
e


  2x  4  e dx . Đặt e dx  dv
x

  2x  4  e dx   2x  4  e   2e dx   2x  4  e  2e
Vậy   x  4x  e dx   x  4x  e   2x  4  e  2e  C '.
x

Ta có:

2

x

x

2

x

x

x

I   f ( x)

DẠNG 3:

x

x

 C.

x

ln x
dx , trong đó f ( x) : đa thức.
log a x

1

 du  dx
u  ln x
x
Phương pháp: Đặt 
dv  f ( x)dx chän: v  f ( x)dx


Ví dụ 3: Xác định:
a)



  2x  1 ln xdx.



b)  x ln x2  x dx.

Lời giải

1
u  ln x  du  dx
.
a) Đặt 
x
 2 x  1 dx  dv  chän v  x 2  x


Ta có:

  2x  1 ln xdx   x

2







 x ln x    x  1 dx  x 2  x ln x 

x2
 x C
2


2x  1

2
u  ln x  x  du  x 2  x dx
a) Đặt 
2
 xdx  dv  chän v  x

2





2
x2
1 x  2 x  1
2
Ta có:  x ln x  x dx  ln x  x  
dx
2
2
x2  x



2







x2
1 
1 
x2
x2 x 1
2
2
 ln x  x    2 x  1 
dx  ln x  x    ln x  1  C.
2
2 
x  1 
2
2 2 2





Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…





10

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Bài tập tƣơng tự:
1) Xác định các nguyên hàm sau:

I1   x sin xdx

I 2   x cos 2xdx

I 3   2x cos2 xdx

I 4    2x  1 cos2 xdx

I 5   x2  1 sin xdx

I 6   x  cos2 x sin xdx

I9  

I10   x 2 cos2 x  1 dx

x  sin x
dx
cos2 x
x sin x
dx

I11  
cos3 x

I13   sin xdx

I14   x tan 2 xdx

I15   x2  2x  3 cos xdx





I7   x  sin 2 x cos xdx









I8  



x
dx
cos2 x





x  sin x
dx
1  cos x

I12   x sin xdx







x
dx
cos 2 x  1

I17   x2  5 sin xdx

I18  

I1   xe x dx

I 2   x2 e x dx

I 3    x  1 e 2 x dx

I 4   e x dx

I 5   x3 e x dx

I 6   2 x xdx

I8   e cos x .sin 2xdx

I 9   e xln x dx

I 2   x ln xdx

I 3   ln 2 xdx

I 5   log 2  x  3  dx

I 6   lg xdx

I16  

2) Xác định các nguyên hàm sau:
2

2





I7   x2  2x  1 e x dx
3) Xác định các nguyên hàm sau:

I1   ln xdx
I4  

ln xdx
x

I7   2x ln 1  x  dx





I10   ln x2  1 dx

I13  

ln x
dx
x3

I16  

ln x









I 8   x ln 1  x2 dx

I 9   ln x2  x dx

I11   x2 lnxdx

I12   x3 ln 2 xdx

I14  

ln  ln x 
x

dx

I15   1  ln x  dx
2

I17   x ln x2  1 dx

 x2  1 
I18   
 ln xdx
 x 

I1   e x cos xdx

I 2   cos  ln x  dx

I 3   sin x.ln(tan x)dx

I 4   5e x sin 2 xdx

I 5   e 3 x .sin 5xdx

I6   cos x.ln 1  cos x  dx

 x  1

2

dx





4) Xác định các nguyên hàm sau:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG





I7   e 2 x sin 2 xdx

I8   sin x ln  cos x  dx

I 9   ln x2  x dx

I10    x  cos x  sin xdx

I11   x sin x cos2 xdx

I12   ( x ln x)2 dx

Nhóm kỹ năng:

ĐỔI BIẾN
a) A   tan xdx.

Ví dụ 1: Xác định

b) B   cot xdx .

Lời giải
a) A   tan xdx  

sin x
dx
cos x

Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Khi đó: A   
b) B   cot xdx  

dt
  ln t  C   ln cos x  C .
t

cos x
dx
sin x

Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Khi đó: A  

dt
 ln t  C  ln sin x  C .
t

Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f  x  trong các trường hợp sau:
a) f  x   e1cos x sin x.

b) f  x   sin3 x cos5 x.

Lời giải

a) I   f  x  dx   e1cos x sin xdx.
Đặt t  1  cos x  dt   sin xdx. Khi đó: I   et dt  et  C  e1cos x  C.





b) I   f  x  dx   sin3 x cos5 xdx  sin x 1  cos2 x cos5 xdx.
Đặt t  cos x  dt   sin xdx.









Khi đó: I    1  t 2 t 5dt   t 7  t 5 dt 

t8 t6
cos8 x cos6 x
 C

 C.
8 6
8
6

Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:
a) A  

9 x2  12 x
dx.
x3  2 x2  5

b) B  

Lời giải



x 1
x1

dx.



3 3x 2  4 x
9 x2  12 x
dx   3
dx.
a) A   3
x  2x2  5
x  2x2  5





Đặt t  x3  2x2  5  dt  3x2  4x dx. Khi đó: A  

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

12

3dt
 3ln t  C  3ln x3  2 x 2  5  C.
t

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
b) B  

x 1
x1

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

dx.

Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx.
Khi đó: B  

t

2



1 1
t

 t3

2tdt  2  t 2  2 dt  2   2t   C
3






2 x  1  x  5
 x1

 2 x 1
 2 C 
 C.
3
 3


Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:
a) A  

 ln x  1

2

x

dx
.
x ln x ln  ln x 

b) B  

dx.

Lời giải
a) A  

 ln x  1

2

x

dx.

 ln x  1  C.
t3
dx
2
Đặt t  ln x  1  dt  . Khi đó: A   t dt   C 

x
3
3
dx
.
b) B  
x ln x ln  ln x 
3

Đặt t  ln  ln x   dt 

1
dt
dx. Khi đó: I    ln t  C  ln ln  ln x   C.
x ln x
t

Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau:
a) I  

ex  1
dx.
x  ex

b) J  

sin x  cos x

 sin x  cos x 

2

dx.

Lời giải
a) I  

ex  1
dx.
x  ex





Đặt t  1  e  x  dt  1  e  x dx . Khi đó: I  
a) J  

sin x  cos x

 sin x  cos x 

2

dt
  ln t  C   ln 1  e  x  C.
t

dx.

Đặt t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx . Khi đó: J  

dt
1
1
  C  
C .
2
t
sin x  cos x
t

Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
1) A  

1  cot x
dx.
sin 2 x

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

6) F  
13

1  3ln x ln x
dx.
x

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
2) B  

cos  ln x 
x

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
7) G   e cos2 x sin x cos xdx.

dx.

1

3) C   sin2 x cos3 xdx.

8) H  

ex  ex
4) D   x  x dx.
e e

9) I  

5) E   x3 3 x2  1dx.

10) K   cos4 xdx.

Nhóm kỹ năng:

a) I   tan xdx.

Lời giải
a) Ta có: I   tan xdx  
b) Ta có: I   cot xdx  

sin 2 x
dx.
4  cos 2 x

b) I   cot xdx.

d  cos x 
sin x
dx   
  ln cos x  C.
cos x
cos x

d  sin x 
cos x
dx  
 ln sin x  C.
sin x
sin x

1  2sin 2 x
dx .
a) I  
1  sin 2 x

Ví dụ 2: Xác định

a) Ta có: I  

dx.

DÙNG VI PHÂN

Ví dụ 1: Xác định

Lời giải

x x2  1





b) I   e sin x  cos x cos xdx .

1  2sin 2 x
cos2 x
1 d  1  sin 2 x  1
dx  
dx  
 ln  1  sin 2 x   C.
1  sin 2 x
1  sin2 x
2

1  sin2 x
2

Nhận xét: So với phép đổi biến t  1  sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn.





b) Ta có: I   e sin x  cos x cos xdx   e sin x cos xdx   cos2 xdx   e sin x d  sin x   

1  cos 2 x
dx
2

1
1
 e sin x  x  sin 2 x  C.
2
4
a) I  

Ví dụ 3: Xác định

dx
.
x
e 1

b) I  

e x dx

1  e 
x

3

Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:









ex  1  ex
d ex  1
dx
ex
I x

dx  dx   x
dx   dx   x
e  1  ex  1
e 1
e 1

 x  ln e x  1  C.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

14

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
b) Ta có: I  

e x dx

1  e 
x

3



  1  ex



3

2

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG



d 1  ex

x 3 dx
a) I   2
.
x 1

Ví dụ 4: Xác định



1  e 

x

 3 1
2

 3 1
2

C 

3
1  ex

 C.

4x3
b) I   2
dx.
2 x  3x  1

Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:









2
x2  1  1 .xdx
x3dx
x2 .xdx
xdx
1 d x 1
I 2


  xdx   2
 xdx   2
2
x  1  x2  1 

x2  1
x 1 
x 1



x2 1
 ln x2  1  C.
2 2





2
4x3
7x  3
7 2 x  3x  1 ' 9
1
b) Phân tích:
 2x  3  2
 2x  3  .
 . 2
2
2
4 2 x  3x  1
4 2 x  3x  1
2 x  3x  1
2 x  3x  1









2
2
7 2 x  3x  1
9  2 x  1  2  x  1
7 2 x  3x  1
9 1
2 
 2x  3  .
 .
 2x  3  .
 

2
2
4 2 x  3x  1
4
( x  1)(2 x  1)
4 2 x  3x  1
4  x  1 2 x  1 
/



/



/


2 x 2  3x  1
7
9 1
2 

 

dx
Suy ra: I   2 x  3  .

4 2 x 2  3x  1
4  x  1 2 x  1  







2
7 d 2 x  3x  1 9
1

9 d  2 x  1
   2 x  3  dx  

d
x

4
4  x 1
4  2x  1
2 x 2  3x  1
7
9
9
 x2  3x  ln 2 x2  3x  1  ln x  1  ln 2 x  1  C.
4
4
4





Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:

3x
1) I   2
dx
x 1





4) I   e sin x .cosx  tanx dx
7) I  

sin2 x.cosx
dx
1  cosx

ln 2 x  ln x  4
2) I  
dx
2x
sin 2 x
5) I  
dx
cos2 x  4sin 2 x

e x dx
3) I   x
e 2
dx
6) I   x
e  2e  x  3

8) I   x3 . 1  x2 dx

9) I  

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

15

x2  e x  2x2 e x
dx
2e x  1

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:
Câu 1.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên

 a; b 

và C là hằng số thì

 f  x  dx  F  x   C .

B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  .
C. F  x  là họ nguyên hàm của f  x  trên  a; b   F /  x   f  x  , x   a; b  .

D.

  f  x dx 

 f  x  , x   a; b  .

/

Lời giải

Phương án C sai, vì F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên chỉ kéo theo được

F /  x   f  x  , x   a; b   Chọn đáp án C.
Câu 2.

Khẳng định nào sau đây là sai?
A.  0dx  C ( C là hằng số).
C.


 x dx 

B.

x 1
 C ( C là hằng số).
 1

1

 x dx  ln x  C

( C là hằng số).

D.  dx  x  C ( C là hằng số).

Lời giải
Ở phương án C, trường hợp   1 thì khẳng định trên sai  Chọn đáp án C.
Câu 3.

Hàm số f  x  

1
có nguyên hàm trên:
cos x
  
B.   ;  .
 2 2

A.  0;   .

  
D.   ;  .
 2 2

C.  ; 2  .

Lời giải
Ta có: Vì f  x  

1
xác định và liên tục trên khoảng
cos x

  
  2 ; 2  nên hàm số có nguyên



  
hàm trên   ;   Chọn đáp án B.
 2 2
Câu 4.

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số  x  3  ?
4

A.

 x  3
5

5

 x.

B.

 x  3
5

5

C.

.

 x  3
5

5

 2016.

D.

 x  3
5

5

 1.

Lời giải
/

  x  3 5

4
4


Ta có:
 x    x  3   1   x  3   Chọn đáp án A.
 5



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

16

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Câu 5.

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn

lại?
A. sin 2x và cos2 x.

B. cos 2x và sin 2 x.

C. e 2 x và 2e 2 x .

D. tan 2x và

2
.
cos 2 2x

Lời giải
Vì  tan 2 x  ' 
Câu 6.

2
nên phương án D đúng  Chọn đáp án D.
cos2 2 x

Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

  
1
biết F    là
2
sin x
2 2

A. F  x   x.

B. F  x    cot x 

C. F  x    cot x.

D. F  x   sin x 




2

2

.

 1.

Lời giải
Ta có: F  x   

1
dx   cot x  C .
sin 2 x

  




F      cot  C   C  . Vậy F  x    cot x   Chọn đáp án B.
2
2
2
2
2 2
Câu 7.

Hàm số F  x  thỏa mãn F '  x  

3



1

 3x  1  x  1
2

A. F  x  

2

. Lúc đó, F  x  là

B. F  x  

1
1

 C.
3x  1 x  1
1
1
C. F  x  

 C.
x  1 3x  1

1
3

 C.
x  1 3x  1
1
C
D. F  x  

.
x  1 3x  1

Lời giải

3
1 
1
1
Ta có: F  x    

dx  
d  3x  1  
d  x  1
2
2
2
2
  3x  1  x  1 
 3 x  1

 x  1





Câu 8.

1
1

 C  Chọn đáp án C.
x  1 3x  1

Hàm số F  x  biết F '  x   3x2  2x  1 và đồ thị y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng 2017 là

A. F  x   x2  x  2017.

B. F  x   cos 2x  2016.

C. F  x   x3  x2  x  2017.

D. F  x   x3  x2  x  2016.

Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

17

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]



NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG



Ta có: F  x    3x2  2x  1 dx  x3  x2  x  C .
Đồ thị y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017  F  0   2017
 C  2017 . Vậy F  x   x3  x2  x  2017  Chọn đáp án C.

Câu 9.


1
Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2x  1 ;  x   là
2

A.

 f  x  dx  3  2x  1

C.

 f  x  dx   3

1

1

2x  1  C .

2x  1  C .

B.

 f  x  dx  3  2x  1

D.

 f  x  dx  2

2

1

2x  1  C .

2x  1  C .

Lời giải
Ta có:



f  x  dx   2 x  1dx 

1
1
2 d 2x  1
2
x

1

 

2

3



1  2 x  1 2
2

C 

3
2

1
 2x  1 2x  1  C  Chọn đáp án A.
3

Câu 10. Hàm số F  x   e x là một nguyên hàm của hàm số
3

A. f  x   e x .

B. f  x   3x2 e x .

3

3

3

ex
C. f  x   2 .
3x

D. f  x   x3 e x  1.
3

Lời giải

   3x e

Ta có: F '  x   e x

3

/

2 x3

 Chọn đáp án B.

Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1


sin  x  
6


là

2





A.

 f ( x)dx   cot  x  6   C .

C.

 f ( x)dx  cot  x  6   C .







1



B.

 f ( x)dx   6 cot  x  4   C .

D.

 f ( x)dx  6 cot  x  6   C .

1





Lời giải
Ta có:

 f ( x)dx  

1





dx  
d  x     cot  x    C .
6
6





sin 2  x  
sin 2  x   
6
6


1

 Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

18

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số f  x   2 sin 4x là hàm số F  x  thỏa mãn F  0  
Khi đó F  x  là hàm số nào sau đây?
A. F  x   

B. F  x   

cos 4 x
2.
4
cos 4 x
C. F  x  
2.
2

3
.
2

cos 4 x
2.
2

D. F  x   2 cos 4x  2 .

Lời giải
Ta có: F  x    2 sin 4 xdx  
Vậy F  x   

cos 4 x
3
1
3
 C . Vì F  0   nên   C   C  2 .
2
2
2
2

cos 4 x
 2  Chọn đáp án B.
2





Câu 13. Giá trị m để hàm số F  x   4mx3  2x2  m2  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   12x2  4x  x là
A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  1 .

D. m  2 .

Lời giải

Ta có: F '  x   12mx2  4x  m2  2  f  x  . Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được:


12m  12
 m  1  Chọn đáp án C.
 2
m

2


1


Câu 14. Tính
A.

1

 4x

2

dx ta được kết quả

1
ln  2  x  2  x   C.
4

1 2x
C.  ln
 C.
4 2x

B.

1 2x
ln
 C.
4 2x

D.

1
ln x  2 .ln x  2  C.
4

Lời giải
Ta có:



1

 4x



2

dx  

1

 2  x  2  x 

dx 

1  1
1 

dx


4  2  x 2  x 



1
1
ln 2  x  ln 2  x  C  ln  2  x  2  x   C  Chọn đáp án C.
4
4

Câu 15. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f '  x  
A. ln 2.

B. 2ln 3  1.

1
và f  0   1 thì f  1 có giá trị bằng
2x  1
1
C. 2ln 3  1.
D. ln 3  1.
2

Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

19

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Ta có: f  x   

1
1
1
1
dx  
d  2 x  1  ln 2 x  1  C .
2x  1
2 2x  1

2
1
1
f  0   1  ln1  C  1  C  1  f  x   ln 2 x  1  1
2
2
1
Vậy f  1  ln 3  1  Chọn đáp án D.
2

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  

1
. Nếu F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  và đồ thị
sin 2 2 x

 
y  F  x  đi qua điểm A  ; 0  thì F  x  là
 12 
A. F  x   
C. F  x  

cot 2 x  3
.
2

B. F  x  

 cot 2 x  3
.

2

cot 2 x  3
.
2

D. F  x   cot 2 x 

3
.
2

Lời giải
Ta có: F  x   

1
1
dx   cot 2 x  C .
2
2
sin 2 x

 
 
1

3
Đồ thị y  F  x  đi qua điểm A  ; 0   0  F     cot  C  0  C 
.
2

6
2
 12 
 12 
1
3  cot 2 x  3
Vậy F  x    cot 2 x 
 Chọn đáp án C.

2
2
2

Câu 17. Kết quả
A.

ln 3 x
 x dx là

3ln 2 x  ln 3 x
.
x2

B.

ln 4 x
 C.
4x

C.

ln 4 x
 C.
4

D. 3ln2 x  C.

Lời giải
Ta có:

ln 3 x
ln 4 x
3
d
x

ln
x
dlnx

 C  Chọn đáp án C.
 x

4

Câu 18. Tính F( x)   x sin xdx ta được kết quả
A. F( x)  x sin x  cos x  C .

B. F( x)  sin x  x cos x  C .

C. F( x)  sin x  x cos x  C .

D. F( x)  x sin x  cos x  C .

Lời giải
Đặt u  x, dv  sin xdx  du  dx, v   cos x .
Ta có: F( x)  x cos x   cos xdx  x cos x  sin x  C  Chọn đáp án B.
Câu 19. Kết quả của

 x ln  2  x  dx là

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

20

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

A.

x2
x2
ln  2  x   2 ln  2  x    x  C.
2
4

B. ln  2  x  

x
 C.
2x

C.

x2
x2
ln  2  x   2 ln  2  x    x  C.
2
4

D. ln  2  x  

x2
 x  C.
4

Lời giải
Đặt u  ln  2  x  , dv  xdx  du 

1
x2
dx , v  .
2x
2

x2

x2
Ta có:  x ln  2  x  dx  ln  2  x   
dx  C1
2
2  2  x



x2
1 
4 
x2
1  x2
ln  2  x     x  2 
d
x

ln
2

x



  2 x  4 ln 2  x   C

2
2 
2x
2

2 2




x2
x2
ln  2  x    x  2 ln  2  x   C  Chọn đáp án A.
2
4

Câu 20. Giả sử F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   2x  1 . Biết đồ thị của hàm số F  x  và

f  x  cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị f  x  và
F  x  là
B.  3; 5  .

A.  0; 1 .

C.  0; 1 và  3; 5  .

D.  0; 1 và  3; 0  .

Lời giải

Ta có: F  x     2x  1 dx  x2  x  C .

Phương trình hoành độ giao điểm của F  x  và f  x  :
x2  x  C  2 x  1

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung  C  1  F  x   x2  x  1 .
x  0
Khi đó x2  x  1  2 x  1  x 2  3x  0  
x  3

Vậy có hai giao điểm là  0; 1 và  3; 5  .

 Chọn đáp án C.
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 2  3x là
A.  f  x  dx 

1
2  3x  3 2  3x  C .

4

C.  f  x  dx    2  3x 



2
3

C .

B.  f  x  dx  

3
2  3x  3 2  3x  C .


4

D.  f  x  dx  

1
2  3x  3 2  3x  C .

4

Lời giải
Ta có:

 f  x  dx  

3

2  3xdx

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

21

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Đặt t  3 2  3x  t 3  2  3x  3t 2 dt  3dx  dx  t 2dt .

Khi đó

 f  x  dx   t dt   4 t
1

3

4

C  

1
 2  3x  3 2  3x  C .
4

 Chọn đáp án D.
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

sin 3x
là
cos 3x  1

A.  f ( x)dx  ln cos 3x  1  C .

1
B.  f ( x)dx   ln cos 3x  1  C .
3

1
C.  f ( x)dx  ln cos 3x  1  C .

3

D.  f ( x)dx   ln cos 3x  1  C .

Lời giải
Ta có:

 f  x  dx   cos 3x  1 dx .
sin 3x

1
Đặt t  cos 3x  1  dt  3sin xdx  sin xdx   dt
3
Khi đó

 f  x  dx   3 

1 dt
1
1
  ln t  C   ln cos 3x  1  C .
t
3
3

 Chọn đáp án B.
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 



1





A.  f  x  dx  ln 2  x  C .



là

2 x



B.  f  x  dx  2 x  2 ln 2  x  C .



C.  f  x  dx  2 x  2 ln 2  x  C .





D.  f  x  dx  2  2 ln 2  x  C .

Lời giải
Ta có:

 f  x  dx   2 

1
x

dx .

Đặt t  2  x  x  t  2  x   t  2   dx  2  t  2  dt .
2

Khi đó



f  x  dx  

2  t  2  dt



t

2

   2   dt  2 t  ln t  C1
t












 2 2  x  ln 2  x  C1  2 x  2 ln 2  x  C .

 Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

22

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

x1

Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

là

x 1

B.  f  x  dx   x  10  x  1  C .

A.  f  x  dx 

2
 x  10  x  1  C .
3
x3
C.  f  x  dx 
C .
2  x  1 x  1

D.  f  x  dx  x  1 

2
x 1

C .

Lời giải

 f  x  dx  

Ta có:

x1
x 1

dx .

Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx  dx  2tdt .
Khi đó



f  x  dx  


t2  2
1

.2tdt  2  t 2  2 dt  2  t 3  2t   C
t
3






2
2
x  1 x  1  4 x  1  C   x  10  x  1  C .

3
3

 Chọn đáp án A.





Câu 25. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  e cos x  cot x sin x là
A.  f ( x)dx  e cos x  sin x  C .

B.  f ( x)dx   e cos x  sin x  C .

C.  f ( x)dx   e cos x  sin x  C .

D.  f ( x)dx  e cos x  sin x  C .

Lời giải
Ta có

 f (x)    e

cos x



 cot x sin xdx   e cos x sin xdx   cos xdx

  e cos x d cos x   cos xdx  e cos x  sin x  C .

 Chọn đáp án C.
V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:
Câu 1.

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?
Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:
Đúng





a) f  x   ln x  1  x 2 và g  x  

1
1  x2

Sai

.

b) f  x   e sin x cos x và g  x   e sin x .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

23

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

c) f  x   sin 2

1
1
2
và g  x    2 sin .
x
x
x

d) f  x  

x 1
x  2x  2
2

và g  x   x2  2x  2 .

1
2 x

1
x

e) f  x   x e và g  x    2 x  1 e .
Câu 2.

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên

 a; b 

và C là hằng số thì

 f  x  dx  F  x   C .
B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  .
C. F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b   F /  x   f  x  , x   a; b  .
D.
Câu 3.





f  x  dx  f  x  , x   a; b  .
/

Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

 f  x  dx  F  x   C   f t  dt  F t   C .

B.   f  x  dx   f  x  .


/

Câu 4.

Câu 5.

C.

 f  x  dx  F  x   C   f u dx  F u  C .

D.

 kf  x  dx  k  f  x  dx ( k

là hằng số).

Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .

B.

 kf  x  dx  k  f  x  dx;  k    .

C.

  f  x dx 

D.

  f  x  .g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx .

A.  0dx  C ( C là hằng số).

B.

 x dx  ln x  C

x 1
 C ( C là hằng số).
C.  x dx 
 1

D.  dx  x  C ( C là hằng số).

/

 f  x .

Khẳng định nào sau đây là sai?



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

24

1

( C là hằng số).

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

Câu 6.

Câu 7.

Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu:
A. f  x  xác định trên K.

B.

C. f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K.

D. f  x  liên tục trên K.

Hàm số f  x  

Câu 9.

f  x  có giá trị lớn nhất trên K.

1
có nguyên hàm trên:
cos x
  
B.   ;  .
 2 2

A.  0;   .
Câu 8.

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

  
D.   ;  .
 2 2

C.  ; 2  .

Nếu f  x  liên tục trên khoảng D thì:
A. f  x  không có nguyên hàm trên D.

B. f  x  có đúng một nguyên hàm trên D.

C. f  x  có hai nguyên hàm trên D.

D. f  x  có vô số nguyên hàm trên D.

Hàm số f  x   x



4
5

A.  ;   .

có nguyên hàm trên:
B.  0;   .

C.  ; 0  .

D. 0;   .

Câu 10. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số  x  3  ?
4

A.

C.

 x  3

5

5

 x  3
5

 x.

B.

5

 2016.

D.

 x  3

5

.

5

 x  3
5

5

 1.

Câu 11. Cho hàm số f  x  xác định trên K. Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số

f  x  trên K nếu với mọi x  K , ta có:
A. F '  x   f  x   C.

B. F '  x   f  x  .

C. f '  x   F  x  .

D. f '  x   F  x   C.

Câu 12. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn
lại?
A. sin 2x và cos2 x.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

B. sin 2x và sin 2 x.

25

CLB Giáo viên trẻ TP Huế