Bài tập trắc nghiệm toán học lớp 12

PHẦN I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 0: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN ÔN LẠI
I. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

4. (a + b)3 = a3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3

2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b 2

5. (a - b)3 = a3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b3

3. a2 - b 2 = (a + b)(a - b)

6. a3 + b3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 )

7. a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0)

II. Phương trình bậc hai:
1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
D = b2 - 4ac




D <0
D =0

D >0

: Phương trình vô nghiệm.

x1 = x2 =-

: Phương trình có nghiệm kép:

b
2a

: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 =

- b- D
2a

x2 =

- b+ D
2a

;
2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

b = 4;2 3;2m;- 2(m +1);...

Nếu “b chẵn” (ví dụ
thu gọn.

æ b÷
ö
ç

b' = ÷
ç
ç
÷
2÷
è
ø

D ' = b '2 - ac





D '<0
D'=0

D'>0

) ta dùng công thức nghiệm

: Phương trình vô nghiệm.
x1 = x2 =-

: Phương trình có nghiệm kép:
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 =

- b '-

D'
a

x1 =
;

Trang 1

- b '+ D '
a

b'
a


ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0)

 Chú ý: Nếu phương trình bậc 2:
x1 , x2
thì:
ax 2 + bx + c = 0 = a( x - x1 )( x - x2 )

ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0)

3. Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2
x1 , x2
thì:
ìï
ïï S = x + x =- b

1
2
a
ïïí
ïï
c
ïï P = x1.x2 =
a
ïî

 “Tổng bà, tích ca”
4. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:

 Nếu

 Nếu

a +b +c = 0

a - b +c = 0

5. Dấu của nghiệm số:

thì phương trình có nghiệm:

thì phương trình có nghiệm:
ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0)
ìï D > 0
ïï
Û ïí P > 0

ïï
ïïî S > 0

 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

 Phương trình có 2 nghiệm dương

 Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

Trang 2

có hai nghiệm

ìï D ³ 0
ïï
Û ïí P > 0
ïï
ïïî S > 0
ìï D > 0
ïï
Û ïí P > 0
ïï
ïïî S < 0

có 2 nghiệm

éx = 1
ê1
ê
êx = c

2
ê
a
ë
éx =- 1
ê1
ê
êx =- c
2
ê
a
ë


ìï D ³ 0
ïï
Û ïí P > 0
ïï
ïïî S < 0

 Phương trình có 2 nghiệm âm

ìï D > 0
Û ïí
ïïî P > 0

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
III.

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Dấu của đa thức:
1 Dấu của nhị thức bậc nhất:
x

Û P <0

f ( x ) = ax + b(a ≠ 0)

−∞

−

ax +dấu
b a
trái

+∞

b
a

0

cùng dấu a

“Phải cùng, trái trái”
6. Dấu của tam thức bậc hai:

f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

x∆ < 0 −∞

+∞

f ( x)

cùng dấu a

∆ = 0 −∞

−

x

f ( xdấu
)
cùng
a

0

x∆ > 0 −∞

f ( xdấu
)
cùng
a

+∞

b
2a

x1

0

+∞

x2

trái dấu a

0

“Trong trái, ngoài cùng”
³
7. Dấu của đa thức bậc
3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a của
số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.
IV.

Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên
f ( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0)
2

Cho tam thức bậc hai:

Trang 3

R

.


ìï a > 0
f ( x ) > 0 " x Î R Û ïí
ïïî D < 0

ìï a > 0
f ( x ) ³ 0 " x Î R Û ïí
ïïî D £ 0

ìï a < 0
f ( x ) < 0 " x Î R Û ïí
ïïî D < 0

ìï a < 0
f ( x ) £ 0 " x Î R Û ïí
ïïî D £ 0

V. Phương trình lượng giác cơ bản
éu = v + k 2p
sin u = sin v Û ê
êu = p - v + k 2p
ë

éu = arcsin a + k 2p
sin u = a Û ê
êu = p - arcsin a + k 2p

ë

Đặc biệt:

p
+ k 2p
2
sin u = 0 Û u = kp
p
sin u =- 1 Û u =- + k 2p
2
sin u = 1 Û u =

éu = v + k 2p
cos u = cos v Û ê
êu =- v + k 2p
ë

éu = arccos a + k 2p
cos u = a Û ê
êu =- arccos a + k 2p
ë

Đặc biệt:
cos u = 1 Û u = k 2p

p
+ kp
2
cos u =- 1 Û u = p + k 2p

cos u = 0 Û u =

VI.

tan u = tan v Û u = v + kp

tan u = a Û u = arctan a + kp

cot u = cot v Û u = v + kp

cot u = a Û u = arccot a + kp

Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối
ìï A , neáu A ³ 0
A = ïí
ïïî - A , neáu A < 0
1 Phương trình :
éìï A ³ 0
êïí
êï A = B
ïî
A =B Û ê
êì
êïï A < 0
êíï
ê
ëïî - A = B

Trang 4



ìï B ³ 0
ïï
A = B Û ïí éA = B
ïï ê
ïïî ê
ëA =- B
éA = B
A=BÛ ê
êA =- B
ë


8. Bất phương trình:





ìï A < B
A < B Û ïí
ïïî A >- B
éA <- B
A >B Û ê
êA > B
ë

A < B Û A2 < B 2 Û A2 - B 2 < 0 Û ( A - B)( A + B) < 0


VII. Phương trình và bất phương trình vô tỉ
1 Phương trình:
ìï B ³ 0
A = B Û ïí
ïïî A = B 2

ìï A ³ 0(hoaëc B ³ 0)
A = B Û ïí
ïïî A = B

9. Bất phương trình:
éìï B < 0
êïí
êï A ³ 0
ïî
A >B Û ê
êì
êïï B ³ 0
êí
2
ï
ê
ëïî A > B

ìï A ³ 0
ïï
A < B Û ïí B > 0
ïï
ïïî A < B2


ìï A ³ 0
A < B Û ïí
ïïî A < B

VIII. Công thức tính đạo hàm
(c)' = 0

( x )' =1
Trang 5

(ku)' = ku '


'

( u ± v)
( uv)

'

'

æö
u ÷ u ' v - uv '
ç
÷
ç
÷=
ç

v2
èv ø

= u '± v '

( uvw)

= u ' v + uv '

( x n )' = n.x n- 1
'

'

( )

æö
1÷
1
ç
=.v '
÷
ç
÷
ç
v2
èv ø

1

'

= u ' vw + uv ' w + uvw '

(u n )' = n.un- 1.u '

æ1 ö
1
÷
ç
=÷
ç
÷
ç
x2
èx ø
x =

'

( )

2 x

u'

'

u =

2 u

(sin x )' = cos x

(sin u)' = cos u.u '

(cos x )' =- sin x

(cos u)' =- sin u.u '

(tan x )' =

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

(cot x )' =-

'

(tan u)' =

1
=- (1 + cot 2 x )
2
sin x

1
.u ' = (1 + tan 2 u).u '

2
cos u

(cot u)' =-

1
.u ' =- (1 + cot 2 u).u '
2
sin u

a b

æax + b ÷
ö
c d
ad - cb
ç
=
=
÷
ç
2
÷
ç
(cx + d )2
ècx + d ø (cx + d )
a b 2
a c
b c
x

+
2
x
+
æax 2 + bx + c ö
a' b'
a' c'
b' c'
÷
ç
÷
=
ç
÷
2
2
2
ç
÷
ça ' x + b ' x + c ' ø
(a ' x + b ' x + c ')
è
'

“anh bạn ăn cơm bằng chén”
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA
HÀM SỐ
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A-

KIẾN THỨC CƠ
BẢN:

1. Định nghĩa: Giả sử hàm số

y = f (x)

xác định trên khoảng K.

Trang 6


 Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng K nếu:

" x1 , x2 Î K , x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )

 Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng K nếu:

" x1 , x2 Î K , x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 )

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K được gọi chung là hàm số đơn
điệu trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị
đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm hàm số nghịch biến trên K thì
đồ thị đi xuống từ trái sang phải

y = f ( x)

2. Định lý: Giả sử hàm số
có đạo hàm trên khoảng K.
f '( x ) > 0, " x Î K
a) Nếu
thì hàm số f đồng biến trên khoảng K.
f '( x ) < 0, " x Î K
b) Nếu
thì hàm số f nghịch biến trên khoảng K.
f '( x ) = 0, " x Î K
c) Nếu
thì hàm số f không đổi (f là hàm hằng) trên
khoảng K.
f '( x )
Lưu ý: Ở ý a) và b) của định lý trên
có thể bằng 0 tại một số hữu hạn
điểm thì kết luận vẫn đúng.
BBÀI TẬP:
Vấn đề 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f (x)
Phương pháp: Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
, ta thực
hiện các bước như sau:
 Tìm tập xác định.
y'=0
y'
 Tính đạo hàm
. Giải phương trình
.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Trang 7


1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
y = - 2x2 + 4x + 5

a)

b)
y = x - 4x +3
2

c)
e)

y = (4 - x )( x - 1)2

y=
g)
y=
i)

f)

1 4
x - 2x2 - 1
4

h)

1 4 1 2
x + x - 2
10
10

y=

l)

n)

d)

m)

y =- x + 3 -

o)

4 x 2 - 15 x + 9
3x

q)

1
1- x

y =- 4 x 3 + 3x - 1

y =- 6 x 4 + 8 x 3 - 3x 2 - 1

x2 - 1
y= 2
x - 4

y=

x 2 - x +1
x 2 + x +1

d)

f)

y = x - 2 x + x - 2011
3

2 x 2 - 3x
y=
1- x

b)

y=

x
x 2 - 3x + 2
4

i)

1
1- x

y = 2 x 3 - 9 x 2 +12 x - 4

c)

g)

2x - 1
x +5

x2 - x - 1
y=
1- x

y=

e)

y =- x 4 - 2 x 2 + 3

y =1 -

r)
s)
10.Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)

y = x 3 - 3x 2 + 4 x - 1

k)

2 x 2 + x + 26
y=
x +2

p)

y = x3 - 2x2 + x - 2

y=

x- 1
2- x

y=

x2
5
y= +x4
4

2

h)

j)
Trang 8

2x - 1
x2

y = 2x - x2
y = x 2 (4 - x 2 )

y = x 3- x


y = 25 - x 2
k)

y = x2 - x - 6
m)
o)

y = x +3 +2 2 - x

y = x 2x - 1
r)

y=

l)
n)
p)

y = x 2 - x - 20
y = x 2 - x +1

y = 2x - 1 y=

s)

3- x

1
4 - x2

x
y = x + 12 - x 2

16 - x 2

v)
u)
Vấn đề 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên tập xác định
Phương pháp:
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
1 Hàm bậc 3:
D =R
Tập xác định
.
y ' = 3ax 2 + 2bx + c
Đạo hàm
là 1 tam thức bậc 2.
ìï D £ 0

y'
Û y ' ³ 0, " x Î R Û ïí
ïï ay ' > 0
ïî
R
 Hàm số đồng biến trên
ìï D £ 0
y'
Û y ' £ 0, " x Î R Û ïí
ïï ay ' < 0
ïî
R
 Hàm số nghịch biến trên
ax + b
y=
cx + d
11.Hàm nhất biến:
ìï d ü
ï
D = R \ ïí - ïý
ïîï c ïþ
ï
Tập xác định
ad - cb
y' =
(cx + d )2
Đạo hàm
có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Û y ' > 0, " x Î D Û ad - cb > 0

(Không có dấu “=”)
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Trang 9


Û y ' < 0, " x Î D Û ad - cb < 0

(Không có dấu “=”)

12.Tìm điều kiện của tham số để hàm số sau đồng biến trên tập xác định:
1
y = x 3 + mx 2 + 4 x + 3
3
a
y = x 3 - 3mx 2 + (m + 2) x - m
a).
13.Tìm m để hàm số:
y =- x 3 + 3mx 2 - 6mx - 1
R
a
nghịch biến trên
.
1
y = x 3 - 2 x 2 - (2m +1)x + 3m - 2
3
b
đồng biến trên

b).

1
y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x
3

đồng biến trên
3m + x
y=
x + 2m - 1

14.Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
a Nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b Đồng biến trên từng khoảng xác định.
15.Định m để hàm số:
x + m2
y=
2x - m
a
đồng biến trên từng khoảng xác định.
mx - 3
y=
3x + m
c).
nghịch biến trên từng khoảng xác định.
R
16.Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên
:
3
2
y = x - 3(2m +1) x + (12m + 5) x + 2
a

y = x 3 - (m +1) x 2 - (m 2 - 3m + 2) x + 2m(2m - 1)
d).
y = x 3 + 3x 2 + (m +1) x + 4m
e).
R
17.Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên
:
2
3
2
y =- (m + 5m ) x + 6mx + 6 x - 6
a

Trang 10

R

.

R

.


1
1
y = mx 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x +
3
3

f).

y=

18.(*)Tìm m để hàm số

mx - 2
x- m- 1

(1; +¥ )

nghịch biến trên khoảng
.
mx + 4
y=
x +m
19.(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
nghịch biến
(- ¥ ;1)
trên khoảng
.
y =- x 3 + 3x 2 + 3mx - 1
m
20.(*)Tìm các giá trị của tham số
để hàm số
(0; +¥ )
nghịch biến trên khoảng
(ĐH Khối A-2013)
y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4
21.(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

(- ¥ ;0)
đồng biến trên khoảng
.
3
y = 2x - 3(2m +1) x 2 + 6m(m +1) x +1
22.(*)Tìm m để hàm số
đồng biến trên
(2; +¥ )
khoảng
.
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

y = f (x)

1. Định nghĩa: Cho hàm số
Ì

R

x0 Î D

) và

 Nếu

tồn tại khoảng
f ( x ) < f ( x0 )
,
x0

đạt cực đại tại
.

 Nếu

.
(a; b) Ì D

x0 Î (a; b)

(a; b) Ì D

x0 Î (a; b)

và
" x0 Î (a; b) \ {x0}
thì ta nói hàm số

tồn tại khoảng
f ( x ) > f ( x0 )
,

đạt cực tiểu tại

xác định và liên tục trên tập D (D

và
" x0 Î (a; b) \ {x0}
thì ta nói hàm số
x0

.

Trang 11

sao cho
f (x)

sao cho
f (x)


x0

a

x
b

f (x)

a

x0

Chú ý:
x0

f (x)

 Nếu hàm số
đạt cực đại (cực tiểu) tại
thì
x0
được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;
f ( x0 )
được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số
M0 ( x0 ; f ( x0 ))
và được ký hiệu là () hay (), còn điểm
được gọi
là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
 Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá
trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi
chung là cực trị của hàm số.
2. Định lý:

y = f (x)

(a; b)

Định lý 1: Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
x0
(a; b)
chứa điểm
và có đạo hàm trên khoảng
.
f '( x )
x
 Nếu

đổi dấu từ dương sang âm khi
qua
x0
f (x)
thì hàm số
đạt cực đại tại
.
f '( x )
x
 Nếu
đổi dấu từ âm sang dương khi
qua
x0
f (x)
thì hàm số
đạt cực tiểu tại
.

x

x0
Trang 12

x0

x0

x0

+

-

f '( x )

-

+

f (x)

y = f (x)

Định lý 2: Giả sử hàm số
có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(a; b)
. Khi đó:
ìï f '( x ) = 0
0
ïí
ïï f ''( x0 ) > 0
x0
f (x)
î
 Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại
.
ìï f '( x ) = 0

0
ïí
ïï f ''( x0 ) < 0
x0
f (x)
î
 Nếu
thì hàm số
đạt cực đại tại
.
CBÀI TẬP:
Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Qui tắc 1: Dùng định lý 1.
 Tìm tập xác định.
y'
y'= 0
 Tính đạo hàm
. Giải phương trình
.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Qui tắc 2: Dùng định lý 2.
 Tìm tập xác định.
y'= 0
y'
 Tính đạo hàm
. Giải phương trình
tìm các
xi (i = 1,2,...)

nghiệm
y ''( xi )
y ''
 Tính
và
y ''( xi )
 Dựa vào dấu của
suy ra các điểm cực trị:
y ''( xi ) > 0
xi
o Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại
.
y ''( xi ) < 0
xi
o Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại
.
Chú ý: Quy tắc 2 thường dùng đối với hàm số lượng giác hoặc việc xét dấu
f '( x )
phức tạp.
1 Tìm cực trị của các hàm số sau:
Trang 13


y = 10 +15 x + 6 x 2 - x 3

a)

b)

y = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 7

c)

y = x 4 - 8 x 3 + 432

y = x 4 - 5x 2 + 4

d)
y =- 5 x 3 + 3 x 2 - 4 x + 5

e)
f)
2 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
y = 3x 2 - x 3

a)

y =- x 3 - 5 x

x4
y =+ 2x2 + 6
4

b)

y = x 3 - 3 x +1

y = x4 + 2x2 + 2

c)
d)
3 Dựa vào quy tắc 2 tìm cực trị (nếu có) của các hàm số:
y = sin 2 x
y = sin 2 x
a)
b)
y = x - sin 2 x
y = 3 - 2 cos x - cos2 x
c)
d)
æ p÷
ö
y = cot ç
x+ ÷
ç
ç
÷
3÷
è
ø
y = sin x + cos x
e)
d)
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Phương pháp:
x0
y = f (x)
1. Hàm số

đạt cực trị tại

Û

ìï y '( x ) = 0
0
ïí
ïï y ''( x0 ) ¹ 0
î

2. Hàm

y = f (x)

số

đạt

cực

đại

tại

x0

Û

x0

Û

ìï y '( x ) = 0
0
ïí
ïï y ''( x0 ) < 0
î

3. Hàm

y = f (x)

số

đạt

cực

tiểu

ìï y '( x ) = 0
0
ïí
ïï y ''( x0 ) > 0
î

4. Hàm bậc 3:

y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0)

Þ y ' = 3ax 2 + 2bx + c
Trang 14

tại


 Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)

ìï D > 0
y'
Û ïí
ïï ay ' ¹ 0
ïî

y' = 0

có 2 nghiệm phân biệt
Û
 Hàm số không có cực trị
Phương trình
ìï D £ 0
y'
Û ïí
ïï ay ' ¹ 0
ïî
nghiệm hoặc có nghiệm kép
y = ax 4 + bx 2 + c(a ¹ 0)
5. Hàm bậc 4 trùng phương:
Þ y ' = 4ax 3 + 2bx
Ta có:

Û

phương trình

y'= 0

vô

y ' = 0 Û 4ax 3 + 2bx = 0
Û 2 x (2ax 2 + b) = 0

éx = 0
Û ê 2
ê2ax + b = 0
ë
éx = 0
ê
Û ê2 - b
êx =
ê
2a
ë

(1)
(2)
Û

 Hàm số có 3 cực trị
nghiệm phân biệt

-b
Û
>0
2a
khác 0
.

Û

Phương trình

y' = 0

có 3

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

y' = 0
Û
 Hàm số có 1 cực trị
Phương trình
có 1
Û
nghiệm
Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
-b
Û
£0
2a
bằng 0

.
3
y = x - 3x 2 + 3mx +1
4 Tìm m để hàm số
có 2 cực trị.
3
2
y = x - 3(m - 1) x + 3(2m - 3)x +1
23.Tìm m để hàm số
có cực đại và cực tiểu.
Trang 15


24.Tìm m để hàm số
x =1
.

x3
y = - 2m 2 x 2 + (m + 2) x - 5m +1
3

đạt cực tiểu tại

x3
y = - mx 2 + (m 2 - m +1) x +1
3

25.Tìm m để hàm số
đạt cực đại tại
x =2

.
y = x 3 + (m +1) x 2 + (2m - 1) x + 6
26.Cho hàm số
. Tìm m để hàm số:
x =- 2
a)Đạt cực đại tại
.
x =5
b)Đạt cực tiểu tại
.
c)Có hai cực trị.
27.Định m để các hàm số sau có 2 cực trị:
y = x 3 - 3x 2 + mx - 2
a
m
y = x 3 - 2(m +1)x 2 + 4mx - 1
3
g).
28.Định m để hàm số:
y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1)
x =1
a
đạt cực đại tại
y = x 3 - 2mx 2 + m 2 x - 2
x =1
h).
đạt cực tiểu tại
.
æ 2÷
ö

y = x 3 - mx 2 + ç
m- ÷
x +5
ç
ç
÷
3÷
è
ø
x =1
i).
đạt cực trị tại
. Khi đó hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu?
y = x 3 - 3mx 2 + (m - 1) x + 2
x =2
29.Tìm m để hàm số
đạt cực tiểu tại
.
y = x 3 - 3x 2 + 3mx + 3m + 4
m
30.Định
để hàm số
a Không có cực trị.
j). Có cực đại và cực tiểu.
A(0;4)
k). Có đồ thị nhận
làm một điểm cực trị.
31.(*)

Tìm giá trị của tham
y = x 3 + x 2 + (m + 2) x

số

Trang 16

m

để

đồ

thị

của

hàm

số


a Có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
l). Có cực đại và cực tiểu.
m).
Có 2 điểm cực trị có hoành độ âm.
y = x 3 + 2( m - 1) x 2 +( m 2 - 4m +1) x - 2 ( m 2 +1)
32.(*)Tìm m để hàm số
đạt cực
1

1 1
+ = ( x1 + x2 )
x1 x2 2
trị tại x1 , x2 thỏa mãn
1
y = x 3 - mx 2 +( 2m - 1) x - m + 2
3
33.(*)Cho hàm số
. Định m để hàm số có hai
điểm cực trị có hoành độ dương.
1
y = x 3 - mx 2 + mx - 1
3
34.(*)Cho hàm số
. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
x1 - x2 ³ 8
x1; x2
thoả mãn
y = 2 x 3 + 9mx 2 +12m 2 x +1
35.(*)Cho hàm số
.Tìm m để hàm số có cực đại cực
x 2CD = xCT
tiểu đồng thời
.
x4
y = + ax 2 + b
2
36.Cho hàm số
.
x =1

- 2
a) Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng
khi
.
b) Với a, b vừa tìm được hãy xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
1
3
y = x 4 - mx 2 +
2
2
37.Xác định m để đồ thị của hàm số
có cực tiểu mà không
có cực đại.
y = x 4 - 2(m +1) x 2 + 4
38.Tìm m để hàm số
có 3 cực trị.
4
2
y =- x + (3m + 2) x - 5
39.Tìm m để hàm số
có 1 cực trị.
4
2
y = mx + (m - 1) x +1 - 2m
40.Cho hàm số
. Xác định m để hàm số chỉ có 1
cực trị.
y = x 4 + (a - 1) x 2 + 2a - 1
41.Cho hàm số
. Tìm a để hàm số có 3 cực trị.

4
2
y = kx + (k - 1) x +1 - 2 k
42.Cho hàm số
. Xác định các giá trị của tham số k
để hàm số có 1 cực trị.

Trang 17


43.Cho hàm số
- 2
tại

x4
y = + ax 2 + b
2
x =1

. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng

.
y = mx 4 - 16 x 2

m

44.Xác định giá trị tham số
để hàm số
đạt cực trị tại
x =2

x =2
. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại
.
m
45.Tìm
để hàm số:
y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5
a
có cực đại, cực tiểu.
3
2
2
y = x - 3(m - 1) x + (2m - 3m + 2) x - m(m - 1)
n).
có cực đại, cực tiểu.
1
x=
4
2
y =- mx + 2(m - 2) x + m - 5
2
o).
đạt cực đại tại
.
Vấn đề 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc ba
Phương pháp: Cho hàm số bậc ba
y
 Chia
cho

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
y'

ta được
( x1; y1)
 Khi đó, giả sử
,
ìï y = f ( x ) = Ax + B
1
1
ïí 1
ïï y2 = f ( x2 ) = Ax2 + B
î

.
y = P ( x ).y '+ ( Ax + B )

( x2 ; y2 )
là các điểm cực trị thì:

Suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y = Ax + B
46.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số:
y = x 3 + 3 x 2 - 8 x +1
a)

b)
c)

x3

y = - 2 x 2 + 3x - 2
3

y =- x 3 + 2 x - 1

m
47.(*)Tìm các giá trị của tham số
để hàm số có cực đại, cực tiểu. Lập
phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
y = 3 x 2 + 3(m - 3) x 2 +11 - 3m
a)
(ĐHQG –2001)
Trang 18


b)
c)

y = 2 x 3 - 3(3m +1) x 2 +12(m 2 + m) x +1

(ĐHTS – 1999)

y =- x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m 3 - m 2

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
y = f (x)
Cho hàm số
xác định trên tập D.
y = f (x)

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên tập D nếu
x0 Î D
f (x) £ M
x
với mọi
thuộc D và tồn tại
sao cho
f ( x0 ) = M
M = max f ( x )

Ký hiệu

D

y = f (x)
 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập D nếu
x0 Î D
f (x) ³ m
x
với mọi
thuộc D và tồn tại
sao cho
f ( x0 ) = m

m = min f ( x )
D

Ký hiệu

D- BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn
y = f (x)
Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên 1
[a; b]
đoạn
:
D É [a; b]
Þ
Tìm tập xác định
Hàm số liên tục trên đoạn
[a; b]
Tính đạo hàm

y'

.

xi Î [a; b](i =1,2,3...)

Tìm các điểm
làm
xác định.
y ( xi )
y (a)
y ( b)
Tính
,
,

So sánh và kết luận.
1 Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
Trang 19

y'

bằng 0 hoặc không


y = x3 - 3x + 2

a)

[- 2;2]

trên đoạn
[- 2;0]
y = 2 x - 3 x - 12 x +10
trên đoạn
5
4
3
[- 1;2]
y = x - 5 x + 5 x +1
trên đoạn
[- 1;1]
y = x 4 - 2x3 + x2 - 1
trên đoạn
5
3

y = x - 5x +10 x - 1
[- 1;2]
trên đoạn
3
x
y = + 2 x 2 + 3x - 4
[- 4;0]
3
trên đoạn
3x - 1
y=
[0;2]
x- 3
trên đoạn
4
y =- x +1 [- 1;2]
x +2
trên đoạn
é- 1,1ù
y = 5- 4x
ë û
trên đoạn
3

c)
d)
e)
f)
g)
h)

i)
j)

2

y = 100 - x 2

k)

trên đọan

[- 8;6]

y = 25 - x 2

l)
48.

[- 3;4]
trên đoạn
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

y = x + 4 - x2

a)

y = 2x + 5 - x2

b)

y = 2 - x + x +3

c)

1
y = x2 - x 4

d)
49.

b)

trên

y = x4 - 4x2 + 2

b)

a)

é- 10,10ù
ë
û

4 x - x 2 ( TN - 2014)

Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
y = cos2 x - sin x + 3
y = cos3 x - 6 cos2 x + 9cos x + 5

Trang 20


y = sin3 x - cos2 x + sin x + 2

c)

y = cos2 x - sin x + 3

d)

[0; p]

trên đoạn

é 3p ù
ê0; ú
ê
ë 2ú
û

y = 2sin x + sin 2 x

e)
trên đoạn
Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 khoảng hoặc nửa
khoảng
y = f (x)
Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên 1

(a; b),(a; +¥ ),(- ¥ ; b),[a; b),(a; b]
khoảng hoặc nửa khoảng
…
Tìm tập xác định.
y'
Tính đạo hàm
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.
2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
y =- x 2 + 2 x + 3
y = x 3 - 6 x 2 + 9 x ( x < 2)
a)
b)
1
9
y = x - 5 + ( x > 0)
y=x+
x
x
c)
d)
trên khoảng
(0; +¥ )
50.

Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
x - m2 + m
f ( x) =
[0;1]
x +1

- 2
trên đoạn
bằng
. (TN – 2012)
§4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A-KIẾN THỨC CƠ BẢN:
x = x0
 Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm
y = f (x)
cận đứng) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các điều
kiện sau được thoả mãn:
lim- f ( x ) = +¥
lim+ f ( x ) =+¥
x ® x0

x ® x0

;
lim- f ( x ) =- ¥

x ® x0

lim f ( x ) =- ¥

;
Trang 21

x ® x0+


y = y0

 Đường thẳng

được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm
y = f (x)
cận ngang) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x ) = y0
lim f ( x ) = y0
x ®+¥
x ®- ¥
;

y = f (x) =
Chú ý: Đối với hàm số phân thức hữu tỷ
Q( x ) = 0

 Nếu

x = x0

 Nếu bậc(
ngang.
B- BÀI TẬP:

.

P( x )

có nghiệm

)≤ bậc(

Trang 22

x0

Q( x )

P( x )
Q( x )

thì đồ thị có tiệm cận đứng

) thì đồ thị có tiệm cận


1 Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị của hàm số sau:
x +1
2 x +1
y=
y=
- 2 x +1
1- x
a)

b)
y=

y=

c)

x +1
x- 1

d)

2x
x +2
y=

e)

x
2- x

y=

f)

- x +7
x +1

y=

g)

2x - 5
5x - 2

h)

7
y= - 1
x

51.

Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
x
2x - 1
y=
y=
2x +3
3x + 2
b)
c)

a)
y=

y=

x 2 + x +1
y=

3 - 2 x - 5x 2

f)

d)

g)

x 2 - 3x + 2
x +1
y=

52.

3x - 2
x- 1

2
x +1
2- x
y=
9 - x2

e)

y=

(*) Cho hàm số

- 3x - 1

x- 2

có đồ thị (C).

M 0 ( x 0 ; y0 ) Î ( C )
a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm
đến
các đường tiệm cận của (C) là một hằng số.
b) Tìm các điểm trên (C) sao cho điểm đó cách đều các đường tiệm cận của (C).
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)
∗ Tập xác định:
ax + b
y=
cx + d
∗ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức
)
Trang 23


y'

∗ Đạo hàm:

y' = 0

 Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình

tìm nghiệm.

y=

 Đối

với

hàm

phân

a b
c d
ad - bc
y' =
=
>0
(cx + d )2 (cx + d )2

thức

(hoặc

<0

)

ax + b
cx + d

:

"x Î D

∗ Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.
∗ Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức
y=

ax + b
cx + d

)

y' = 0

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, nếu phương trình
y '' = 0

bảng giá trị ta giải phương trình

để tìm điểm

vô nghiệm thì khi lập
x0

là điểm chính

M 0 ( x 0 ; y0 )
giữa của bảng giá trị. (điểm
∗ Vẽ đồ thị:

được gọi là điểm uốn của đồ thị)

B- BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba
a>0
Số nghiệm của phương
y' = 0
trình
y' = 0
có 2
nghiệm phân biệt

Trang 24

y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0)
a <0


y' = 0

có

nghiệm kép

y' = 0

vô

nghiệm

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:
y = x 3 - 6 x 2 + 9 x +1
y = 3x 2 - 2 x 3
a)
b)
x3
y = + x 2 + x +1
y =- x 3 + 3 x 2 - 4 x + 2
3
c)
d)
e)
g)

y = 2 x 3 + 3x 2 - 1

f)

y = x 3 - 3x 2 + 6 x + 8
y =-

h)

y =- x 3 + 3 x 2 - 4 x + 3

3

x

- x 2 + 3x - 4
3

i)

j)

y = 2 + 3x - x3
k)

y =- 2 x 3 + 3 x 2 - 1

y = x3 + 4x2 + 4x
l)

y = x + x + 9x
3

m)

y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5

y =- 2 x 3 + 5

2

n)

Vấn đề 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương

a>0

Trang 25

y = ax 4 + bx 2 + c(a ¹ 0)
a <0